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2026-09-27T19:37:25Z

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= M9 E - Zylinderformeln herleiten und erklären =

'''Mini-Beschreibung:''' Begründe Volumen-, Mantel- und Oberflächenformeln des geraden Kreiszylinders aus [[Kreisfläche]], [[Kreisumfang]] und [[Körpernetz|Netz]]. Du arbeitest auf '''E-Niveau''' der Klasse 9 in Baden-Württemberg: Formeln werden nicht nur benutzt, sondern hergeleitet, verknüpft, geprüft und auf neue Situationen übertragen.

[[Datei:Zylinder-senkr-kreis-hr-s.svg|300px|rahmenlos|center]]

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= Einleitung =

Ein Zylinder lässt sich auf drei Blickweisen untersuchen:

'''Kreis → Grundfläche'''

'''Kreisumfang → abgerollter Mantel'''

'''Gleich große Querschnitte → Volumen'''

Die zentralen Größen sind Radius <math>r>0</math> und Höhe <math>h>0</math>.

'''Ziel:''' Am Ende kannst Du die Formeln nicht nur nennen, sondern aus bekannten Zusammenhängen begründen.

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== Lernziele ==

# [[Zylinder]]: Du beschreibst Grundfläche, Deckfläche, Mantel, Radius und Höhe fachsprachlich.
# [[Mantelfläche]]: Du leitest <math>M=2\pi rh</math> aus dem abgewickelten Mantel her.
# [[Oberfläche]]: Du begründest <math>O=2\pi r^2+2\pi rh</math>.
# [[Volumen]]: Du begründest <math>V=\pi r^2h</math> mit Grundfläche, Schichten und dem [[Prinzip von Cavalieri]].
# [[Beweis]]: Du unterscheidest Herleitung, Plausibilitätsprüfung und bloßes Einsetzen.
# [[Modellieren]]: Du entscheidest, welche Flächen oder Volumina in einer Sachsituation tatsächlich gebraucht werden.
# [[Digitale Mathematik]]: Du prüfst dynamische Darstellungen und KI-Ausgaben kritisch; eine Animation ersetzt keinen mathematischen Beweis.

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== Vorwissen-Check ==

Ohne Taschenrechner:

<math>G_{\text{Kreis}}=\pi r^2</math>

<math>U_{\text{Kreis}}=2\pi r</math>

<math>A_{\text{Rechteck}}=a\cdot b</math>

'''Denkfrage:''' Welche dieser drei Beziehungen wird später für Volumen, Mantel und Oberfläche benötigt?

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'''Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Welcher Term beschreibt seine Fläche?'''
(<math>16\pi</math> cm²)
(!<math>8\pi</math> cm²)
(!<math>4\pi</math> cm²)
(!<math>32\pi</math> cm²)
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{{MC}}
'''Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Welcher Term beschreibt seinen Umfang?'''
(<math>8\pi</math> cm)
(!<math>16\pi</math> cm)
(!<math>4\pi</math> cm)
(!<math>32\pi</math> cm)
{{E}}

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== Der Zylinder als 3D-Körper ==

[[Datei:Revolución cilindro.gif|260px|rahmenlos|center]]

Die Animation zeigt: Ein gerader Kreiszylinder kann durch Rotation eines Rechtecks um eine seiner Seiten entstehen.

Für die folgenden Herleitungen betrachten wir einen '''geraden Kreiszylinder'''.

<math>G=\pi r^2</math>

<math>U=2\pi r</math>

[[Datei:Right cylinder net.svg|500px|rahmenlos|center]]

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= Mantelformel herleiten =

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== Abrollen statt Auswendiglernen ==

Wird der Mantel entlang einer Mantellinie aufgeschnitten und flach ausgerollt, entsteht ein Rechteck.

[[Datei:ZylinderNetz.svg|500px|rahmenlos|center]]

Die Rechteckhöhe ist die Zylinderhöhe:

<math>b=h</math>

Die andere Rechteckseite läuft einmal um die Grundfläche. Deshalb gilt:

<math>a=U=2\pi r</math>

Damit:

<math>M=a\cdot b</math>

<math>M=U\cdot h</math>

<math>M=2\pi r\cdot h</math>

<math>M=2\pi rh</math>

'''Begründungskette:'''

Mantel → abrollen → Rechteck → Seitenlängen <math>U</math> und <math>h</math> → <math>M=U\cdot h</math> → <math>M=2\pi rh</math>

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== Dynamische Abrollanimation ==

Bewege im Applet den Regler und beobachte, welche Kante des Rechtecks dem Kreisumfang entspricht.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/KjsmaBJg </iframe>

'''Prüffrage:''' Verändert das Abrollen den Flächeninhalt des Mantels?

'''Antwort:''' Nein. Es wird nur die Darstellung von gekrümmt zu eben verändert.

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== Interaktives Beispiel: Mantel ==

Gegeben: <math>r=3\,\mathrm{cm}</math>, <math>h=5\,\mathrm{cm}</math>.

'''Schritt 1'''

<math>U=2\pi r=6\pi\,\mathrm{cm}</math>

'''Schritt 2'''

<math>M=U\cdot h</math>

'''Schritt 3'''

<math>M=6\pi\cdot 5=30\pi\,\mathrm{cm}^2</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1:''' Der Mantel ist nach dem Abrollen ein Rechteck.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2:''' Seine Seitenlängen sind <math>2\pi r</math> und <math>h</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' Eine Mantelfläche braucht eine Flächeneinheit, also zum Beispiel cm².
</div>

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= Oberflächenformel herleiten =

Die Oberfläche besteht aus drei Teilen:

<math>O=G+D+M</math>

Grund- und Deckfläche sind gleich groß:

<math>D=G=\pi r^2</math>

Also:

<math>O=2G+M</math>

<math>O=2\pi r^2+2\pi rh</math>

Ausklammern liefert eine gleichwertige Form:

<math>O=2\pi r(r+h)</math>

'''Wichtig:''' Die Formel gilt für den geschlossenen geraden Kreiszylinder. Bei einer oben offenen Dose fehlt eine Kreisfläche.

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== Netz als Beweisidee ==

[[Datei:Geometric Net of a Cylinder.svg|450px|rahmenlos|center]]

Im Netz sieht man unmittelbar:

<math>O=\pi r^2+\pi r^2+2\pi r\cdot h</math>

Die Netzzerlegung erklärt damit die Struktur der Formel: zwei Kreisflächen plus Mantelrechteck.

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== Interaktives Beispiel: offene Dose ==

Eine Dose hat <math>r=4\,\mathrm{cm}</math> und <math>h=10\,\mathrm{cm}</math>. Sie ist oben offen.

Gesucht ist die benötigte Materialfläche:

<math>A=G+M</math>

<math>A=\pi r^2+2\pi rh</math>

<math>A=16\pi+80\pi=96\pi\,\mathrm{cm}^2</math>

'''Kontrollfrage:''' Warum ist <math>2G+M</math> hier falsch?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' Weil die zweite Kreisfläche als Deckel im Modell nicht vorhanden ist.
</div>

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= Volumenformel herleiten =

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== Schichtmodell ==

Stell Dir den Zylinder als Stapel sehr vieler gleich großer Kreisscheiben vor. Jede horizontale Schicht hat dieselbe Querschnittsfläche:

<math>G=\pi r^2</math>

[[Datei:Cavalieri gold.gif|500px|rahmenlos|center]]

Die Animation veranschaulicht das [[Prinzip von Cavalieri]]: Körper gleicher Höhe haben gleiches Volumen, wenn ihre Querschnittsflächen in jeder Höhe gleich groß sind.

Für einen geraden Zylinder bleibt der Querschnitt konstant gleich <math>G</math>. Deshalb folgt analog zu einem Prisma:

<math>V=G\cdot h</math>

Mit <math>G=\pi r^2</math>:

<math>V=\pi r^2h</math>

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== E-Niveau: formale Herleitung über Vielecke ==

Ein Kreis kann durch regelmäßige Vielecke mit immer mehr Seiten angenähert werden.

Für ein einbeschriebenes <math>n</math>-Eck sei die Fläche <math>G_n</math>. Das daraus gebildete Prisma hat:

<math>V_n=G_n\cdot h</math>

Für immer größere <math>n</math> nähert sich die Vielecksfläche der Kreisfläche:

<math>G_n\longrightarrow \pi r^2</math>

Daher:

<math>V_n=G_nh\longrightarrow \pi r^2h</math>

Damit ist die Zylinderformel mit einem Grenzprozess plausibel und formal begründet:

<math>V=\pi r^2h</math>

'''Kernidee:''' Die Volumenformel entsteht nicht aus dem Kreisumfang, sondern aus der '''Kreisfläche'''.

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== Symbolische Verknüpfung ==

<math>U=2\pi r</math>

<math>G=\pi r^2</math>

<math>M=Uh=2\pi rh</math>

<math>O=2G+M=2\pi r^2+2\pi rh</math>

<math>V=Gh=\pi r^2h</math>

'''Merksystem statt Formelsammlung:'''

Umfang × Höhe → Mantel

Grundfläche × Höhe → Volumen

Zwei Grundflächen + Mantel → Oberfläche

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== Video: Überblick und Rechenbeispiele ==

[[Datei:Volumen und Oberfläche von Prisma und Zylinder - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=hXv888BOQn8 |500|center}}

'''Arbeitsauftrag:''' Stoppe vor jeder eingeblendeten Formel. Leite sie zuerst selbst aus <math>G</math>, <math>U</math> und dem Netz her und vergleiche erst dann.

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= Übungen mit Hilfestufen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Formel rekonstruieren ==

Ein Zylindermantel wird zu einem Rechteck abgewickelt.

Gesucht: eine Herleitung von <math>M</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1:''' Welche beiden Seitenlängen besitzt das Rechteck?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2:''' Eine Seite ist <math>h</math>, die andere <math>U=2\pi r</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung und Feedback:''' <math>M=(2\pi r)\cdot h=2\pi rh</math>. Eine Antwort ohne Zusammenhang mit dem Netz ist eine Formel, aber noch keine Herleitung.
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Rückwärts denken ==

Gegeben sind <math>M=120\pi\,\mathrm{cm}^2</math> und <math>h=10\,\mathrm{cm}</math>. Bestimme <math>r</math>.

<math>120\pi=2\pi r\cdot10</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Teile zuerst durch <math>20\pi</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung:''' <math>r=6\,\mathrm{cm}</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung 3: Modellentscheidung ==

Ein zylindrischer Wassertank ist unten geschlossen und oben offen. Für eine Beschichtung werden Boden und Mantel gestrichen.

Entscheide, welche Formel passt.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Zerlege den realen Tank in die tatsächlich vorhandenen Flächen.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung:''' <math>A=G+M=\pi r^2+2\pi rh</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung 4: Skalieren statt rechnen ==

Radius und Höhe werden beide verdoppelt.

Für das Volumen gilt:

<math>V'=\pi(2r)^2(2h)=8\pi r^2h=8V</math>

Für den Mantel gilt:

<math>M'=2\pi(2r)(2h)=4M</math>

'''Transfer:''' Erkläre, warum sich Volumen und Mantel unterschiedlich stark verändern.

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= Typische Fehler =

# [[Radius und Durchmesser]]: In <math>2\pi r</math> steht der Radius, nicht der Durchmesser zusätzlich noch einmal.
# [[Quadrat]]: Bei <math>G=\pi r^2</math> wird der Radius quadriert; bei <math>U=2\pi r</math> nicht.
# [[Mantelfläche]]: <math>M=2\pi rh</math> hat Flächeneinheiten, nicht Längeneinheiten.
# [[Oberfläche]]: Ein geschlossener Zylinder besitzt zwei Kreisflächen.
# [[Volumen]]: <math>V=\pi r^2h</math> enthält <math>r^2</math>; <math>2\pi rh</math> ist die Mantelfläche.
# [[Modellierung]]: Offene Behälter dürfen nicht automatisch mit <math>O=2G+M</math> gerechnet werden.

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== Gegenbeispiele prüfen ==

'''Behauptung A:''' <math>M=\pi rh</math>.

Gegenbeispiel mit <math>r=1</math> und <math>h=1</math>:

Der abgewickelte Mantel hat die Seiten <math>2\pi</math> und <math>1</math>. Seine Fläche ist also <math>2\pi</math>, nicht <math>\pi</math>.

'''Behauptung B:''' Verdoppelt man den Radius bei gleicher Höhe, verdoppelt sich das Volumen.

<math>V'=\pi(2r)^2h=4V</math>

Die Behauptung ist falsch.

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= Selbstkontrolle =

Kannst Du jede Zeile ohne Formelsammlung erklären?

<math>U=2\pi r</math>

↓

<math>M=Uh=2\pi rh</math>

↓

<math>O=2\pi r^2+2\pi rh</math>

und unabhängig davon:

<math>G=\pi r^2</math>

↓

<math>V=Gh=\pi r^2h</math>

'''Selbsttest:''' Wenn Du nur die Endformeln kennst, aber die Pfeile nicht begründen kannst, wiederhole Netz und Schichtmodell.

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= Transfer =

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== Komplexes Modell: Getränkedose ==

Eine geschlossene Dose soll bei vorgegebenem Volumen <math>V</math> möglichst wenig Oberfläche besitzen.

Aus

<math>V=\pi r^2h</math>

folgt

<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>

In die Oberfläche eingesetzt:

<math>O(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2}</math>

<math>O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}</math>

Damit wird aus einem räumlichen Problem eine Funktion einer Variablen. Die eigentliche Optimierung gehört zum Übergang in Klasse 10.

'''Digitale Prüfung:''' Wenn Du die Funktion graphisch untersuchst, vergleiche mehrere Werte und prüfe, ob die Einheit und das Modell sinnvoll sind.

{{BR}}
== Verallgemeinerung ==

Für jeden geraden Körper mit konstanter Grundfläche <math>G</math> gilt strukturell:

<math>V=G\cdot h</math>

Für einen geraden Zylinder mit Grundumfang <math>U</math> gilt für den abwickelbaren Mantel:

<math>M=U\cdot h</math>

Beim Kreiszylinder setzt man zusätzlich ein:

<math>G=\pi r^2</math>

<math>U=2\pi r</math>

So entstehen die speziellen Zylinderformeln aus allgemeineren geometrischen Strukturen.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

# '''Herleiten:''' Kannst Du <math>M=2\pi rh</math> allein aus dem Netz begründen?
# '''Beweisen:''' Kannst Du erklären, warum <math>V=Gh</math> durch gleiche Querschnitte gestützt wird?
# '''Verknüpfen:''' Kannst Du aus <math>G</math>, <math>U</math> und <math>h</math> alle drei Formeln rekonstruieren?
# '''Modellieren:''' Kannst Du bei offenen oder teilweise beschichteten Zylindern passende Teilflächen auswählen?
# '''Prüfen:''' Kannst Du falsche Formeln mit Einheiten, Netz oder Gegenbeispiel widerlegen?
# '''Verallgemeinern:''' Kannst Du erklären, welche Schritte vom Kreis und welche vom Zylinderaufbau abhängen?

{{BR}}
= Reflexion =

# Welche Formel kannst Du inzwischen aus einer Skizze neu entwickeln, statt sie auswendig zu lernen?
# Welche Darstellung hilft Dir mehr: Netz, Schichtmodell, Symbolkette oder 3D-Animation?
# An welcher Stelle entsteht <math>\pi</math> geometrisch?
# Wo liefert eine digitale Animation Anschauung, aber noch keinen Beweis?
# Wie würdest Du eine KI-Antwort prüfen, die behauptet, <math>V=2\pi rh</math> sei das Zylindervolumen?

'''Datenschutz:''' Nutze bei digitalen Werkzeugen keine personenbezogenen Daten. Teile nur mathematisch notwendige Angaben.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Woraus entsteht die Mantelformel eines geraden Kreiszylinders?'''
(Aus Kreisumfang mal Höhe)
(!Aus Kreisfläche mal Höhe)
(!Aus zwei Kreisflächen)
(!Aus Radius plus Höhe)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt die Mantelfläche?'''
(<math>M=2\pi rh</math>)
(!<math>M=\pi r^2h</math>)
(!<math>M=2\pi r^2</math>)
(!<math>M=\pi rh</math>)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt die Oberfläche eines geschlossenen geraden Kreiszylinders?'''
(<math>O=2\pi r^2+2\pi rh</math>)
(!<math>O=\pi r^2+2\pi rh</math>)
(!<math>O=\pi r^2h</math>)
(!<math>O=2\pi r+h</math>)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt das Volumen?'''
(<math>V=\pi r^2h</math>)
(!<math>V=2\pi rh</math>)
(!<math>V=2\pi r^2h</math>)
(!<math>V=\pi rh</math>)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Form besitzt der abgewickelte Mantel eines geraden Kreiszylinders?'''
(Rechteck)
(!Kreis)
(!Dreieck)
(!Trapez)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Länge besitzt eine Seite des abgewickelten Mantelrechtecks?'''
(Den Kreisumfang <math>2\pi r</math>)
(!Die Kreisfläche <math>\pi r^2</math>)
(!Den Radius <math>r</math>)
(!Den Durchmesser <math>2r</math>)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum gilt beim Volumen <math>V=G\cdot h</math>?'''
(Alle waagerechten Querschnitte haben dieselbe Fläche <math>G</math>)
(!Der Mantel ist ein Rechteck)
(!Der Kreisumfang ist konstant)
(!Die Oberfläche besteht aus drei Teilen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was passiert mit dem Volumen bei verdoppeltem Radius und gleicher Höhe?'''
(Es vervierfacht sich)
(!Es verdoppelt sich)
(!Es verachtfacht sich)
(!Es bleibt gleich)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Fläche fehlt bei einem oben offenen Zylinder gegenüber der vollständigen Oberfläche?'''
(Eine Kreisfläche)
(!Der gesamte Mantel)
(!Beide Kreisflächen)
(!Die halbe Mantelfläche)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist ein geeignetes Gegenbeispiel gegen <math>M=\pi rh</math>?'''
(Ein Zylinder mit <math>r=1</math> und <math>h=1</math>, dessen Mantel <math>2\pi</math> groß ist)
(!Ein Kreis mit Radius 1)
(!Ein Rechteck mit Seiten 1 und 1)
(!Ein Würfel mit Kantenlänge 1)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Kreisfläche || <math>\pi r^2</math>
|-
| Kreisumfang || <math>2\pi r</math>
|-
| Mantelrechteck || Umfang mal Höhe
|-
| Oberflächeninhalt || zwei Grundflächen plus Mantel
|-
| Zylindervolumen || Grundfläche mal Höhe
|-
| Cavalieri || gleiche Querschnittsflächen bei gleicher Höhe
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Kreisumfang'''
| Breite des abgewickelten Mantels
|-
| '''Zylinderhöhe'''
| zweite Seite des Mantelrechtecks
|-
| '''Kreisfläche'''
| Grundfläche des Zylinders
|-
| '''Mantelfläche'''
| Produkt aus Umfang und Höhe
|-
| '''Volumen'''
| Produkt aus Grundfläche und Höhe

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Kreisumfang || Welche Länge wird beim Abrollen zur Rechteckseite des Mantels?
|-
| Grundfläche || Welche Kreisfläche wird für die Volumenformel verwendet?
|-
| Mantelfläche || Wie heißt die seitliche Fläche des Zylinders?
|-
| Zylindernetz || Wie heißt die ebene Darstellung aller Zylinderflächen?
|-
| Cavalieri || Welcher Name gehört zum Prinzip gleicher Querschnittsflächen?
|-
| Radius || Welche Kreisgröße wird mit r bezeichnet?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M9+E+-+Zylinderformeln+herleiten+und+erklären </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Grundfläche eines Kreiszylinders hat den Inhalt { <math>\pi r^2</math> }. Der Kreisumfang beträgt { <math>2\pi r</math> }. Beim Abrollen wird der Zylindermantel zu einem { Rechteck }. Eine Rechteckseite entspricht der { Höhe }. Die andere entspricht dem { Kreisumfang }. Deshalb gilt für den Mantel { <math>M=2\pi rh</math> }. Zur vollständigen Oberfläche gehören zusätzlich { zwei Kreisflächen }. Das Volumen ergibt sich aus { Grundfläche mal Höhe }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Zylindernetz]]: Zeichne ein maßstäbliches Netz für <math>r=2\,\mathrm{cm}</math> und <math>h=5\,\mathrm{cm}</math> und beschrifte die Rechteckseiten.
# [[Erklärbild]]: Gestalte eine Bildfolge, die aus <math>U=2\pi r</math> schrittweise <math>M=2\pi rh</math> entwickelt.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde eine typische falsche Zylinderformel und widerlege sie mit Einheiten oder einem Gegenbeispiel.
# [[Alltagszylinder]]: Fotografiere oder skizziere ohne personenbezogene Daten drei zylinderähnliche Gegenstände und entscheide, welche Flächen im jeweiligen Modell relevant sind.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Papiermodell]]: Baue einen Zylinder aus Papier, rolle den Mantel wieder ab und miss die beiden Rechteckseiten.
# [[Schichtmodell]]: Stelle das Volumenprinzip mit gleich großen Scheiben oder Münzen dar und erkläre die Rolle der Höhe.
# [[Dynamische Geometrie]]: Verändere in GeoGebra Radius und Höhe. Dokumentiere, wie sich <math>M</math>, <math>O</math> und <math>V</math> verändern.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video, in dem Du die Oberflächenformel ausschließlich aus dem Netz entwickelst.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Beweis]]: Formuliere die Vieleckannäherung zur Volumenformel als nachvollziehbare Argumentationskette.
# [[Gegenbeispiel]]: Prüfe die Behauptung „Wenn sich alle Längen verdoppeln, verdoppelt sich auch das Volumen“ und entwickle ein Gegenbeispiel.
# [[Modellierung]]: Entwickle ein Materialmodell für eine offene zylindrische Regentonne mit Wandstärke, Verschnitt und Sicherheitszuschlag. Trenne Geometrie und reale Zusatzannahmen.
# [[Verallgemeinerung]]: Untersuche, welche Teile der Herleitung für einen geraden Zylinder mit nicht kreisförmiger Grundfläche erhalten bleiben und welche ersetzt werden müssen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Herleitung Mantelfläche]]: Begründe ohne Formelsammlung, warum der Faktor <math>2</math> in <math>2\pi rh</math> notwendig ist.
# [[Herleitung Oberfläche]]: Leite die Oberfläche eines oben offenen Zylinders her und vergleiche sie mit der geschlossenen Variante.
# [[Cavalieri-Prinzip]]: Erkläre, warum ein schräg verschobener Stapel gleich großer Kreisscheiben sein Volumen nicht ändert.
# [[Skalierung]]: Radius wird verdoppelt, Höhe halbiert. Bestimme die Faktoren, um die sich Mantel und Volumen verändern, und begründe symbolisch.
# [[Modellkritik]]: Eine KI behauptet <math>O=\pi r^2h</math>. Prüfe die Aussage anhand von Einheiten, Netz und Bedeutung der Größen.
# [[Transfer]]: Entwickle für einen Zylinder mit festem Volumen eine Formel für <math>h</math> in Abhängigkeit von <math>r</math> und deute sie geometrisch.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du:

# die Formeln <math>U=2\pi r</math> und <math>G=\pi r^2</math> sicher einsetzen,
# <math>M=2\pi rh</math> aus dem Netz herleiten,
# <math>O=2\pi r^2+2\pi rh</math> aus Teilflächen zusammensetzen,
# <math>V=\pi r^2h</math> mit Grundfläche, Schichtmodell oder Cavalieri begründen,
# Formeln nach <math>r</math> oder <math>h</math> umstellen,
# Einheiten und Größenordnungen kontrollieren,
# offene und geschlossene Modelle unterscheiden,
# falsche Aussagen durch Gegenbeispiele oder formale Rechnungen prüfen,
# digitale Ergebnisse kritisch mit einer eigenen Herleitung vergleichen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie) </iframe>

[[Datei:Cavalieri gold.gif|500px|rahmenlos|center]]

'''Freie Medien:''' Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien stehen unter den auf ihren jeweiligen Dateiseiten angegebenen freien Lizenzen beziehungsweise sind gemeinfrei. Lizenz- und Urheberhinweise müssen bei Weiterverwendung beachtet werden.

'''Fachlicher Bezug Baden-Württemberg:''' Der Bildungsplan Mathematik Sekundarstufe I nennt auf E-Niveau unter anderem das Herleiten der Mantelflächenformel beim Zylinder sowie das Berechnen von Oberflächeninhalt und Volumen von Zylindern.

{{BR}}
= Folgekurs =

Als Übergang in Klasse 10 bieten sich an:

# [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]: Mantelfläche und Volumen aus neuen geometrischen Beziehungen herleiten.
# [[Kugel]]: Volumen und Oberfläche vergleichen und mit Zylinderbezügen untersuchen.
# [[Optimierung]]: Zylinder mit vorgegebenem Volumen und möglichst kleiner Oberfläche modellieren.
# [[Funktionen]]: Terme wie <math>O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}</math> als Funktionen untersuchen.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Zylinder]]'''
# [[Kreis]]
# [[Kreisumfang]]
# [[Kreisfläche]]
# [[Mantelfläche]]
# [[Oberfläche]]
# [[Volumen]]
# [[Körpernetz]]
# [[Prinzip von Cavalieri]]
# [[Mathematisches Modellieren]]
# [[Beweis]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:E-Niveau]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Zylinder]]
[[Kategorie:Volumen]]
[[Kategorie:Oberfläche]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M9 E - Zylinderformeln herleiten und erklären - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt