Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:28:48Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}
{{BR}}
= Mitternachtsformel - Quadratische Gleichungen =

{{BR}}
= Einleitung =
Mit der '''Mitternachtsformel''' löst Du [[quadratische Gleichung|quadratische Gleichungen]]. Sie heißen quadratisch, weil die Variable als Quadrat vorkommt, zum Beispiel <math>x^2</math>.

Die Normalform lautet:

<math>ax^2+bx+c=0</math> mit <math>a\neq 0</math>

Die Mitternachtsformel lautet:

<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

[[Datei:Quadratic function graph key values.svg|500px|rahmenlos|center]]

Eine quadratische Funktion hat als Graphen eine [[Parabel]]. Die Lösungen der Gleichung sind die [[Nullstelle|Nullstellen]] der Parabel.

{{BR}}
== Das bedeuten a, b und c ==
{| class="wikitable"
! Zeichen
! Bedeutung
|-
| <math>a</math>
| Zahl vor <math>x^2</math>
|-
| <math>b</math>
| Zahl vor <math>x</math>
|-
| <math>c</math>
| Zahl ohne <math>x</math>
|}

[[Datei:Quadratic equation coefficients.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== So gehst Du vor ==
# [[Normalform]]: Bringe die Gleichung in die Form <math>ax^2+bx+c=0</math>.
# [[Koeffizient]]en: Lies <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> mit ihren Vorzeichen ab.
# [[Diskriminante]]: Berechne <math>D=b^2-4ac</math>.
# [[Mitternachtsformel]]: Setze alle Werte ein.
# [[Probe]]: Setze die Lösungen in die Ausgangsgleichung ein.

{{BR}}
== Die Diskriminante ==
Die Zahl unter der Wurzel heißt '''Diskriminante'''.

{| class="wikitable"
! Wert von <math>D</math>
! Reelle Lösungen
|-
| <math>D>0</math>
| zwei verschiedene Lösungen
|-
| <math>D=0</math>
| eine doppelte Lösung
|-
| <math>D<0</math>
| keine reelle Lösung
|}

[[Datei:Roots of a quadratic function via the quadratic formula.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Kurzes Beispiel ==
Löse <math>x^2-5x+6=0</math>.

<math>a=1,\quad b=-5,\quad c=6</math>

<math>D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=1</math>

<math>x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}</math>

Also gilt: <math>x_1=3</math> und <math>x_2=2</math>.

{{BR}}
== Häufige Fehler ==
# [[Vorzeichen]]: Setze negative Zahlen in Klammern.
# [[Nenner]]: Unter dem ganzen Zähler steht <math>2a</math>.
# [[Wurzel]]: Unter der Wurzel steht nur <math>b^2-4ac</math>.
# [[Normalform]]: Auf einer Seite muss null stehen.

[[Datei:Quadratic formula via completing the square.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Video und Aufgaben =
Das Video erklärt die Mitternachtsformel Schritt für Schritt.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Rd1iAFPD9sU |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==
# [[Normalform erkennen]]: Schreibe die im Video genannte allgemeine Form einer quadratischen Gleichung auf.
# [[Formel erklären]]: Erkläre mit eigenen Worten, warum das Plus-minus-Zeichen zwei Rechnungen auslösen kann.
# [[Koeffizienten finden]]: Notiere aus einem Beispiel im Video die Werte für <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>.
# [[Rechenweg prüfen]]: Stoppe das Video vor dem Ergebnis und rechne selbst weiter.
# [[Fehler vermeiden]]: Nenne zwei Stellen, an denen ein Vorzeichenfehler entstehen kann.
# [[Zusammenfassen]]: Erstelle eine Karte mit den fünf wichtigsten Schritten aus dem Video.

{{BR}}
== Weitere Erklärung zur Parabel ==
[[Datei:Quadratische Funktionen und Normalparabel - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==
{{MC}}

'''Welche Form muss eine quadratische Gleichung für die Mitternachtsformel haben?'''
(ax² plus bx plus c gleich null)
(!ax plus b gleich null)
(!a durch x plus c gleich null)
(!ax³ plus bx gleich null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss für den Koeffizienten a gelten?'''
(a darf nicht null sein)
(!a muss immer eins sein)
(!a muss negativ sein)
(!a muss gleich b sein)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl steht unter der Wurzel?'''
(b² minus 4ac)
(!b² plus 4ac)
(!2a minus b)
(!a² minus 4bc)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie heißt b² minus 4ac?'''
(Diskriminante)
(!Dividend)
(!Differenzterm)
(!Scheitelwert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele verschiedene reelle Lösungen gibt es bei D größer null?'''
(zwei)
(!keine)
(!eine)
(!vier)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele reelle Lösungen gibt es bei D kleiner null?'''
(keine)
(!genau eine)
(!genau zwei)
(!unendlich viele)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Wert ist für b einzusetzen, wenn b gleich minus 5 ist?'''
(minus 5)
(!plus 5)
(!null)
(!fünf Quadrat)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was steht im Nenner der Mitternachtsformel?'''
(2a)
(!2b)
(!4a)
(!a plus b)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was sind die Lösungen einer quadratischen Gleichung im Graphen?'''
(Nullstellen)
(!Hochpunkte)
(!y Achsenabschnitte)
(!Wendepunkte)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Methode hilft beim Prüfen einer Lösung?'''
(Probe durch Einsetzen)
(!Nur Runden)
(!Nur Zeichnen)
(!Koeffizienten vertauschen)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==
<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Normalform || ax² plus bx plus c gleich null
|-
| Diskriminante || b² minus 4ac
|-
| Plus-minus-Zeichen || zwei mögliche Rechnungen
|-
| Nullstelle || Schnittpunkt mit der x-Achse
|-
| Koeffizient || Zahl vor einer Variablenpotenz
|-
| Probe || Lösung einsetzen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==
<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Normalform'''
| Gleichung steht auf einer Seite gleich null
|-
| '''Koeffizienten'''
| Werte a, b und c
|-
| '''Diskriminante'''
| Ausdruck unter der Wurzel
|-
| '''Nullstellen'''
| Lösungen der Gleichung
|-
| '''Probe'''
| Ergebnis durch Einsetzen prüfen
|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==
<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Normalform || Wie heißt die Form ax² plus bx plus c gleich null?
|-
| Koeffizient || Wie heißt eine Zahl vor einer Variablenpotenz?
|-
| Diskriminante || Wie heißt der Ausdruck b² minus 4ac?
|-
| Parabel || Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
|-
| Nullstelle || Wie heißt ein Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse?
|-
| Probe || Wie heißt das Prüfen durch Einsetzen?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==
<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Mitternachtsformel+-+Quadratische+Gleichungen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==
<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine quadratische Gleichung enthält die Variable in der zweiten { Potenz }. Die Standardform endet auf der rechten Seite mit { null }. Die Zahl vor dem Quadrat heißt { a }. Der Ausdruck unter der Wurzel heißt { Diskriminante }. Ist die Diskriminante positiv, gibt es zwei verschiedene { Lösungen }. Bei einer negativen Diskriminante gibt es keine { reellen } Lösungen. Eine Lösung prüfst Du durch eine { Probe }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Formelkarte]]: Gestalte eine kleine Lernkarte mit Normalform und Mitternachtsformel.
# [[Koeffizienten]]: Markiere in fünf Gleichungen die Werte für <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>.
# [[Erklärbild]]: Zeichne eine Parabel und markiere mögliche Nullstellen.
# [[Fehlerliste]]: Sammle vier typische Rechenfehler und schreibe je einen Tipp dazu.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Erklärvideo]]: Nimm ein einminütiges Video auf, in dem Du die Formel erklärst.
# [[Rechenbeispiel]]: Löse drei Gleichungen mit null, einer und zwei reellen Lösungen.
# [[Partnerinterview]]: Befrage eine Person zu ihrem Lösungsweg und vergleicht Eure Schritte.
# [[Mathematik-Plakat]]: Erstelle ein Plakat mit Formel, Ablauf, Beispiel und Probe.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Formelherleitung]]: Erkläre die Herleitung der Mitternachtsformel durch quadratische Ergänzung.
# [[Parameteraufgabe]]: Untersuche, wie sich die Zahl der Lösungen ändert, wenn ein Koeffizient verändert wird.
# [[Modellierung]]: Erfinde eine Sachaufgabe, die auf eine quadratische Gleichung führt, und löse sie.
# [[Digitale Untersuchung]]: Nutze eine dynamische Geometriesoftware und vergleiche Graph und berechnete Nullstellen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =
# [[Methodenwahl]]: Entscheide bei drei Gleichungen, ob Faktorisieren oder Mitternachtsformel günstiger ist, und begründe Deine Wahl.
# [[Fehleranalyse]]: Untersuche einen falschen Rechenweg mit Vorzeichenfehler. Verbessere ihn und erkläre die Ursache.
# [[Graph und Gleichung]]: Ordne drei Parabeln passenden Aussagen über ihre Diskriminante zu und begründe.
# [[Transfer]]: Entwickle eine quadratische Gleichung mit den Lösungen zwei und fünf. Prüfe Dein Ergebnis.
# [[Modell prüfen]]: Eine Flugbahn wird durch eine quadratische Funktion beschrieben. Erkläre, welche Bedeutung ihre Nullstellen haben können.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =
Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:
# die [[Normalform]] sicher herstellst,
# die [[Koeffizient]]en mit richtigen Vorzeichen abliest,
# die [[Diskriminante]] berechnest und deutest,
# die [[Mitternachtsformel]] korrekt anwendest,
# Lösungen mit einer [[Probe]] oder am Graphen prüfst,
# Deinen Rechenweg verständlich erklärst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =
{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Mitternachtsformel - Quadratische Gleichungen]]'''
# [[Quadratische Gleichung]]
# [[Mitternachtsformel]]
# [[Diskriminante]]
# [[Nullstelle]]
# [[Parabel]]
# [[Quadratische Ergänzung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Quadratische Gleichungen]]
[[Kategorie:Klasse 8]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Mitternachtsformel - Quadratische Gleichungen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt