Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-14T20:46:57Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}

{{BR}}
= Quadratische Funktionen · Allgemeine Form und Scheitelpunktform =

{{BR}}
= Einleitung =

Eine [[quadratische Funktion]] hat als Graphen eine [[Parabel]]. Dieselbe Funktion kann verschieden geschrieben werden. In diesem Kurs lernst Du die '''allgemeine Form''' und die '''Scheitelpunktform''' kennen. Du wandelst beide Formen ineinander um.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=TMcA-NMGA7c |500|center}}

[https://www.youtube.com/@planetschule/search?query=016%20Quadratische%20Funktionen%20%C2%B7%20Allgemeine%20Form%20und%20Scheitelpunktform Video auf dem Planet-Schule-Kanal suchen]

[[Datei:Allgemeine Form und Scheitelpunktform quadratischer Funktionen - kolleg24 Mathematik.webm|600px|rahmenlos|center]]

''Freies Erklärvideo von ARD kolleg24, Lizenz CC BY-SA 4.0.''

{{BR}}
= Lernziele =

Du kannst nach diesem aiMOOC:

# [[Quadratische Funktion|quadratische Funktionen]] erkennen.
# die allgemeine Form und die Scheitelpunktform unterscheiden.
# den [[Scheitelpunkt]] und den y-Achsenabschnitt ablesen.
# beide Formen ineinander umwandeln.
# eine Umformung durch Einsetzen oder Ausmultiplizieren prüfen.

{{BR}}
= Lernbereiche =

# [[Mathematik]]
# [[Analysis]]
# [[Quadratische Funktion]]
# [[Parabel]]
# [[Scheitelpunktform]]
# [[Quadratische Ergänzung]]

{{BR}}
= Grundwissen =

{{BR}}
== Die Parabel ==

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt [[Parabel]]. Die einfachste Parabel gehört zu <math>f(x)=x^2</math>.

[[Datei:QuadratischeFunktion.jpg|450px|rahmenlos|center]]

Der Wert <math>a</math> bestimmt die Öffnung:

# <math>a>0</math>: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
# <math>a<0</math>: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
# Ein großer Betrag von <math>a</math> macht die Parabel schmaler.

{{BR}}
== Allgemeine Form ==

Die allgemeine Form lautet:

<math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\neq 0</math>

Der Wert <math>c</math> ist der y-Achsenabschnitt, denn <math>f(0)=c</math>.

{{BR}}
== Scheitelpunktform ==

Die Scheitelpunktform lautet:

<math>f(x)=a(x-x_S)^2+y_S</math>

Der [[Scheitelpunkt]] ist direkt ablesbar:

<math>S(x_S|y_S)</math>

[[Datei:Scheitelpunkt.svg|450px|rahmenlos|center]]

Achte auf das Vorzeichen in der Klammer:

# <math>(x-3)^2</math> bedeutet <math>x_S=3</math>.
# <math>(x+3)^2</math> bedeutet <math>x_S=-3</math>.

{{BR}}
== Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form ==

Du löst die Klammer mit einer [[Binomische Formel|binomischen Formel]] auf und fasst zusammen.

<math>f(x)=2(x-3)^2+4</math>

<math>f(x)=2(x^2-6x+9)+4</math>

<math>f(x)=2x^2-12x+22</math>

[[Datei:Y=2(x-3)^2+4.svg|400px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform ==

Du nutzt die [[Quadratische Ergänzung|quadratische Ergänzung]].

<math>f(x)=x^2-6x+4</math>

<math>f(x)=x^2-6x+9-9+4</math>

<math>f(x)=(x-3)^2-5</math>

Damit ist der Scheitelpunkt <math>S(3|-5)</math>.

Eine zweite Möglichkeit ist:

<math>x_S=-\frac{b}{2a}</math>

Danach berechnest Du <math>y_S=f(x_S)</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=ydQ3swR2iPk |500|center}}

{{BR}}
== Merktabelle ==

{| class="wikitable"
! Form
! Funktionsterm
! Gut ablesbar
|-
| '''Allgemeine Form'''
| <math>ax^2+bx+c</math>
| y-Achsenabschnitt <math>c</math>
|-
| '''Scheitelpunktform'''
| <math>a(x-x_S)^2+y_S</math>
| Scheitelpunkt <math>S(x_S|y_S)</math>
|}

{{BR}}
= Aufgaben zum Video =

Sieh das Planet-Schule-Video an und bearbeite diese Aufgaben:

# [[Darstellungsformen]]: Schreibe die allgemeine Form und die Scheitelpunktform aus dem Video ab.
# [[Informationen ablesen]]: Erkläre, welche Information Du aus jeder Form direkt ablesen kannst.
# [[Ausmultiplizieren]]: Wandle <math>f(x)=(x-2)^2-1</math> in die allgemeine Form um.
# [[Quadratische Ergänzung]]: Wandle <math>f(x)=x^2-4x+3</math> in die Scheitelpunktform um.
# [[Vorzeichenregel]]: Erkläre, warum <math>(x+3)^2</math> zum Scheitelwert <math>x_S=-3</math> gehört.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}
'''Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?'''
(Parabel)
(!Gerade)
(!Kreis)
(!Hyperbel)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Gleichung zeigt die allgemeine Form?'''
(f von x gleich a x Quadrat plus b x plus c)
(!f von x gleich m x plus n)
(!f von x gleich a geteilt durch x)
(!f von x gleich x hoch drei)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was zeigt der Wert c in der allgemeinen Form direkt?'''
(Den y-Achsenabschnitt)
(!Den Scheitelpunkt)
(!Die Nullstellen)
(!Die Symmetrieachse)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Form zeigt den Scheitelpunkt direkt?'''
(Die Scheitelpunktform)
(!Die allgemeine Form)
(!Die lineare Form)
(!Die Bruchform)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welchen Scheitelpunkt hat f von x gleich 2 mal x minus 3 zum Quadrat plus 4?'''
(S bei x gleich 3 und y gleich 4)
(!S bei x gleich minus 3 und y gleich 4)
(!S bei x gleich 2 und y gleich 4)
(!S bei x gleich 3 und y gleich minus 4)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie ist eine Parabel bei negativem a geöffnet?'''
(Nach unten)
(!Nach oben)
(!Nach rechts)
(!Nach links)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie berechnet man die x-Koordinate des Scheitelpunkts aus der allgemeinen Form?'''
(Minus b geteilt durch 2a)
(!b geteilt durch a)
(!c geteilt durch 2)
(!a plus b plus c)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Methode führt von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform?'''
(Quadratische Ergänzung)
(!Polynomdivision)
(!Dreisatz)
(!Kreuzmultiplikation)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welchen Scheitelpunkt hat f von x gleich x Quadrat minus 6x plus 4?'''
(S bei x gleich 3 und y gleich minus 5)
(!S bei x gleich minus 3 und y gleich 5)
(!S bei x gleich 6 und y gleich 4)
(!S bei x gleich 3 und y gleich 5)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was entsteht aus x minus 2 zum Quadrat minus 1 nach dem Ausmultiplizieren?'''
(x Quadrat minus 4x plus 3)
(!x Quadrat minus 2x minus 1)
(!x Quadrat plus 4x plus 3)
(!x Quadrat minus 4x minus 3)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Allgemeine Form || ax² plus bx plus c
|-
| Scheitelpunktform || a mal x minus xS zum Quadrat plus yS
|-
| Koeffizient c || y-Achsenabschnitt
|-
| Koeffizient a || Öffnung und Breite
|-
| Quadratische Ergänzung || Umformung zur Scheitelpunktform
|-
| Scheitelpunkt || Höchster oder tiefster Punkt
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">
{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Klammer ausmultiplizieren'''
| Scheitelpunktform zur allgemeinen Form
|-
| '''Quadratische Ergänzung'''
| Allgemeine Form zur Scheitelpunktform
|-
| '''Wert c ablesen'''
| y-Achsenabschnitt bestimmen
|-
| '''Werte xS und yS ablesen'''
| Scheitelpunkt bestimmen
|-
| '''Vorzeichen von a prüfen'''
| Öffnungsrichtung bestimmen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Parabel || Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
|-
| Scheitelpunkt || Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel?
|-
| Koeffizient || Wie nennt man eine Zahl vor einer Variablen?
|-
| Ergaenzung || Welches Wort ergänzt den Ausdruck quadratische ...?
|-
| Symmetrieachse || Welche senkrechte Linie verläuft durch den Scheitelpunkt?
|-
| Ausmultiplizieren || Welche Rechenhandlung löst eine quadratische Klammer auf?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Quadratische+Funktionen+Allgemeine+Form+Scheitelpunktform </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Der Graph einer quadratischen Funktion heißt { Parabel }.
In der allgemeinen Form gilt a ungleich { null }.
Der Wert { c } ist der y-Achsenabschnitt.
In der Scheitelpunktform kann der { Scheitelpunkt } direkt abgelesen werden.
Bei positivem a ist die Parabel nach { oben } geöffnet.
Von der Scheitelpunktform gelangst Du durch { Ausmultiplizieren } zur allgemeinen Form.
Von der allgemeinen Form gelangst Du mit der quadratischen { Ergänzung } zur Scheitelpunktform.
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts lautet minus b geteilt durch { 2a }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Formenkarte]]: Gestalte eine Karte mit beiden Funktionsformen und den ablesbaren Informationen.
# [[Parabel zeichnen]]: Zeichne <math>f(x)=(x-1)^2-2</math> und markiere den Scheitelpunkt.
# [[Parameter erklären]]: Erkläre die Aufgaben von <math>a</math> und <math>c</math> in einfachen Sätzen.
# [[Mini-Beispiel]]: Erfinde eine Scheitelpunktform mit dem Scheitelpunkt <math>S(2|3)</math>.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Video-Protokoll]]: Notiere drei wichtige Aussagen und ein Rechenbeispiel aus dem Video.
# [[Fehler finden]]: Erkläre den Fehler in <math>(x-4)^2=x^2-16</math> und verbessere ihn.
# [[Partnerquiz]]: Erstelle fünf kurze Fragen zu beiden Formen und tausche sie mit einer anderen Person.
# [[Funktionsvergleich]]: Vergleiche <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=2(x-3)^2+1</math>.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Funktionsrekonstruktion]]: Bestimme eine Parabel mit Scheitelpunkt <math>S(2|-1)</math>, die durch <math>P(3|1)</math> verläuft.
# [[Methodenvergleich]]: Bestimme den Scheitelpunkt von <math>f(x)=2x^2-8x+5</math> auf zwei verschiedenen Wegen.
# [[Sachmodell]]: Erfinde eine kurze Sachsituation, die durch eine nach unten geöffnete Parabel beschrieben wird.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein zweiminütiges Video zur Umwandlung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Passende Form wählen]]: Für das Zeichnen, den y-Achsenabschnitt und den Scheitelpunkt stehen verschiedene Ziele fest. Entscheide jeweils, welche Form günstiger ist, und begründe Deine Wahl.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person schreibt <math>x^2+6x+4=(x+3)^2+4</math>. Prüfe die Aussage, beschreibe den Denkfehler und korrigiere das Ergebnis.
# [[Funktion bestimmen]]: Eine Parabel hat den Scheitelpunkt <math>S(-1|2)</math> und geht durch <math>P(1|10)</math>. Bestimme zuerst die Scheitelpunktform und danach die allgemeine Form.
# [[Graphen vergleichen]]: Untersuche, wie sich die Graphen von <math>f(x)=2(x-1)^2-3</math> und <math>g(x)=2(x+2)^2+1</math> unterscheiden. Begründe ohne Wertetabelle.
# [[Transferaufgabe]]: Der höchste Punkt eines parabelförmigen Bogens liegt bei <math>S(0|6)</math>. Der Bogen geht durch <math>P(2|2)</math>. Stelle eine passende Funktion auf und erkläre die Bedeutung von <math>a</math>.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis ist wichtig, dass Du:

# beide Funktionsformen sicher erkennst.
# den Scheitelpunkt, den y-Achsenabschnitt und die Öffnung erklärst.
# die Scheitelpunktform ausmultiplizierst.
# die allgemeine Form durch quadratische Ergänzung umwandelst.
# Ergebnisse durch eine Probe kontrollierst.
# für eine Aufgabe die passende Darstellungsform auswählst und Deine Wahl begründest.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Funktion </iframe>

[https://www.planet-schule.de/schwerpunkt/analysis/016-quadratische-funktionen-allgemeine-form-scheitelpunktform-analysis-kolleg24-mathematik-100.html Planet Schule: Allgemeine Form und Scheitelpunktform]

[https://www.planet-schule.de/schwerpunkt/analysis/016-uebung-quadratische-funktionen-allgemeine-form-scheitelpunktform-analysis-aufgaben-kolleg24-mathematik-100.html Planet Schule: Übungen]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Allgemeine_Form_und_Scheitelpunktform_quadratischer_Funktionen_-_kolleg24_Mathematik.webm Freies Video auf Wikimedia Commons]

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Quadratische Funktionen · Allgemeine Form und Scheitelpunktform]]'''
# [[Quadratische Funktion]]
# [[Parabel]]
# [[Scheitelpunkt]]
# [[Scheitelpunktform]]
# [[Quadratische Ergänzung]]
# [[Binomische Formel]]
# [[Koordinatensystem]]
# [[Funktionsgraph]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Quadratische Funktionen]]
[[Kategorie:Klasse 8-13]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]
[[Kategorie:Sekundarstufe II]]
[[Kategorie:Planet Schule]]
[[Kategorie:Lernvideo]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Quadratische Funktionen · Allgemeine Form und Scheitelpunktform - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt