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2026-07-13T21:38:21Z

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{{T}}
{{BR}}
= Rang von Matrizen - Berechnung =

{{BR}}
= Einleitung =

Der '''[[Rang (Lineare Algebra)|Rang einer Matrix]]''' zeigt, wie viele [[Zeile (Mathematik)|Zeilen]] oder [[Spalte (Mathematik)|Spalten]] voneinander [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind. Einfach gesagt: Der Rang zeigt, wie viele wirklich neue Informationen in einer [[Matrix]] stecken.

[[Datei:Matrix.svg|350px|rahmenlos|center]]

Für die Berechnung formst Du die Matrix mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußverfahren]] in eine [[Zeilenstufenform]] um. Danach zählst Du die Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen.

{{BR}}
== Das Wichtigste ==

# [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]]: Anzahl der unabhängigen Zeilen oder Spalten
# [[Zeilenstufenform]]: Gestufte Form einer Matrix
# [[Pivot-Element]]: Erstes von null verschiedenes Element einer Zeile
# [[Nullzeile]]: Zeile, die nur Nullen enthält
# [[Voller Rang]]: Größtmöglicher Rang einer Matrix

{{BR}}
== Berechnung in vier Schritten ==

# Schreibe die [[Matrix]] sauber auf.
# Nutze erlaubte [[Elementare Zeilenumformung|Zeilenumformungen]].
# Bringe die Matrix in [[Zeilenstufenform]].
# Zähle die Zeilen, die keine [[Nullzeile|Nullzeilen]] sind.

[[Datei:Gaussian elimination animated.gif|350px|rahmenlos|center]]

Erlaubt sind: Zeilen tauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren. Diese Umformungen ändern den Rang nicht.

{{BR}}
== Beispiel ==

Gegeben ist:

<math>
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
</math>

Ziehe das Doppelte der ersten Zeile von der zweiten Zeile ab:

<math>
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\longrightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\longrightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Es bleiben zwei Zeilen übrig, die nicht nur Nullen enthalten. Deshalb gilt:

<math>\operatorname{rang}(A)=2</math>

[[Datei:Row echelon form.png|350px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Merksätze ==

Der Rang einer Matrix mit <math>m</math> Zeilen und <math>n</math> Spalten kann höchstens <math>\min(m,n)</math> sein. Die [[Nullmatrix]] hat Rang null. Eine Matrix hat '''vollen Rang''', wenn ihr Rang so groß wie möglich ist.

[[Datei:Reduced row echelon form.svg|350px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Gaussian elimination as multiplication by elementary matrices.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernvideo ==

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Pausiere bei den Rechenschritten und rechne selbst mit.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=TpFCBTdjGEo |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Videonotiz]]: Schreibe auf, wie der Rang im Video erklärt wird.
# [[Zeilenumformung]]: Notiere drei erlaubte Zeilenumformungen aus dem Video.
# [[Stopp-Aufgabe]]: Pausiere vor einem Rechenschritt und sage den nächsten Schritt voraus.
# [[Pivot-Suche]]: Markiere in einem Beispiel aus dem Video alle Pivot-Elemente.
# [[Rang bestimmen]]: Berechne den Rang eines Beispiels aus dem Video selbst.
# [[Vergleich]]: Vergleiche Deinen Rechenweg mit dem Weg im Video und erkläre einen Unterschied.
# [[Fehlerprüfung]]: Suche eine Stelle, an der leicht ein Rechenfehler entstehen kann.
# [[Eigene Matrix]]: Erfinde eine ähnliche Matrix und bestimme ihren Rang.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was beschreibt der Rang einer Matrix?'''
(Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten)
(!Die Summe aller Einträge)
(!Die Anzahl aller Nullen)
(!Die Größe des größten Eintrags)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches Verfahren wird häufig zur Rangberechnung genutzt?'''
(Das Gaußverfahren)
(!Der Dreisatz)
(!Die Prozentrechnung)
(!Der Satz des Pythagoras)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was wird nach dem Umformen in Zeilenstufenform gezählt?'''
(Die Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen)
(!Alle Einträge der Matrix)
(!Nur die negativen Zahlen)
(!Nur die Spalten mit Nullen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Ändert das Tauschen zweier Zeilen den Rang?'''
(Nein)
(!Ja, immer)
(!Nur bei quadratischen Matrizen)
(!Nur bei Nullmatrizen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen größten Rang kann eine Matrix mit drei Zeilen und fünf Spalten haben?'''
(Drei)
(!Fünf)
(!Acht)
(!Fünfzehn)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Rang hat eine Nullmatrix?'''
(Null)
(!Eins)
(!Zwei)
(!Der Rang ist nicht bestimmbar)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist ein Pivot-Element?'''
(Das führende von null verschiedene Element einer Zeile)
(!Der größte Eintrag der Matrix)
(!Jede Null in der Matrix)
(!Der letzte Eintrag jeder Zeile)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet voller Rang bei einer Matrix mit vier Zeilen und zwei Spalten?'''
(Der Rang ist zwei)
(!Der Rang ist vier)
(!Der Rang ist sechs)
(!Der Rang ist null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Rang hat eine Einheitsmatrix mit drei Zeilen und drei Spalten?'''
(Drei)
(!Null)
(!Eins)
(!Zwei)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Rang hat eine Matrix mit den Zeilen eins zwei und zwei vier?'''
(Eins)
(!Null)
(!Zwei)
(!Vier)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Rang || Anzahl unabhängiger Richtungen
|-
| Pivot || Führendes Element
|-
| Nullzeile || Trägt nicht zum Rang bei
|-
| Zeilenstufenform || Gestufte Matrix
|-
| Voller Rang || Maximal möglicher Rang
|-
| Zeilenumformung || Erhält den Rang
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Rangberechnung
|-
| '''Zeilen tauschen'''
| Reihenfolge ändern
|-
| '''Zeile skalieren'''
| Mit einer Zahl ungleich null multiplizieren
|-
| '''Zeile addieren'''
| Vielfaches einer anderen Zeile addieren
|-
| '''Pivot finden'''
| Führendes Element erkennen
|-
| '''Rang ablesen'''
| Nichtnullzeilen zählen

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Matrix || Wie heißt eine rechteckige Anordnung von Zahlen?
|-
| Pivot || Wie heißt das führende Element einer Stufenzeile?
|-
| Rang || Welche Zahl gibt die Anzahl unabhängiger Zeilen an?
|-
| Gauss || Nach welchem Mathematiker ist das Eliminationsverfahren benannt?
|-
| Nullzeile || Wie heißt eine Zeile, die nur Nullen enthält?
|-
| Stufenform || In welche Form wird eine Matrix zur Rangberechnung gebracht?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Rang+von+Matrizen+Berechnung </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Der Rang zählt unabhängige { Zeilen } oder Spalten.
Zur Berechnung nutzt man häufig das { Gaußverfahren }.
Ziel der Umformung ist eine { Zeilenstufenform }.
Eine Zeile, die nur Nullen enthält, heißt { Nullzeile }.
Für den Rang werden die Zeilen ohne reine { Nullen } gezählt.
Der Rang ist nie größer als die kleinere Zahl von Zeilen und { Spalten }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Begriffe erklären]]: Erkläre Rang, Pivot und Nullzeile mit eigenen Worten.
# [[Rang ablesen]]: Zeichne drei Matrizen in Zeilenstufenform und lies ihren Rang ab.
# [[Videokarte]]: Erstelle eine kleine Lernkarte mit den wichtigsten Aussagen aus dem Video.
# [[Fehler finden]]: Erfinde eine falsche Rangberechnung und markiere den Fehler.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Matrix umformen]]: Bringe eine selbst gewählte Matrix in Zeilenstufenform.
# [[Rechenplakat]]: Gestalte ein Plakat mit den vier Schritten der Rangberechnung.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein einminütiges Video zur Rangberechnung.
# [[Partneraufgabe]]: Tausche eine Matrix mit einer anderen Person und kontrolliert eure Lösungen.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Rang vergleichen]]: Finde zwei verschiedene Matrizen mit demselben Rang und erkläre die Gemeinsamkeit.
# [[Parameter untersuchen]]: Untersuche, für welche Werte eines Parameters sich der Rang einer Matrix ändert.
# [[Lineares Gleichungssystem]]: Erkläre den Zusammenhang zwischen Rang und Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems.
# [[Digitales Experiment]]: Prüfe mehrere Matrizen mit einer Mathematiksoftware und vergleiche die Ergebnisse mit Deiner Rechnung.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Verfahrenswahl]]: Begründe, warum die Zeilenstufenform das Ablesen des Rangs erleichtert.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person zählt auch die Nullzeilen mit. Erkläre den Fehler und verbessere das Ergebnis.
# [[Grenzen des Rangs]]: Entscheide ohne Rechnung, welche Rangwerte bei einer Matrix mit zwei Zeilen und fünf Spalten möglich sind, und begründe.
# [[Abhängigkeit erkennen]]: Erkläre, warum zwei proportionale Zeilen nicht zwei unabhängige Informationen liefern.
# [[Transfer auf Gleichungssysteme]]: Beschreibe, was ein kleiner Rang über die Unabhängigkeit der Gleichungen eines linearen Gleichungssystems aussagt.
# [[Strategievergleich]]: Vergleiche das Zählen der Pivot-Elemente mit dem Zählen der Nichtnullzeilen.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# den [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] in eigenen Worten erklären kannst,
# erlaubte [[Elementare Zeilenumformung|Zeilenumformungen]] sicher nutzt,
# eine Matrix in [[Zeilenstufenform]] bringst,
# [[Pivot-Element|Pivot-Elemente]] und [[Nullzeile|Nullzeilen]] erkennst,
# den Rang richtig abliest und begründest,
# den Rechenweg verständlich dokumentierst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rang_(Lineare_Algebra) </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Rang von Matrizen - Berechnung]]'''
# [[Matrix]]
# [[Rang (Lineare Algebra)|Rang einer Matrix]]
# [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußverfahren]]
# [[Zeilenstufenform]]
# [[Pivot-Element]]
# [[Lineare Unabhängigkeit]]
# [[Lineares Gleichungssystem]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Matrizenrechnung]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Rang von Matrizen - Berechnung - Versionsgeschichte

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