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2026-09-27T19:38:59Z

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{{T}}

{{BR}}
= M9 M - Verhältnisgleichungen in Sachproblemen nutzen =

'''Kurzbeschreibung:''' Nutze Verhältnisgleichungen in Vermessungs-, Maßstabs-, Mischungs- und Geometrieaufgaben. Entwickle zuerst ein mathematisches Modell und löse anschließend die Gleichung. Zielgruppe: '''Klasse 9, M-Niveau, Baden-Württemberg'''.

[[Datei:Equal products in a proportion.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Einleitung =

Verhältnisgleichungen helfen Dir, wenn zwei Verhältnisse denselben Wert haben. Statt sofort zu rechnen, gehst Du in Sachproblemen immer in vier Schritten vor:

# '''Situation verstehen''': Welche Größen gehören zusammen?
# '''Modell bilden''': Schreibe zwei gleichartige Verhältnisse.
# '''Gleichung lösen''': Forme nach der gesuchten Größe um.
# '''Ergebnis prüfen''': Einheit, Größenordnung und Sachzusammenhang kontrollieren.

Das Grundmodell lautet:

<math>\frac{a}{b}=\frac{c}{x}</math>

Durch Kreuzmultiplikation erhältst Du:

<math>a\cdot x=b\cdot c</math>

und damit

<math>x=\frac{b\cdot c}{a}</math>

'''Wichtig:''' Kreuzmultiplizieren ist kein Ersatz für die Modellbildung. Zuerst muss klar sein, welche Größen einander entsprechen.

[[Datei:Academ homothetic rectangles.svg|460px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube|https://www.youtube.com/watch?v=xooEyNT3OQc|500|center}}

{{BR}}
= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

# [[Verhältnisgleichung|Verhältnisgleichungen]] aus Sachproblemen entwickeln.
# passende Größen und Einheiten einander zuordnen.
# Verhältnisgleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen.
# Anwendungen zu [[Maßstab]], [[Mischungsrechnung]], [[Ähnlichkeit|ähnlichen Figuren]] und Vermessung bearbeiten.
# Rechenweg, Darstellung und Begründung verständlich dokumentieren.
# digitale Ergebnisse durch Rückrechnung und Plausibilitätsprüfung kontrollieren.
# ein Verfahren begründet auswählen und auf neue Situationen übertragen.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

Prüfe, ob Du diese Grundlagen sicher beherrschst:

<math>\frac{2}{3}=\frac{4}{6}</math>

<math>2{,}5\,\mathrm{m}=250\,\mathrm{cm}</math>

<math>1\,\mathrm{km}=100000\,\mathrm{cm}</math>

<math>3x=18 \Rightarrow x=6</math>

<div class="lueckentext-quiz">
{| class="wikitable"
! Prüfe Dich
! Ergänzung
|-
| <math>\frac{3}{5}=\frac{12}{\,\square\,}</math>
| '''20'''
|-
| <math>4{,}2\,\mathrm{km}=\,\square\,\mathrm{m}</math>
| '''4200'''
|-
| <math>7x=35</math>
| '''<math>x=5</math>'''
|}
{{E}}
</div>

'''Wenn Du hier unsicher bist:''' Wiederhole zuerst [[Bruchrechnung]], [[Einheiten umrechnen]] und [[Lineare Gleichungen]].

{{BR}}
= Das Modell: Verhältnisgleichung =

Zwei Verhältnisse sind gleich, wenn sie denselben Quotienten besitzen:

<math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>

Dann gilt:

<math>a\cdot d=b\cdot c</math>

[[Datei:Equal products in a proportion.svg|420px|rahmenlos|center]]

'''Merksatz:''' Schreibe auf beiden Seiten der Gleichung die Größen in derselben Reihenfolge.

Beispiel:

<math>\frac{\text{Kartenstrecke}}{\text{Wirklichkeitsstrecke}}
=
\frac{\text{Kartenstrecke}}{\text{Wirklichkeitsstrecke}}</math>

Nicht sinnvoll wäre ein Wechsel der Reihenfolge nur auf einer Seite.

{{BR}}
== Dynamische Doppelzahlengerade ==

Nutze die beiden gekoppelten Zahlengeraden. Verändere Werte und beobachte, welche Zahlenpaare dasselbe Verhältnis besitzen.

<iframe width="100%" height="520" src="https://www.geogebra.org/m/v5mcxnhc"></iframe>

'''Denkfrage:''' Warum liegen alle passenden Wertepaare auf derselben proportionalen Struktur?

{{BR}}
= Interaktive Beispiele =

{{BR}}
== Beispiel 1: Vermessung mit Schatten ==

Ein Stab ist <math>1{,}6\,\mathrm{m}</math> hoch und wirft einen <math>2\,\mathrm{m}</math> langen Schatten. Gleichzeitig ist der Schatten eines Baumes <math>8{,}5\,\mathrm{m}</math> lang.

'''1. Modell'''

Wegen gleicher Sonnenrichtung entstehen ähnliche Dreiecke:

<math>\frac{\text{Baumhöhe}}{\text{Baumschatten}}
=
\frac{\text{Stabhöhe}}{\text{Stabschattens}}</math>

Also:

<math>\frac{x}{8{,}5}=\frac{1{,}6}{2}</math>

'''2. Gleichung lösen'''

<math>2x=8{,}5\cdot1{,}6</math>

<math>2x=13{,}6</math>

<math>x=6{,}8</math>

'''3. Antwort'''

Der Baum ist etwa <math>6{,}8\,\mathrm{m}</math> hoch.

'''4. Kontrolle'''

<math>\frac{6{,}8}{8{,}5}=0{,}8</math>

und

<math>\frac{1{,}6}{2}=0{,}8</math>

Die Verhältnisse stimmen überein.

[[Datei:Similar Triangles.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Dynamische Geometrie: ähnliche Dreiecke ==

Bewege den Schieberegler und beobachte die Seitenverhältnisse.

<iframe width="100%" height="560" src="https://www.geogebra.org/m/ESuuSvQW"></iframe>

'''Beobachtung:''' Werden alle entsprechenden Seiten mit demselben Faktor verändert, bleiben die Dreiecke ähnlich.

{{BR}}
== Beispiel 2: Maßstab ==

Auf einer Karte mit dem Maßstab <math>1:25000</math> beträgt eine Strecke <math>7{,}2\,\mathrm{cm}</math>.

[[Datei:Maßstabsleiste.png|500px|rahmenlos|center]]

'''Modell'''

<math>\frac{1}{25000}=\frac{7{,}2}{x}</math>

'''Lösen'''

<math>x=7{,}2\cdot25000</math>

<math>x=180000\,\mathrm{cm}</math>

Umrechnen:

<math>180000\,\mathrm{cm}=1800\,\mathrm{m}=1{,}8\,\mathrm{km}</math>

'''Antwort:''' In Wirklichkeit beträgt die Strecke <math>1{,}8\,\mathrm{km}</math>.

{{#ev:youtube|https://www.youtube.com/watch?v=W6mW6n8T6yU|500|center}}

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== Beispiel 3: Mischung ==

Sirup und Wasser werden im Verhältnis <math>3:5</math> gemischt. Du verwendest <math>2{,}4\,\mathrm{l}</math> Sirup.

'''Modell'''

<math>\frac{3}{5}=\frac{2{,}4}{x}</math>

'''Lösen'''

<math>3x=5\cdot2{,}4</math>

<math>3x=12</math>

<math>x=4</math>

'''Antwort:''' Du brauchst <math>4\,\mathrm{l}</math> Wasser.

'''Plausibilität:''' Wasser hat im Mischungsverhältnis den größeren Anteil. Deshalb muss die Wassermenge größer als <math>2{,}4\,\mathrm{l}</math> sein.

{{#ev:youtube|https://www.youtube.com/watch?v=vjWeSRFxSxI|500|center}}

{{BR}}
== Beispiel 4: Geometrie ==

Zwei Dreiecke sind ähnlich. Eine Seite von <math>4\,\mathrm{cm}</math> entspricht einer Seite von <math>6\,\mathrm{cm}</math>. Einer Seite von <math>x</math> entsprechen <math>9\,\mathrm{cm}</math>.

[[Datei:Similar triangles example.png|420px|rahmenlos|center]]

'''Modell'''

<math>\frac{4}{6}=\frac{x}{9}</math>

'''Lösen'''

<math>6x=4\cdot9</math>

<math>6x=36</math>

<math>x=6</math>

'''Antwort:''' Die gesuchte Seite ist <math>6\,\mathrm{cm}</math> lang.

{{BR}}
== Maßstäbliches Vergrößern dynamisch untersuchen ==

<iframe width="100%" height="560" src="https://www.geogebra.org/m/P6zTkJj9"></iframe>

Verändere die Figur. Notiere zu drei Einstellungen jeweils zwei entsprechende Seiten und prüfe:

<math>\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}</math>

{{BR}}
= Visueller Rechenweg =

Für

<math>\frac{3}{7}=\frac{x}{21}</math>

kannst Du den Rechenweg so lesen:

{| class="wikitable" style="width:100%;"
! Schritt
! Rechnung
! Begründung
|-
| Modell
| <math>\frac{3}{7}=\frac{x}{21}</math>
| entsprechende Größen stehen in gleicher Reihenfolge
|-
| Kreuzprodukt
| <math>3\cdot21=7x</math>
| Produkte über Kreuz sind gleich
|-
| Vereinfachen
| <math>63=7x</math>
| Produkt berechnen
|-
| Auflösen
| <math>x=9</math>
| durch <math>7</math> teilen
|-
| Kontrolle
| <math>\frac{3}{7}=\frac{9}{21}</math>
| beide Brüche sind gleichwertig
|}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Animation im Kopf:''' Stelle Dir vor, dass beide Seiten der Verhältnisgleichung gleichzeitig durch denselben Umformungsschritt verändert werden. Öffne diesen Abschnitt erneut und sprich jeden Schritt laut mit Begründung.
</div>

{{BR}}
= Übungen mit Hilfestufen und Feedback =

{{BR}}
== Aufgabe A: Maßstab ==

Eine Strecke ist auf einer Karte im Maßstab <math>1:50000</math> genau <math>4{,}8\,\mathrm{cm}</math> lang. Bestimme die reale Länge.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1:''' Nutze <math>\frac{1}{50000}=\frac{4{,}8}{x}</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2:''' Berechne zuerst <math>x</math> in Zentimetern.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>x=240000\,\mathrm{cm}=2{,}4\,\mathrm{km}</math>. Wenn Du <math>240000</math> ohne Einheit erhältst, ist die Rechnung noch nicht fertig.
</div>

{{BR}}
== Aufgabe B: Mischung ==

Sirup und Wasser werden im Verhältnis <math>2:7</math> gemischt. Es sind <math>1{,}5\,\mathrm{l}</math> Sirup vorhanden. Wie viel Wasser wird benötigt?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1:''' <math>\frac{2}{7}=\frac{1{,}5}{x}</math>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2:''' <math>2x=7\cdot1{,}5</math>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>x=5{,}25\,\mathrm{l}</math>. Das Ergebnis ist plausibel, weil der Wasseranteil deutlich größer ist.
</div>

{{BR}}
== Aufgabe C: Ähnliche Dreiecke ==

In zwei ähnlichen Dreiecken entsprechen sich die Seiten <math>5\,\mathrm{cm}</math> und <math>7{,}5\,\mathrm{cm}</math>. Einer zweiten Seite von <math>8\,\mathrm{cm}</math> entspricht <math>x</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1:''' <math>\frac{5}{7{,}5}=\frac{8}{x}</math>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2:''' <math>5x=60</math>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>x=12\,\mathrm{cm}</math>. Der Vergrößerungsfaktor ist <math>1{,}5</math>.
</div>

{{BR}}
== Aufgabe D: Vermessung ==

Ein <math>1{,}5\,\mathrm{m}</math> hoher Messstab wirft einen <math>1{,}2\,\mathrm{m}</math> langen Schatten. Der Schatten eines Mastes ist <math>6\,\mathrm{m}</math> lang. Bestimme die Masthöhe.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1:''' Verwende Höhe zu Schattenlänge.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2:''' <math>\frac{x}{6}=\frac{1{,}5}{1{,}2}</math>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>x=7{,}5\,\mathrm{m}</math>.
</div>

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= Typische Fehler =

# [[Zuordnung]]: Nicht zusammengehörige Größen werden in ein Verhältnis gesetzt. '''Prüfung:''' Was entspricht was?
# [[Reihenfolge]]: Eine Verhältnisgleichung wechselt auf einer Seite die Reihenfolge. '''Prüfung:''' Beide Brüche gleich lesen.
# [[Einheiten]]: Zentimeter und Kilometer werden direkt verglichen. '''Prüfung:''' Vor dem Einsetzen möglichst vereinheitlichen.
# [[Kreuzmultiplikation]]: Es wird mechanisch gerechnet, ohne das Modell zu prüfen. '''Prüfung:''' Verhältnis zuerst in Worten erklären.
# [[Plausibilität]]: Ein rechnerisch gewonnenes Ergebnis wird ungeprüft übernommen. '''Prüfung:''' Größenordnung und Situation kontrollieren.

'''Digitale Werkzeuge:''' Taschenrechner, GeoGebra oder KI können beim Rechnen und Darstellen helfen. Prüfe jedes Ergebnis selbst. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine nachvollziehbare Begründung. Verwende bei Online-Werkzeugen keine personenbezogenen Daten.

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= Selbstkontrolle =

Löse zuerst ohne Aufklappen.

# <math>\frac{4}{9}=\frac{x}{27}</math>
# <math>\frac{5}{8}=\frac{15}{x}</math>
# Maßstab <math>1:20000</math>, Kartenstrecke <math>6\,\mathrm{cm}</math>
# Mischung <math>4:9</math>, erster Anteil <math>3\,\mathrm{kg}</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösungen:''' 1. <math>x=12</math> · 2. <math>x=24</math> · 3. <math>1{,}2\,\mathrm{km}</math> · 4. zweiter Anteil <math>6{,}75\,\mathrm{kg}</math>
</div>

{{BR}}
= Transfer =

Bearbeite mindestens zwei Situationen und dokumentiere jeweils '''Modell – Rechnung – Prüfung – Antwort'''.

# [[Schulgelände vermessen]]: Bestimme mit einer maßstäblichen Skizze eine reale Entfernung.
# [[Rezept skalieren]]: Übertrage ein Mischungsverhältnis auf eine andere Gesamtmenge.
# [[Höhe indirekt bestimmen]]: Entwickle eine Schattenmessung für einen Baum oder ein Gebäude.
# [[Geometrische Vergrößerung]]: Konstruiere zwei ähnliche Figuren und bestimme eine fehlende Länge.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

Markiere für Dich: '''sicher – teilweise sicher – noch üben'''.

{| class="wikitable" style="width:100%;"
! Kompetenz
! Selbstcheck
|-
| Ich erkenne passende Größenpaare.
| sicher / teilweise / üben
|-
| Ich formuliere eine Verhältnisgleichung selbstständig.
| sicher / teilweise / üben
|-
| Ich löse die Gleichung korrekt.
| sicher / teilweise / üben
|-
| Ich nutze Einheiten korrekt.
| sicher / teilweise / üben
|-
| Ich begründe mein Modell.
| sicher / teilweise / üben
|-
| Ich prüfe digitale Ergebnisse kritisch.
| sicher / teilweise / üben
|}

{{BR}}
= Reflexion =

# Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Verhältnisgleichung, Tabelle, Doppelzahlengerade oder Skizze?
# Woran erkennst Du, ob zwei Größen wirklich proportional zusammenhängen?
# Welche Kontrolle findest Du zuverlässiger: Rückrechnung oder Plausibilitätsprüfung?
# Wann würdest Du eher mit ähnlichen Dreiecken als mit einem einfachen Dreisatz argumentieren?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als Nächstes passen besonders:

# [[Strahlensätze]]
# [[Ähnliche Dreiecke]]
# [[Proportionale Funktionen]]
# [[Lineare Gleichungen in Sachproblemen]]
# [[Maßstab und Karten]]
# [[Mathematisch modellieren]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist der wichtigste erste Schritt bei einem Sachproblem mit Verhältnisgleichung?'''
(Ein passendes mathematisches Modell entwickeln)
(!Sofort kreuzmultiplizieren)
(!Alle Zahlen addieren)
(!Zuerst runden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gleichung beschreibt zwei gleiche Verhältnisse?'''
(<math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>)
(!<math>a+b=c+d</math>)
(!<math>a-b=c-d</math>)
(!<math>ab+cd=0</math>)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was folgt aus <math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>?'''
(<math>a\cdot d=b\cdot c</math>)
(!<math>a+b=c+d</math>)
(!<math>a\cdot b=c\cdot d</math>)
(!<math>a-d=b-c</math>)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist <math>x</math> bei <math>\frac{3}{5}=\frac{x}{20}</math>?'''
(12)
(!8)
(!15)
(!25)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet der Maßstab <math>1:25000</math>?'''
(1 cm auf der Karte entspricht 25000 cm in Wirklichkeit)
(!1 cm auf der Karte entspricht 25000 km in Wirklichkeit)
(!25000 cm auf der Karte entsprechen 1 km in Wirklichkeit)
(!Die Karte ist 25000 cm breit)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zuordnung ist bei ähnlichen Dreiecken entscheidend?'''
(Entsprechende Seiten müssen einander zugeordnet werden)
(!Nur die längsten Seiten dürfen verwendet werden)
(!Alle Seiten werden addiert)
(!Die Winkel werden in Zentimeter umgerechnet)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Kontrolle ist nach einer Maßstabsrechnung sinnvoll?'''
(Einheit und Größenordnung prüfen)
(!Nur die letzte Ziffer prüfen)
(!Alle Einheiten entfernen)
(!Das Ergebnis immer auf ganze Zahlen runden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Sirup und Wasser stehen im Verhältnis 2 zu 5. Was gilt?'''
(Auf 2 Teile Sirup kommen 5 Teile Wasser)
(!Auf 5 Teile Sirup kommen 2 Teile Wasser)
(!Die Gesamtmenge besteht aus 5 Teilen)
(!Sirup und Wasser sind gleich viel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zu digitalen Ergebnissen ist richtig?'''
(Digitale Ergebnisse müssen mathematisch geprüft werden)
(!Ein Taschenrechnerbegebnis braucht nie eine Kontrolle)
(!Eine KI-Antwort ist automatisch ein Beweis)
(!Ein Diagramm kann keine Fehler enthalten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist eine Skizze bei Vermessungsaufgaben hilfreich?'''
(Sie macht entsprechende Größen und geometrische Beziehungen sichtbar)
(!Sie ersetzt jede Rechnung)
(!Sie macht Einheiten überflüssig)
(!Sie garantiert ein ganzzahliges Ergebnis)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Verhältnisgleichung || Zwei gleich große Quotienten
|-
| Maßstab || Verhältnis von Zeichnung zu Wirklichkeit
|-
| Kreuzprodukt || Produkt gegenüberliegender Terme
|-
| Ähnlichkeit || Gleiche Form bei proportionalen Seiten
|-
| Plausibilitätsprüfung || Kontrolle der Größenordnung
|-
| Mischungsverhältnis || Verhältnis zweier Stoffmengen
|}
{{E}}
</div>
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Modellbildung'''
| Größen auswählen und Verhältnisgleichung aufstellen
|-
| '''Äquivalenzumformung'''
| Gleichung schrittweise lösen
|-
| '''Einheitenkontrolle'''
| Größen in vergleichbare Maßeinheiten bringen
|-
| '''Rückrechnung'''
| Ergebnis in die Ausgangsgleichung einsetzen
|-
| '''Sachantwort'''
| Ergebnis mit Einheit und Bedeutung formulieren
|}

{{E}}
</div>

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Maßstab || Wie heißt das Verhältnis zwischen Darstellung und Wirklichkeit?
|-
| Quotient || Wie heißt das Ergebnis einer Division?
|-
| Modell || Wie heißt die mathematische Beschreibung einer Sachsituation?
|-
| Einheit || Was muss bei einer gemessenen Größe angegeben werden?
|-
| Dreieck || Welche geometrische Figur wird bei Schattenmessungen häufig genutzt?
|-
| Kontrolle || Wie heißt die Prüfung eines Ergebnisses?
|}
{{E}}
</div>
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M9+M+-+Verhältnisgleichungen+in+Sachproblemen+nutzen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einem Sachproblem entwickelst Du zuerst ein mathematisches { Modell }. Zwei gleich große Quotienten können als { Verhältnisgleichung } geschrieben werden. Beim Lösen einer Verhältnisgleichung kann das { Kreuzprodukt } genutzt werden. Vor dem Rechnen sollten vergleichbare { Einheiten } hergestellt werden. Bei ähnlichen Dreiecken sind entsprechende Seiten { proportional }. Nach dem Rechnen prüfst Du die { Plausibilität } des Ergebnisses. Ein digitales Ergebnis ersetzt keine mathematische { Begründung }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Verhältnis-Foto]]: Fotografiere oder zeichne eine Situation mit Maßstab oder proportionaler Vergrößerung und beschrifte zwei passende Größenpaare.
# [[Rechenweg erklären]]: Erkläre <math>\frac{4}{7}=\frac{x}{21}</math> in eigenen Worten und begründe jeden Schritt.
# [[Fehler finden]]: Erfinde eine falsche Verhältnisgleichung zu einer Maßstabsaufgabe und korrigiere sie.
# [[Doppelzahlengerade]]: Stelle das Verhältnis <math>3:5</math> mit mindestens vier äquivalenten Wertepaaren dar.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Schulplan]]: Zeichne einen kleinen Plan eines Raumes oder Flures in geeignetem Maßstab und dokumentiere die Umrechnung.
# [[Mischungsversuch]]: Plane ein ungefährliches Getränkemischungsverhältnis mit Wasser und Saft. Berechne drei mögliche Gesamtmengen.
# [[Schattenmessung]]: Entwickle eine Messmethode, mit der sich die Höhe eines Gegenstands über Schattenlängen bestimmen lässt.
# [[GeoGebra-Untersuchung]]: Verändere ähnliche Dreiecke dynamisch und protokolliere, welche Größen gleich bleiben und welche sich ändern.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Modellvergleich]]: Löse dieselbe proportionale Aufgabe mit Verhältnisgleichung, Tabelle und Doppelzahlengerade. Vergleiche die Verfahren.
# [[Messfehler]]: Untersuche, wie sich ein Messfehler von <math>1\,\mathrm{cm}</math> bei einer Kartenstrecke auf die reale Entfernung auswirken kann.
# [[Vermessungsprojekt]]: Bestimme indirekt eine Höhe, dokumentiere Messwerte, Verhältnisgleichung, Unsicherheiten und Kontrolle.
# [[KI-Prüfung]]: Lass Dir zu einer selbst entworfenen Verhältnisaufgabe einen digitalen Lösungsvorschlag erzeugen. Prüfe Modell, Rechenweg, Ergebnis und Begründung vollständig selbst. Verwende keine personenbezogenen Daten.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modell begründen]]: Ein Plan zeigt <math>8\,\mathrm{cm}</math> für eine reale Strecke von <math>24\,\mathrm{m}</math>. Erkläre, wie Du eine Verhältnisgleichung für eine zweite Planstrecke aufbaust, ohne sie sofort zu lösen.
# [[Darstellungen verknüpfen]]: Überführe das Verhältnis <math>4:7</math> in eine Doppelzahlengerade, eine Tabelle und eine Verhältnisgleichung. Erkläre die Gemeinsamkeit.
# [[Fehleranalyse]]: Jemand schreibt bei Maßstab <math>1:50000</math> und <math>3\,\mathrm{cm}</math> Kartenstrecke die Gleichung <math>\frac{1}{50000}=\frac{x}{3}</math>. Analysiere den Fehler und verbessere das Modell.
# [[Transfer Geometrie]]: Erkläre, warum eine Verhältnisgleichung bei ähnlichen Dreiecken verwendet werden darf, nicht aber bei beliebigen Dreiecken.
# [[Plausibilität]]: Eine Rechnung ergibt für <math>2\,\mathrm{cm}</math> auf einer Karte im Maßstab <math>1:100000</math> eine reale Strecke von <math>200\,\mathrm{km}</math>. Prüfe das Ergebnis und begründe Deine Entscheidung.
# [[Verfahrenswahl]]: Entscheide für eine selbst gewählte Anwendung, ob Tabelle, Doppelzahlengerade oder Verhältnisgleichung am übersichtlichsten ist. Begründe Deine Wahl.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# eine Sachsituation in ein korrektes Verhältnis übersetzen kannst.
# eine Verhältnisgleichung sauber und nachvollziehbar löst.
# Einheiten sicher umrechnest.
# Darstellungen wie Skizze, Tabelle und Gleichung miteinander verbindest.
# Dein Ergebnis durch Rückrechnung und Plausibilitätsprüfung kontrollierst.
# Dein gewähltes Verfahren fachlich begründest.
# digitale Hilfsmittel kritisch nutzt und Rechenergebnisse selbst überprüfst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

[[Datei:Mapscaleline.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Triangles semblables.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Freie dynamische Materialien:'''
# GeoGebra: Doppelzahlengerade zu Verhältnissen
# GeoGebra: ähnliche Dreiecke mit veränderlichem Streckfaktor
# GeoGebra: maßstäbliches Vergrößern und Verkleinern

'''Weiterführende freie Informationen:'''

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Proportionalität </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Maßstab_(Kartografie) </iframe>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Verhältnisgleichungen]]'''
# [[Proportionalität]]
# [[Dreisatz]]
# [[Maßstab]]
# [[Ähnliche Dreiecke]]
# [[Strahlensätze]]
# [[Mischungsrechnung]]
# [[Lineare Gleichungen]]
# [[Mathematisch modellieren]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:M-Niveau]]
[[Kategorie:Verhältnisgleichung]]
[[Kategorie:Proportionalität]]
[[Kategorie:Maßstab]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Modellieren]]
[[Kategorie:AI_MOOC]]
[[Kategorie:GPT aiMOOC]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M9 M - Verhältnisgleichungen in Sachproblemen nutzen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt