Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:37:25Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}

{{BR}}
= Parabelgleichung aus einer Wertetabelle aufstellen =

{{BR}}
= Einleitung =
Eine [[Wertetabelle]] zeigt zusammengehörige <math>x</math>- und <math>y</math>-Werte. Daraus kannst Du die Gleichung einer [[Parabel]] bestimmen. Du brauchst meist drei Wertepaare. Der Kurs ist für [[Mathematik]] in den Klassen 8 bis 12 gedacht.

[[Datei:Quadratic-function.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Lernziele =
Nach dem Kurs kannst Du eine [[quadratische Funktion]] in der Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> ansetzen, Wertepaare einsetzen, ein [[Lineares Gleichungssystem|lineares Gleichungssystem]] lösen und das Ergebnis mit einer [[Punktprobe]] prüfen.

{{BR}}
= Grundidee =
Die allgemeine Form lautet:

<math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a \neq 0</math>.

Jedes Wertepaar <math>(x|y)</math> liefert eine Gleichung. Drei Wertepaare liefern drei Gleichungen für die drei unbekannten [[Koeffizient|Koeffizienten]] <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>.

[[Datei:Quadratic function graph key values.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Vorgehen in fünf Schritten =
# [[Allgemeine Form]]: Schreibe <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>.
# [[Wertepaar]]: Wähle drei verschiedene <math>x</math>-Werte aus der Tabelle.
# [[Einsetzen]]: Setze jedes Wertepaar in die allgemeine Form ein.
# [[Gleichungssystem]]: Löse die drei Gleichungen nach <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>.
# [[Punktprobe]]: Prüfe die Gleichung mit einem weiteren Tabellenwert.

'''Tipp:''' Steht <math>x=0</math> in der Tabelle, dann gilt sofort <math>c=y</math>.

{{BR}}
= Beispiel =
Gegeben ist diese Wertetabelle:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! <math>x</math>
! -1
! 0
! 1
! 2
|-
! <math>y</math>
| 6
| 1
| 0
| 3
|}

Wir nutzen zuerst die Punkte <math>(-1|6)</math>, <math>(0|1)</math> und <math>(1|0)</math>.

# Für <math>(-1|6)</math>: <math>a-b+c=6</math>
# Für <math>(0|1)</math>: <math>c=1</math>
# Für <math>(1|0)</math>: <math>a+b+c=0</math>

Mit <math>c=1</math> wird daraus <math>a-b=5</math> und <math>a+b=-1</math>. Addieren ergibt <math>2a=4</math>. Also ist <math>a=2</math> und <math>b=-3</math>.

'''Ergebnis:''' <math>f(x)=2x^2-3x+1</math>

'''Probe mit <math>x=2</math>:''' <math>f(2)=2\cdot4-3\cdot2+1=3</math>. Der Tabellenwert passt.

[[Datei:Polynomialdeg2.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Aufgaben zum Video =
Sieh das Video zuerst ganz an. Sieh es danach noch einmal mit Stopps an.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=eBGsdFUZvng |500|center}}

# [[Videofrage 1]]: Notiere die drei Wertepaare, die im Video benutzt werden.
# [[Videofrage 2]]: Schreibe den allgemeinen Ansatz auf.
# [[Videofrage 3]]: Stoppe nach dem Einsetzen und notiere die drei Gleichungen.
# [[Videofrage 4]]: Erkläre in zwei Sätzen, wie die Koeffizienten bestimmt werden.
# [[Videofrage 5]]: Prüfe die Gleichung aus dem Video mit einem weiteren Tabellenwert.

{{BR}}
== Vertiefungsvideo ==
Achte besonders darauf, wie aus drei Punkten ein Gleichungssystem entsteht.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=MYQWlM098es |500|center}}

[[Datei:Quadratische Funktionen und Normalparabel - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center]]

{{BR}}
= Schnell prüfen =
Bei gleichen Abständen der <math>x</math>-Werte sind die '''zweiten Differenzen''' der <math>y</math>-Werte bei einer quadratischen Funktion konstant. Im Beispiel lauten die ersten Differenzen <math>-5</math>, <math>-1</math>, <math>3</math>. Die zweiten Differenzen sind zweimal <math>4</math>. Das passt zu einer Parabel.

[[Datei:Parabola features.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie lautet die allgemeine Form einer quadratischen Funktion?'''
(f von x gleich a x Quadrat plus b x plus c)
(!f von x gleich m x plus c)
(!f von x gleich a durch x)
(!f von x gleich a x hoch drei)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele geeignete Wertepaare brauchst Du normalerweise, um a, b und c zu bestimmen?'''
(Drei Wertepaare)
(!Ein Wertepaar)
(!Zwei Wertepaare)
(!Fünf Wertepaare)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was kannst Du direkt ablesen, wenn die Tabelle den Wert x gleich null enthält?'''
(Der zugehörige y Wert ist c)
(!Der zugehörige y Wert ist a)
(!Der zugehörige y Wert ist b)
(!Der zugehörige y Wert ist immer null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gleichung entsteht aus dem Punkt mit x gleich zwei und y gleich drei?'''
(4a plus 2b plus c gleich 3)
(!2a plus 4b plus c gleich 3)
(!4a plus 2b plus 3 gleich c)
(!a plus b plus c gleich 2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Wert hat c im Beispiel dieses Kurses?'''
(1)
(!0)
(!2)
(!3)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist die Parabel nach oben geöffnet?'''
(Wenn a positiv ist)
(!Wenn b positiv ist)
(!Wenn c positiv ist)
(!Wenn a null ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was entsteht durch das Einsetzen von drei Wertepaaren?'''
(Ein lineares Gleichungssystem)
(!Eine einzige Zahl)
(!Ein Kreis)
(!Eine lineare Funktion)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie prüfst Du das berechnete Ergebnis am besten?'''
(Einen weiteren Tabellenwert einsetzen)
(!Nur den Graphen anschauen)
(!Alle Vorzeichen ändern)
(!Den Wert a gleich null setzen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum müssen die gewählten x Werte verschieden sein?'''
(Damit unabhängige Bedingungen entstehen)
(!Damit alle y Werte gleich werden)
(!Damit c verschwindet)
(!Damit die Funktion linear wird)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt bei einer quadratischen Wertetabelle mit gleichen x Abständen?'''
(Die zweiten Differenzen sind konstant)
(!Die ersten Differenzen sind immer null)
(!Alle y Werte sind gleich)
(!Die x Werte müssen negativ sein)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==
<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Wertetabelle || Paare aus Eingabe und Funktionswert
|-
| Parabel || Graph einer quadratischen Funktion
|-
| Koeffizient || Zahl vor einem Term
|-
| Punktprobe || Kontrolle durch Einsetzen
|-
| Gleichungssystem || Mehrere Gleichungen gemeinsam lösen
|-
| Scheitelpunkt || Höchster oder tiefster Punkt
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==
<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Allgemeine Form'''
| f von x gleich a x Quadrat plus b x plus c
|-
| '''Wertepaar'''
| liefert eine Gleichung
|-
| '''Null als x Wert'''
| zeigt direkt den Wert c
|-
| '''Gleichungssystem'''
| bestimmt a b und c
|-
| '''Punktprobe'''
| prüft das Ergebnis

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==
<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Parabel || Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
|-
| Koeffizient || Wie heißt eine Zahl wie a b oder c im Funktionsterm?
|-
| Wertetabelle || Wie heißt die geordnete Darstellung von x und y Werten?
|-
| Punktprobe || Wie heißt die Kontrolle durch Einsetzen eines Punktes?
|-
| Scheitelpunkt || Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel?
|-
| Gleichungssystem || Was entsteht aus mehreren Gleichungen mit denselben Unbekannten?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==
<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Parabelgleichung+aus+einer+Wertetabelle+aufstellen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==
<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die allgemeine Form enthält die drei { Koeffizienten } a b und c. Aus jedem Wertepaar entsteht eine { Gleichung }. Drei geeignete Wertepaare liefern ein lineares { Gleichungssystem }. Ist x gleich null kann man c oft direkt { ablesen }. Nach dem Lösen setzt man die Zahlen in die allgemeine { Form } ein. Eine zusätzliche Tabellenzeile eignet sich für die { Punktprobe }. Gleiche zweite Differenzen sind ein Hinweis auf eine { quadratische } Funktion.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Farbcodierung]]: Markiere im Beispiel alle x Werte blau, alle y Werte grün und die Koeffizienten rot.
# [[Videonotiz]]: Schreibe die fünf wichtigsten Schritte aus dem Video in eigenen Worten auf.
# [[Wertetabelle zeichnen]]: Zeichne die Punkte des Beispiels in ein Koordinatensystem.
# [[Punktprobe üben]]: Prüfe die Beispielgleichung zusätzlich mit x gleich minus eins.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Funktionsgleichung bestimmen]]: Bestimme die Parabelgleichung zur Tabelle mit x gleich minus eins null eins zwei und y gleich null minus zwei minus zwei null.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person behauptet für diese Tabelle gelte f von x gleich x Quadrat plus x minus zwei. Prüfe die Behauptung und verbessere sie.
# [[Eigene Wertetabelle]]: Erstelle zur Funktion <math>f(x)=-x^2+4x-1</math> eine Tabelle mit fünf Werten.
# [[Erklärplakat]]: Gestalte ein Plakat mit den fünf Schritten vom Wertepaar bis zur Punktprobe.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Größere Abstände]]: Bestimme die Funktion durch die Punkte <math>(-2|11)</math>, <math>(0|3)</math> und <math>(2|3)</math>.
# [[Messwerte modellieren]]: Finde eine quadratische Funktion zu den Messwerten <math>(0|1)</math>, <math>(1|2)</math>, <math>(2|5)</math> und prüfe den Wert <math>(3|10)</math>.
# [[Zweite Differenz]]: Begründe für gleich große x Schritte mit Abstand h die Regel <math>\Delta^2y=2ah^2</math>.
# [[Eigenes Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video, in dem Du aus einer selbst erstellten Wertetabelle eine Parabelgleichung bestimmst.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =
# [[Transferaufgabe 1]]: Bestimme die Gleichung zur Tabelle mit x gleich minus zwei minus eins null eins und y gleich neun vier eins null. Erkläre danach die Symmetrie des Graphen.
# [[Transferaufgabe 2]]: In der Tabelle x gleich minus eins null eins zwei stehen die y Werte zwei eins zwei sechs. Untersuche, welcher Wert nicht zu der durch die ersten drei Punkte bestimmten Parabel passt.
# [[Transferaufgabe 3]]: Erkläre, warum drei Punkte mit verschiedenen x Werten höchstens eine Funktion der Form <math>ax^2+bx+c</math> festlegen.
# [[Transferaufgabe 4]]: Entwickle eine kurze Regel für Tabellen, in denen x gleich null vorkommt, und begründe diese Regel.
# [[Transferaufgabe 5]]: Vergleiche die Methode mit dem Gleichungssystem und die Methode mit zweiten Differenzen. Nenne je einen Vorteil und eine Grenze.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =
Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:
# den Ansatz <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> sicher verwendest,
# aus drei Wertepaaren drei Gleichungen bildest,
# das Gleichungssystem nachvollziehbar löst,
# die fertige Funktion mit einer Punktprobe kontrollierst,
# Deine Rechenschritte verständlich erklärst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Funktion </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =
{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Parabelgleichung aus einer Wertetabelle aufstellen]]'''
# [[Quadratische Funktion]]
# [[Parabel]]
# [[Wertetabelle]]
# [[Lineares Gleichungssystem]]
# [[Punktprobe]]
# [[Koeffizient]]
# [[Scheitelpunkt]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Klasse 8]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Parabelgleichung aus einer Wertetabelle aufstellen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt