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2026-09-27T12:36:35Z

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{{T}}

{{BR}}
= M8 M - Prozentuale Veränderungen wiederholen =

{{BR}}
= Einleitung =

Du wiederholst prozentuale Zu- und Abnahmen, Rabatte und Veränderungen auf '''M-Niveau in Klasse 8'''. Im Mittelpunkt stehen Prozentfaktoren, Pfeildiagramme, Tabellen und nachvollziehbare Rechenwege.

[[Datei:Increase.svg|180px|rahmenlos|center]]

'''Leitidee:'''
Eine prozentuale Veränderung kannst Du besonders kompakt mit einem '''Prozentfaktor''' berechnen.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Veränderung
! Prozentfaktor
|-
| Zunahme um <math>p\,%</math>
| <math>1+\frac{p}{100}</math>
|-
| Abnahme um <math>p\,%</math>
| <math>1-\frac{p}{100}</math>
|}

Beispiele:
# <math>12\,%</math> Zunahme: <math>1+\frac{12}{100}=1{,}12</math>
# <math>15\,%</math> Abnahme: <math>1-\frac{15}{100}=0{,}85</math>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=OMcuphjeG4k |500|center}}

{{BR}}
= Lernziele =

Nach dem Kurs kannst Du:
# [[Prozentfaktor|Prozentfaktoren]] zu Zu- und Abnahmen bestimmen.
# Ausgangswerte mit Faktoren wie <math>1{,}12</math> oder <math>0{,}85</math> verändern.
# [[Rabatt|Rabatte]] berechnen und erklären.
# eine prozentuale Veränderung aus Anfangs- und Endwert bestimmen.
# zwischen Text, Tabelle, Pfeildiagramm und Rechnung wechseln.
# Ergebnisse überschlagen und digitale Ergebnisse kritisch prüfen.
# Lösungswege fachsprachlich begründen und vergleichen.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

Bearbeite die vier Kurzaufgaben ohne Taschenrechner.

# Wandle <math>25\,%</math> in eine Dezimalzahl um.
# Bestimme <math>15\,%</math> von <math>80</math>.
# Entscheide: Ist <math>0{,}92</math> ein Faktor für Zunahme oder Abnahme?
# Entscheide: Ist <math>1{,}07</math> ein Faktor für Zunahme oder Abnahme?

[[Datei:25% pie chart.svg|220px|rahmenlos|center]]

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung zum Vorwissen-Check'''
# <math>25\,%=0{,}25</math>
# <math>0{,}15\cdot 80=12</math>
# <math>0{,}92<1</math>: Abnahme
# <math>1{,}07>1</math>: Zunahme
</div>

{{BR}}
= Prozentfaktoren verstehen =

{{BR}}
== Zunahme ==

Bei einer Zunahme bleibt der ganze Ausgangswert erhalten und ein zusätzlicher Anteil kommt dazu.

<math>100\,%+12\,%=112\,%</math>

<math>112\,%=1{,}12</math>

'''Pfeildiagramm:'''

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
| '''240 €'''
| → <math>\cdot 1{,}12</math> →
| '''268,80 €'''
|}

Rechnung:

<math>240\cdot 1{,}12=268{,}80</math>

Der Endwert beträgt '''268,80 €'''.

[[Datei:Increase.svg|160px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Abnahme ==

Bei einer Abnahme bleibt nur der Rest des Ausgangswerts.

<math>100\,%-15\,%=85\,%</math>

<math>85\,%=0{,}85</math>

'''Pfeildiagramm:'''

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
| '''80 €'''
| → <math>\cdot 0{,}85</math> →
| '''68 €'''
|}

Rechnung:

<math>80\cdot 0{,}85=68</math>

Der Endwert beträgt '''68 €'''.

[[Datei:Decrease.svg|160px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=pCc-TXmojBc |500|center}}

{{BR}}
= Prozentmodell =

Ein Prozentmodell hilft Dir, Text, Prozentsatz, Faktor und Rechnung zusammenzubringen.

{| class="wikitable" style="margin:auto;"
! Situation
! Rechnung
! Faktor
|-
| Zunahme um <math>8\,%</math>
| <math>100\,%+8\,%=108\,%</math>
| <math>1{,}08</math>
|-
| Abnahme um <math>22\,%</math>
| <math>100\,%-22\,%=78\,%</math>
| <math>0{,}78</math>
|-
| Rabatt <math>30\,%</math>
| <math>100\,%-30\,%=70\,%</math>
| <math>0{,}70</math>
|}

[[Datei:70% pie chart.svg|220px|rahmenlos|center]]

'''Merksatz:'''

<math>\text{Endwert}=\text{Ausgangswert}\cdot\text{Prozentfaktor}</math>

{{BR}}
= Interaktives Beispiel: Rabatt =

Ein Rucksack kostet ursprünglich '''75 €'''. Er wird um <math>20\,%</math> reduziert.

'''Schritt 1: Restprozentsatz'''

<math>100\,%-20\,%=80\,%</math>

'''Schritt 2: Prozentfaktor'''

<math>80\,%=0{,}80</math>

'''Schritt 3: Endpreis'''

<math>75\cdot 0{,}80=60</math>

'''Pfeildiagramm:'''

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
| '''75 €'''
| → <math>\cdot 0{,}80</math> →
| '''60 €'''
|}

Der neue Preis beträgt '''60 €'''.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=viNjW78xB4I |500|center}}

{{BR}}
= Prozentuale Veränderung bestimmen =

Wenn Anfangs- und Endwert gegeben sind, berechnest Du zuerst die absolute Veränderung.

Beispiel: Eine Größe steigt von <math>150</math> auf <math>177</math>.

'''Schritt 1: Veränderung'''

<math>177-150=27</math>

'''Schritt 2: Veränderung auf den Ausgangswert beziehen'''

<math>\frac{27}{150}=0{,}18</math>

'''Schritt 3: In Prozent umwandeln'''

<math>0{,}18=18\,%</math>

Die Größe ist um '''18 % gestiegen'''.

{{BR}}
= Rückwärts rechnen =

Ist der Endwert gegeben, kannst Du den Ausgangswert durch Division bestimmen.

Nach einer Erhöhung um <math>12\,%</math> kostet ein Artikel <math>224</math> €.

<math>\text{Ausgangswert}=\frac{224}{1{,}12}=200</math>

Probe:

<math>200\cdot 1{,}12=224</math>

{{BR}}
= Interaktive Übungen mit Hilfestufen =

{{BR}}
== Übung 1: Zunahme ==

Ein Preis von '''320 €''' steigt um <math>7\,%</math>. Berechne den neuen Preis.

'''Hilfe 1:''' Handelt es sich um Zunahme oder Abnahme?

'''Hilfe 2:''' Bestimme den Faktor mit <math>1+\frac{7}{100}</math>.

'''Hilfe 3:''' Rechne <math>320\cdot 1{,}07</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung und Feedback'''

<math>320\cdot 1{,}07=342{,}40</math>

Der neue Preis beträgt '''342,40 €'''.

'''Feedback:''' Wenn Dein Ergebnis kleiner als 320 € ist, passt es nicht zur beschriebenen Zunahme.
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Rabatt ==

Ein Pullover kostet '''90 €'''. Es gibt <math>25\,%</math> Rabatt. Berechne den neuen Preis.

[[Datei:25% pie chart.svg|180px|rahmenlos|center]]

'''Hilfe 1:''' Rabatt bedeutet Abnahme.

'''Hilfe 2:''' Der Rest beträgt <math>75\,%</math>.

'''Hilfe 3:''' Verwende den Faktor <math>0{,}75</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung und Feedback'''

<math>90\cdot 0{,}75=67{,}50</math>

Der neue Preis beträgt '''67,50 €'''.

'''Feedback:''' Kontrolliere, ob der Endpreis kleiner als 90 € ist.
</div>

{{BR}}
== Übung 3: Veränderung berechnen ==

Eine Besucherzahl steigt von <math>240</math> auf <math>276</math>. Bestimme die prozentuale Veränderung.

'''Hilfe 1:''' Berechne zuerst <math>276-240</math>.

'''Hilfe 2:''' Teile die Veränderung durch den Ausgangswert <math>240</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung und Feedback'''

<math>276-240=36</math>

<math>\frac{36}{240}=0{,}15=15\,%</math>

Die Besucherzahl steigt um '''15 %'''.

'''Feedback:''' Der Ausgangswert ist immer die Bezugsgröße für die prozentuale Veränderung.
</div>

{{BR}}
= Typische Fehler =

{| class="wikitable"
! Fehler
! Korrektur
|-
| <math>12\,%</math> Zunahme mit <math>0{,}12</math> multiplizieren
| Für den Endwert gilt der Faktor <math>1{,}12</math>.
|-
| <math>15\,%</math> Rabatt mit <math>0{,}15</math> multiplizieren
| Der Restfaktor ist <math>0{,}85</math>.
|-
| Veränderung durch den Endwert teilen
| Bezugsgröße ist der Ausgangswert.
|-
| Prozent und Prozentpunkte verwechseln
| Eine Änderung von <math>20\,%</math> auf <math>25\,%</math> sind 5 Prozentpunkte.
|}

{{BR}}
= Achtung: Gleiche Prozente heben sich nicht auf =

Eine Größe steigt zuerst um <math>20\,%</math> und sinkt danach um <math>20\,%</math>.

<math>100\cdot 1{,}20\cdot 0{,}80=96</math>

Das Ergebnis ist '''96''' und nicht 100.

Die Gesamtänderung beträgt:

<math>\frac{96-100}{100}=-0{,}04=-4\,%</math>

'''Begründung:''' Die zweite Veränderung bezieht sich auf einen anderen Ausgangswert.

{{BR}}
= Digitale Werkzeuge und KI =

Taschenrechner, Tabellenkalkulation und KI können beim Prüfen helfen. Du bleibst für die mathematische Begründung verantwortlich.

# Überschlage zuerst, ob das Ergebnis größer oder kleiner werden muss.
# Prüfe den verwendeten Prozentfaktor.
# Vergleiche mindestens einen digitalen Rechenweg mit Deiner eigenen Rechnung.
# Gib keine personenbezogenen Daten in digitale Dienste ein.
# KI-Ausgaben können Fehler enthalten und ersetzen keinen mathematischen Beweis oder nachvollziehbaren Rechenweg.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Prüfe Dich selbst.

{| class="wikitable"
! Aussage
! Deine Kontrolle
|-
| Ich kann <math>9\,%</math> Zunahme in einen Faktor umwandeln.
| Erwartet: <math>1{,}09</math>
|-
| Ich kann <math>18\,%</math> Abnahme in einen Faktor umwandeln.
| Erwartet: <math>0{,}82</math>
|-
| Ich kann bei Rabatt den Restprozentsatz bestimmen.
| Beispiel: <math>30\,%</math> Rabatt → <math>70\,%</math>
|-
| Ich kann Anfangs- und Endwert vergleichen.
| Veränderung zuerst absolut, dann relativ bestimmen.
|}

[[Datei:50% pie chart.svg|200px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Transfer =

Ein Fahrrad kostet zunächst '''600 €'''. Zuerst wird der Preis um <math>10\,%</math> erhöht, später gibt es <math>15\,%</math> Rabatt auf den erhöhten Preis.

'''Modell:'''

<math>600\cdot 1{,}10\cdot 0{,}85</math>

'''Rechnung:'''

<math>600\cdot 1{,}10=660</math>

<math>660\cdot 0{,}85=561</math>

Der Endpreis beträgt '''561 €'''.

Vergleiche mit dem Startpreis:

<math>\frac{561-600}{600}=-0{,}065=-6{,}5\,%</math>

Der Endpreis liegt also '''6,5 % unter dem ursprünglichen Preis'''.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

Kannst Du diese Anforderungen selbstständig erfüllen?

# Du übersetzt „Zunahme um <math>p\,%</math>“ in den Faktor <math>1+\frac{p}{100}</math>.
# Du übersetzt „Abnahme um <math>p\,%</math>“ in den Faktor <math>1-\frac{p}{100}</math>.
# Du stellst einen Sachverhalt als Pfeildiagramm, Tabelle und Rechnung dar.
# Du erklärst, warum bei einer Abnahme der Restprozentsatz wichtig ist.
# Du vergleichst zwei Lösungswege und entscheidest, welcher übersichtlicher ist.
# Du prüfst digitale Ergebnisse auf Plausibilität.

{{BR}}
= Reflexion =

Beantworte schriftlich:

# Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Pfeildiagramm, Tabelle oder Formel?
# Woran erkennst Du sofort, ob ein Prozentfaktor größer oder kleiner als <math>1</math> sein muss?
# Welcher typische Fehler könnte Dir noch passieren?
# Wie kannst Du ein Taschenrechner- oder KI-Ergebnis ohne KI kontrollieren?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächster Schritt eignet sich ein Kurs zu [[Mehrfachen prozentualen Veränderungen]], [[Zinsrechnung]] oder [[Wachstumsfaktor|Wachstumsfaktoren]]. Dort werden mehrere Faktoren nacheinander verwendet und Veränderungen über mehrere Zeitabschnitte modelliert.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welcher Faktor gehört zu einer Zunahme um 12 Prozent?'''
(1,12)
(!0,12)
(!0,88)
(!12)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Faktor gehört zu einer Abnahme um 15 Prozent?'''
(0,85)
(!1,15)
(!0,15)
(!1,85)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Ein Preis von 200 Euro steigt um 10 Prozent. Wie hoch ist der neue Preis?'''
(220 Euro)
(!210 Euro)
(!180 Euro)
(!2000 Euro)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Ein Preis von 80 Euro wird um 25 Prozent reduziert. Wie hoch ist der neue Preis?'''
(60 Euro)
(!20 Euro)
(!75 Euro)
(!100 Euro)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei einer prozentualen Veränderung die Bezugsgröße?'''
(Der Ausgangswert)
(!Der Endwert)
(!Die Differenz allein)
(!Immer die Zahl 100)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Eine Größe steigt von 100 auf 120. Wie groß ist die Zunahme?'''
(20 Prozent)
(!12 Prozent)
(!80 Prozent)
(!120 Prozent)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Restprozentsatz bleibt bei 30 Prozent Rabatt?'''
(70 Prozent)
(!30 Prozent)
(!130 Prozent)
(!3 Prozent)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Faktor zeigt eine Abnahme?'''
(0,92)
(!1,08)
(!1,20)
(!2,00)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ergibt 100 zuerst plus 20 Prozent und danach minus 20 Prozent?'''
(96)
(!100)
(!80)
(!104)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Rechnung bestimmt den Endwert bei 8 Prozent Zunahme?'''
(Ausgangswert mal 1,08)
(!Ausgangswert mal 0,08)
(!Ausgangswert geteilt durch 8)
(!Ausgangswert minus 1,08)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Prozentfaktor || Multiplikator für eine Veränderung
|-
| Zunahme || Veränderung nach oben
|-
| Abnahme || Veränderung nach unten
|-
| Rabatt || prozentualer Preisnachlass
|-
| Ausgangswert || Bezugsgröße vor der Veränderung
|-
| Endwert || Größe nach der Veränderung
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Zunahme'''
| Aufwärtsveränderung
|-
| '''Abnahme'''
| Abwärtsveränderung
|-
| '''Rabatt'''
| Preisnachlass
|-
| '''Prozentfaktor'''
| Multiplikationsfaktor
|-
| '''Ausgangswert'''
| Bezugswert
|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Rabatt || Wie heißt eine prozentuale Preisverminderung?
|-
| Zunahme || Wie heißt eine Veränderung nach oben?
|-
| Abnahme || Wie heißt eine Veränderung nach unten?
|-
| Grundwert || Wie heißt die Bezugsgröße der Prozentrechnung?
|-
| Prozentfaktor || Welcher Begriff bezeichnet den Multiplikator einer prozentualen Veränderung?
|-
| Endwert || Wie heißt die Größe nach der Veränderung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M8+M+Prozentuale+Veränderungen+wiederholen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einer Zunahme um 12 Prozent lautet der Prozentfaktor { 1,12 }.
Bei einer Abnahme um 15 Prozent lautet der Prozentfaktor { 0,85 }.
Der Endwert ergibt sich aus Ausgangswert mal { Prozentfaktor }.
Bei 20 Prozent Rabatt bleiben { 80 Prozent } des ursprünglichen Preises.
Die prozentuale Veränderung wird auf den { Ausgangswert } bezogen.
Ein Faktor größer als eins beschreibt eine { Zunahme }.
Ein Faktor kleiner als eins beschreibt eine { Abnahme }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Pfeildiagramm]]: Zeichne ein Pfeildiagramm für eine Zunahme um <math>6\,%</math> und beschrifte den Prozentfaktor.
# [[Rabatt]]: Suche drei fiktive Ausgangspreise und berechne jeweils einen Rabatt von <math>20\,%</math>.
# [[Prozentfaktor]]: Erstelle eine Tabelle mit fünf selbst gewählten Zu- oder Abnahmen und den passenden Faktoren.
# [[Fehleranalyse]]: Erkläre in zwei Sätzen, warum <math>0{,}15</math> nicht der Endwertfaktor bei <math>15\,%</math> Rabatt ist.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Modellieren]]: Erfinde eine Alltagssituation mit einer prozentualen Zunahme und löse sie mit Pfeildiagramm und Rechnung.
# [[Darstellungswechsel]]: Stelle dieselbe Rabattaufgabe als Text, Tabelle, Pfeildiagramm und Term dar.
# [[Lösungsweg]]: Löse eine Aufgabe einmal mit Prozentfaktor und einmal über Prozentwert und vergleiche beide Wege.
# [[Digitale Kontrolle]]: Prüfe eine selbst gerechnete Aufgabe mit Taschenrechner oder Tabellenkalkulation und dokumentiere die Plausibilitätsprüfung.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Mehrfache Veränderung]]: Entwickle ein Beispiel mit zwei aufeinanderfolgenden prozentualen Änderungen und bestimme die Gesamtänderung.
# [[Rückwärtsrechnung]]: Erfinde eine Aufgabe, bei der Endwert und Prozentsatz gegeben sind, und bestimme den Ausgangswert.
# [[Werbung und Rabatt]]: Untersuche ein erfundenes Rabattangebot kritisch und erkläre, welche Bezugsgröße verwendet wird.
# [[KI und Mathematik]]: Lass Dir von einem KI-System eine Prozentaufgabe erklären, prüfe jeden Rechenschritt selbst und notiere mindestens eine mögliche Fehlerquelle. Verwende keine personenbezogenen Daten.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Rabattkette]]: Ein Preis wird zuerst um <math>10\,%</math> erhöht und danach um <math>10\,%</math> gesenkt. Begründe rechnerisch, warum der Ausgangspreis nicht wieder erreicht wird.
# [[Modellwahl]]: Entscheide bei drei selbst gewählten Situationen, ob ein Pfeildiagramm, eine Tabelle oder eine Formel die übersichtlichste Darstellung ist, und begründe Deine Wahl.
# [[Fehlerdiagnose]]: Jemand berechnet bei <math>25\,%</math> Rabatt den neuen Preis mit <math>G\cdot 0{,}25</math>. Analysiere den Fehler und korrigiere den Rechenweg.
# [[Vergleich]]: Zwei Geschäfte verändern denselben Ausgangspreis unterschiedlich. Entwickle passende Prozentangaben und entscheide durch Rechnung, welcher Endpreis größer ist.
# [[Rückwärtsmodell]]: Ein Endpreis nach <math>15\,%</math> Rabatt beträgt 102 €. Bestimme den ursprünglichen Preis und begründe die verwendete Operation.
# [[Plausibilität]]: Entwickle eine Strategie, mit der Du ohne vollständige Rechnung erkennen kannst, ob ein digitales Ergebnis zu einer Zu- oder Abnahme passen kann.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:
# Du kannst Prozentfaktoren sicher aus Prozentangaben bilden.
# Du kannst Zu- und Abnahmen mit Faktoren berechnen.
# Du kannst Rabatte als Abnahmen modellieren.
# Du kannst prozentuale Veränderungen aus Anfangs- und Endwert bestimmen.
# Du kannst Rechenwege mit Pfeildiagramm, Tabelle und Term darstellen.
# Du kannst Ergebnisse plausibel prüfen und typische Fehler erklären.
# Du kannst mathematische Entscheidungen fachsprachlich begründen.
# Du prüfst digitale und KI-generierte Ergebnisse selbstständig.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Prozentrechnung </iframe>

[[Datei:Pie-chart.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Prozentrechnung]]'''
# [[Grundwert]]
# [[Prozentwert]]
# [[Prozentsatz]]
# [[Prozentfaktor]]
# [[Rabatt]]
# [[Zunahme]]
# [[Abnahme]]
# [[Zinsrechnung]]
# [[Modellieren]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 8]]
[[Kategorie:Prozentrechnung]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:M-Niveau]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M8 M - Prozentuale Veränderungen wiederholen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt