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2026-06-13T15:47:23Z

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= Einleitung =
'''Primzahlen''' und '''zusammengesetzte Zahlen''' sind Grundbausteine der [[Arithmetik]]. Du brauchst sie, um [[Teiler]], [[Vielfaches|Vielfache]], [[Teilbarkeit]], [[Bruchrechnung]], [[Kürzen]], [[Erweitern]] und später auch Themen der [[Zahlentheorie]] sicher zu verstehen. In diesem aiMOOC lernst Du, woran Du eine [[Primzahl]] erkennst, wann eine Zahl zusammengesetzt ist und wie Du Zahlen in ihre [[Primfaktorzerlegung|Primfaktoren]] zerlegst.

Eine '''Primzahl''' ist eine natürliche Zahl größer als <math>1</math>, die genau zwei positive [[Teiler]] hat: <math>1</math> und sich selbst. Die Zahl <math>7</math> ist eine Primzahl, denn ihre positiven Teiler sind nur <math>1</math> und <math>7</math>. Eine '''zusammengesetzte Zahl''' ist eine natürliche Zahl größer als <math>1</math>, die mehr als zwei positive Teiler hat. Die Zahl <math>12</math> ist zusammengesetzt, denn sie hat die Teiler <math>1, 2, 3, 4, 6, 12</math>.

Die Zahl <math>1</math> ist in diesem Thema besonders wichtig: Sie ist '''weder''' eine Primzahl '''noch''' eine zusammengesetzte Zahl. Sie hat nur einen positiven Teiler, nämlich sich selbst. In diesem Kurs betrachten wir natürliche Zahlen ab <math>1</math>; die <math>0</math> wird bei Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen nicht als Primzahl oder zusammengesetzte Zahl eingeordnet.

[[Datei:Sieve of Eratosthenes.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=kesfaEFBcLY |500|center}}

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== Lernziele ==
# [[Primzahl]]: Du kannst erklären, warum eine Zahl größer als <math>1</math> genau dann prim ist, wenn sie genau zwei positive Teiler hat.
# [[Zusammengesetzte Zahl]]: Du kannst zusammengesetzte Zahlen erkennen und sie von Primzahlen unterscheiden.
# [[Teilbarkeit]]: Du kannst einfache Teilbarkeitsregeln anwenden, um Zahlen schneller zu untersuchen.
# [[Primfaktorzerlegung]]: Du kannst Zahlen als Produkt von Primzahlen schreiben.
# [[Sieb des Eratosthenes]]: Du kannst das Siebverfahren nutzen, um Primzahlen in einem Zahlenbereich zu finden.
# [[Argumentieren]]: Du kannst begründen, warum eine Zahl prim oder zusammengesetzt ist.

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= Grundbegriffe =

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== Natürliche Zahlen, Teiler und Vielfache ==
Die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] sind die Zahlen, mit denen Du zählst: <math>1, 2, 3, 4, 5, \dots</math>. In der Schule wird manchmal auch <math>0</math> zu den natürlichen Zahlen gezählt. Für Primzahlen ist entscheidend: Eine Primzahl ist immer größer als <math>1</math>.

Ein [[Teiler]] einer Zahl ist eine Zahl, durch die Du ohne Rest teilen kannst. Beispiel: <math>3</math> ist ein Teiler von <math>12</math>, denn <math>12 : 3 = 4</math>. Auch <math>4</math> ist ein Teiler von <math>12</math>, denn <math>12 : 4 = 3</math>. Dagegen ist <math>5</math> kein Teiler von <math>12</math>, denn <math>12 : 5</math> geht nicht ohne Rest auf.

Ein [[Vielfaches]] entsteht, wenn Du eine Zahl mit einer natürlichen Zahl multiplizierst. Vielfache von <math>6</math> sind zum Beispiel <math>6, 12, 18, 24, 30, \dots</math>. Teiler und Vielfache gehören eng zusammen: Wenn <math>6</math> ein Teiler von <math>24</math> ist, dann ist <math>24</math> ein Vielfaches von <math>6</math>.

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== Primzahlen ==
Eine [[Primzahl]] ist eine natürliche Zahl größer als <math>1</math> mit genau zwei positiven Teilern. Die ersten Primzahlen sind:
<math>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47</math>.

Die Zahl <math>2</math> ist die kleinste Primzahl und zugleich die einzige gerade Primzahl. Jede andere gerade Zahl ist durch <math>2</math> teilbar und hat deshalb mindestens die Teiler <math>1</math>, <math>2</math> und sich selbst. Sie kann also nicht prim sein.

Beispiele:
# [[Primzahl]]: <math>5</math> hat nur die Teiler <math>1</math> und <math>5</math>.
# [[Primzahl]]: <math>13</math> hat nur die Teiler <math>1</math> und <math>13</math>.
# [[Keine Primzahl]]: <math>9</math> hat die Teiler <math>1, 3, 9</math>.
# [[Keine Primzahl]]: <math>21</math> hat die Teiler <math>1, 3, 7, 21</math>.

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== Zusammengesetzte Zahlen ==
Eine [[zusammengesetzte Zahl]] ist eine natürliche Zahl größer als <math>1</math>, die mehr als zwei positive Teiler hat. Du kannst sie als Produkt zweier natürlicher Zahlen größer als <math>1</math> schreiben.

Beispiele:
# [[Zusammengesetzte Zahl]]: <math>4 = 2 \cdot 2</math>
# [[Zusammengesetzte Zahl]]: <math>6 = 2 \cdot 3</math>
# [[Zusammengesetzte Zahl]]: <math>12 = 3 \cdot 4</math>
# [[Zusammengesetzte Zahl]]: <math>35 = 5 \cdot 7</math>
# [[Zusammengesetzte Zahl]]: <math>100 = 10 \cdot 10</math>

Eine zusammengesetzte Zahl kann auf verschiedene Arten als Produkt geschrieben werden. Zum Beispiel gilt:
<math>36 = 4 \cdot 9 = 6 \cdot 6 = 2 \cdot 18 = 3 \cdot 12</math>.
Wenn Du aber so lange weiter zerlegst, bis nur noch Primzahlen übrig sind, erhältst Du die [[Primfaktorzerlegung]].

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== Die Sonderrolle der Eins ==
Die Zahl <math>1</math> ist keine Primzahl, weil sie nicht genau zwei positive Teiler hat. Sie hat nur einen positiven Teiler: <math>1</math>. Sie ist auch keine zusammengesetzte Zahl, weil sie nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen größer als <math>1</math> geschrieben werden kann.

Diese Einordnung ist wichtig, damit die [[Primfaktorzerlegung]] eindeutig bleibt. Würde man <math>1</math> als Primzahl zählen, könnte man jede Zerlegung beliebig oft mit <math>1</math> ergänzen:
<math>12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3</math>.
Dann wäre die Zerlegung nicht mehr eindeutig.

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= Zahlen untersuchen =

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== Teilbarkeitsregeln ==
[[Teilbarkeitsregel|Teilbarkeitsregeln]] helfen Dir, Zahlen schneller zu prüfen. Du musst dann nicht immer eine schriftliche Division durchführen.

# [[Teilbarkeit durch 2]]: Eine Zahl ist durch <math>2</math> teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist, also <math>0, 2, 4, 6</math> oder <math>8</math>.
# [[Teilbarkeit durch 3]]: Eine Zahl ist durch <math>3</math> teilbar, wenn ihre Quersumme durch <math>3</math> teilbar ist.
# [[Teilbarkeit durch 5]]: Eine Zahl ist durch <math>5</math> teilbar, wenn ihre letzte Ziffer <math>0</math> oder <math>5</math> ist.
# [[Teilbarkeit durch 10]]: Eine Zahl ist durch <math>10</math> teilbar, wenn ihre letzte Ziffer <math>0</math> ist.
# [[Teilbarkeit durch 9]]: Eine Zahl ist durch <math>9</math> teilbar, wenn ihre Quersumme durch <math>9</math> teilbar ist.

Beispiel: Die Zahl <math>735</math> ist durch <math>5</math> teilbar, weil sie auf <math>5</math> endet. Sie ist auch durch <math>3</math> teilbar, weil ihre Quersumme <math>7+3+5=15</math> ist und <math>15</math> durch <math>3</math> teilbar ist. Deshalb ist <math>735</math> zusammengesetzt.

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== Primzahl oder zusammengesetzt? ==
Um zu entscheiden, ob eine Zahl prim oder zusammengesetzt ist, suchst Du nach Teilern. Findest Du außer <math>1</math> und der Zahl selbst noch einen weiteren Teiler, ist die Zahl zusammengesetzt. Findest Du keinen weiteren Teiler, ist die Zahl prim.

Beispiel <math>29</math>: Die Zahl <math>29</math> ist nicht durch <math>2</math>, <math>3</math> oder <math>5</math> teilbar. Es gibt keinen kleineren Teiler außer <math>1</math>. Also ist <math>29</math> eine Primzahl.

Beispiel <math>39</math>: Die Quersumme ist <math>3+9=12</math>. Weil <math>12</math> durch <math>3</math> teilbar ist, ist auch <math>39</math> durch <math>3</math> teilbar. Es gilt <math>39=3 \cdot 13</math>. Also ist <math>39</math> zusammengesetzt.

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== Der Quadratwurzel-Test ==
Wenn Du prüfen möchtest, ob eine Zahl <math>n</math> prim ist, musst Du nicht alle kleineren Zahlen testen. Es reicht, mögliche Primteiler bis zur [[Quadratwurzel]] von <math>n</math> zu prüfen. Der Grund: Wenn <math>n=a \cdot b</math> und beide Faktoren größer als <math>1</math> sind, dann ist mindestens einer der Faktoren kleiner oder gleich <math>\sqrt{n}</math>.

Beispiel <math>97</math>: Es gilt <math>\sqrt{97} \approx 9{,}85</math>. Deshalb prüfst Du nur die Primzahlen <math>2, 3, 5, 7</math>. Die Zahl <math>97</math> ist durch keine dieser Zahlen teilbar. Also ist <math>97</math> prim.

Beispiel <math>91</math>: Es gilt <math>\sqrt{91} \approx 9{,}54</math>. Du prüfst <math>2, 3, 5, 7</math>. Die Zahl <math>91</math> ist durch <math>7</math> teilbar, denn <math>91=7 \cdot 13</math>. Also ist <math>91</math> zusammengesetzt.

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= Das Sieb des Eratosthenes =

{{BR}}
== Idee des Siebverfahrens ==
Das [[Sieb des Eratosthenes]] ist eine Methode, mit der Du alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze finden kannst. Du schreibst die Zahlen ab <math>2</math> in eine Tabelle. Dann markierst Du schrittweise Vielfache von Primzahlen als zusammengesetzt. Was am Ende nicht gestrichen ist, sind die Primzahlen.

So gehst Du für die Zahlen bis <math>100</math> vor:
# [[Startzahl]]: Beginne bei <math>2</math>, denn <math>2</math> ist die kleinste Primzahl.
# [[Vielfache]]: Streiche alle größeren Vielfachen von <math>2</math>.
# [[Nächste Primzahl]]: Gehe zur nächsten nicht gestrichenen Zahl, also <math>3</math>, und streiche ihre größeren Vielfachen.
# [[Fortsetzen]]: Wiederhole das mit <math>5</math> und <math>7</math>.
# [[Ergebnis]]: Alle nicht gestrichenen Zahlen größer als <math>1</math> sind Primzahlen.

[[Datei:Basic Patterns of Prime Numbers.png|500px|rahmenlos|zentriert]]

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== Warum das Sieb funktioniert ==
Das Sieb funktioniert, weil jede zusammengesetzte Zahl einen Primteiler besitzt. Wenn Du alle Vielfachen der Primzahlen streichst, entfernst Du Schritt für Schritt alle zusammengesetzten Zahlen. Die Zahlen, die übrig bleiben, haben keine weiteren Teiler außer <math>1</math> und sich selbst. Sie sind also Primzahlen.

Beispiel: Die Zahl <math>49</math> wird nicht beim Streichen der Vielfachen von <math>2</math>, <math>3</math> oder <math>5</math> entfernt. Sie wird aber beim Streichen der Vielfachen von <math>7</math> entfernt, denn <math>49=7 \cdot 7</math>. Die Zahl <math>53</math> bleibt dagegen stehen. Sie hat keinen Teiler unter den geprüften Primzahlen und ist daher prim.

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= Primfaktorzerlegung =

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== Zahlen in Primfaktoren zerlegen ==
Die [[Primfaktorzerlegung]] schreibt eine natürliche Zahl größer als <math>1</math> als Produkt von Primzahlen. Jede zusammengesetzte Zahl kann vollständig in Primfaktoren zerlegt werden.

Beispiele:
# [[Primfaktorzerlegung]] von <math>18</math>: <math>18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2</math>
# [[Primfaktorzerlegung]] von <math>30</math>: <math>30 = 2 \cdot 3 \cdot 5</math>
# [[Primfaktorzerlegung]] von <math>48</math>: <math>48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3</math>
# [[Primfaktorzerlegung]] von <math>84</math>: <math>84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7</math>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=l6vSWJmbh0s |500|center}}

{{BR}}
== Vorgehen bei der Primfaktorzerlegung ==
Du kannst bei der Primfaktorzerlegung systematisch vorgehen:
# [[Kleinste Primzahl]]: Prüfe zuerst, ob die Zahl durch <math>2</math> teilbar ist.
# [[Weiter teilen]]: Teile so lange durch <math>2</math>, bis es nicht mehr geht.
# [[Nächste Primzahl]]: Prüfe dann <math>3</math>, danach <math>5</math>, danach <math>7</math> und so weiter.
# [[Ende]]: Wenn als Rest eine Primzahl übrig bleibt, ist die Zerlegung vollständig.

Beispiel:
<math>90 = 2 \cdot 45 = 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5</math>.

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== Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ==
Ein sehr wichtiger Satz der [[Zahlentheorie]] lautet: Jede natürliche Zahl größer als <math>1</math> lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben, wenn man die Reihenfolge der Faktoren nicht beachtet. Das bedeutet: Du kannst bei <math>60</math> unterschiedlich anfangen, aber am Ende erhältst Du immer dieselben Primfaktoren.

Beispiel:
<math>60 = 6 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5</math>.
Oder:
<math>60 = 4 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5</math>.
Die Reihenfolge kann verschieden sein, die Primfaktoren bleiben gleich.

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= Typische Fehler und gute Strategien =

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== Häufige Fehler ==
# [[Eins]]: Die Zahl <math>1</math> wird manchmal fälschlich als Primzahl bezeichnet. Richtig ist: <math>1</math> ist weder prim noch zusammengesetzt.
# [[Gerade Zahl]]: Manche denken, alle geraden Zahlen seien zusammengesetzt. Die Zahl <math>2</math> ist die Ausnahme und ist prim.
# [[Endziffer]]: Zahlen mit der Endziffer <math>1, 3, 7</math> oder <math>9</math> sind nicht automatisch prim. Beispiel: <math>21</math>, <math>27</math>, <math>39</math> und <math>91</math> sind zusammengesetzt.
# [[Quersumme]]: Eine Quersumme kann schnell zeigen, ob eine Zahl durch <math>3</math> oder <math>9</math> teilbar ist.
# [[Produkt]]: Wenn Du eine Zahl als Produkt zweier Zahlen größer als <math>1</math> findest, ist sie zusammengesetzt.

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== Strategien für Aufgaben ==
# [[Teilbarkeitsregeln anwenden]]: Prüfe zuerst die einfachen Teiler <math>2, 3, 5</math> und <math>10</math>.
# [[Primteiler suchen]]: Untersuche danach weitere Primzahlen wie <math>7, 11, 13</math>.
# [[Quadratwurzel nutzen]]: Teste nur Primzahlen bis zur Quadratwurzel der untersuchten Zahl.
# [[Zerlegungen notieren]]: Schreibe jeden gefundenen Faktor sauber auf.
# [[Probe machen]]: Multipliziere die Primfaktoren am Ende, um Deine Zerlegung zu überprüfen.

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= Beispiele mit Begründung =

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== Beispiel 1: Ist 57 prim? ==
Die Quersumme von <math>57</math> ist <math>5+7=12</math>. Weil <math>12</math> durch <math>3</math> teilbar ist, ist auch <math>57</math> durch <math>3</math> teilbar. Es gilt <math>57=3 \cdot 19</math>. Also ist <math>57</math> zusammengesetzt.

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== Beispiel 2: Ist 71 prim? ==
Die Zahl <math>71</math> ist nicht gerade, endet nicht auf <math>0</math> oder <math>5</math> und hat die Quersumme <math>8</math>. Sie ist also nicht durch <math>2</math>, <math>3</math> oder <math>5</math> teilbar. Da <math>\sqrt{71} \approx 8{,}43</math>, musst Du noch <math>7</math> prüfen. <math>71</math> ist nicht durch <math>7</math> teilbar. Also ist <math>71</math> eine Primzahl.

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== Beispiel 3: Zerlege 126 in Primfaktoren ==
<math>126</math> ist gerade, also gilt <math>126=2 \cdot 63</math>. Die Zahl <math>63</math> ist durch <math>3</math> teilbar: <math>63=3 \cdot 21</math>. Auch <math>21</math> ist durch <math>3</math> teilbar: <math>21=3 \cdot 7</math>. Also lautet die Primfaktorzerlegung:
<math>126=2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7</math>.

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= Bedeutung und Ausblick =
Primzahlen sind mehr als eine Rechenübung. Sie sind die Bausteine der natürlichen Zahlen, weil jede Zahl größer als <math>1</math> aus Primzahlen aufgebaut werden kann. In höheren Klassen begegnen Dir Primzahlen beim [[ggT|größten gemeinsamen Teiler]], beim [[kgV|kleinsten gemeinsamen Vielfachen]], beim [[Bruchrechnen]], bei [[Teilermenge|Teilerlisten]] und in der [[Kryptographie]]. Moderne Verschlüsselungsverfahren nutzen, dass es für sehr große Zahlen schwer sein kann, ihre Primfaktoren zu finden.

Ein berühmter Gedanke aus der Mathematik zeigt: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Würde es nur endlich viele geben, könnte man alle miteinander multiplizieren und <math>1</math> addieren. Die neue Zahl hätte dann bei der Division durch jede bekannte Primzahl den Rest <math>1</math>. Also müsste es eine weitere Primzahl geben. Das zeigt: Die Liste der Primzahlen endet nie.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}
'''Was ist eine Primzahl?'''
(Eine natürliche Zahl größer als eins mit genau zwei positiven Teilern)
(!Eine natürliche Zahl mit genau einem positiven Teiler)
(!Eine natürliche Zahl, die immer gerade ist)
(!Eine natürliche Zahl, die durch zehn teilbar ist)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Zahl ist weder Primzahl noch zusammengesetzte Zahl?'''
(Eins)
(!Zwei)
(!Drei)
(!Vier)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Zahl ist die kleinste Primzahl?'''
(Zwei)
(!Eins)
(!Drei)
(!Vier)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Aussage über die Zahl zwei ist richtig?'''
(Zwei ist die einzige gerade Primzahl)
(!Zwei ist die kleinste zusammengesetzte Zahl)
(!Zwei hat genau drei positive Teiler)
(!Zwei ist weder prim noch zusammengesetzt)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Zahl ist zusammengesetzt?'''
(21)
(!17)
(!19)
(!23)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Primfaktorzerlegung gehört zu 30?'''
(2 mal 3 mal 5)
(!2 mal 5 mal 5)
(!3 mal 3 mal 5)
(!2 mal 2 mal 3)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Woran erkennst Du sicher, dass 45 zusammengesetzt ist?'''
(45 ist durch 5 teilbar)
(!45 ist größer als 40)
(!45 endet nicht auf 0)
(!45 ist ungerade)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was macht man beim Sieb des Eratosthenes?'''
(Man streicht schrittweise Vielfache von Primzahlen)
(!Man addiert alle geraden Zahlen)
(!Man sortiert Zahlen nach ihrer Größe)
(!Man verdoppelt jede Primzahl)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Bis wohin reicht es beim Primzahltest einer Zahl n mögliche Primteiler zu prüfen?'''
(Bis zur Quadratwurzel von n)
(!Bis zur Hälfte von n plus zehn)
(!Bis zur Zahl n selbst)
(!Nur bis zur Zahl fünf)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Warum ist 91 zusammengesetzt?'''
(91 ist 7 mal 13)
(!91 ist ungerade)
(!91 ist größer als 90)
(!91 endet auf 1)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==
<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Primzahl || Genau zwei positive Teiler
|-
| Zusammengesetzte Zahl || Mehr als zwei positive Teiler
|-
| Teiler || Teilt ohne Rest
|-
| Vielfaches || Ergebnis einer Multiplikation mit einer natürlichen Zahl
|-
| Primfaktorzerlegung || Produkt aus Primzahlen
|-
| Sieb des Eratosthenes || Verfahren zum Finden von Primzahlen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==
<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Primzahl'''
| genau zwei positive Teiler
|-
| '''Zusammengesetzte Zahl'''
| mehr als zwei positive Teiler
|-
| '''Teiler'''
| Division ohne Rest
|-
| '''Primfaktorzerlegung'''
| Produkt aus Primzahlen
|-
| '''Sieb des Eratosthenes'''
| Vielfache streichen

|}
{{E}}

<br>
Ordne die Begriffe so zu, dass jeweils die passende Erklärung danebensteht.
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==
<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Primzahl || Wie heißt eine Zahl größer als eins mit genau zwei positiven Teilern?
|-
| Teiler || Wie heißt eine Zahl, durch die eine andere Zahl ohne Rest geteilt werden kann?
|-
| Produkt || Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
|-
| Faktor || Wie heißt eine Zahl, die in einer Multiplikation vorkommt?
|-
| Eratosthenes || Nach welchem Gelehrten ist ein bekanntes Siebverfahren benannt?
|-
| Zerlegung || Wie nennt man das Aufschreiben einer Zahl als Produkt kleinerer Faktoren?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==
<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Primzahlen+und+zusammengesetzte+Zahlen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==
<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine natürliche Zahl größer als eins mit genau zwei positiven Teilern heißt { Primzahl }. Eine natürliche Zahl größer als eins mit mehr als zwei positiven Teilern heißt { zusammengesetzte Zahl }. Die kleinste Primzahl ist { zwei }. Die Zahl eins ist weder prim noch { zusammengesetzt }. Die einzige gerade Primzahl ist { zwei }. Beim Sieb des Eratosthenes streicht man schrittweise { Vielfache }. Eine Primfaktorzerlegung besteht nur aus { Primzahlen }. Beim Prüfen einer Zahl reicht es, Primteiler bis zur { Quadratwurzel } zu testen.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Primzahlen markieren]]: Schreibe die Zahlen von <math>1</math> bis <math>50</math> auf und markiere alle Primzahlen farbig. Erkläre anschließend bei drei Zahlen, warum sie prim sind.
# [[Zusammengesetzte Zahlen finden]]: Wähle zehn Zahlen zwischen <math>10</math> und <math>40</math> und schreibe zu jeder zusammengesetzten Zahl mindestens eine passende Multiplikation auf.
# [[Teilerliste erstellen]]: Erstelle die vollständigen Teilerlisten zu <math>12</math>, <math>18</math>, <math>25</math> und <math>31</math>. Vergleiche, welche Zahlen prim und welche zusammengesetzt sind.
# [[Primzahlplakat]]: Gestalte ein kleines Lernplakat mit der Definition von Primzahl, zusammengesetzter Zahl und einem Beispiel zu jeder Kategorie.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Sieb des Eratosthenes anwenden]]: Erstelle ein Sieb des Eratosthenes für die Zahlen bis <math>100</math>. Beschreibe schriftlich, warum am Ende genau die Primzahlen übrig bleiben.
# [[Primfaktorzerlegung trainieren]]: Zerlege <math>72</math>, <math>84</math>, <math>96</math>, <math>105</math> und <math>126</math> in Primfaktoren. Überprüfe jede Zerlegung durch Multiplikation.
# [[Fehler finden]]: Erfinde fünf falsche Aussagen zu Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen. Tausche sie mit einer Partnerin oder einem Partner und korrigiere sie mit Begründung.
# [[Teilbarkeitsregeln erklären]]: Erstelle ein Erklärblatt zu den Teilbarkeitsregeln durch <math>2</math>, <math>3</math>, <math>5</math> und <math>9</math>. Füge eigene Beispiele hinzu.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Primzahltest entwickeln]]: Entwickle eine Schritt-für-Schritt-Anleitung, mit der Du prüfen kannst, ob eine Zahl unter <math>200</math> prim ist. Teste Deine Anleitung an fünf selbst gewählten Zahlen.
# [[Zahlendetektiv]]: Suche drei Zahlen zwischen <math>100</math> und <math>200</math>, die zusammengesetzt aussehen könnten, aber prim sind. Begründe Deine Entscheidung mit dem Quadratwurzel-Test.
# [[Primfaktor-Projekt]]: Untersuche die Zahlen von <math>80</math> bis <math>100</math>. Erstelle eine Tabelle mit Zahl, Primfaktorzerlegung und Einordnung als prim oder zusammengesetzt.
# [[Mathematische Begründung]]: Erkläre mit eigenen Worten, warum eine zusammengesetzte Zahl immer mindestens einen Primteiler hat. Verwende ein Beispiel und eine allgemeine Begründung.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =
# [[Begründung statt Behauptung]]: Entscheide für die Zahlen <math>73</math>, <math>87</math>, <math>97</math> und <math>121</math>, ob sie prim oder zusammengesetzt sind. Begründe jede Entscheidung mit Teilern oder mit dem Quadratwurzel-Test.
# [[Strategie vergleichen]]: Vergleiche das Ausprobieren aller Teiler mit dem Quadratwurzel-Test. Erkläre, welche Methode bei größeren Zahlen sinnvoller ist und warum.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Schülerin sagt: „Alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen.“ Widerlege diese Aussage mit mehreren Beispielen und formuliere eine bessere Regel.
# [[Primfaktoren anwenden]]: Zerlege <math>180</math> und <math>252</math> in Primfaktoren. Erkläre anschließend, welche Primfaktoren beide Zahlen gemeinsam haben.
# [[Transfer zur Bruchrechnung]]: Erkläre, wie Primfaktorzerlegungen beim Kürzen von Brüchen helfen können. Nutze ein eigenes Beispiel.
# [[Sieb begründen]]: Beschreibe, warum beim Sieb des Eratosthenes die Zahl <math>49</math> gestrichen wird, die Zahl <math>53</math> aber stehen bleibt.
# [[Eigene Aufgabe erstellen]]: Erstelle eine Prüfungsaufgabe zum Thema Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen mit Lösung und Begründung.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Primzahl </iframe>

<br>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zusammengesetzte_Zahl </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =
{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen]]'''
# [[Primzahl]]
# [[Zusammengesetzte Zahl]]
# [[Natürliche Zahl]]
# [[Teiler]]
# [[Vielfaches]]
# [[Teilbarkeit]]
# [[Teilbarkeitsregel]]
# [[Primfaktorzerlegung]]
# [[Sieb des Eratosthenes]]
# [[Quadratwurzel]]
# [[Zahlentheorie]]
# [[Arithmetik]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse_5-6]]
[[Kategorie:Arithmetik]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen - aiMOOC - Versionsgeschichte

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