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2026-07-27T15:06:56Z

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= Proportionalität und physikalische Formeln - Physik =

{{BR}}
= Einleitung =

In der [[Physik]] beschreiben Formeln Zusammenhänge zwischen messbaren Größen. Häufig gilt dabei: Ändert sich eine Größe, ändert sich eine andere nach einem festen Muster. Solche Zusammenhänge heißen [[Proportionalität|proportional]] oder [[Antiproportionalität|umgekehrt proportional]].

Du lernst, Proportionalitäten in Texten, Tabellen, Diagrammen und Formeln zu erkennen. Außerdem übst Du, physikalische Formeln sicher zu lesen, umzustellen und mit passenden [[Einheit|Einheiten]] zu verwenden.

[[Datei:Prima umernost.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=b7UNoHZeFu4 |500|center}}

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach der Bearbeitung kannst Du direkte und umgekehrte Proportionalität unterscheiden, Proportionalitätsfaktoren bestimmen, Formeln umstellen, Einheiten prüfen und einfache Messreihen auswerten.

{{BR}}
= Grundlagen =

{{BR}}
== Physikalische Größen und Formeln ==

Eine [[Physikalische Größe|physikalische Größe]] besteht aus einem Zahlenwert und einer Einheit. Beispiele sind die Strecke <math>s</math> in Metern, die Zeit <math>t</math> in Sekunden und die Geschwindigkeit <math>v</math> in Metern pro Sekunde.

Eine physikalische Formel verbindet Größen miteinander. In

<math>s=v\cdot t</math>

steht <math>s</math> für die Strecke, <math>v</math> für die Geschwindigkeit und <math>t</math> für die Zeit. Die Formel gilt für eine [[Gleichförmige Bewegung|gleichförmige Bewegung]] mit konstanter Geschwindigkeit.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=ccHXqMKY_yQ |500|center}}

{{BR}}
== Direkte Proportionalität ==

Zwei Größen <math>x</math> und <math>y</math> sind direkt proportional, wenn

<math>y=k\cdot x</math>

mit einem konstanten Proportionalitätsfaktor <math>k</math> gilt. Der Quotient bleibt konstant:

<math>k=\frac{y}{x}</math>

Wird <math>x</math> verdoppelt, verdoppelt sich auch <math>y</math>. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung. Eine beliebige Gerade <math>y=m\cdot x+b</math> ist nur dann proportional, wenn <math>b=0</math> ist.

[[Datei:Diagram of gradient of linear function graph.svg|400px|rahmenlos|center]]

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== Umgekehrte Proportionalität ==

Zwei Größen sind umgekehrt proportional, wenn

<math>y=\frac{k}{x}</math>

gilt. Dann bleibt das Produkt konstant:

<math>x\cdot y=k</math>

Wird <math>x</math> verdoppelt, halbiert sich <math>y</math>. Der Graph ist eine [[Hyperbel]].

[[Datei:Inverse proportionality function plot.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=h2DHfsQpssc |500|center}}

{{BR}}
== Erkennen in Messwerten ==

Bei einer direkten Proportionalität sind die Quotienten der zusammengehörigen Werte gleich oder bei realen Messungen annähernd gleich. Bei einer umgekehrten Proportionalität sind die Produkte gleich oder annähernd gleich. Kleine Abweichungen können durch [[Messunsicherheit|Messunsicherheiten]] entstehen.

{| class="wikitable" style="margin:auto"
! Zusammenhang
! Prüfung
! Graph
|-
| direkt proportional
| <math>\frac{y}{x}=\text{konstant}</math>
| Ursprungsgerade
|-
| umgekehrt proportional
| <math>x\cdot y=\text{konstant}</math>
| Hyperbel
|-
| nur linear
| <math>y=m\cdot x+b</math> mit <math>b\neq 0</math>
| Gerade ohne Ursprung
|}

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=7rklAhI4sbI |500|center}}

{{BR}}
= Proportionalität in physikalischen Formeln =

{{BR}}
== Gleichförmige Bewegung ==

Bei konstanter Geschwindigkeit gilt

<math>s=v\cdot t</math>

Damit ist die Strecke direkt proportional zur Zeit: <math>s\propto t</math>. Der Proportionalitätsfaktor ist die Geschwindigkeit <math>v</math>.

Beispiel: Für <math>v=5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> und <math>t=4\,\mathrm{s}</math> ergibt sich <math>s=20\,\mathrm{m}</math>.

{{BR}}
== Masse, Volumen und Dichte ==

Für einen homogenen Stoff gilt

<math>m=\rho\cdot V</math>

Bei konstanter [[Dichte]] <math>\rho</math> ist die Masse <math>m</math> direkt proportional zum Volumen <math>V</math>. Der Proportionalitätsfaktor ist die Dichte.

Beispiel: Verdoppelt sich das Volumen desselben Stoffes, verdoppelt sich seine Masse.

{{BR}}
== Kraft und Beschleunigung ==

Das zweite [[Newtonsche Gesetze|newtonsche Gesetz]] lautet

<math>F=m\cdot a</math>

Bei konstanter Masse ist die Kraft direkt proportional zur Beschleunigung: <math>F\propto a</math>. Bei konstanter Kraft ist die Beschleunigung umgekehrt proportional zur Masse: <math>a\propto \frac{1}{m}</math>.

{{BR}}
== Hookesches Gesetz ==

Im elastischen Bereich einer Feder gilt

<math>F=D\cdot \Delta l</math>

Die Kraft <math>F</math> ist direkt proportional zur Längenänderung <math>\Delta l</math>. Der Proportionalitätsfaktor <math>D</math> heißt [[Federkonstante]]. Außerhalb des elastischen Bereichs muss dieser Zusammenhang nicht mehr gelten.

[[Datei:Hookes-law-springs.png|450px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=VLKQJbrdvNI |500|center}}

{{BR}}
== Ohmsches Gesetz ==

Für einen ohmschen Widerstand bei gleichbleibenden Bedingungen gilt

<math>U=R\cdot I</math>

Die Spannung <math>U</math> ist direkt proportional zur Stromstärke <math>I</math>. Der Proportionalitätsfaktor ist der elektrische Widerstand <math>R</math>. Erwärmt sich ein Leiter stark, kann sich <math>R</math> ändern.

[[Datei:Ohmic resistance.svg|450px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Ohm's-law-triangle.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Boyle-Mariotte-Gesetz ==

Für eine feste Gasmenge bei konstanter Temperatur gilt näherungsweise

<math>p\cdot V=\text{konstant}</math>

Druck <math>p</math> und Volumen <math>V</math> sind umgekehrt proportional. Wird das Volumen halbiert, verdoppelt sich der Druck.

[[Datei:Boyles Law animated.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Gravitationsgesetz ==

Zwischen zwei punktförmig gedachten Massen gilt

<math>F=G\cdot \frac{m_1m_2}{r^2}</math>

Die Gravitationskraft ist direkt proportional zu jeder Masse und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes. Verdoppelt sich <math>r</math>, sinkt die Kraft auf ein Viertel.

[[Datei:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Formeln sicher verwenden =

{{BR}}
== Formel umstellen ==

Beim Umstellen führst Du auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation aus.

Aus <math>s=v\cdot t</math> folgt durch Division durch <math>t</math>:

<math>v=\frac{s}{t}</math>

Durch Division durch <math>v</math> erhältst Du:

<math>t=\frac{s}{v}</math>

Ein Formeldreieck kann als Merkhilfe dienen, ersetzt aber nicht das Verständnis der Rechenoperationen.

{{BR}}
== Einheiten prüfen ==

Eine Rechnung ist nur sinnvoll, wenn die Einheiten zusammenpassen. Für die Geschwindigkeit gilt zum Beispiel:

<math>\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}</math>

Die Einheitenseite bestätigt damit <math>s=v\cdot t</math>. Diese Prüfung heißt einfache [[Dimensionsanalyse|Dimensions- oder Einheitenanalyse]].

{{BR}}
== Rechenweg in vier Schritten ==

# [[Gegeben und gesucht]]: Notiere bekannte Größen mit Einheiten und markiere die gesuchte Größe.
# [[Formel auswählen]]: Wähle eine Formel, die die bekannten und die gesuchte Größe enthält.
# [[Formel umstellen]]: Stelle zuerst symbolisch nach der gesuchten Größe um.
# [[Einsetzen und prüfen]]: Setze Werte mit Einheiten ein und kontrolliere Größenordnung sowie Einheit.

{{BR}}
== Typische Fehler ==

# [[Linearität und Proportionalität]]: Nicht jede Gerade beschreibt eine Proportionalität; sie muss durch den Ursprung gehen.
# [[Konstante Bedingungen]]: Aussagen wie <math>U\propto I</math> gelten nur, wenn der Widerstand konstant bleibt.
# [[Einheiten]]: Zentimeter, Meter, Minuten und Sekunden dürfen nicht ungeprüft gemischt werden.
# [[Messwerte]]: Reale Werte sind wegen Messunsicherheiten selten vollkommen proportional.
# [[Formelzeichen]]: Dasselbe Zeichen kann je nach Kontext eine andere Größe bedeuten; beachte immer die Definition.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Woran erkennst Du eine direkte Proportionalität im Diagramm?'''
(Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung)
(!Der Graph ist eine beliebige Gerade)
(!Der Graph ist immer eine Parabel)
(!Der Graph schneidet nie eine Achse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Größe bleibt bei direkter Proportionalität von y zu x konstant?'''
(Der Quotient y durch x)
(!Das Produkt x mal y)
(!Die Summe x plus y)
(!Die Differenz y minus x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Größe bleibt bei umgekehrter Proportionalität konstant?'''
(Das Produkt der beiden Größen)
(!Der Quotient der beiden Größen)
(!Die Summe der beiden Größen)
(!Jede einzelne Größe)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht bei y gleich k mal x mit y, wenn x verdoppelt wird?'''
(y verdoppelt sich)
(!y halbiert sich)
(!y bleibt unverändert)
(!y wird null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage folgt bei konstanter Geschwindigkeit aus s gleich v mal t?'''
(Die Strecke ist proportional zur Zeit)
(!Die Zeit ist unabhängig von der Strecke)
(!Die Strecke ist umgekehrt proportional zur Zeit)
(!Die Geschwindigkeit muss zunehmen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist in F gleich D mal Delta l der Proportionalitätsfaktor?'''
(Die Federkonstante D)
(!Die Kraft F)
(!Die Längenänderung Delta l)
(!Die Zeit t)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann beschreibt U gleich R mal I eine direkte Proportionalität zwischen U und I?'''
(Wenn R konstant bleibt)
(!Wenn U immer null ist)
(!Wenn I keine Einheit hat)
(!Wenn R ständig verändert wird)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie ändert sich bei konstantem p mal V das Volumen, wenn sich der Druck verdoppelt?'''
(Das Volumen halbiert sich)
(!Das Volumen verdoppelt sich)
(!Das Volumen vervierfacht sich)
(!Das Volumen bleibt gleich)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Umstellung von s gleich v mal t ist richtig?'''
(v gleich s durch t)
(!v gleich s mal t)
(!v gleich t durch s)
(!v gleich s plus t)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zu Messwerten ist richtig?'''
(Kleine Abweichungen können durch Messunsicherheiten entstehen)
(!Messwerte müssen immer exakt auf einer Geraden liegen)
(!Einheiten spielen bei Messwerten keine Rolle)
(!Jede Messreihe ist proportional)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Direkte Proportionalität || Konstanter Quotient
|-
| Umgekehrte Proportionalität || Konstantes Produkt
|-
| Ursprungsgerade || Graph von y gleich k mal x
|-
| Hyperbel || Graph von y gleich k durch x
|-
| Geschwindigkeit || Faktor zwischen Strecke und Zeit
|-
| Federkonstante || Faktor zwischen Kraft und Dehnung
|-
| Widerstand || Faktor zwischen Spannung und Stromstärke
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Konstanter Quotient'''
| Direkte Proportionalität
|-
| '''Konstantes Produkt'''
| Umgekehrte Proportionalität
|-
| '''Ursprungsgerade'''
| Proportionaler Graph
|-
| '''Hyperbel'''
| Inverser Graph
|-
| '''Einheitenprüfung'''
| Kontrolle einer Formel

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Quotient || Welche Rechengröße bleibt bei direkter Proportionalität konstant?
|-
| Produkt || Welche Rechengröße bleibt bei umgekehrter Proportionalität konstant?
|-
| Hyperbel || Wie heißt der typische Graph einer umgekehrten Proportionalität?
|-
| Dichte || Welche Größe verbindet Masse und Volumen eines homogenen Stoffes?
|-
| Widerstand || Welche Größe verbindet Spannung und Stromstärke im ohmschen Gesetz?
|-
| Federkonstante || Wie heißt der Faktor im hookeschen Gesetz?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Proportionalit%C3%A4t+und+physikalische+Formeln+Physik </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei direkter Proportionalität bleibt der { Quotient } zusammengehöriger Werte konstant. Der Graph einer direkten Proportionalität ist eine { Ursprungsgerade }. Bei umgekehrter Proportionalität bleibt das { Produkt } der beiden Größen konstant. Die Gleichung <math>s=v\cdot t</math> beschreibt bei konstantem <math>v</math> eine proportionale Beziehung zwischen Strecke und { Zeit }. Im hookeschen Gesetz ist <math>D</math> die { Federkonstante }. Beim ohmschen Gesetz bleibt der elektrische { Widerstand } konstant. Vor dem Einsetzen wird eine Formel nach der { gesuchten } Größe umgestellt. Eine abschließende Kontrolle vergleicht die berechnete { Einheit } mit der erwarteten Einheit.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Proportionalität im Alltag]]: Fotografiere oder beschreibe zwei Situationen, in denen Du eine direkte Proportionalität vermutest, und begründe Deine Auswahl.
# [[Wertetabelle]]: Erstelle für <math>s=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot t</math> eine Wertetabelle und zeichne den Graphen.
# [[Formelkarten]]: Gestalte Lernkarten zu <math>s=v\cdot t</math>, <math>m=\rho V</math> und <math>U=RI</math>.
# [[Einheitencheck]]: Prüfe bei drei selbst gewählten Formeln, ob die Einheiten auf beiden Seiten zusammenpassen.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Federexperiment]]: Miss die Dehnung einer Feder bei mehreren Belastungen und untersuche, in welchem Bereich eine Proportionalität vorliegt.
# [[Bewegungsanalyse]]: Nimm eine gleichförmige Bewegung als Video auf, bestimme Strecken und Zeiten und werte die Messreihe aus.
# [[Kennlinie]]: Plane eine Messung von Spannung und Stromstärke an einem Widerstand und zeichne eine Kennlinie.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde drei fehlerhafte Formelumstellungen und erkläre jeweils, wie Du den Fehler erkennst und korrigierst.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Modellgrenzen]]: Recherchiere ein physikalisches Gesetz, das nur unter bestimmten Bedingungen proportional ist, und stelle Gültigkeitsbereich sowie Abweichungen dar.
# [[Vergleich von Modellen]]: Vergleiche direkte Proportionalität, umgekehrte Proportionalität und einen quadratischen Zusammenhang anhand eigener Messdaten oder Simulationen.
# [[Unsicherheitsanalyse]]: Wiederhole eine Messung mehrfach, bestimme Mittelwerte und Streuungen und beurteile, ob die Daten eine Proportionalität stützen.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video, in dem Du eine physikalische Formel herleitest, umstellst und durch eine Einheitenprüfung kontrollierst.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Messreihe beurteilen]]: Du erhältst eine Tabelle mit Messwerten. Entscheide begründet, ob eine direkte, umgekehrte oder keine Proportionalität vorliegt.
# [[Bedingungen analysieren]]: Erkläre am ohmschen Gesetz, warum eine Proportionalitätsaussage nur unter konstanten Bedingungen sinnvoll ist.
# [[Diagramm übertragen]]: Beschreibe, wie sich der Graph von <math>F=D\Delta l</math> verändert, wenn eine steifere Feder verwendet wird.
# [[Formelzusammenhang]]: Leite aus <math>F=m a</math> ab, wie sich die Beschleunigung bei gleicher Kraft und doppelter Masse verändert.
# [[Modellkritik]]: Beurteile, warum reale Messpunkte selten exakt auf einer Ursprungsgeraden liegen und wann das Modell trotzdem nützlich ist.
# [[Transferaufgabe]]: Entwickle zu einer selbst gewählten physikalischen Formel eine Alltagssituation, eine Wertetabelle und eine passende Proportionalitätsaussage.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

# direkte und umgekehrte Proportionalität in Formel, Tabelle und Diagramm erkennst,
# den passenden konstanten Quotienten oder das konstante Produkt bestimmst,
# physikalische Formeln nach einer gesuchten Größe umstellst,
# Zahlenwerte mit korrekten Einheiten einsetzt und das Ergebnis prüfst,
# Bedingungen und Grenzen eines physikalischen Modells benennst,
# Messdaten auswertest und Abweichungen sachlich erklärst,
# Deine Rechenschritte nachvollziehbar dokumentierst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Proportionalit%C3%A4t </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dimensionsanalyse </iframe>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Proportionalität und physikalische Formeln - Physik]]'''
# [[Proportionalität]]
# [[Antiproportionalität]]
# [[Physikalische Größe]]
# [[Einheit]]
# [[Messunsicherheit]]
# [[Gleichförmige Bewegung]]
# [[Dichte]]
# [[Hookesches Gesetz]]
# [[Ohmsches Gesetz]]
# [[Boyle-Mariotte-Gesetz]]
# [[Newtonsches Gravitationsgesetz]]
# [[Dimensionsanalyse]]
|}

[[Kategorie:Physik]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Proportionalität]]
[[Kategorie:Physikalische Formeln]]
[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Elektrizitätslehre]]
[[Kategorie:Klasse 7-8]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]
[[Kategorie:Schule]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Proportionalität und physikalische Formeln - Physik - Versionsgeschichte

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