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2026-09-27T11:43:31Z

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= M7 E - Geometrische Konstruktionsprobleme selbstständig lösen =

'''Mini-Beschreibung:''' Entwickle zu offenen geometrischen Problemen geeignete [[Ortslinie|Ortslinien]] und Konstruktionsschritte. Prüfe mehrere Lösungsversuche, nutze dynamische Geometrie und begründe Deinen Lösungsweg fachsprachlich.

'''Zielgruppe:''' Mathematik Klasse 7, Baden-Württemberg, E-Niveau.

'''Leitidee:'''
Bedingung → Ortslinie → Schnittpunkt → Konstruktion → Prüfung → Begründung

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= Einleitung =

Bei offenen Konstruktionsproblemen ist der gesuchte Punkt meist nicht direkt angegeben. Du übersetzt Bedingungen in geometrische Orte.

Beispiel:
<math>PA=PB</math>

Die Bedingung bedeutet: <math>P</math> liegt auf der [[Mittelsenkrechte|Mittelsenkrechten]] von <math>\overline{AB}</math>.

Kommt eine zweite Bedingung hinzu, suchst Du eine zweite Ortslinie. Die Schnittpunkte liefern mögliche Lösungen.

<math>P \in L_1 \cap L_2</math>

Im E-Niveau reicht „sieht richtig aus“ nicht. Du begründest:
# Warum gehört jede gefundene Lösung zu beiden Ortslinien?
# Warum hast Du keine weitere Lösung übersehen?
# Wie kannst Du das Ergebnis mit dynamischer Geometrie prüfen?

[[Datei:PerpendicularBisectorConstruction.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Beobachtungsauftrag:''' Erkläre am Bild, warum die beiden Kreisbögen Punkte erzeugen, die von <math>A</math> und <math>B</math> gleich weit entfernt sind.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=WIiUDGsvFJY |500|center}}

'''Videoauftrag:''' Notiere nur die Konstruktionsideen zu Mittelsenkrechter, Winkelhalbierender und Thaleskreis. Vergleiche sie anschließend mit Deinen eigenen Beschreibungen.

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== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du:
# [[Geometrischer Ort|Ortslinien]] aus Bedingungen entwickeln.
# mehrere Ortslinien zu einem Problem kombinieren.
# Konstruktionen mit Zirkel, Lineal und dynamischer Geometriesoftware durchführen.
# mehrere Lösungsversuche vergleichen und verbessern.
# die Anzahl möglicher Lösungen untersuchen.
# einen Lösungsweg mit Fachbegriffen beschreiben und begründen.
# digitale Ergebnisse durch geometrische Bedingungen prüfen.
# Gegenbeispiele finden, wenn eine Vermutung nicht allgemein gilt.
# ein knappes [[Konstruktionstagebuch]] führen.

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== Vorwissen-Check ==

Bearbeite zuerst ohne digitale Werkzeuge.

# Zeichne eine Strecke <math>\overline{AB}</math> und markiere ihren Mittelpunkt <math>M</math>.
# Zeichne durch <math>M</math> eine Gerade senkrecht zu <math>AB</math>.
# Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt <math>A</math> und Radius <math>3\,\mathrm{cm}</math>.
# Erkläre den Unterschied zwischen „genau <math>3\,\mathrm{cm}</math> Abstand“ und „höchstens <math>3\,\mathrm{cm}</math> Abstand“.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Selbstprüfung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die Mittelsenkrechte geht durch den Mittelpunkt und steht senkrecht auf der Strecke. „Genau <math>3\,\mathrm{cm}</math>“ beschreibt eine Kreislinie. „Höchstens <math>3\,\mathrm{cm}</math>“ beschreibt die Kreisscheibe einschließlich Rand.
</div>
</div>

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= Ortslinien als Werkzeug =

{{BR}}
== Kreislinie ==

Fester Abstand <math>r</math> zu einem Punkt <math>M</math>:

<math>k(M,r)=\{P\mid MP=r\}</math>

'''Denkfrage:''' Was ändert sich, wenn statt „genau“ das Wort „kleiner als“ verwendet wird?

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== Mittelsenkrechte ==

Gleicher Abstand zu zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math>:

<math>m_{AB}=\{P\mid PA=PB\}</math>

[[Datei:Mittelsenkrechte.png|500px|rahmenlos|center]]

'''Visueller Rechenweg ohne Messen:'''

<math>PA=r</math>

<math>PB=r</math>

also

<math>PA=PB</math>

Die Schnittpunkte zweier Kreisbögen mit demselben Radius liegen deshalb auf der Mittelsenkrechten.

{{BR}}
=== Konstruktion Schritt für Schritt ===

[[Datei:Perpendicular bisector construction step 1.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Schritt 1:''' Wähle einen Zirkelradius, der größer als die halbe Länge von <math>\overline{AB}</math> ist.

[[Datei:Perpendicular bisector construction step 2.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Schritt 2:''' Zeichne mit gleichem Radius Kreisbögen um <math>A</math> und <math>B</math>. Sie schneiden sich in zwei Punkten.

[[Datei:Perpendicular bisector construction step 3.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Schritt 3:''' Verbinde die beiden Schnittpunkte. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=M3mdQCfzU44 |500|center}}

'''Prüfauftrag:''' Ziehe in GeoGebra an <math>A</math> oder <math>B</math>. Welche Eigenschaft der konstruierten Geraden bleibt erhalten?

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== Winkelhalbierende ==

Im Inneren eines Winkels beschreibt die Winkelhalbierende alle Punkte, die von beiden Schenkeln denselben senkrechten Abstand besitzen.

<math>w=\{P\mid d(P,g)=d(P,h)\}</math>

[[Datei:Angle bisector construction el.gif|500px|rahmenlos|center]]

'''Beobachtungsauftrag:''' Stoppe die Animation gedanklich nach jedem Konstruktionsschritt und formuliere, welche Gleichheit dadurch gesichert wird.

Bei zwei vollständigen, sich schneidenden Geraden gehören sowohl die innere als auch die äußere Winkelhalbierende zum geometrischen Ort gleicher Abstände.

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== Mittelparallele ==

Sind <math>g</math> und <math>h</math> parallel, dann liegt jeder Punkt der Mittelparallelen gleich weit von beiden Geraden entfernt.

<math>d(P,g)=d(P,h)</math>

'''Prüfidee:''' Fälle von <math>P</math> aus Lote auf beide Geraden und vergleiche die Lotlängen.

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== Thaleskreis ==

Für eine feste Strecke <math>\overline{AB}</math> gilt für Punkte <math>P</math> auf dem Thaleskreis über <math>AB</math>:

<math>\angle APB=90^\circ</math>

[[Datei:Thales kreis animation.gif|500px|rahmenlos|center]]

'''Dynamischer Auftrag:''' Beobachte den bewegten Punkt. Formuliere eine Vermutung darüber, welche Größe beim Ziehen invariant bleibt.

[[Datei:Thales theorem animation any angle semicircle right.gif|500px|rahmenlos|center]]

'''E-Niveau:''' Ein Zugtest liefert starke Hinweise, aber keinen mathematischen Beweis. Begründe zusätzlich mit bekannten Eigenschaften oder einer sauberen Konstruktion.

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= Strategie für offene Konstruktionsprobleme =

Nutze diese sieben Schritte:

# '''Gegeben und gesucht klären.'''
# '''Bedingung 1 übersetzen.''' Welche Punktmenge erfüllt sie?
# '''Bedingung 2 übersetzen.''' Welche zweite Ortslinie entsteht?
# '''Ortslinien konstruieren.'''
# '''Alle Schnittpunkte erfassen.'''
# '''Jeden Kandidaten prüfen.'''
# '''Vollständigkeit begründen.''' Warum können Lösungen nur an diesen Schnittpunkten liegen?

Kurzschema:

'''Textbedingung''' → '''Ortslinie <math>L_1</math>'''
'''Textbedingung''' → '''Ortslinie <math>L_2</math>'''
'''Lösungen''' → <math>L_1\cap L_2</math>

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== Interaktives Beispiel 1: Zwei Bedingungen kombinieren ==

'''Problem:''' Gesucht sind Punkte <math>P</math>, die von <math>A</math> und <math>B</math> gleich weit entfernt sind und zusätzlich vom Punkt <math>C</math> genau den Abstand <math>r</math> haben.

Bedingung 1:

<math>PA=PB</math>

→ Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

Bedingung 2:

<math>PC=r</math>

→ Kreis <math>k(C,r)</math>

Lösungen:

<math>P\in m_{AB}\cap k(C,r)</math>

Je nach Lage können keine, eine oder zwei Lösungen entstehen.

'''Experiment:''' Verändere <math>r</math>. Finde je eine Situation mit 0, 1 und 2 Schnittpunkten.

{{BR}}
== Interaktives Beispiel 2: Rechter Winkel plus Abstand ==

'''Problem:''' Gesucht ist <math>P</math> mit

<math>\angle APB=90^\circ</math>

und

<math>CP=s</math>.

Erste Ortslinie: Thaleskreis über <math>\overline{AB}</math>.

Zweite Ortslinie: Kreis um <math>C</math> mit Radius <math>s</math>.

'''E-Auftrag:''' Verallgemeinere: Welche Veränderung an <math>s</math> kann die Anzahl der Lösungen ändern? Begründe mit der Lage zweier Kreise.

{{BR}}
== Interaktives Beispiel 3: Umkreismittelpunkt als Schnitt von Ortslinien ==

Für ein Dreieck <math>ABC</math> soll ein Punkt <math>U</math> gefunden werden mit

<math>UA=UB=UC</math>.

Aus <math>UA=UB</math> folgt: <math>U</math> liegt auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

Aus <math>UB=UC</math> folgt: <math>U</math> liegt auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{BC}</math>.

[[Datei:Circumcenter Construction.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Circumcircle construction el.gif|500px|rahmenlos|center]]

'''Begründungsauftrag:''' Warum genügt der Schnitt von zwei Mittelsenkrechten? Prüfe danach, ob der Schnittpunkt auch von <math>A</math> und <math>C</math> gleich weit entfernt ist.

{{BR}}
= Dynamische Geometrie =

<iframe> https://www.geogebra.org/geometry </iframe>

Arbeite ohne personenbezogene Daten. Speichere für den Unterricht nur sachbezogene Konstruktionen.

'''Digitale Untersuchung:'''
# Konstruiere eine Strecke <math>\overline{AB}</math>.
# Konstruiere die Mittelsenkrechte ohne das fertige Werkzeug „Mittelsenkrechte“.
# Setze einen Punkt <math>P</math> auf die erzeugte Gerade.
# Miss <math>PA</math> und <math>PB</math>.
# Ziehe <math>A</math>, <math>B</math> und <math>P</math>.
# Formuliere eine Invariante.
# Begründe anschließend mathematisch, warum sie gelten muss.

'''Kritische Prüfung:''' Ein Zugtest prüft viele Beispiele. Er ersetzt keinen Beweis. Auch eine KI-Antwort muss an Definitionen, Konstruktionen und Bedingungen geprüft werden.

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= Konstruktionstagebuch =

Dokumentiere knapp. Ein Eintrag soll nachvollziehbar machen, wie sich Dein Denken verändert hat.

# '''Problem:''' Was ist gesucht?
# '''Bedingungen:''' Schreibe sie möglichst auch symbolisch.
# '''Versuch 1:''' Welche Ortslinie hast Du gewählt?
# '''Test:''' Was funktioniert, was nicht?
# '''Versuch 2:''' Was änderst Du?
# '''Endkonstruktion:''' Welche Schritte bleiben?
# '''Prüfung:''' Erfüllen alle Kandidaten alle Bedingungen?
# '''Begründung:''' Warum sind dies genau die Lösungen?
# '''Digitaler Check:''' Was zeigt der Zugmodus?
# '''Offene Frage:''' Was möchtest Du noch untersuchen?

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= Übungen mit Hilfestufen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Gleich weit von zwei Punkten ==

Gegeben sind <math>A</math> und <math>B</math>. Finde vier verschiedene Punkte <math>P</math> mit <math>PA=PB</math>. Formuliere danach eine Vermutung über alle solchen Punkte.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1'''
<div class="mw-collapsible-content">
Zeichne Kreise mit gleichem Radius um <math>A</math> und <math>B</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2'''
<div class="mw-collapsible-content">
Verändere den gemeinsamen Radius. Die jeweiligen Schnittpunkte haben dieselbe Abstandseigenschaft.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Alle gefundenen Punkte sollten auf derselben Geraden liegen: der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.
</div>
</div>

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== Übung 2: Zwei Ortslinien ==

Gegeben sind <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>r</math>. Konstruiere alle Punkte <math>P</math> mit

<math>PA=PB</math>

und

<math>PC=r</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1'''
<div class="mw-collapsible-content">
Ordne jeder Bedingung zuerst eine Ortslinie zu.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2'''
<div class="mw-collapsible-content">
Konstruiere <math>m_{AB}</math> und <math>k(C,r)</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nur Schnittpunkte beider Ortslinien sind Lösungen. Prüfe, ob 0, 1 oder 2 Schnittpunkte vorliegen.
</div>
</div>

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== Übung 3: Gegenbeispiel finden ==

Vermutung: „Wenn ein Punkt <math>P</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> liegt, dann ist <math>P</math> auch gleich weit von jedem weiteren Punkt <math>C</math> entfernt.“

Konstruiere ein Gegenbeispiel.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die Mittelsenkrechte garantiert nur <math>PA=PB</math>. Wähle <math>C</math> frei.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Ein einziges korrektes Gegenbeispiel reicht aus, um die allgemeine Vermutung zu widerlegen.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 4: Vollständigkeit begründen ==

Ein Problem liefert zwei Ortslinien mit genau zwei Schnittpunkten <math>P_1</math> und <math>P_2</math>. Erkläre, warum es keine dritte Lösung geben kann, wenn jede Lösung beide Bedingungen erfüllen muss.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Jede Lösung muss gleichzeitig auf beiden Ortslinien liegen.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da die gemeinsamen Punkte genau <math>P_1</math> und <math>P_2</math> sind, kann kein weiterer Punkt beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.
</div>
</div>

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= Typische Fehler =

# '''Messen statt konstruieren:''' Eine gemessene Mitte ist keine exakte Zirkel-Lineal-Konstruktion.
# '''Zirkelweite ändern:''' Bei zusammengehörigen Kreisbögen muss dieselbe Zirkelweite verwendet werden.
# '''Nur einen Schnittpunkt beachten:''' Offene Probleme können mehrere Lösungen besitzen.
# '''Kreislinie mit Kreisscheibe verwechseln:''' „genau“ und „höchstens“ erzeugen verschiedene Punktmengen.
# '''Abstand zu einer Geraden falsch deuten:''' Gemeint ist der senkrechte Abstand.
# '''Bildschirmbild als Beweis verwenden:''' Ein korrekt aussehendes GeoGebra-Bild ist noch keine Begründung.
# '''Bedingung nicht zurückprüfen:''' Jeder gefundene Punkt muss alle Bedingungen erfüllen.
# '''KI-Antwort ungeprüft übernehmen:''' Prüfe Begriffe, Konstruktion und logische Begründung selbst.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Markiere für Dich „sicher“, „teilweise“ oder „noch üben“.

# Ich kann aus <math>PA=PB</math> die passende Ortslinie ableiten.
# Ich kann eine feste Distanz zu einem Punkt als Kreislinie darstellen.
# Ich erkenne den Thaleskreis an einer <math>90^\circ</math>-Bedingung.
# Ich kann zwei Bedingungen durch Schnitt zweier Ortslinien kombinieren.
# Ich prüfe alle Schnittpunkte.
# Ich kann erklären, warum keine Lösung fehlt.
# Ich nutze den Zugmodus zum Testen von Vermutungen.
# Ich unterscheide digitale Evidenz von mathematischer Begründung.
# Ich dokumentiere mehrere Lösungsversuche im Konstruktionstagebuch.

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= Transfer =

Eine Rettungsstation <math>P</math> soll von zwei Orten <math>A</math> und <math>B</math> gleich weit entfernt sein. Gleichzeitig soll sie vom Funkturm <math>C</math> genau <math>4\,\mathrm{km}</math> entfernt liegen.

'''Modellierung:'''

<math>PA=PB</math>

<math>PC=4\,\mathrm{km}</math>

# Wähle geeignete Ortslinien.
# Konstruiere im passenden Maßstab.
# Untersuche, ob 0, 1 oder 2 Standorte möglich sind.
# Verändere die Lage von <math>C</math>.
# Formuliere eine Bedingung dafür, wann genau eine Lösung entsteht.
# Begründe Deine Aussage geometrisch.

{{BR}}
= Kompetenzcheck E-Niveau =

Du beherrschst das Thema auf dem vorgesehenen Niveau, wenn Du eine neue Aufgabe nicht nur nachmachst, sondern selbst strukturierst.

# '''Untersuchen:''' Du erzeugst mehrere Fälle und erkennst Invarianten.
# '''Verallgemeinern:''' Du formulierst eine Aussage für ganze Klassen von Konstruktionen.
# '''Begründen:''' Du nutzt Definitionen und Eigenschaften der Ortslinien.
# '''Gegenbeispiel:''' Du widerlegst falsche Verallgemeinerungen gezielt.
# '''Mehrschrittig modellieren:''' Du übersetzt mehrere Sachbedingungen in mathematische Ortslinien.
# '''Vollständigkeit:''' Du erklärst, warum alle Lösungen erfasst sind.

{{BR}}
= Reflexion =

# Welche Textformulierung erkennst Du inzwischen sofort als Mittelsenkrechten-Bedingung?
# Wann war Dein erster Konstruktionsversuch nicht ausreichend?
# Welche Veränderung im Zugmodus hat Dir am meisten geholfen?
# Welche Aussage konntest Du nur prüfen, aber noch nicht beweisen?
# Woran erkennst Du eine überzeugende fachsprachliche Begründung?
# Wie würdest Du eine KI-Antwort kontrollieren, die eine andere Ortslinie vorschlägt?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächster Schritt passt:

[[M7 E - Dreieckskonstruktionen untersuchen und begründen|Dreieckskonstruktionen untersuchen und begründen]]

Dort kannst Du Ortslinien mit Kongruenzbedingungen, Lösungsvielfalt und der Frage nach der Konstruierbarkeit verbinden.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Ortslinie beschreibt alle Punkte mit festem Abstand zu einem Punkt M?'''
(Kreislinie)
(!Mittelsenkrechte)
(!Winkelhalbierende)
(!Mittelparallele)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Ortslinie beschreibt alle Punkte mit gleichem Abstand zu A und B?'''
(Mittelsenkrechte)
(!Kreislinie)
(!Thaleskreis)
(!Höhe)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Ortslinie beschreibt im Inneren eines Winkels Punkte mit gleichem Abstand zu beiden Schenkeln?'''
(Winkelhalbierende)
(!Mittelsenkrechte)
(!Kreislinie)
(!Sehne)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Ortslinie ist besonders passend für die Bedingung Winkel APB gleich 90 Grad?'''
(Thaleskreis)
(!Inkreis)
(!Mittelsenkrechte)
(!Mittelparallele)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo liegen die Lösungen eines Problems mit zwei gleichzeitig zu erfüllenden Ortslinienbedingungen?'''
(An den Schnittpunkten der Ortslinien)
(!An beliebigen Punkten der ersten Ortslinie)
(!Immer im Mittelpunkt der Zeichnung)
(!Immer auf einer Dreiecksseite)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was zeigt ein Zugtest in dynamischer Geometrie am zuverlässigsten?'''
(Ob eine konstruierte Eigenschaft bei vielen Veränderungen erhalten bleibt)
(!Dass die Aussage für alle Fälle bewiesen ist)
(!Dass jede Messung exakt ist)
(!Dass keine Begründung mehr nötig ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gehört zu einer vollständigen Lösung eines offenen Konstruktionsproblems?'''
(Konstruktion Prüfung und Begründung)
(!Nur eine saubere Zeichnung)
(!Nur ein Messwert)
(!Nur ein Bildschirmfoto)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum muss man alle Schnittpunkte zweier Ortslinien betrachten?'''
(Weil jeder Schnittpunkt beide Bedingungen erfüllen kann)
(!Weil immer genau vier Lösungen existieren)
(!Weil der erste Schnittpunkt nie gültig ist)
(!Weil Schnittpunkte nur zum Zeichnen dienen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie gehst Du mit einer KI vorgeschlagenen Konstruktion um?'''
(Bedingungen Konstruktion und Begründung selbst prüfen)
(!Ungeprüft übernehmen)
(!Nur die Zeichnung bewerten)
(!Auf eine Begründung verzichten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was zeigt ein korrektes Gegenbeispiel?'''
(Dass eine allgemeine Behauptung nicht immer gilt)
(!Dass jede ähnliche Behauptung falsch ist)
(!Dass eine Konstruktion grundsätzlich unmöglich ist)
(!Dass Messungen immer unbrauchbar sind)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Kreislinie || fester Abstand zu einem Punkt
|-
| Mittelsenkrechte || gleicher Abstand zu zwei Punkten
|-
| Winkelhalbierende || gleicher Abstand zu zwei Winkelschenkeln
|-
| Mittelparallele || gleicher Abstand zu zwei parallelen Geraden
|-
| Thaleskreis || rechter Winkel über einer Strecke
|-
| Schnittpunkt || erfüllt beide Ortslinienbedingungen
|-
| Zugmodus || prüft Invarianz bei Veränderungen
|-
| Konstruktionstagebuch || dokumentiert Versuch und Begründung
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedingung
|-
| '''Mittelsenkrechte'''
| Gleicher Abstand zu zwei Punkten
|-
| '''Kreislinie'''
| Fester Abstand zu einem Punkt
|-
| '''Winkelhalbierende'''
| Gleicher Abstand zu zwei Schenkeln
|-
| '''Thaleskreis'''
| Rechter Winkel über einer Strecke
|-
| '''Schnittpunkt'''
| Zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Ortslinie || Wie heißt eine Punktmenge mit einer festgelegten geometrischen Eigenschaft?
|-
| Mittelsenkrechte || Welche Gerade enthält alle Punkte mit gleichem Abstand zu zwei Streckenendpunkten?
|-
| Winkelhalbierende || Welche Gerade teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel?
|-
| Thaleskreis || Welche Ortslinie nutzt man bei einem rechten Winkel über einer festen Strecke?
|-
| Schnittpunkt || Wie heißt ein Punkt der auf zwei Ortslinien zugleich liegt?
|-
| Gegenbeispiel || Wie heißt ein einzelner Fall der eine allgemeine Behauptung widerlegt?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M7+E+Geometrische+Konstruktionsprobleme+selbststaendig+loesen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Menge aller Punkte mit einer gemeinsamen geometrischen Eigenschaft heißt { Ortslinie }. Punkte mit gleichem Abstand zu zwei gegebenen Punkten liegen auf der { Mittelsenkrechten }. Punkte mit festem Abstand zu einem Mittelpunkt liegen auf einer { Kreislinie }. Im Inneren eines Winkels beschreibt die { Winkelhalbierende } Punkte mit gleichem Abstand zu beiden Schenkeln. Eine Bedingung mit einem rechten Winkel über einer festen Strecke führt häufig zum { Thaleskreis }. Bei zwei Bedingungen werden die { Schnittpunkte } der zugehörigen Ortslinien untersucht. Ein digitaler { Zugtest } kann eine Vermutung stützen, ersetzt aber keinen Beweis. Im { Konstruktionstagebuch } werden Versuche, Prüfungen und Begründungen dokumentiert.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Ortslinie erkennen]]: Fotografiere keine Personen, sondern zeichne vier eigene Bedingungskarten und ordne jeweils Kreislinie, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende oder Thaleskreis zu.
# [[Mittelsenkrechte erforschen]]: Konstruiere die Mittelsenkrechte auf Papier und digital. Vergleiche die Konstruktionsschritte.
# [[Zugmodus]]: Erstelle eine dynamische Konstruktion mit einem beweglichen Punkt auf einer Ortslinie und beschreibe eine Invariante.
# [[Konstruktionstagebuch]]: Dokumentiere zwei verschiedene Versuche zu derselben einfachen Ortslinienaufgabe.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Zwei Ortslinien kombinieren]]: Erfinde ein Problem, dessen Lösung als Schnitt von Mittelsenkrechter und Kreis entsteht. Gib alle möglichen Lösungsanzahlen an.
# [[Thaleskreis untersuchen]]: Variiere die Strecke <math>\overline{AB}</math> dynamisch und untersuche, was mit dem rechten Winkel geschieht.
# [[Fehleranalyse]]: Erstelle eine absichtlich fehlerhafte Konstruktion und erkläre fachsprachlich, an welchem Schritt die Bedingung verletzt wird.
# [[Gegenbeispiel]]: Formuliere eine plausible, aber falsche Vermutung über Ortslinien und widerlege sie durch eine eigene Konstruktion.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Lösungsvielfalt]]: Entwickle ein Problem mit zwei Ortslinien, das je nach Parameter 0, 1 oder 2 Lösungen besitzt. Begründe alle drei Fälle.
# [[Vollständigkeitsbegründung]]: Wähle eine Konstruktion mit mehreren Lösungen und formuliere einen Beweis, warum keine weitere Lösung existiert.
# [[Mehrschrittige Modellierung]]: Entwickle eine reale Standortaufgabe mit mindestens drei Bedingungen. Entscheide, welche Bedingungen gleichzeitig geometrisch erfüllt werden können.
# [[KI-Kritik]]: Lass Dir ohne personenbezogene Daten einen Konstruktionsvorschlag erzeugen. Prüfe jeden Schritt, finde mögliche Lücken und schreibe eine eigene mathematische Begründung. Die KI-Ausgabe gilt nicht als Beweis.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Ortslinien modellieren]]: Ein Punkt soll gleich weit von <math>A</math> und <math>B</math> entfernt und zugleich genau <math>r</math> von <math>C</math> entfernt sein. Entwickle die Konstruktion und begründe ihre Vollständigkeit.
# [[Lösungsanzahl analysieren]]: Erkläre ohne Messen, wie sich die Zahl der Lösungen verändert, wenn der Radius einer beteiligten Kreislinie wächst.
# [[Vermutung prüfen]]: Ein Mitschüler behauptet, jeder Zugtest sei ein Beweis. Widerlege die Aussage und erkläre den Unterschied zwischen experimenteller Prüfung und Begründung.
# [[Gegenbeispiel konstruieren]]: Entwickle ein Gegenbeispiel zu einer selbst formulierten falschen Aussage über Mittelsenkrechten oder Winkelhalbierende.
# [[Konstruktionsvergleich]]: Vergleiche zwei Lösungswege für dasselbe Problem und begründe, welcher Schritt in beiden Wegen dieselbe geometrische Bedingung sichert, ohne die Wege insgesamt zu bewerten.
# [[Transferproblem]]: Formuliere zu einer Standortfrage passende Ortslinien, konstruiere mögliche Lösungen und erkläre, welche zusätzliche reale Bedingung das mathematische Modell noch nicht erfasst.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen überzeugenden Lernnachweis sind wichtig:

# Bedingungen korrekt in Ortslinien übersetzen.
# Zirkel-Lineal-Konstruktionen nachvollziehbar ausführen.
# dynamische Geometrie zielgerichtet zum Untersuchen nutzen.
# mehrere Lösungsversuche dokumentieren.
# alle Lösungskandidaten prüfen.
# Lösungsanzahlen untersuchen.
# Vollständigkeit begründen.
# Fachbegriffe korrekt verwenden.
# Gegenbeispiele zur Prüfung von Verallgemeinerungen einsetzen.
# digitale und KI-erzeugte Ergebnisse kritisch kontrollieren.
# Rechenweg, Darstellung und Begründung so dokumentieren, dass andere sie nachvollziehen können.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal </iframe>

Weitere sinnvolle Lernbereiche:
[[Geometrischer Ort]]
[[Mittelsenkrechte]]
[[Winkelhalbierende]]
[[Satz des Thales]]
[[Dynamische Geometrie]]
[[GeoGebra]]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Geometrische Konstruktionsprobleme]]'''
# [[Geometrischer Ort]]
# [[Kreis]]
# [[Mittelsenkrechte]]
# [[Winkelhalbierende]]
# [[Mittelparallele]]
# [[Satz des Thales]]
# [[Umkreis]]
# [[Dynamische Geometrie]]
# [[Mathematisches Argumentieren]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Klasse 7]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Ortslinie]]
[[Kategorie:Konstruktion]]
[[Kategorie:E-Niveau]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M7 E - Geometrische Konstruktionsprobleme selbstständig lösen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt