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2026-06-13T19:03:45Z

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= Einleitung =

Ein [[Prisma (Geometrie)|Prisma]] ist ein [[geometrischer Körper]], der zwei zueinander '''parallele''' und '''kongruente''' Flächen besitzt: die [[Grundfläche]] und die [[Deckfläche]]. Diese beiden Flächen haben dieselbe Form und dieselbe Größe. Die übrigen Flächen bilden zusammen die [[Mantelfläche]]. Bei einem '''geraden Prisma''' stehen die Seitenkanten senkrecht auf der Grundfläche; die Mantelflächen sind dann [[Rechteck|Rechtecke]]. In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du bei [[Prismen]] die [[Oberfläche]] und das [[Volumen]] berechnest, wie Du ein [[Körpernetz]] nutzt und wie Du typische Fehler vermeidest.

[[Datei:Triangular prism volume.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

Viele Verpackungen, Dachformen, Schokoladenriegel, Bausteine oder technische Bauteile lassen sich näherungsweise als [[Prisma|Prismen]] beschreiben. In [[Mathematik]] Klasse 7-8 ist das Thema besonders wichtig, weil Du dabei [[Flächeninhalt]], [[Umfang]], [[Einheiten]] und räumliches Vorstellungsvermögen verbindest.

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= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, woran man ein [[Prisma]] erkennt, die passenden Bestandteile benennen und zwischen [[Grundfläche]], [[Deckfläche]], [[Mantelfläche]], [[Oberfläche]] und [[Volumen]] unterscheiden. Du kannst die Formeln mit der [[MediaWiki-Extension Math|Math-Syntax]] lesen, Werte korrekt einsetzen, Einheiten beachten und Rechenwege nachvollziehbar begründen.

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= Was ist ein Prisma? =

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== Grundidee ==

Ein [[Prisma]] entsteht gedanklich, wenn eine ebene Figur, zum Beispiel ein [[Dreieck]], [[Rechteck]], [[Parallelogramm]], [[Trapez]] oder [[Sechseck]], parallel im Raum verschoben wird. Die ursprüngliche Figur und ihre verschobene Kopie bilden die beiden parallelen Flächen. Alle Verbindungskanten zwischen entsprechenden Eckpunkten sind parallel und gleich lang.

Für den Unterricht in Klasse 7-8 betrachten wir meistens '''gerade Prismen'''. Dann ist die [[Körperhöhe]] der senkrechte Abstand zwischen [[Grundfläche]] und [[Deckfläche]]. Diese Höhe wird in diesem aiMOOC mit <math>H</math> bezeichnet, damit Du sie nicht mit einer Höhe innerhalb der Grundfläche verwechselst.

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== Bestandteile eines Prismas ==

# [[Grundfläche]]: Eine der beiden kongruenten parallelen Flächen; ihr Flächeninhalt wird mit <math>G</math> bezeichnet.
# [[Deckfläche]]: Die zweite Fläche, die zur Grundfläche kongruent und parallel ist.
# [[Mantelfläche]]: Alle Seitenflächen zusammen; ihr Flächeninhalt wird mit <math>M</math> bezeichnet.
# [[Oberfläche]]: Alle Begrenzungsflächen zusammen; ihr Flächeninhalt wird mit <math>O</math> bezeichnet.
# [[Körperhöhe]]: Der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche; hier mit <math>H</math> bezeichnet.
# [[Umfang]] der Grundfläche: Die Summe aller Randlängen der Grundfläche; hier mit <math>U_G</math> bezeichnet.

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== Gerade und schiefe Prismen ==

Bei einem '''geraden Prisma''' stehen die Seitenkanten senkrecht zur [[Grundfläche]]. Die Mantelfläche besteht aus [[Rechteck|Rechtecken]]. Für diese Prismen gilt im Schulkontext besonders einfach: <math>M = U_G \cdot H</math>. Bei einem '''schiefen Prisma''' sind die Seitenkanten nicht senkrecht zur Grundfläche. Das [[Volumen]] bleibt bei gleicher Grundfläche und gleicher senkrechter Höhe gleich, aber die Mantelfläche muss vorsichtiger über die einzelnen Seitenflächen berechnet werden.

[[Datei:Right Prism.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

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= Volumen eines Prismas =

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== Grundformel ==

Das [[Volumen]] gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt. Beim [[Prisma]] ist das Volumen besonders übersichtlich:

<math>V = G \cdot H</math>

Dabei bedeutet <math>V</math> das [[Volumen]], <math>G</math> den [[Flächeninhalt]] der [[Grundfläche]] und <math>H</math> die [[Körperhöhe]] des Prismas. Die Idee dahinter ist: Eine Grundfläche wird gleichmäßig in die Höhe gezogen. Je größer die Grundfläche oder die Körperhöhe ist, desto größer ist der Rauminhalt.

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== Einheiten beim Volumen ==

Wenn Längen in [[Zentimeter|cm]] gegeben sind, wird die Grundfläche in <math>\text{cm}^2</math> berechnet und das Volumen in <math>\text{cm}^3</math>. Wenn Längen in [[Meter|m]] gegeben sind, wird das Volumen in <math>\text{m}^3</math> angegeben. Wichtig ist: Vor dem Rechnen müssen alle Längen in derselben Einheit stehen.

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== Beispiel: Dreiecksprisma ==

Ein gerades [[Dreiecksprisma]] hat eine rechtwinklige dreieckige Grundfläche mit den Katheten <math>6\,\text{cm}</math> und <math>8\,\text{cm}</math>. Die Körperhöhe beträgt <math>12\,\text{cm}</math>.

<math>G = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24\,\text{cm}^2</math>

<math>V = G \cdot H = 24 \cdot 12 = 288\,\text{cm}^3</math>

Das Volumen des Prismas beträgt also <math>288\,\text{cm}^3</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=WBJNXPCbzlU |500|center}}

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= Oberfläche eines Prismas =

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== Oberfläche als Summe aller Außenflächen ==

Die [[Oberfläche]] ist die Summe aller Flächen, die Du außen am Körper berühren könntest. Ein [[Prisma]] hat zwei kongruente Flächen, also Grundfläche und Deckfläche, sowie die Mantelfläche. Deshalb gilt allgemein:

<math>O = 2 \cdot G + M</math>

Bei einem '''geraden Prisma''' kann die Mantelfläche mit dem Umfang der Grundfläche berechnet werden:

<math>M = U_G \cdot H</math>

Setzt man dies ein, erhält man für gerade Prismen:

<math>O = 2 \cdot G + U_G \cdot H</math>

[[Datei:Net of triangular prism.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

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== Warum ein Körpernetz hilft ==

Ein [[Körpernetz]] zeigt alle Flächen eines Körpers aufgeklappt in der Ebene. Beim [[Dreiecksprisma]] siehst Du im Netz zwei gleiche Dreiecke und drei Rechtecke. Beim [[Trapezprisma]] siehst Du zwei gleiche Trapeze und so viele Rechtecke, wie die Grundfläche Seiten hat. Wenn Du die Oberfläche berechnest, hilft Dir das Netz dabei, keine Fläche zu vergessen und keine Fläche doppelt falsch zu zählen.

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== Beispiel: Oberfläche eines Dreiecksprismas ==

Für das oben genannte [[Dreiecksprisma]] gilt: Die Grundfläche hat <math>G = 24\,\text{cm}^2</math>. Die Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks sind <math>6\,\text{cm}</math>, <math>8\,\text{cm}</math> und <math>10\,\text{cm}</math>. Also ist der Umfang der Grundfläche:

<math>U_G = 6 + 8 + 10 = 24\,\text{cm}</math>

Die Mantelfläche beträgt:

<math>M = U_G \cdot H = 24 \cdot 12 = 288\,\text{cm}^2</math>

Die Oberfläche beträgt:

<math>O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 24 + 288 = 336\,\text{cm}^2</math>

Die Oberfläche des Prismas beträgt also <math>336\,\text{cm}^2</math>.

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= Rechenstrategie =

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== Schritt für Schritt vorgehen ==

# [[Grundfläche]] erkennen: Entscheide zuerst, welche Fläche als Grundfläche dient.
# [[Flächeninhalt]] der Grundfläche berechnen: Nutze die passende Formel für Dreieck, Rechteck, Parallelogramm, Trapez oder Vieleck.
# [[Umfang]] der Grundfläche berechnen: Addiere alle Randlängen der Grundfläche.
# [[Körperhöhe]] bestimmen: Nimm den senkrechten Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche.
# [[Volumen]] berechnen: Verwende <math>V = G \cdot H</math>.
# [[Mantelfläche]] berechnen: Bei geraden Prismen verwende <math>M = U_G \cdot H</math>.
# [[Oberfläche]] berechnen: Verwende <math>O = 2 \cdot G + M</math>.

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== Beispiel: Trapezprisma ==

Ein gerades [[Trapezprisma]] hat als Grundfläche ein Trapez mit den parallelen Seiten <math>a = 10\,\text{cm}</math> und <math>c = 6\,\text{cm}</math>. Die Trapezhöhe beträgt <math>h_g = 4\,\text{cm}</math>. Die beiden Schenkel sind jeweils <math>5\,\text{cm}</math> lang. Die Körperhöhe des Prismas beträgt <math>H = 9\,\text{cm}</math>.

Zuerst berechnest Du die Grundfläche:

<math>G = \frac{a+c}{2} \cdot h_g = \frac{10+6}{2} \cdot 4 = 32\,\text{cm}^2</math>

Dann berechnest Du das Volumen:

<math>V = G \cdot H = 32 \cdot 9 = 288\,\text{cm}^3</math>

Für die Oberfläche brauchst Du den Umfang der Grundfläche:

<math>U_G = 10 + 6 + 5 + 5 = 26\,\text{cm}</math>

Die Mantelfläche ist:

<math>M = U_G \cdot H = 26 \cdot 9 = 234\,\text{cm}^2</math>

Die Oberfläche ist:

<math>O = 2 \cdot 32 + 234 = 298\,\text{cm}^2</math>

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= Typische Fehler und wie Du sie vermeidest =

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== Verwechslung von Höhen ==

Bei vielen Aufgaben gibt es mehr als eine Höhe. Die [[Körperhöhe]] <math>H</math> ist der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche. Die Höhe in einer dreieckigen oder trapezförmigen Grundfläche gehört dagegen zur Berechnung von <math>G</math>. Wenn Du diese Höhen verwechselst, werden Volumen und Oberfläche falsch.

{{BR}}
== Einheitenfehler ==

Eine Fläche wird in Quadrateinheiten angegeben, zum Beispiel <math>\text{cm}^2</math>. Ein Volumen wird in Kubikeinheiten angegeben, zum Beispiel <math>\text{cm}^3</math>. Schreibe die Einheit bei jedem Zwischenschritt dazu. So erkennst Du schneller, ob Dein Ergebnis sinnvoll ist.

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== Falsche Grundfläche gewählt ==

Bei einem [[Quader]] kann jede Seite als Grundfläche betrachtet werden, wenn die dazu passende Körperhöhe gewählt wird. Bei anderen Prismen ist die Grundfläche oft durch die beiden kongruenten parallelen Vielecke erkennbar. Kontrolliere immer, ob die gewählte Höhe senkrecht zu Deiner Grundfläche steht.

{{BR}}
= Vertiefung: Regelmäßige Prismen =

Ein '''regelmäßiges Prisma''' ist ein gerades Prisma mit einem [[regelmäßiges Vieleck|regelmäßigen Vieleck]] als Grundfläche. Ein regelmäßiges dreiseitiges Prisma hat ein gleichseitiges Dreieck als Grundfläche. Ein regelmäßiges sechseckiges Prisma hat ein regelmäßiges Sechseck als Grundfläche. Auch hier gelten für gerade Prismen die Grundformeln <math>V = G \cdot H</math>, <math>M = U_G \cdot H</math> und <math>O = 2G + M</math>. Der Unterschied liegt vor allem darin, wie Du <math>G</math> und <math>U_G</math> der Grundfläche bestimmst.

[[Datei:Hexagonal Prism BC.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Aussage beschreibt ein Prisma am besten?'''
(Ein Körper mit zwei kongruenten parallelen Flächen und einer Mantelfläche)
(!Ein Körper, der immer nur aus Dreiecken besteht)
(!Ein Körper ohne parallele Flächen)
(!Ein Körper mit genau einer Grundfläche und keiner Deckfläche)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel berechnet das Volumen eines Prismas?'''
(V gleich Grundfläche mal Körperhöhe)
(!V gleich Umfang mal Umfang)
(!V gleich Oberfläche mal Körperhöhe)
(!V gleich zwei mal Grundfläche plus Mantelfläche)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet G in der Formel V gleich G mal H?'''
(Flächeninhalt der Grundfläche)
(!Umfang der Grundfläche)
(!Körperhöhe des Prismas)
(!Mantelfläche des Prismas)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Einheit passt zu einer Oberfläche?'''
(Quadratzentimeter)
(!Kubikzentimeter)
(!Zentimeter)
(!Kilogramm)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Einheit passt zu einem Volumen?'''
(Kubikmeter)
(!Meter)
(!Quadratmeter)
(!Grad)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie berechnet man die Oberfläche eines Prismas allgemein?'''
(Zwei mal Grundfläche plus Mantelfläche)
(!Grundfläche mal Körperhöhe)
(!Umfang plus Körperhöhe)
(!Mantelfläche minus Deckfläche)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie berechnet man die Mantelfläche eines geraden Prismas?'''
(Umfang der Grundfläche mal Körperhöhe)
(!Grundfläche geteilt durch Körperhöhe)
(!Oberfläche mal Umfang)
(!Zwei mal Volumen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was zeigt ein Körpernetz?'''
(Die aufgeklappte Oberfläche eines Körpers)
(!Nur das Volumen eines Körpers)
(!Nur die Körperhöhe eines Körpers)
(!Die Masse eines Körpers)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei einem geraden Prisma meistens die Form der Mantelflächen?'''
(Rechtecke)
(!Kreise)
(!Kugelflächen)
(!Punkte)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist die Körperhöhe beim Prisma wichtig?'''
(Sie wird zur Berechnung des Volumens und der Mantelfläche genutzt)
(!Sie ersetzt immer den Umfang der Grundfläche)
(!Sie ist immer gleich der längsten Kante)
(!Sie wird nur bei Kreisen gebraucht)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Prisma || zwei kongruente parallele Grundflächen
|-
| Grundfläche || Fläche für die Volumenberechnung
|-
| Mantelfläche || Summe der Seitenflächen
|-
| Oberfläche || alle Begrenzungsflächen zusammen
|-
| Volumen || Rauminhalt des Körpers
|-
| Körperhöhe || senkrechter Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche
|-
| Körpernetz || aufgeklappte Oberfläche
|-
| Umfang der Grundfläche || Summe der Randlängen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Volumenformel'''
| <math>V = G \cdot H</math>
|-
| '''Oberflächenformel'''
| <math>O = 2G + M</math>
|-
| '''Mantelflächenformel'''
| <math>M = U_G \cdot H</math>
|-
| '''Grundflächeninhalt'''
| Flächeninhalt der unteren oder oberen kongruenten Fläche
|-
| '''Körpernetz'''
| aufgeklappte Darstellung aller Außenflächen
|-
| '''Kubikeinheit'''
| passende Einheit für den Rauminhalt

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Prisma || Welcher Körper hat zwei kongruente parallele Vielecke als Grund- und Deckfläche?
|-
| Mantel || Wie heißt die Gesamtheit der Seitenflächen ohne Grund- und Deckfläche?
|-
| Volumen || Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
|-
| Oberflaeche || Wie heißt die Summe aller Begrenzungsflächen eines Körpers?
|-
| Rechteck || Welche Form hat eine Seitenfläche bei einem geraden Prisma meist?
|-
| Umfang || Welche Größe der Grundfläche brauchst Du für die Mantelfläche eines geraden Prismas?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Prismen+Oberflaeche+und+Volumen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein Prisma besitzt zwei zueinander parallele und { kongruente } Flächen. Der Flächeninhalt einer Grundfläche wird in den Formeln häufig mit { G } bezeichnet. Die Körperhöhe ist der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und { Deckfläche }. Das Volumen eines Prismas berechnest Du mit Grundfläche mal { Körperhöhe }. Bei einem geraden Prisma berechnest Du die Mantelfläche mit Umfang der Grundfläche mal { Körperhöhe }. Die Oberfläche setzt sich aus zweimal Grundfläche und der { Mantelfläche } zusammen. Flächeninhalte werden in { Quadrateinheiten } angegeben. Rauminhalte werden in { Kubikeinheiten } angegeben.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

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=== Leicht ===

# [[Prisma erkennen]]: Suche in Deinem Alltag drei Gegenstände, die näherungsweise wie ein Prisma aussehen. Fotografiere oder skizziere sie und markiere Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche.
# [[Körpernetz zeichnen]]: Zeichne das Netz eines geraden Dreiecksprismas. Beschrifte alle Flächen und erkläre, welche Flächen gleich groß sind.
# [[Einheiten ordnen]]: Erstelle eine kleine Übersicht mit Längeneinheiten, Flächeneinheiten und Volumeneinheiten. Gib jeweils ein Beispiel aus dem Thema Prismen an.
# [[Begriffe erklären]]: Formuliere eigene kurze Erklärungen zu Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche, Volumen und Körperhöhe.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Dreiecksprisma berechnen]]: Entwickle eine eigene Aufgabe zu einem Dreiecksprisma und löse sie vollständig mit Rechenweg, Formeln und Einheiten.
# [[Trapezprisma modellieren]]: Baue aus Papier ein Trapezprisma, miss die nötigen Längen und berechne Oberfläche und Volumen Deines Modells.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde eine falsche Schülerlösung zu einem Prisma, in der mindestens zwei typische Fehler vorkommen. Korrigiere die Lösung nachvollziehbar.
# [[Körpernetz prüfen]]: Zeichne zwei verschiedene Netze desselben Prismas und erkläre, warum beide Netze zum gleichen Körper gehören.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Zusammengesetzter Körper]]: Entwirf einen zusammengesetzten Körper aus zwei Prismen. Berechne Volumen und Oberfläche und erkläre, welche Kontaktfläche nicht zur Oberfläche gehört.
# [[Optimierung]]: Plane eine prismatische Verpackung für einen Gegenstand. Vergleiche zwei mögliche Formen und bewerte, welche Form bei ähnlichem Volumen weniger Material benötigt.
# [[Schiefes Prisma untersuchen]]: Erkläre mit einer Skizze, warum bei einem schiefen Prisma das Volumen weiterhin mit Grundfläche mal senkrechter Höhe berechnet werden kann.
# [[Mathematik präsentieren]]: Erstelle ein kurzes Lernvideo oder eine Präsentation, in der Du die Formeln für Volumen und Oberfläche eines Prismas an einem selbst gewählten Beispiel erklärst.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Formeln begründen]]: Erkläre ohne Auswendiglernen, warum das Volumen eines Prismas mit <math>V = G \cdot H</math> berechnet wird. Nutze dazu ein selbst gewähltes Beispiel.
# [[Netz und Oberfläche]]: Ein Körpernetz enthält zwei gleiche Fünfecke und fünf Rechtecke. Begründe, welcher Körper entstehen kann und wie Du seine Oberfläche berechnen würdest.
# [[Fehler finden]]: Eine Person berechnet bei einem Dreiecksprisma die Oberfläche nur mit <math>G \cdot H</math>. Erkläre den Denkfehler und gib einen korrekten Rechenplan an.
# [[Einheiten übertragen]]: Eine Aufgabe enthält Längen in Zentimetern und Metern. Beschreibe, wie Du vorgehst, damit Volumen und Oberfläche korrekt angegeben werden.
# [[Sachproblem lösen]]: Eine prismatische Verpackung soll mit Papier beklebt und mit Sand gefüllt werden. Entscheide, welche Rechnung zur Papiermenge und welche zum Sandvolumen gehört.
# [[Transfer]]: Vergleiche ein Prisma mit einem Zylinder. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede bei Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen.

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen [[Lernnachweis]] erstellst Du ein kleines Portfolio zum Thema [[Prismen]]. Es soll eine beschriftete Zeichnung oder ein Foto eines Prismas, ein eigenes Körpernetz, eine vollständig gelöste Volumenaufgabe, eine vollständig gelöste Oberflächenaufgabe und eine kurze Reflexion enthalten. In der Reflexion erklärst Du, welche Rolle Grundfläche, Umfang der Grundfläche und Körperhöhe in den Formeln spielen. Achte auf korrekte [[Einheiten]] und auf nachvollziehbare Rechenwege.

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Prisma_(Geometrie) </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Prismen]]'''
# [[Prisma (Geometrie)|Prisma]]
# [[Geometrischer Körper]]
# [[Grundfläche]]
# [[Deckfläche]]
# [[Mantelfläche]]
# [[Oberfläche]]
# [[Volumen]]
# [[Körpernetz]]
# [[Flächeninhalt]]
# [[Umfang]]
# [[Dreieck]]
# [[Trapez]]
# [[Quader]]
# [[Zylinder]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse_7-8]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Prisma]]
[[Kategorie:Oberfläche]]
[[Kategorie:Volumen]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Prismen Oberfläche und Volumen - aiMOOC - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt