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2026-07-14T19:59:39Z

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{{T}}

{{BR}}
= Quadratische Ergänzung =

{{BR}}
= Einleitung =

Mit der '''quadratischen Ergänzung''' formst Du einen [[quadratischer Term|quadratischen Term]] in ein vollständiges [[Binomische Formel|Quadrat]] um. So kannst Du den [[Scheitelpunkt]] einer [[Parabel]] finden oder eine [[quadratische Gleichung]] lösen.

[[Datei:Completing the square.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Die Grundidee ==

Für einen Term der Form

<math>x^2+px+q</math>

halbierst Du den [[Koeffizient|Koeffizienten]] vor <math>x</math> und quadrierst das Ergebnis:

<math>\left(\frac{p}{2}\right)^2</math>

Dann addierst und subtrahierst Du diese Zahl. Der Wert des Terms bleibt gleich.

<math>x^2+px+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+q-\left(\frac{p}{2}\right)^2</math>

[[Datei:Completing the square with layers.png|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Einfaches Beispiel ==

<math>x^2+6x+5</math>

Die Hälfte von <math>6</math> ist <math>3</math>. Das Quadrat davon ist <math>9</math>.

<math>x^2+6x+5=x^2+6x+9-9+5</math>

<math>x^2+6x+5=(x+3)^2-4</math>

Die [[Scheitelpunktform]] lautet also <math>(x+3)^2-4</math>. Der Scheitelpunkt ist <math>S(-3|-4)</math>.

[[Datei:Completing the square.svg|350px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Falls vor x² eine andere Zahl steht ==

Bei <math>ax^2+bx+c</math> klammerst Du zuerst <math>a</math> aus den ersten beiden Termen aus.

Beispiel:

<math>2x^2+8x+3=2(x^2+4x)+3</math>

Danach ergänzt Du innerhalb der Klammer.

{{BR}}
== Video: 015 Quadratische Ergänzung ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=ydQ3swR2iPk |500|center}}

[[Datei:Quadratische Ergänzung - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center]]

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===

# [[Rechenweg notieren]]: Schreibe die Schritte der quadratischen Ergänzung aus dem Video in eigenen Worten auf.
# [[Pausenaufgabe]]: Stoppe das Video vor einer Umformung und rechne den nächsten Schritt selbst.
# [[Ergänzungszahl]]: Erkläre, wie die Ergänzungszahl aus dem Koeffizienten vor <math>x</math> entsteht.
# [[Scheitelpunktform]]: Suche im Video eine Umformung zur Scheitelpunktform und bestimme den Scheitelpunkt.
# [[Fehler erklären]]: Begründe, warum dieselbe Zahl addiert und wieder subtrahiert werden muss.

[[Datei:01 Quadratische Gleichung-5-3.svg|400px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Lernbereiche =

# [[Algebra]]: Terme umformen und binomische Formeln anwenden.
# [[Quadratische Funktionen]]: Normalform und Scheitelpunktform vergleichen.
# [[Quadratische Gleichungen]]: Gleichungen durch Umformen lösen.
# [[Funktionsgraphen]]: Scheitelpunkte erkennen und Parabeln zeichnen.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}
'''Was entsteht bei der quadratischen Ergänzung?'''
(Ein vollständiges Quadrat)
(!Ein linearer Term)
(!Ein Bruch ohne Variable)
(!Eine dritte Potenz)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was machst Du zuerst mit dem Koeffizienten vor x?'''
(Halbieren)
(!Verdoppeln)
(!Subtrahieren)
(!Wurzel ziehen)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Zahl ergänzt Du bei x² plus 8x?'''
(16)
(!4)
(!8)
(!64)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Umformung ist richtig?'''
(x² plus 6x wird mit 9 ergänzt)
(!x² plus 6x wird mit 3 ergänzt)
(!x² plus 6x wird mit 6 ergänzt)
(!x² plus 6x wird mit 36 ergänzt)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Scheitelpunktform gehört zu x² plus 6x plus 5?'''
(x plus 3 zum Quadrat minus 4)
(!x plus 6 zum Quadrat plus 5)
(!x plus 3 zum Quadrat plus 5)
(!x minus 3 zum Quadrat minus 4)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welcher Scheitelpunkt gehört zu x minus 2 zum Quadrat plus 1?'''
(S bei 2 und 1)
(!S bei minus 2 und 1)
(!S bei 1 und 2)
(!S bei 2 und minus 1)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Warum wird die Ergänzungszahl auch wieder subtrahiert?'''
(Damit der Termwert gleich bleibt)
(!Damit x verschwindet)
(!Damit eine Gerade entsteht)
(!Damit der Term größer wird)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was ist bei 3x² plus 12x zuerst sinnvoll?'''
(Die 3 ausklammern)
(!Die 12 quadrieren)
(!Durch 12 teilen)
(!Die Variable entfernen)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wofür kann die quadratische Ergänzung genutzt werden?'''
(Zum Bestimmen des Scheitelpunkts)
(!Zum Zeichnen eines Kreises ohne Rechnung)
(!Zum Addieren von Brüchen)
(!Zum Kürzen jeder Gleichung)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Formel hilft beim Zusammenfassen?'''
(Die erste oder zweite binomische Formel)
(!Der Satz des Pythagoras)
(!Die Prozentformel)
(!Die Zinsformel)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Normalform || x² plus px plus q
|-
| Scheitelpunktform || Klammerquadrat plus Verschiebung
|-
| Halber Koeffizient || p geteilt durch zwei
|-
| Ergänzungszahl || Quadrat der Hälfte
|-
| Scheitelpunkt || Tiefster oder höchster Punkt
|-
| Ausklammern || Vorbereitung bei a ungleich eins
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">
{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Halbieren'''
| Koeffizienten vor x bearbeiten
|-
| '''Quadrieren'''
| Ergänzungszahl bilden
|-
| '''Addieren und subtrahieren'''
| Termwert erhalten
|-
| '''Binomische Formel'''
| Quadrat zusammenfassen
|-
| '''Scheitelpunkt ablesen'''
| Scheitelpunktform nutzen
|}
{{E}}
<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Binom || Ausdruck mit zwei Gliedern
|-
| Scheitelpunkt || Höchster oder tiefster Punkt einer Parabel
|-
| Normalform || Form x² plus px plus q
|-
| Parabel || Graph einer quadratischen Funktion
|-
| Wurzel || Umkehrung des Quadrierens
|-
| Koeffizient || Zahl vor einer Variablen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Quadratische+Ergänzung </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die quadratische Ergänzung erzeugt ein vollständiges { Quadrat }. Zuerst wird der Koeffizient vor x { halbiert }. Danach wird das Ergebnis { quadriert }. Die Ergänzungszahl wird addiert und wieder { subtrahiert }. Aus der Scheitelpunktform kann der { Scheitelpunkt } abgelesen werden.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Beispiel markieren]]: Markiere in <math>x^2+10x</math> den Koeffizienten, seine Hälfte und die Ergänzungszahl.
# [[Rechenkarte]]: Gestalte eine kleine Karte mit den drei wichtigsten Schritten.
# [[Parabel zeichnen]]: Zeichne die Funktion <math>f(x)=(x-1)^2-2</math> und markiere den Scheitelpunkt.
# [[Video-Satz]]: Formuliere einen Merksatz zum Planet-Schule-Video.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Term umformen]]: Forme <math>x^2+8x+3</math> in die Scheitelpunktform um.
# [[Fehler finden]]: Erkläre den Fehler in <math>x^2+4x=(x+2)^2</math>.
# [[Erklärbild]]: Zeichne ein Flächenmodell zur quadratischen Ergänzung.
# [[Partnererklärung]]: Erkläre einer anderen Person, warum die Ergänzungszahl zweimal vorkommt.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Faktor ausklammern]]: Forme <math>3x^2+12x-1</math> in die Scheitelpunktform um.
# [[Gleichung lösen]]: Löse <math>x^2+6x+5=0</math> nur mit quadratischer Ergänzung.
# [[Vergleich der Verfahren]]: Vergleiche quadratische Ergänzung und [[p-q-Formel]] an einem Beispiel.
# [[Anwendungsproblem]]: Erfinde eine quadratische Funktion aus einer Sachsituation und bestimme ihren Extrempunkt.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transfer auf Funktionen]]: Eine Parabel hat die Gleichung <math>f(x)=x^2-4x+7</math>. Forme sie um und erkläre, wie sich ihre Lage aus der Scheitelpunktform ergibt.
# [[Begründung]]: Erkläre ohne bloßes Nachrechnen, warum <math>x^2+10x+25</math> ein vollständiges Quadrat ist.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person ergänzt bei <math>x^2-6x</math> die Zahl <math>-9</math>. Untersuche den Fehler und verbessere den Rechenweg.
# [[Methodenwahl]]: Entscheide bei drei selbst gewählten quadratischen Gleichungen, ob quadratische Ergänzung, Faktorisieren oder eine Lösungsformel besonders günstig ist.
# [[Geometrische Deutung]]: Nutze ein Flächenbild, um die Gleichung <math>(x+3)^2=x^2+6x+9</math> zu erklären.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du
# einen quadratischen Term sicher in die [[Scheitelpunktform]] umformen kannst,
# die Ergänzungszahl richtig bestimmst,
# einen [[Scheitelpunkt]] aus der Scheitelpunktform abliest,
# eine [[quadratische Gleichung]] durch quadratische Ergänzung löst,
# Deinen Rechenweg verständlich begründest.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Ergänzung </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Quadratische Ergänzung]]'''
# [[Quadratischer Term]]
# [[Quadratische Funktion]]
# [[Quadratische Gleichung]]
# [[Scheitelpunktform]]
# [[Normalform]]
# [[Binomische Formeln]]
# [[Parabel]]
# [[p-q-Formel]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Quadratische Funktionen]]
[[Kategorie:Quadratische Gleichungen]]
[[Kategorie:Klasse 8-13]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]
[[Kategorie:Sekundarstufe II]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Quadratische Ergänzung - Versionsgeschichte

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