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2026-06-16T04:12:28Z

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{{T}}
{{BR}}
= Einleitung =

[[Geometrischer Körper|Geometrische Körper]] begegnen Dir überall: Eine Schachtel ist näherungsweise ein [[Quader]], ein Würfelspiel benutzt einen [[Würfel]], eine Getränkedose hat die Form eines [[Zylinder|Zylinders]], ein Eishörnchen erinnert an einen [[Kegel]], ein Ball an eine [[Kugel]] und viele Dächer oder Verpackungen lassen sich als [[Prisma|Prismen]] oder [[Pyramide|Pyramiden]] modellieren. Beim Thema '''Mit Körpern rechnen''' lernst Du, wie Du [[Volumen]], [[Oberflächeninhalt]], [[Mantelfläche]], [[Grundfläche]], [[Höhe]], [[Radius]] und [[Durchmesser]] sicher bestimmst. Außerdem siehst Du, wie mathematische Formeln in einem [[MediaWiki]] mit der [[MediaWiki Extension Math|Math-Erweiterung]] geschrieben werden.

Die [[MediaWiki Extension Math]] nutzt die Schreibweise zwischen <math>\lt math\gt</math> und <math>\lt /math\gt</math>. Im Wikitext steht zum Beispiel <nowiki><math>V=a\cdot b\cdot c</math></nowiki>. Angezeigt wird daraus <math>V=a\cdot b\cdot c</math>. So können Formeln übersichtlich, eindeutig und professionell dargestellt werden.

[[Datei:Geometriska former 3d.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Grundideen der Körperberechnung =

{{BR}}
== Körper, Fläche und Raum ==

Ein [[geometrischer Körper]] liegt im [[dreidimensionaler Raum|dreidimensionalen Raum]]. Er hat Länge, Breite und Höhe oder andere passende Maße wie [[Radius]], [[Durchmesser]] und [[Schräghöhe]]. Die äußere Begrenzung eines Körpers heißt [[Oberfläche]]. Die Größe dieser Oberfläche nennt man [[Oberflächeninhalt]]. Der Platz, den ein Körper im Raum einnimmt, heißt [[Volumen]].

{{BR}}
== Volumen ==

Das [[Volumen]] beschreibt den Rauminhalt eines Körpers. Es wird in [[Kubikmeter|Kubikeinheiten]] angegeben, zum Beispiel <math>\mathrm{cm}^3</math>, <math>\mathrm{dm}^3</math> oder <math>\mathrm{m}^3</math>. Bei vielen Körpern wird das Volumen aus einer [[Grundfläche]] und einer [[Höhe]] berechnet.

Für gerade [[Prisma|Prismen]] und [[Zylinder]] gilt allgemein:

<math>V=G\cdot h</math>

Dabei steht <math>G</math> für den Flächeninhalt der [[Grundfläche]] und <math>h</math> für die senkrechte [[Höhe]].

Für [[Pyramide|Pyramiden]] und [[Kegel]] gilt:

<math>V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h</math>

Der Faktor <math>\frac{1}{3}</math> zeigt: Eine Pyramide oder ein Kegel hat bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe ein Drittel des Volumens des passenden Prismas oder Zylinders.

{{BR}}
== Oberflächeninhalt ==

Der [[Oberflächeninhalt]] ist die Summe aller Flächen, die den Körper außen begrenzen. Bei Körpern mit ebenen Flächen kannst Du oft ein [[Körpernetz]] zeichnen und die Teilflächen addieren. Bei runden Körpern kommen Kreisflächen und gekrümmte [[Mantelfläche|Mantelflächen]] hinzu.

Für viele Körper gilt die Grundidee:

<math>O=\text{Summe aller äußeren Teilflächen}</math>

Bei Körpern mit Grund- und Deckfläche wird häufig zwischen [[Grundfläche]], [[Deckfläche]] und [[Mantelfläche]] unterschieden.

{{BR}}
== Einheiten und Umrechnungen ==

Beim Rechnen mit Körpern sind Einheiten entscheidend. Längen werden in <math>\mathrm{mm}</math>, <math>\mathrm{cm}</math>, <math>\mathrm{dm}</math> oder <math>\mathrm{m}</math> gemessen. Flächen werden in Quadrateinheiten angegeben, Volumina in Kubikeinheiten.

Wichtige Umrechnungen sind:

<math>1\,\mathrm{dm}^3=1\,\mathrm{l}</math>

<math>1\,\mathrm{m}^3=1000\,\mathrm{dm}^3=1000\,\mathrm{l}</math>

<math>1\,\mathrm{cm}^3=1\,\mathrm{ml}</math>

Achte darauf, vor dem Einsetzen in eine Formel alle Längen in dieselbe Einheit umzuwandeln. Wenn ein Radius in Zentimetern und eine Höhe in Millimetern gegeben ist, musst Du zuerst umrechnen.

{{BR}}
= Rechnen mit wichtigen Körpern =

{{BR}}
== Würfel ==

Ein [[Würfel]] hat sechs gleich große quadratische Flächen. Alle Kanten sind gleich lang. Wenn die Kantenlänge <math>a</math> heißt, gilt:

<math>V=a^3</math>

<math>O=6a^2</math>

Ein Würfel mit <math>a=5\,\mathrm{cm}</math> hat daher:

<math>V=5^3=125\,\mathrm{cm}^3</math>

<math>O=6\cdot 5^2=150\,\mathrm{cm}^2</math>

{{BR}}
== Quader ==

Ein [[Quader]] hat rechteckige Seitenflächen. Seine Kantenlängen heißen häufig <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>.

<math>V=a\cdot b\cdot c</math>

<math>O=2(ab+ac+bc)</math>

Beispiel: Eine Schachtel ist <math>8\,\mathrm{cm}</math> lang, <math>5\,\mathrm{cm}</math> breit und <math>3\,\mathrm{cm}</math> hoch.

<math>V=8\cdot 5\cdot 3=120\,\mathrm{cm}^3</math>

<math>O=2(8\cdot 5+8\cdot 3+5\cdot 3)=2(40+24+15)=158\,\mathrm{cm}^2</math>

{{BR}}
== Prisma ==

Ein [[Prisma]] hat zwei zueinander parallele und kongruente Grundflächen. Die übrigen Flächen bilden den Mantel. Bei einem geraden Prisma gilt:

<math>V=G\cdot h</math>

<math>O=2G+M</math>

<math>M=U_G\cdot h</math>

Dabei ist <math>G</math> der Flächeninhalt der Grundfläche, <math>U_G</math> der Umfang der Grundfläche und <math>h</math> die Höhe des Prismas. Besonders wichtig ist das [[Dreiecksprisma]], weil seine Grundfläche ein [[Dreieck]] ist. Dann berechnest Du zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=WBJNXPCbzlU |500|center}}

{{BR}}
== Pyramide ==

Eine [[Pyramide]] hat eine Grundfläche und eine Spitze. Die Seitenflächen sind Dreiecke. Für das Volumen gilt:

<math>V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h</math>

Der Oberflächeninhalt ist:

<math>O=G+M</math>

Dabei ist <math>M</math> die Summe aller dreieckigen Seitenflächen. Wenn die Grundfläche ein Quadrat mit Seitenlänge <math>a</math> ist und die Seitenhöhe der Dreiecke <math>s_a</math> beträgt, gilt für die Mantelfläche:

<math>M=4\cdot \frac{1}{2}a\cdot s_a=2a\cdot s_a</math>

Eine quadratische Pyramide mit <math>a=6\,\mathrm{cm}</math>, <math>s_a=5\,\mathrm{cm}</math> und <math>h=4\,\mathrm{cm}</math> hat:

<math>G=6^2=36\,\mathrm{cm}^2</math>

<math>M=2\cdot 6\cdot 5=60\,\mathrm{cm}^2</math>

<math>O=36+60=96\,\mathrm{cm}^2</math>

<math>V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4=48\,\mathrm{cm}^3</math>

{{BR}}
== Zylinder ==

Ein [[Zylinder]] hat zwei parallele Kreisflächen und eine gekrümmte Mantelfläche. Der Radius der Grundfläche heißt <math>r</math>, die Höhe heißt <math>h</math>.

<math>G=\pi r^2</math>

<math>V=\pi r^2h</math>

<math>M=2\pi rh</math>

<math>O=2\pi r^2+2\pi rh</math>

Beispiel: Eine Dose hat <math>r=4\,\mathrm{cm}</math> und <math>h=10\,\mathrm{cm}</math>.

<math>V=\pi\cdot 4^2\cdot 10=160\pi\approx 502{,}65\,\mathrm{cm}^3</math>

<math>O=2\pi\cdot 4^2+2\pi\cdot 4\cdot 10=112\pi\approx 351{,}86\,\mathrm{cm}^2</math>

{{BR}}
== Kegel ==

Ein [[Kegel]] hat eine kreisförmige Grundfläche, eine Spitze und eine gekrümmte Mantelfläche. Neben Radius <math>r</math> und Höhe <math>h</math> ist die Schräghöhe <math>s</math> wichtig.

<math>V=\frac{1}{3}\pi r^2h</math>

<math>M=\pi rs</math>

<math>O=\pi r^2+\pi rs</math>

Wenn ein gerader Kreiskegel vorliegt, gilt mit dem [[Satz des Pythagoras]]:

<math>s=\sqrt{r^2+h^2}</math>

Beispiel: Ein Kegel hat <math>r=3\,\mathrm{cm}</math> und <math>h=4\,\mathrm{cm}</math>. Dann ist:

<math>s=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\,\mathrm{cm}</math>

<math>V=\frac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\pi\approx 37{,}70\,\mathrm{cm}^3</math>

<math>O=\pi\cdot 3^2+\pi\cdot 3\cdot 5=24\pi\approx 75{,}40\,\mathrm{cm}^2</math>

{{BR}}
== Kugel ==

Eine [[Kugel]] besteht aus allen Punkten, die von einem Mittelpunkt höchstens den Abstand <math>r</math> haben. Die Oberfläche der Kugel ist besonders regelmäßig.

<math>V=\frac{4}{3}\pi r^3</math>

<math>O=4\pi r^2</math>

Beispiel: Ein Ball hat den Radius <math>r=6\,\mathrm{cm}</math>.

<math>V=\frac{4}{3}\pi\cdot 6^3=288\pi\approx 904{,}78\,\mathrm{cm}^3</math>

<math>O=4\pi\cdot 6^2=144\pi\approx 452{,}39\,\mathrm{cm}^2</math>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=ZcHfje2Ojo8 |500|center}}

{{BR}}
== Kegelstumpf als Erweiterung ==

Ein [[Kegelstumpf]] entsteht, wenn ein Kegel parallel zur Grundfläche abgeschnitten wird. Er hat zwei Kreisflächen mit den Radien <math>R</math> und <math>r</math> sowie die Höhe <math>h</math>.

<math>V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)</math>

<math>M=\pi(R+r)s</math>

<math>O=\pi R^2+\pi r^2+\pi(R+r)s</math>

Der Kegelstumpf ist eine gute Erweiterung, wenn Du Blumentöpfe, Becher, Lampenschirme oder Eimer mathematisch modellieren möchtest.

{{BR}}
= Formelsammlung =

{| class="wikitable"
! Körper
! Volumen
! Oberfläche oder wichtige Fläche
! Hinweise
|-
| [[Würfel]]
| <math>V=a^3</math>
| <math>O=6a^2</math>
| Alle Kanten sind gleich lang.
|-
| [[Quader]]
| <math>V=a\cdot b\cdot c</math>
| <math>O=2(ab+ac+bc)</math>
| Drei verschiedene Kantenlängen können vorkommen.
|-
| [[Prisma]]
| <math>V=G\cdot h</math>
| <math>O=2G+U_G\cdot h</math>
| Gilt direkt für gerade Prismen.
|-
| [[Pyramide]]
| <math>V=\frac{1}{3}G\cdot h</math>
| <math>O=G+M</math>
| Die Mantelfläche besteht aus Dreiecken.
|-
| [[Zylinder]]
| <math>V=\pi r^2h</math>
| <math>O=2\pi r^2+2\pi rh</math>
| Zwei Kreisflächen und eine Mantelfläche.
|-
| [[Kegel]]
| <math>V=\frac{1}{3}\pi r^2h</math>
| <math>O=\pi r^2+\pi rs</math>
| Die Schräghöhe <math>s</math> wird oft mit Pythagoras berechnet.
|-
| [[Kugel]]
| <math>V=\frac{4}{3}\pi r^3</math>
| <math>O=4\pi r^2</math>
| Alle Oberflächenpunkte haben denselben Abstand vom Mittelpunkt.
|}

{{BR}}
= Strategien zum Lösen von Aufgaben =

{{BR}}
== Schritt 1: Körper erkennen ==

Zuerst bestimmst Du, welcher Körper vorliegt. Frage Dich: Gibt es rechteckige Flächen, Kreisflächen, eine Spitze, zwei gleiche Grundflächen oder eine gekrümmte Oberfläche? Oft ist ein realer Gegenstand nur näherungsweise ein mathematischer Körper. Eine Dose wird zum [[Zylinder]], ein Ball zur [[Kugel]], ein Karton zum [[Quader]].

{{BR}}
== Schritt 2: Gesuchte Größe bestimmen ==

Lies genau, ob nach [[Volumen]], [[Oberflächeninhalt]], [[Mantelfläche]], [[Grundfläche]], [[Höhe]], [[Radius]] oder [[Durchmesser]] gefragt ist. Die Frage entscheidet, welche Formel Du brauchst. Wenn Materialbedarf gefragt ist, geht es meist um Oberfläche. Wenn Füllmenge gefragt ist, geht es meist um Volumen.

{{BR}}
== Schritt 3: Einheiten vereinheitlichen ==

Setze Werte nur dann in die Formel ein, wenn sie zur gleichen Einheit gehören. Aus <math>20\,\mathrm{mm}</math> wird <math>2\,\mathrm{cm}</math>, wenn Du mit Zentimetern rechnen möchtest. Ergebnisse müssen passende Einheiten erhalten: Länge in <math>\mathrm{cm}</math>, Fläche in <math>\mathrm{cm}^2</math>, Volumen in <math>\mathrm{cm}^3</math>.

{{BR}}
== Schritt 4: Formel einsetzen und sauber rechnen ==

Schreibe die Formel zuerst allgemein auf. Setze dann die Werte ein. Rechne erst am Ende mit einer gerundeten Zahl für <math>\pi</math>, wenn möglich. Üblich ist:

<math>\pi\approx 3{,}14159</math>

Bei Schulaufgaben wird oft auf zwei Dezimalstellen gerundet. Gib dann an, dass Dein Ergebnis ein Näherungswert ist.

{{BR}}
== Schritt 5: Ergebnis prüfen ==

Prüfe, ob das Ergebnis sinnvoll ist. Ein Volumen kann nicht negativ sein. Eine Oberfläche ist immer eine Fläche. Wenn ein kleiner Gegenstand plötzlich mehrere Kubikmeter groß ist, liegt wahrscheinlich ein Einheitenfehler vor.

{{BR}}
= Mit zusammengesetzten Körpern rechnen =

Viele Aufgaben bestehen nicht nur aus einem einfachen Körper. Ein zusammengesetzter Körper wird in bekannte Teilkörper zerlegt. Dann addierst oder subtrahierst Du Volumina und Oberflächen passend.

{{BR}}
== Körper zusammensetzen ==

Wenn ein Körper aus mehreren Teilkörpern besteht, gilt für das Volumen meist:

<math>V_{\text{gesamt}}=V_1+V_2+V_3+\dots</math>

Beispiel: Ein Turm besteht aus einem Quader und einer Pyramide als Dach. Dann berechnest Du das Volumen des Quaders und das Volumen der Pyramide getrennt und addierst beide.

{{BR}}
== Körper aushöhlen oder ausschneiden ==

Wenn ein Loch oder eine Aussparung vorhanden ist, subtrahierst Du das Volumen des entfernten Körpers.

<math>V_{\text{Rest}}=V_{\text{außen}}-V_{\text{Aussparung}}</math>

Beispiel: Durch einen Quader wird ein zylindrisches Loch gebohrt. Dann gilt:

<math>V_{\text{Rest}}=a\cdot b\cdot c-\pi r^2h</math>

Beim Oberflächeninhalt musst Du besonders aufpassen: Herausgeschnittene Flächen verschwinden, aber neue Innenflächen können hinzukommen.

{{BR}}
== Ähnliche Körper und Skalierung ==

Wenn alle Längen eines Körpers mit dem Faktor <math>k</math> vergrößert werden, wächst der Oberflächeninhalt mit <math>k^2</math> und das Volumen mit <math>k^3</math>.

<math>O_2=k^2\cdot O_1</math>

<math>V_2=k^3\cdot V_1</math>

Wird ein Körper in allen Längen verdoppelt, vervierfacht sich die Oberfläche und das Volumen wird achtmal so groß. Diese Beziehung ist wichtig in [[Architektur]], [[Biologie]], [[Technik]] und [[Modellbau]].

[[Datei:Comparison of surface area vs volume of shapes.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Besondere Zusammenhänge =

{{BR}}
== Zylinder, Kegel und Kugel im Vergleich ==

Ein klassischer Zusammenhang betrifft [[Zylinder]], [[Kegel]] und [[Kugel]]. Wenn ein Kegel, eine Kugel und ein Zylinder passend denselben Radius besitzen und die Höhen entsprechend zusammenpassen, entstehen einfache Volumenverhältnisse. Für einen Zylinder mit Radius <math>r</math> und Höhe <math>2r</math> gilt:

<math>V_{\text{Zylinder}}=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3</math>

Für die Kugel mit Radius <math>r</math> gilt:

<math>V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi r^3</math>

Für den Kegel mit Radius <math>r</math> und Höhe <math>2r</math> gilt:

<math>V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot 2r=\frac{2}{3}\pi r^3</math>

Damit ergibt sich das Verhältnis:

<math>V_{\text{Kegel}}:V_{\text{Kugel}}:V_{\text{Zylinder}}=1:2:3</math>

[[Datei:Inscribed cone sphere cylinder.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Formeln umstellen ==

Oft ist nicht das Volumen gesucht, sondern eine fehlende Länge. Dann musst Du die Formel umstellen.

Beispiel: Ein Zylinder hat das Volumen <math>V</math> und den Radius <math>r</math>. Gesucht ist die Höhe <math>h</math>.

Aus

<math>V=\pi r^2h</math>

wird durch Division durch <math>\pi r^2</math>:

<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>

Beispiel mit Zahlen:

<math>V=314\,\mathrm{cm}^3</math>, <math>r=5\,\mathrm{cm}</math>

<math>h=\frac{314}{\pi\cdot 5^2}\approx \frac{314}{78{,}54}\approx 4{,}00\,\mathrm{cm}</math>

{{BR}}
= Formeln mit MediaWiki Extension Math schreiben =

{{BR}}
== Grundsyntax ==

In MediaWiki schreibst Du mathematische Formeln in Math-Tags. Der Wikitext

<nowiki><math>V=a\cdot b\cdot c</math></nowiki>

wird angezeigt als:

<math>V=a\cdot b\cdot c</math>

Die Math-Erweiterung dient der sauberen Darstellung. Sie ersetzt keinen Taschenrechner, macht Formeln aber lesbar und eindeutig.

{{BR}}
== Häufige Math-Befehle ==

{| class="wikitable"
! Ziel
! Wikitext
! Anzeige
|-
| Multiplikation
| <nowiki><math>a\cdot b</math></nowiki>
| <math>a\cdot b</math>
|-
| Potenz
| <nowiki><math>a^3</math></nowiki>
| <math>a^3</math>
|-
| Index
| <nowiki><math>U_G</math></nowiki>
| <math>U_G</math>
|-
| Bruch
| <nowiki><math>\frac{1}{3}</math></nowiki>
| <math>\frac{1}{3}</math>
|-
| Wurzel
| <nowiki><math>\sqrt{r^2+h^2}</math></nowiki>
| <math>\sqrt{r^2+h^2}</math>
|-
| Pi
| <nowiki><math>\pi</math></nowiki>
| <math>\pi</math>
|-
| Text in Formeln
| <nowiki><math>V_{\text{gesamt}}</math></nowiki>
| <math>V_{\text{gesamt}}</math>
|-
| Einheiten
| <nowiki><math>120\,\mathrm{cm}^3</math></nowiki>
| <math>120\,\mathrm{cm}^3</math>
|}

{{BR}}
== Gute Darstellung von Rechenwegen ==

Ein sauberer Rechenweg ist besser als nur ein Ergebnis. Du kannst eine Rechnung Schritt für Schritt darstellen:

<math>V=\pi r^2h</math>

<math>V=\pi\cdot 4^2\cdot 10</math>

<math>V=160\pi</math>

<math>V\approx 502{,}65\,\mathrm{cm}^3</math>

Diese Darstellung hilft Dir, Fehler zu finden. Du erkennst, welche Formel verwendet wurde, welche Werte eingesetzt wurden und wie das Ergebnis entsteht.

{{BR}}
= Häufige Fehler und wie Du sie vermeidest =

{{BR}}
== Radius und Durchmesser verwechseln ==

Beim Kreis gilt:

<math>d=2r</math>

<math>r=\frac{d}{2}</math>

Wenn in einer Aufgabe der Durchmesser angegeben ist, darfst Du ihn nicht direkt als Radius einsetzen. Bei einem Durchmesser von <math>10\,\mathrm{cm}</math> ist der Radius <math>5\,\mathrm{cm}</math>.

{{BR}}
== Oberfläche und Volumen verwechseln ==

Der Oberflächeninhalt beschreibt Materialbedarf, zum Beispiel Papier, Farbe, Blech oder Stoff. Das Volumen beschreibt Füllmenge oder Rauminhalt, zum Beispiel Wasser, Luft, Beton oder Sand. Eine Dose braucht Blech für die Oberfläche, aber sie fasst Flüssigkeit als Volumen.

{{BR}}
== Falsche Höhe verwenden ==

Bei Pyramiden und Kegeln ist die Höhe immer der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Spitze. Die Schräghöhe ist nicht dasselbe. Für das Volumen brauchst Du die senkrechte Höhe <math>h</math>. Für die Mantelfläche des Kegels brauchst Du die Schräghöhe <math>s</math>.

{{BR}}
== Zu früh runden ==

Wenn Du Zwischenergebnisse zu früh rundest, kann das Endergebnis ungenauer werden. Rechne möglichst lange exakt mit <math>\pi</math> oder mit Brüchen und runde erst am Ende.

{{BR}}
= Überblicksvideo =

Das folgende Video gibt eine Übersicht über wichtige Körper und typische Berechnungen zu Volumen und Oberfläche.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=6Ix1-QTwPqg |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was beschreibt das Volumen eines Körpers?'''
(Den Rauminhalt eines Körpers)
(!Die Länge einer Kante)
(!Die Summe aller Winkel)
(!Die Anzahl der Ecken)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel berechnet das Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen a, b und c?'''
(V = a mal b mal c)
(!V = 2 mal a plus b plus c)
(!V = a plus b plus c)
(!V = 6 mal a hoch 2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel gehört zum Volumen eines Würfels mit Kantenlänge a?'''
(V = a hoch 3)
(!V = 3 mal a)
(!V = 6 mal a hoch 2)
(!V = a hoch 2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders?'''
(V = pi mal r hoch 2 mal h)
(!V = 2 mal pi mal r)
(!V = pi mal r mal s)
(!V = 4 mal pi mal r hoch 2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum steht bei Pyramide und Kegel der Faktor ein Drittel in der Volumenformel?'''
(Sie haben bei gleicher Grundfläche und Höhe ein Drittel des passenden Prismas oder Zylinders)
(!Sie haben immer drei Flächen)
(!Sie haben immer drei Kanten)
(!Sie werden immer durch drei geteilt, weil pi vorkommt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Einheit passt zu einem Oberflächeninhalt?'''
(Quadratzentimeter)
(!Zentimeter)
(!Kubikzentimeter)
(!Liter pro Sekunde)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Einheit passt zu einem Volumen?'''
(Kubikmeter)
(!Quadratmeter)
(!Meter)
(!Grad)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei einem Kegel die Höhe?'''
(Der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Spitze)
(!Der Radius der Grundfläche)
(!Die Länge des Kreisumfangs)
(!Die Mantelfläche)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was passiert mit dem Volumen eines Körpers, wenn alle Längen verdoppelt werden?'''
(Es wird achtmal so groß)
(!Es wird doppelt so groß)
(!Es wird viermal so groß)
(!Es bleibt gleich)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wozu dient die MediaWiki Math-Erweiterung in einem Lernartikel?'''
(Zur übersichtlichen Darstellung mathematischer Formeln)
(!Zum automatischen Zeichnen aller Körper)
(!Zum Ersetzen jeder Rechnung)
(!Zum Speichern von Bildern ohne Dateinamen)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Volumen || Rauminhalt
|-
| Oberflächeninhalt || äußere Gesamtfläche
|-
| Mantelfläche || Seitenfläche
|-
| Radius || halber Durchmesser
|-
| Prisma || zwei parallele Grundflächen
|-
| Kegel || Kreisgrundfläche und Spitze
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Volumen'''
| Rauminhalt eines Körpers
|-
| '''Oberflächeninhalt'''
| Summe aller äußeren Begrenzungsflächen
|-
| '''Mantelfläche'''
| seitliche Fläche ohne Grundflächen
|-
| '''Grundfläche'''
| Fläche, auf der die Körperberechnung aufbaut
|-
| '''Höhe'''
| senkrechter Abstand zur Grundfläche
|-
| '''Radius'''
| Abstand vom Kreismittelpunkt zum Rand

|}
{{E}}

<br>
...
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Volumen || Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
|-
| Mantel || Wie nennt man die seitliche Fläche eines Körpers kurz?
|-
| Prisma || Welcher Körper hat zwei parallele kongruente Grundflächen?
|-
| Radius || Wie heißt der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises zum Rand?
|-
| Kegel || Welcher Körper hat eine Kreisgrundfläche und eine Spitze?
|-
| Kugel || Welcher Körper hat alle Oberflächenpunkte im gleichen Abstand vom Mittelpunkt?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Mit+Körpern+rechnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein geometrischer Körper liegt im { dreidimensionalen } Raum. Das { Volumen } beschreibt den Rauminhalt eines Körpers. Der { Oberflächeninhalt } ist die Summe der äußeren Begrenzungsflächen. Bei einem Zylinder ist die Grundfläche ein { Kreis }. Der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises bis zum Rand heißt { Radius }. Bei einem Kegel brauchst Du für das Volumen die senkrechte { Höhe }. Die Mantelfläche eines Kegels nutzt zusätzlich die { Schräghöhe }. In MediaWiki werden Formeln mit der Math-Erweiterung in { Math-Tags } geschrieben. Wenn alle Längen verdoppelt werden, wird das Volumen { achtmal } so groß. Ergebnisse für Oberflächen werden in { Quadrateinheiten } angegeben.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Körper im Alltag]]: Suche zu Hause oder in der Schule je ein Beispiel für Würfel, Quader, Zylinder, Kegel und Kugel. Fotografiere oder skizziere die Gegenstände und notiere, welche Maße Du für eine Berechnung brauchst.
# [[Formelsteckbrief]]: Erstelle einen Steckbrief zu einem Körper Deiner Wahl. Beschreibe seine Eigenschaften, zeichne ihn und schreibe die wichtigsten Formeln mit <nowiki><math></nowiki>-Schreibweise auf.
# [[Einheiten-Training]]: Erstelle zehn kleine Umrechnungsaufgaben zu Längen, Flächen und Volumen. Löse sie und erkläre bei drei Aufgaben, warum sich die Einheit verändert.
# [[Körpernetz]]: Zeichne das Netz eines Quaders oder Würfels. Beschrifte alle Flächen und berechne den Oberflächeninhalt.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Verpackung planen]]: Entwirf eine quaderförmige Verpackung für ein kleines Produkt. Berechne Volumen, Oberflächeninhalt und den ungefähren Materialbedarf mit Kleberand.
# [[Dose untersuchen]]: Miss Radius und Höhe einer zylinderförmigen Dose. Berechne Volumen und Oberfläche. Vergleiche das berechnete Volumen mit der aufgedruckten Füllmenge.
# [[Pyramidenmodell]]: Baue aus Papier eine quadratische Pyramide. Berechne Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen. Dokumentiere Deinen Rechenweg mit Math-Formeln.
# [[Rechenfehler finden]]: Schreibe eine absichtlich fehlerhafte Lösung zu einer Körperaufgabe. Tausche sie mit einer anderen Person und lasse die Fehler erklären und verbessern.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Zusammengesetzter Körper]]: Entwerfe einen Körper aus mindestens drei Teilkörpern. Berechne das Gesamtvolumen und entscheide begründet, welche Außenflächen zum Oberflächeninhalt gehören.
# [[Aushöhlung berechnen]]: Plane einen quaderförmigen Körper mit zylindrischer Bohrung. Berechne Restvolumen und neue Oberfläche. Erkläre, welche Flächen verschwinden und welche neu entstehen.
# [[Skalierungsexperiment]]: Vergleiche zwei ähnliche Körper mit Längenfaktor <math>k=3</math>. Berechne, wie sich Oberfläche und Volumen verändern, und erkläre den Unterschied zwischen <math>k^2</math> und <math>k^3</math>.
# [[MediaWiki-Formelsammlung]]: Erstelle eine eigene kleine Formelsammlung in MediaWiki-Syntax. Nutze Brüche, Potenzen, Wurzeln, Indizes und Einheiten korrekt mit der Math-Erweiterung.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transfer Verpackungsdesign]]: Eine Firma möchte eine neue Verpackung mit möglichst großem Volumen und möglichst kleiner Oberfläche entwickeln. Vergleiche zwei verschiedene Körperformen und begründe, welche günstiger wäre.
# [[Modellierung realer Gegenstände]]: Wähle einen realen Gegenstand, der nicht exakt ein mathematischer Körper ist. Entscheide, durch welche einfachen Körper Du ihn annähern kannst, und bewerte die Genauigkeit Deines Modells.
# [[Fehleranalyse Einheiten]]: Erkläre anhand eines selbst gewählten Beispiels, wie ein falsches Umrechnen von Zentimetern, Quadratzentimetern und Kubikzentimetern zu einem unplausiblen Ergebnis führt.
# [[Zusammengesetzte Oberfläche]]: Ein Spielzeug besteht aus einem Zylinder mit aufgesetztem Kegel. Erkläre, warum die gemeinsame Kreisfläche nicht zur äußeren Oberfläche gehört, aber für das Volumen beide Teilkörper addiert werden.
# [[Formelumstellung begründen]]: Leite aus der Volumenformel des Zylinders eine Formel für den Radius her. Beschreibe jeden Umformungsschritt und prüfe Dein Ergebnis mit einer Beispielrechnung.
# [[Skalierung und Material]]: Ein Modell wird in allen Längen viermal größer gebaut. Erkläre, warum Materialbedarf und Füllmenge nicht im gleichen Verhältnis wachsen, und nenne eine praktische Folge.

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen vollständigen Lernnachweis bearbeitest Du eine komplexe Körperaufgabe mit Skizze, gegebenen Größen, gesuchter Größe, Formel, Einsetzung, Rechnung, Einheit und Ergebnissatz. Zusätzlich erklärst Du, welche Rolle die [[Grundfläche]], die [[Höhe]] und mögliche [[Mantelfläche|Mantelflächen]] spielen. Deine Lösung soll mindestens eine Formel in korrekter MediaWiki-Math-Schreibweise enthalten.

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= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Geometrie) </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

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{{:D-Tab}}
'''[[Mit Körpern rechnen]]'''
# [[Geometrischer Körper]]
# [[Volumen]]
# [[Oberflächeninhalt]]
# [[Mantelfläche]]
# [[Grundfläche]]
# [[Höhe]]
# [[Radius]]
# [[Durchmesser]]
# [[Würfel]]
# [[Quader]]
# [[Prisma]]
# [[Pyramide]]
# [[Zylinder]]
# [[Kegel]]
# [[Kugel]]
# [[Körpernetz]]
# [[Satz des Pythagoras]]
# [[MediaWiki Extension Math]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]
[[Kategorie:Klasse 7-8]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Medienbildung]]
[[Kategorie:OER]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Mit Körpern rechnen - aiMOOC - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt