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2026-07-13T21:37:30Z

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{{T}}
{{BR}}
= Partielle Integration - Herleitung und Beispiel =

{{BR}}
= Einleitung =

Die '''[[Partielle Integration]]''' ist eine Rechenregel der [[Integralrechnung]]. Du nutzt sie oft bei einem Produkt aus zwei Funktionen. Sie ist das Gegenstück zur [[Produktregel]] der [[Differentialrechnung]].

[[Datei:Integral and derivative.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Lernziel:''' Du kannst die Formel herleiten, passende Funktionen wählen und ein einfaches Integral berechnen.

{{BR}}
== Voraussetzungen ==

Du solltest [[Ableitung|Ableitungen]], [[Stammfunktion|Stammfunktionen]] und die [[Produktregel]] kennen.

<math>(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'</math>

{{BR}}
== Lernvideo: Herleitung und Beispiel ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=S5MopJe3iuk |500|center}}

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===
# [[Produktregel]]: Notiere die Produktregel, die im Video als Ausgangspunkt verwendet wird.
# [[Herleitung]]: Stoppe das Video nach jedem Rechenschritt und schreibe die Umformung mit eigenen Worten auf.
# [[Funktionswahl]]: Halte fest, welche Funktion im Beispiel abgeleitet und welche integriert wird.
# [[Parallelrechnung]]: Verdecke das Ergebnis und rechne das Beispiel selbst zu Ende.
# [[Ableitungsprobe]]: Leite das Ergebnis aus dem Video ab und prüfe, ob wieder der Integrand entsteht.

{{BR}}
== Herleitung ==

Aus der Produktregel folgt:

<math>(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'</math>

Nun werden beide Seiten integriert:

<math>u\cdot v=\int u'\cdot v\,dx+\int u\cdot v'\,dx</math>

Dann wird nach dem gesuchten Integral umgestellt:

<math>\int u\cdot v'\,dx=u\cdot v-\int u'\cdot v\,dx</math>

[[Datei:Integration by parts v2.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Die Formel ==

'''Unbestimmtes Integral:'''

<math>\int u(x)\cdot v'(x)\,dx=u(x)\cdot v(x)-\int u'(x)\cdot v(x)\,dx+C</math>

'''Bestimmtes Integral:'''

<math>\int_a^b u(x)\cdot v'(x)\,dx=[u(x)\cdot v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)\cdot v(x)\,dx</math>

[[Datei:Integration by parts via areas.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Beispiel ==

Berechne:

<math>\int x\cdot e^x\,dx</math>

Wähle <math>u=x</math> und <math>v'=e^x</math>. Dann gilt <math>u'=1</math> und <math>v=e^x</math>.

<math>\int x\cdot e^x\,dx=x\cdot e^x-\int e^x\,dx</math>

<math>=x\cdot e^x-e^x+C=e^x(x-1)+C</math>

'''Probe:''' Die Ableitung von <math>e^x(x-1)</math> ist <math>x\cdot e^x</math>.

{{BR}}
== Wahl von u und v Strich ==

Wähle <math>u</math> so, dass die [[Ableitung]] einfacher wird. Wähle <math>v'</math> so, dass Du leicht eine [[Stammfunktion]] findest.

Ein typischer Fall ist:

<math>\int \ln(x)\,dx</math>

Hier setzt Du <math>u=\ln(x)</math> und <math>v'=1</math>.

<math>\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C</math>

[[Datei:Integration of ln x.svg|400px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Häufige Fehler ==

# [[Vorzeichen]]: Das Minus vor dem neuen Integral wird vergessen.
# [[Stammfunktion]]: Die Funktion <math>v'</math> wird nicht korrekt integriert.
# [[Integrationskonstante]]: Bei unbestimmten Integralen fehlt <math>C</math>.
# [[Ableitungsprobe]]: Das Ergebnis wird nicht kontrolliert.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Regel ist der Ausgangspunkt der partiellen Integration?'''
(Produktregel)
(!Kettenregel)
(!Quotientenregel)
(!Mitternachtsformel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht bei der Herleitung nach der Produktregel?'''
(Beide Seiten werden integriert)
(!Beide Seiten werden quadriert)
(!Die Variable wird gelöscht)
(!Der Bruch wird gekürzt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt die partielle Integration?'''
(Integral u mal v Strich gleich u mal v minus Integral u Strich mal v)
(!Integral u mal v Strich gleich u Strich mal v Strich)
(!Integral u mal v Strich gleich u plus v)
(!Integral u mal v Strich gleich u geteilt durch v)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Wahl ist beim Integral x mal e hoch x sinnvoll?'''
(u gleich x)
(!u gleich eins)
(!u gleich null)
(!u gleich C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Stammfunktion gehört zu e hoch x?'''
(e hoch x)
(!x hoch e)
(!eins durch x)
(!ln x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist das Ergebnis von Integral x mal e hoch x?'''
(e hoch x mal x minus eins plus C)
(!x mal e hoch x plus C)
(!e hoch x plus C)
(!x Quadrat mal e hoch x plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wozu dient die Konstante C?'''
(Sie erfasst alle Stammfunktionen)
(!Sie ersetzt die Variable)
(!Sie macht das Integral bestimmt)
(!Sie ist immer null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie prüfst Du ein Ergebnis eines unbestimmten Integrals?'''
(Du leitest es ab)
(!Du verdoppelst es)
(!Du setzt x immer null)
(!Du rundest es)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss bei einem bestimmten Integral zusätzlich beachtet werden?'''
(Die Grenzen werden eingesetzt)
(!Die Variable wird umbenannt)
(!Das Minuszeichen entfällt)
(!Die Ableitung wird nicht gebraucht)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist partielle Integration besonders nützlich?'''
(Bei geeigneten Produkten von Funktionen)
(!Nur bei linearen Gleichungen)
(!Nur bei Prozentrechnung)
(!Nur bei Dreiecken)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Produktregel || Ausgangspunkt der Herleitung
|-
| u || wird abgeleitet
|-
| v Strich || wird integriert
|-
| Produktterm || u mal v
|-
| Konstante C || Familie der Stammfunktionen
|-
| Ableitungsprobe || Kontrolle des Ergebnisses
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Produktregel'''
| Start der Herleitung
|-
| '''Integrieren'''
| Auf beide Seiten anwenden
|-
| '''Umstellen'''
| Gesuchtes Integral isolieren
|-
| '''Funktionswahl'''
| u und v Strich festlegen
|-
| '''Ableitungsprobe'''
| Ergebnis kontrollieren

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Produktregel || Welche Regel wird zur Herleitung benutzt?
|-
| Stammfunktion || Was ist das Ergebnis eines unbestimmten Integrals?
|-
| Integral || Welches Rechenobjekt soll bestimmt werden?
|-
| Ableitung || Was bildest Du zur Kontrolle des Ergebnisses?
|-
| Randterm || Wie heißt der Term ohne Integral beim bestimmten Fall?
|-
| Konstante || Wie heißt C im Ergebnis?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Partielle+Integration+-+Herleitung+und+Beispiel </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die partielle Integration folgt aus der { Produktregel }. Zuerst werden beide Seiten der Gleichung { integriert }. Danach wird die Gleichung nach dem gesuchten { Integral } umgestellt. Die Funktion u sollte durch das { Ableiten } einfacher werden. Zu v Strich wird eine passende { Stammfunktion } bestimmt. Vor dem neuen Integral steht ein { Minuszeichen }. Bei unbestimmten Integralen ergänzt man die { Integrationskonstante }. Durch die { Ableitungsprobe } lässt sich das Ergebnis prüfen.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Formelkarte]]: Gestalte eine kleine Lernkarte mit der Formel der partiellen Integration.
# [[Video-Zusammenfassung]]: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.
# [[Begriffserklärung]]: Erkläre die Wörter Integrand, Stammfunktion und Ableitung.
# [[Rechenweg markieren]]: Markiere im Beispiel u, u Strich, v Strich und v.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Eigenes Beispiel]]: Berechne <math>\int x\sin(x)\,dx</math> und prüfe Dein Ergebnis.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde einen typischen Vorzeichenfehler und verbessere ihn.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video zur Herleitung der Formel.
# [[Vergleich]]: Vergleiche partielle Integration und [[Substitution]] in einer Tabelle.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Doppelte partielle Integration]]: Berechne <math>\int x^2e^x\,dx</math>.
# [[Logarithmus]]: Leite die Formel für <math>\int \ln(x)\,dx</math> vollständig her.
# [[Bestimmtes Integral]]: Berechne <math>\int_0^1 xe^x\,dx</math> und deute den Randterm.
# [[Transferaufgabe]]: Entwickle eine Entscheidungshilfe für die Wahl zwischen Substitution und partieller Integration.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Begründung]]: Erkläre, warum die partielle Integration aus der Produktregel folgt.
# [[Strategie]]: Begründe für <math>\int x\cos(x)\,dx</math> eine sinnvolle Wahl von u und v Strich.
# [[Fehlerkorrektur]]: Eine Person schreibt <math>\int xe^x\,dx=xe^x+e^x+C</math>. Finde und erkläre den Fehler.
# [[Vergleich]]: Entscheide bei drei selbst gewählten Integralen, ob partielle Integration oder Substitution besser passt.
# [[Transfer]]: Zeige durch Ableiten, dass <math>x\ln(x)-x+C</math> eine Stammfunktion von <math>\ln(x)</math> ist.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du:

# die [[Produktregel]] sicher anwenden,
# die Formel der [[Partiellen Integration]] herleiten,
# u und v Strich sinnvoll wählen,
# einen vollständigen Rechenweg darstellen,
# ein Ergebnis durch Ableiten prüfen,
# typische Fehler erklären und verbessern.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Partielle Integration]]'''
# [[Integralrechnung]]
# [[Produktregel]]
# [[Stammfunktion]]
# [[Ableitung]]
# [[Bestimmtes Integral]]
# [[Substitution]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]
[[Kategorie:Abitur]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Partielle Integration - Herleitung und Beispiel - Versionsgeschichte

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