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2026-07-13T21:37:38Z

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{{T}}

{{BR}}
= Polynomdivision einfach erklärt =

{{BR}}
= Einleitung =

Die [[Polynomdivision]] ist die schriftliche Division für [[Polynom|Polynome]]. Sie funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division von Zahlen. Du '''teilst''', '''multiplizierst''' und '''subtrahierst''', bis ein passender [[Rest]] übrig bleibt.

[[Datei:Graph of a polynomial of degree 3.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Grundformel:'''

<math>p(x)=q(x)\cdot s(x)+r(x)</math>

Dabei ist <math>p(x)</math> der [[Dividend]], <math>q(x)</math> der [[Divisor]], <math>s(x)</math> der [[Quotient]] und <math>r(x)</math> der Rest.

{{BR}}
== Lernvideo ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=KcVWdNl_whw |500|center}}

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===

# [[Videoanalyse]]: Notiere die vier Rechenschritte in der richtigen Reihenfolge.
# [[Pausenaufgabe]]: Stoppe das Video vor einem Rechenschritt und rechne selbst weiter.
# [[Begriffe erklären]]: Erkläre mit eigenen Worten Dividend, Divisor, Quotient und Rest.
# [[Kontrolle]]: Prüfe ein Ergebnis aus dem Video durch Rückmultiplikation.

{{BR}}
= So funktioniert die Polynomdivision =

{{BR}}
== Vorbereitung ==

Ordne beide Polynome nach fallenden [[Exponent|Exponenten]]. Fehlende Potenzen ergänzt Du gedanklich mit dem [[Koeffizient|Koeffizienten]] null.

Beispiel:

<math>x^3+2x-1=x^3+0x^2+2x-1</math>

{{BR}}
== Die vier Schritte ==

# '''Teilen''': Teile den ersten Term des Dividenden durch den ersten Term des Divisors.
# '''Multiplizieren''': Multipliziere das Ergebnis mit dem ganzen Divisor.
# '''Subtrahieren''': Ziehe das Produkt ab.
# '''Wiederholen''': Arbeite weiter, bis der Restgrad kleiner als der Divisorgrad ist.

[[Datei:Polynomdivision 1.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Einfaches Beispiel ==

Berechne:

<math>(x^2+3x+2):(x+1)</math>

Zuerst gilt:

<math>x^2:x=x</math>

Dann multiplizierst Du:

<math>x\cdot(x+1)=x^2+x</math>

Nach dem Subtrahieren bleibt:

<math>2x+2</math>

Nun gilt:

<math>2x:x=2</math>

Das Ergebnis ist:

<math>(x^2+3x+2):(x+1)=x+2</math>

'''Probe:'''

<math>(x+1)(x+2)=x^2+3x+2</math>

[[Datei:Beispiel Polynomdivision.png|500px|rahmenlos|center]]

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== Division mit Rest ==

Nicht jede Division geht ohne Rest auf.

<math>(x^2+1):(x+1)=x-1+\frac{2}{x+1}</math>

Der Rest ist hier <math>2</math>. Du hörst auf, sobald der Grad des Restes kleiner als der Grad des Divisors ist.

[[Datei:Polynomdivision 3.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Polynomdivision und Nullstellen ==

Ist <math>a</math> eine [[Nullstelle]], dann ist <math>x-a</math> ein passender Faktor. Bei der Nullstelle <math>2</math> teilst Du also durch <math>x-2</math>. So kannst Du den Grad eines Polynoms verkleinern.

[[Datei:Mplwp polynomialdeg2.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=OdlYNZXjmWA |500|center}}

{{BR}}
== Häufige Fehler ==

# [[Vorzeichen]]: Beim Subtrahieren ändern sich alle Vorzeichen des abgezogenen Polynoms.
# [[Reihenfolge]]: Schreibe die Potenzen immer absteigend.
# [[Lücken]]: Beachte fehlende Potenzen.
# [[Probe]]: Multipliziere Divisor und Quotient und addiere den Rest.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wozu dient die Polynomdivision?'''
(Zum Dividieren von Polynomen)
(!Zum Zeichnen von Kreisen)
(!Zum Addieren von Winkeln)
(!Zum Messen von Strecken)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was wird im ersten Rechenschritt geteilt?'''
(Die beiden Leitterme)
(!Die beiden letzten Zahlen)
(!Die beiden Exponenten)
(!Die beiden Reste)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was folgt nach dem Teilen der Leitterme?'''
(Das Multiplizieren mit dem Divisor)
(!Das Zeichnen eines Graphen)
(!Das Vertauschen der Variablen)
(!Das Runden des Ergebnisses)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist das Ergebnis von x Quadrat plus 3x plus 2 geteilt durch x plus 1?'''
(x plus 2)
(!x plus 1)
(!x minus 2)
(!2x plus 1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann endet die Polynomdivision?'''
(Wenn der Restgrad kleiner als der Divisorgrad ist)
(!Wenn keine Variable mehr vorkommt)
(!Wenn der Quotient null ist)
(!Wenn der Divisor größer als zehn ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Divisor passt zur Nullstelle 2?'''
(x minus 2)
(!x plus 2)
(!2x minus 1)
(!x mal 2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie wird ein fehlender x Quadrat Term berücksichtigt?'''
(Mit dem Koeffizienten null)
(!Mit dem Koeffizienten eins)
(!Durch Weglassen des Divisors)
(!Durch Verdoppeln des Exponenten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie prüfst Du ein Ergebnis mit Rest?'''
(Divisor mal Quotient plus Rest)
(!Dividend mal Rest)
(!Quotient minus Divisor)
(!Rest mal Rest)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Rest entsteht bei x Quadrat plus 1 geteilt durch x plus 1?'''
(2)
(!0)
(!1)
(!x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Nullstelle gehört zum Faktor x plus 3?'''
(minus 3)
(!plus 3)
(!minus 1)
(!plus 1)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Dividend || Polynom, das geteilt wird
|-
| Divisor || Polynom, durch das geteilt wird
|-
| Quotient || Ergebnis der Division
|-
| Rest || übrig bleibender Teil
|-
| Leitterm || Term mit der höchsten Potenz
|-
| Nullstelle || x-Wert mit Funktionswert null
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Rechenschritt
|-
| '''Ordnen'''
| Potenzen absteigend schreiben
|-
| '''Teilen'''
| Leitterme durcheinander teilen
|-
| '''Multiplizieren'''
| Quotiententerm mit dem Divisor malnehmen
|-
| '''Subtrahieren'''
| Produkt vom aktuellen Polynom abziehen
|-
| '''Wiederholen'''
| bis der Restgrad kleiner ist

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Polynom || Wie heißt eine Summe aus Variablenpotenzen und Koeffizienten?
|-
| Dividend || Wie heißt das Polynom, das geteilt wird?
|-
| Divisor || Wie heißt das Polynom, durch das geteilt wird?
|-
| Quotient || Wie heißt das Ergebnis einer Division?
|-
| Nullstelle || Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
|-
| Koeffizient || Wie heißt die Zahl vor einer Variablenpotenz?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Polynomdivision+einfach+erklärt </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei der Polynomdivision wird ein { Polynom } durch ein anderes Polynom geteilt. Zuerst werden die beiden { Leitterme } dividiert. Danach wird der neue Quotiententerm mit dem { Divisor } multipliziert. Dieses Produkt wird anschließend { subtrahiert }. Die Rechnung endet, wenn der Grad des { Restes } kleiner als der Grad des Divisors ist. Ist a eine Nullstelle, kann durch den Faktor { x-a } geteilt werden.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Begriffskarte]]: Gestalte eine Karte mit Dividend, Divisor, Quotient und Rest.
# [[Schrittfolge]]: Schreibe die vier Rechenschritte auf vier einzelne Zettel und ordne sie.
# [[Fehlerdetektiv]]: Erfinde eine falsche Polynomdivision und markiere den Fehler.
# [[Mini-Erklärvideo]]: Erkläre in höchstens einer Minute den ersten Rechenschritt.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Eigene Übungsaufgabe]]: Erstelle eine Polynomdivision ohne Rest und gib die Lösung an.
# [[Lernplakat]]: Gestalte ein Plakat mit Beispiel, Rechenweg und Probe.
# [[Partnererklärung]]: Erkläre einer anderen Person, warum fehlende Potenzen wichtig sind.
# [[Nullstellenweg]]: Zeige an einem Beispiel, wie eine bekannte Nullstelle den Grad senkt.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Rückwärtsaufgabe]]: Wähle Divisor und Quotient und bilde daraus einen passenden Dividenden.
# [[Vergleich]]: Vergleiche Polynomdivision und [[Horner-Schema]].
# [[Algorithmus]]: Formuliere die Rechenschritte als einfachen Pseudocode.
# [[Begründung]]: Erkläre, warum der Restgrad kleiner als der Divisorgrad sein muss.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Methodenwahl]]: Entscheide bei drei Aufgaben, ob Polynomdivision sinnvoll ist, und begründe Deine Wahl.
# [[Fehleranalyse]]: Untersuche einen Rechenweg mit falschem Vorzeichen und verbessere ihn.
# [[Rückwärtsdenken]]: Konstruiere ein Polynom, das beim Teilen durch <math>x-2</math> keinen Rest hat.
# [[Rest deuten]]: Erkläre, was ein Rest ungleich null über eine vermutete Nullstelle aussagt.
# [[Zusammenhang]]: Zeige, wie Polynomdivision, Linearfaktor und Nullstelle zusammenhängen.
# [[Transfer]]: Entwickle eine Aufgabe, bei der der Rest genau <math>3</math> ist.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# die Begriffe Dividend, Divisor, Quotient und Rest richtig verwendest,
# Polynome nach fallenden Potenzen ordnest,
# die vier Rechenschritte sicher ausführst,
# Ergebnisse durch Rückmultiplikation prüfst,
# eine bekannte Nullstelle zum Abspalten eines Linearfaktors nutzt,
# typische Vorzeichenfehler erkennst und verbesserst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Polynomdivision </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Polynomdivision einfach erklärt]]'''
# [[Polynom]]
# [[Polynomdivision]]
# [[Nullstelle]]
# [[Linearfaktor]]
# [[Horner-Schema]]
# [[Ganzrationale Funktion]]
# [[Koeffizient]]
# [[Grad eines Polynoms]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Polynomdivision]]
[[Kategorie:Klasse 9-13]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Polynomdivision einfach erklärt - Versionsgeschichte

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