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2026-07-13T21:38:17Z

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{{T}}

{{BR}}
= Quadratische Gleichungen und Parabeln umformen =

{{BR}}
= Einleitung =

Eine [[quadratische Funktion]] hat als Graphen eine [[Parabel]]. Eine [[quadratische Gleichung]] entsteht oft, wenn Du die Funktion gleich null setzt. Durch Umformen wechselst Du zwischen Darstellungsformen oder bereitest das Lösen vor.

'''Fach:''' [[Mathematik]], '''Klassen:''' 8–12.

[[Datei:Quadratic-function.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernziele ==

Du kannst die [[Normalform]], die [[Scheitelpunktform]] und die [[Produktform]] erkennen, ineinander umformen und zum Lösen nutzen. Du kannst außerdem [[Scheitelpunkt]] und [[Nullstelle|Nullstellen]] am Term oder am Graphen deuten.

{{BR}}
= Grundwissen =

{{BR}}
== Quadratische Funktion und Parabel ==

Die allgemeine Form lautet:

<math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\neq 0</math>.

Der Wert von <math>a</math> bestimmt Öffnung und Breite. Bei <math>a>0</math> ist die Parabel nach oben geöffnet. Bei <math>a<0</math> ist sie nach unten geöffnet.

[[Datei:Parabolic function graph upwards.PNG|420px|rahmenlos|center]]
[[Datei:Parabolic function graph downwards.PNG|420px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Drei wichtige Formen ==

# [[Normalform]]: <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>. Du erkennst den y-Achsenabschnitt <math>c</math>.
# [[Scheitelpunktform]]: <math>f(x)=a(x-d)^2+e</math>. Du erkennst den Scheitelpunkt <math>S(d|e)</math>.
# [[Produktform]]: <math>f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)</math>. Du erkennst die Nullstellen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.

[[Datei:Y=2(x-3)^2+4.svg|400px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Von der Scheitelpunktform zur Normalform ==

Multipliziere die Klammer mit einer [[binomische Formel|binomischen Formel]] aus.

<math>f(x)=(x-2)^2-3</math>

<math>f(x)=x^2-4x+4-3=x^2-4x+1</math>

{{BR}}
== Von der Normalform zur Scheitelpunktform ==

Nutze die [[quadratische Ergänzung]].

<math>f(x)=x^2-6x+5</math>

<math>f(x)=x^2-6x+9-9+5=(x-3)^2-4</math>

Der Scheitelpunkt ist <math>S(3|-4)</math>.

[[Datei:Polynomialdeg2.svg|430px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Gleichung lösen ==

Setze die Funktion gleich null. In der Scheitelpunktform kannst Du oft die Wurzel ziehen:

<math>(x-3)^2-4=0</math>

<math>(x-3)^2=4</math>

<math>x-3=\pm 2</math>

<math>x_1=1</math> und <math>x_2=5</math>.

In der Produktform gilt:

<math>(x-1)(x-5)=0</math>

Nach dem [[Satz vom Nullprodukt]] ist mindestens ein Faktor null.

[[Datei:Parabolic graph concav 2roots.PNG|500px|rahmenlos|center]]
[[Datei:Quadratic function graph key values.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Merksatz ==

'''Umformen''' verändert die Darstellung, aber nicht die Lösungsmenge. Bei einer [[Äquivalenzumformung]] führst Du auf beiden Seiten dieselbe erlaubte Rechenoperation aus.

{{BR}}
= Video und Aufgaben =

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=CW-LZyDyZI8 |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Ausgangsgleichung]]: Notiere die Gleichung, die im Video umgestellt wird.
# [[Rechenschritte]]: Stoppe nach jedem Schritt und schreibe ihn sauber auf.
# [[Äquivalenzumformung]]: Markiere, welche Operation auf beiden Seiten ausgeführt wird.
# [[Probe]]: Setze ein passendes Beispiel ein und prüfe das Ergebnis.
# [[Erklärung]]: Erkläre in drei Sätzen, warum eine äquivalente Umformung dieselbe Parabel beschreibt.

{{BR}}
== Weiteres freies Erklärvideo ==

[[Datei:Quadratische Funktionen und Normalparabel - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?'''
(Parabel)
(!Gerade)
(!Kreis)
(!Hyperbel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Bedingung gilt in f von x gleich ax Quadrat plus bx plus c?'''
(a ist nicht null)
(!b ist nicht null)
(!c ist nicht null)
(!x ist nicht null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Scheitelpunkt hat f von x gleich x minus 3 zum Quadrat minus 4?'''
(S bei 3 und minus 4)
(!S bei minus 3 und minus 4)
(!S bei 3 und 4)
(!S bei minus 4 und 3)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Normalform gehört zu x minus 2 zum Quadrat plus 1?'''
(x Quadrat minus 4x plus 5)
(!x Quadrat minus 2x plus 1)
(!x Quadrat plus 4x plus 5)
(!x Quadrat minus 4x plus 1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Produktform gehört zu x Quadrat minus 6x plus 5?'''
(x minus 1 mal x minus 5)
(!x plus 1 mal x plus 5)
(!x minus 2 mal x minus 3)
(!x plus 1 mal x minus 5)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Lösungen hat x Quadrat minus 6x plus 5 gleich null?'''
(1 und 5)
(!minus 1 und minus 5)
(!2 und 3)
(!0 und 6)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt eine Nullstelle am Graphen?'''
(Einen Schnittpunkt mit der x-Achse)
(!Den Schnittpunkt mit der y-Achse)
(!Immer den Scheitelpunkt)
(!Die Breite der Parabel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie ist eine Parabel bei negativem a geöffnet?'''
(Nach unten)
(!Nach oben)
(!Nach rechts)
(!Nach links)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei einer Äquivalenzumformung wichtig?'''
(Auf beiden Seiten dieselbe erlaubte Operation)
(!Nur die linke Seite verändern)
(!Nur die rechte Seite verändern)
(!Alle Vorzeichen löschen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele reelle Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben?'''
(Null eine oder zwei)
(!Immer genau eine)
(!Immer genau zwei)
(!Beliebig viele)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Normalform || f von x gleich ax Quadrat plus bx plus c
|-
| Scheitelpunktform || f von x gleich a mal x minus d zum Quadrat plus e
|-
| Produktform || f von x gleich a mal x minus x eins mal x minus x zwei
|-
| Nullstellen || x-Werte mit Funktionswert null
|-
| Quadratische Ergänzung || Ergänzen zu einem vollständigen Quadrat
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Ausmultiplizieren'''
| Scheitelpunktform in Normalform
|-
| '''Quadratische Ergänzung'''
| Normalform in Scheitelpunktform
|-
| '''Nullprodukt'''
| Produktform lösen
|-
| '''Wurzelziehen'''
| Gleichung mit einem Quadrat lösen
|-
| '''Graphisches Lösen'''
| Schnittpunkte mit der x-Achse finden

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Parabel || Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
|-
| Scheitelpunkt || Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel?
|-
| Normalform || Wie heißt die Form ax Quadrat plus bx plus c?
|-
| Nullstelle || Wie heißt ein x-Wert mit Funktionswert null?
|-
| Koeffizient || Wie heißt eine Zahl vor einer Variablen?
|-
| Faktorisieren || Wie nennt man das Zerlegen eines Terms in Faktoren?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Quadratische+Gleichungen+und+Parabeln+umformen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine { Parabel }.
Der Koeffizient a darf nicht { null } sein.
In der { Scheitelpunktform } kannst Du den Scheitelpunkt direkt ablesen.
Beim Wechsel zur Normalform wird die Klammer { ausmultipliziert }.
Für den Rückweg nutzt Du die quadratische { Ergänzung }.
Die Lösungen einer quadratischen Gleichung entsprechen den { Nullstellen } der Funktion.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Begriffskartei]]: Erstelle Karten zu Parabel, Scheitelpunkt, Normalform, Produktform, Nullstelle und quadratischer Ergänzung.
# [[Bildanalyse]]: Markiere in einem Parabelbild Scheitelpunkt, Symmetrieachse und Nullstellen.
# [[Video-Notizen]]: Fasse die Rechenschritte des Videos in höchstens sechs Zeilen zusammen.
# [[Wertetabelle]]: Erstelle eine Wertetabelle für <math>f(x)=x^2-4</math> und zeichne den Graphen.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Umformung]]: Wandle drei Scheitelpunktformen in Normalformen um.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde eine falsche Umformung und erkläre den Fehler.
# [[Graphenvergleich]]: Vergleiche <math>x^2</math>, <math>2x^2</math> und <math>-x^2</math>.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein 90-sekündiges Video zur quadratischen Ergänzung.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Modellierung]]: Beschreibe einen Brückenbogen durch eine passende Parabel.
# [[Beweis]]: Zeige durch Ausmultiplizieren, dass zwei gegebene Formen gleichwertig sind.
# [[Parameter]]: Untersuche systematisch die Wirkung von <math>a</math>, <math>d</math> und <math>e</math>.
# [[Unterrichtsmaterial]]: Erstelle ein Arbeitsblatt mit Lösungen zu allen drei Formen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Darstellungsform wählen]]: Entscheide für drei Probleme, welche Form am besten passt, und begründe Deine Wahl.
# [[Vom Graphen zum Term]]: Bestimme aus einem gezeichneten Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt eine mögliche Funktionsgleichung.
# [[Fehler bewerten]]: Prüfe eine fremde Rechnung, finde den ersten falschen Schritt und verbessere den Lösungsweg.
# [[Sachproblem übertragen]]: Modelliere die Flugbahn eines Balls mit einer Parabel und deute Scheitelpunkt und Nullstellen.
# [[Methoden vergleichen]]: Löse dieselbe Gleichung durch Wurzelziehen und Faktorisieren. Vergleiche Aufwand und Übersicht.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du:
# eine quadratische Funktion in verschiedenen Formen darstellen,
# Scheitelpunkt und Nullstellen deuten,
# eine quadratische Gleichung nachvollziehbar lösen,
# Äquivalenzumformungen begründen,
# Dein Ergebnis durch Probe oder Graph prüfen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Funktion </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Quadratische Gleichungen und Parabeln umformen]]'''
# [[Quadratische Funktion]]
# [[Quadratische Gleichung]]
# [[Parabel]]
# [[Normalform]]
# [[Scheitelpunktform]]
# [[Produktform]]
# [[Quadratische Ergänzung]]
# [[Nullstelle]]
# [[Satz vom Nullprodukt]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Quadratische Funktionen]]
[[Kategorie:Klasse 8]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11-12]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Quadratische Gleichungen und Parabeln umformen - Versionsgeschichte

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