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2026-09-15T20:27:16Z

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{{T}}

{{BR}}
= M6 M - Rechengesetze für Rechenvorteile nutzen =

'''Zielgruppe:''' Klasse 6, M-Niveau

'''Leitidee:''' Du sollst Rechengesetze nicht nur benennen, sondern sie bewusst als Werkzeug einsetzen. Ziel ist, einen Term so umzuformen, dass eine Rechnung leichter, schneller und sicherer wird. Dabei begründest Du immer, '''welches Rechengesetz''' Du verwendest und '''wo der Rechenvorteil''' liegt.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center; width:95%"
! Das kannst Du am Ende
! Mathematisches Werkzeug
! Rechenvorteil
|-
| Summanden oder Faktoren geschickt vertauschen
| [[Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]]
| passende Zahlen liegen nebeneinander
|-
| Klammern bei Addition oder Multiplikation geschickt verschieben
| [[Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]]
| leichte Zwischenergebnisse entstehen
|-
| Produkte zerlegen oder gemeinsame Faktoren ausklammern
| [[Distributivgesetz|Distributivgesetz]]
| schwierige Produkte werden zu leichten Teilrechnungen
|-
| ungeeignete Umformungen erkennen
| Gegenbeispiele zu Subtraktion und Division
| typische Fehler werden vermieden
|}

{{BR}}
= Einleitung =

Beim geschickten Rechnen geht es nicht darum, mehr zu rechnen, sondern '''klüger zu ordnen'''. Ein Term darf umgeformt werden, wenn die Umformung durch ein Rechengesetz erlaubt ist. Ein gutes Ziel ist zum Beispiel eine volle Zehner-, Hunderter- oder Tausenderzahl.

Schon bei
<math>48+27+52</math>
kannst Du einen Vorteil sehen:

<math>48+27+52 = 48+52+27 = 100+27 = 127</math>.

Statt zuerst <math>48+27</math> zu berechnen, werden <math>48</math> und <math>52</math> zusammengebracht. Das Ergebnis bleibt gleich, aber die Rechnung wird leichter.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=yYknxIg1W58 |500|center}}

''Das Video von MathemaTrick behandelt Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz mit Rechenbeispielen. Es ist kein Sofatutor-Inhalt.''

{{BR}}
== Die drei Rechengesetze auf einen Blick ==

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center; width:96%"
! Gesetz
! Formel
! Merksatz
! Typischer Rechenvorteil
|-
| '''Kommutativgesetz'''<br>Vertauschungsgesetz
| <math>a+b=b+a</math><br><math>a\cdot b=b\cdot a</math>
| Vertauschen ist erlaubt.
| passende Zahlen nebeneinander stellen
|-
| '''Assoziativgesetz'''<br>Verbindungsgesetz
| <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math><br><math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math>
| Klammern dürfen bei gleicher Rechenart anders gesetzt werden.
| zuerst eine besonders leichte Teilrechnung bilden
|-
| '''Distributivgesetz'''<br>Verteilungsgesetz
| <math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math><br><math>a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c</math>
| Ein Faktor wird auf alle Teile in der Klammer verteilt.
| schwierige Zahlen zerlegen oder gemeinsame Faktoren ausklammern
|}

'''Wichtig:''' Subtraktion und Division sind im Allgemeinen weder kommutativ noch assoziativ. Zum Beispiel gilt <math>9-4\neq4-9</math> und <math>24:6\neq6:24</math>.

{{BR}}
= Kommutativgesetz: geschickt vertauschen =

Das [[Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] heißt auch '''Vertauschungsgesetz'''. Bei Addition und Multiplikation darfst Du die Reihenfolge vertauschen, ohne das Ergebnis zu ändern:

<math>a+b=b+a</math>

<math>a\cdot b=b\cdot a</math>

{{BR}}
== Punktefeld als Begründung ==

[[Datei:CommutativeExample2.svg|500px|rahmenlos|center]]

''Freies Medium: Wikimedia Commons, Datei „CommutativeExample2.svg“, Lizenz siehe [[commons:File:CommutativeExample2.svg|Dateiseite]].''

Beim Punktefeld zu <math>2\cdot3</math> und <math>3\cdot2</math> ändert sich nur die Blickrichtung: Zwei Reihen mit je drei Punkten enthalten genauso viele Punkte wie drei Reihen mit je zwei Punkten.

<math>2\cdot3=6=3\cdot2</math>

Das Bild zeigt also nicht nur eine Regel, sondern '''warum''' Vertauschen bei der Multiplikation funktioniert.

{{BR}}
== Rechenvorteil bei Summen ==

Betrachte
<math>38+47+62</math>.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center"
! Schritt
! Rechnung
! Warum ist das geschickt?
|-
| 1
| <math>38+47+62=38+62+47</math>
| Mit dem Kommutativgesetz wird <math>62</math> neben <math>38</math> gestellt.
|-
| 2
| <math>38+62=100</math>
| Eine volle Hunderterzahl entsteht.
|-
| 3
| <math>100+47=147</math>
| Der Rest ist leicht.
|}

'''Rechenvorteil:''' Du erzeugst zuerst eine Zahl, mit der sich besonders einfach weiterrechnen lässt.

{{BR}}
== Rechenvorteil bei Produkten ==

<math>25\cdot16=16\cdot25</math>

Das Vertauschen allein löst die Aufgabe noch nicht. Es kann aber den nächsten günstigen Schritt vorbereiten:

<math>16\cdot25=4\cdot4\cdot25=4\cdot(4\cdot25)=4\cdot100=400</math>.

Hier arbeiten Kommutativ- und Assoziativgesetz zusammen.

{{BR}}
== Interaktives Punktefeld ==

Verschiebe in der GeoGebra-Aktivität die Regler und beobachte, was sich beim Vertauschen der Faktoren ändert – und was gleich bleibt.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/t6AAcvDX </iframe>

'''Forscherauftrag:''' Stelle nacheinander <math>3\cdot7</math>, <math>4\cdot9</math> und <math>6\cdot8</math> ein. Tausche jeweils die Faktoren. Formuliere anschließend einen Satz darüber, was mit dem Punktefeld geschieht.

{{BR}}
= Assoziativgesetz: geschickt verbinden =

Das [[Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] heißt auch '''Verbindungsgesetz'''. Wenn nur addiert oder nur multipliziert wird, darfst Du die Klammerung verändern:

<math>(a+b)+c=a+(b+c)</math>

<math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math>

[[Datei:AssociativeExampleAddition.svg|650px|rahmenlos|center]]

''Freies Medium: Wikimedia Commons, Datei „AssociativeExampleAddition.svg“, Lizenz siehe [[commons:File:AssociativeExampleAddition.svg|Dateiseite]].''

{{BR}}
== Rechenbaum: zwei Wege, gleiches Ergebnis ==

Für <math>25+37+75</math> kannst Du zwei Rechenwege vergleichen.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center; width:90%"
! Ausgang
! Rechenweg A
! Rechenweg B mit Vorteil
|-
| <math>25+37+75</math>
| <math>(25+37)+75</math>
| <math>37+(25+75)</math>
|-
| nächster Knoten
| <math>62+75</math>
| <math>37+100</math>
|-
| Ergebnis
| <math>137</math>
| <math>137</math>
|-
| Bewertung
| korrekt, aber unbequemer
| korrekt und kopfrechenfreundlich
|}

Im günstigen Weg wurde zunächst mit dem Kommutativgesetz <math>37</math> nach vorne gestellt und dann mit dem Assoziativgesetz <math>25+75</math> verbunden.

'''Rechenvorteil:''' <math>25+75=100</math> ist sofort überschaubar.

{{BR}}
== Produkt clever gruppieren ==

<math>8\cdot37\cdot125</math>

Direkt von links:
<math>8\cdot37=296</math>, danach wäre <math>296\cdot125</math> nötig.

Geschickt:
<math>8\cdot37\cdot125=37\cdot8\cdot125=37\cdot(8\cdot125)=37\cdot1000=37000</math>.

'''Rechenvorteil:''' Das Produkt <math>8\cdot125=1000</math> ist besonders einfach.

{{BR}}
== Interaktives Modell zur Klammerung ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/bmwnzbsn </iframe>

'''Beobachtungsauftrag:''' Verändere die Gruppierung. Erkläre, warum die Klammern die Reihenfolge der Teilrechnungen, aber nicht das Endergebnis verändern.

{{BR}}
= Distributivgesetz: zerlegen und zusammenfassen =

Das [[Distributivgesetz|Distributivgesetz]] verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion.

<math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>

<math>a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c</math>

Die Umkehrung ist ebenso wichtig:

<math>a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c)</math>.

{{BR}}
== Flächenmodell ==

[[Datei:Illustration of distributive property with rectangles.svg|750px|rahmenlos|center]]

''Freies Medium: Wikimedia Commons, Datei „Illustration of distributive property with rectangles.svg“, CC0; weitere Angaben auf der [[commons:File:Illustration of distributive property with rectangles.svg|Dateiseite]].''

Ein Rechteck mit den Seitenlängen <math>a</math> und <math>b+c</math> hat die Fläche

<math>a\cdot(b+c)</math>.

Teilst Du es in zwei Rechtecke, entstehen die Flächen

<math>a\cdot b</math> und <math>a\cdot c</math>.

Zusammen ergibt das

<math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>.

Das Flächenmodell macht sichtbar, '''warum''' das Distributivgesetz stimmt.

{{BR}}
== Rechenvorteil durch Zerlegen ==

Beispiel:
<math>19\cdot46</math>.

Die <math>19</math> liegt nahe bei <math>20</math>. Deshalb ist

<math>19\cdot46=(20-1)\cdot46</math>.

Mit dem Distributivgesetz:

<math>(20-1)\cdot46=20\cdot46-1\cdot46=920-46=874</math>.

'''Rechenvorteil:''' Mit <math>20</math> zu multiplizieren ist leichter als mit <math>19</math>.

Ein zweites Beispiel:

<math>7\cdot103=7\cdot(100+3)=700+21=721</math>.

{{BR}}
== Rechenvorteil durch Ausklammern ==

Manchmal ist die umgekehrte Richtung geschickter:

<math>25\cdot48+25\cdot52</math>

Beide Produkte enthalten den Faktor <math>25</math>. Daher:

<math>25\cdot48+25\cdot52=25\cdot(48+52)=25\cdot100=2500</math>.

'''Rechenvorteil:''' Zwei Multiplikationen werden zu einer Multiplikation mit <math>100</math>.

{{BR}}
== Dynamisches Flächenmodell ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/nk84ubyz </iframe>

Die Aktivität „Verteilungsgesetz: Umfang“ ist für die Schulstufe 5–6 ausgelegt und verbindet zwei rechnerisch gleichwertige Darstellungen.

'''Entdeckerauftrag:''' Suche zwei verschiedene Zahlenpaare <math>a</math> und <math>b</math>, für die Du den Umfang sowohl als <math>2a+2b</math> als auch als <math>2(a+b)</math> berechnest. Vergleiche die Zahl der Rechenschritte.

{{BR}}
== Zweites dynamisches Flächenmodell ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/uBFDkKgn </iframe>

Verändere die Rechteckseiten. Beobachte, wie sich <math>a(b+c)</math>, <math>ab</math> und <math>ac</math> gemeinsam verändern.

{{BR}}
= Zahlengerade: Rechenwege sichtbar machen =

Bei der Addition kannst Du die Reihenfolge der Sprünge vertauschen. Der Endpunkt bleibt gleich.

[[Datei:Number line with addition of 1 and 2.svg|750px|rahmenlos|center]]

''Freies Medium: Wikimedia Commons, Datei „Number line with addition of 1 and 2.svg“, Lizenz siehe [[commons:File:Number line with addition of 1 and 2.svg|Dateiseite]].''

Für <math>1+2</math> gehst Du zuerst um <math>1</math> und dann um <math>2</math> Einheiten nach rechts. Bei <math>2+1</math> vertauschst Du die Sprünge. In beiden Fällen landest Du bei <math>3</math>.

<math>1+2=2+1=3</math>.

{{BR}}
== Dynamische Zahlengerade ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/CfJPUyfJ </iframe>

'''Strategieauftrag:''' Stelle Start- und Endwerte so ein, dass Du für <math>48+52</math> einen Sprung zur <math>100</math> darstellen kannst. Überlege anschließend, wie Du <math>48+27+52</math> als geschickte Sprungfolge zeigen würdest.

{{BR}}
= Stellenwertmodell: Zahlen passend zerlegen =

Das Distributivgesetz wird besonders anschaulich, wenn eine Zahl nach Stellenwerten zerlegt wird:

<math>326=300+20+6</math>.

Dann gilt

<math>4\cdot326=4\cdot(300+20+6)</math>

und damit

<math>4\cdot326=4\cdot300+4\cdot20+4\cdot6</math>

<math>=1200+80+24=1304</math>.

Die Stellenwertzerlegung ist also kein neuer Trick, sondern eine Anwendung des Distributivgesetzes.

{{BR}}
== Interaktives Stellenwertmodell ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/ssn369gf </iframe>

'''Forscherauftrag:''' Stelle verschiedene Zahlen dar und schreibe sie als Summe ihrer Stellenwerte. Verwende anschließend die Zerlegung, um die Zahl mit <math>3</math>, <math>4</math> oder <math>5</math> zu multiplizieren.

{{BR}}
= Transfer auf Brüche =

Auch bei Brüchen gelten Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz für Addition und Multiplikation. Zum Beispiel:

<math>\frac12+\frac14=\frac14+\frac12</math>

und

<math>3\cdot\left(\frac12+\frac14\right)=3\cdot\frac12+3\cdot\frac14</math>.

Bevor Du mit Brüchen rechnest, kann eine bewegliche Darstellung helfen, die Größen zu vergleichen.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/E3zmzdhv </iframe>

'''Transferauftrag:''' Lege <math>\frac12</math> und <math>\frac14</math> mit Bruchstreifen. Begründe am Modell, warum das Vertauschen der beiden Summanden die Gesamtmenge nicht ändert.

{{BR}}
= Strategievergleich: Welcher Weg ist besser? =

Ein Rechenweg ist '''vorteilhaft''', wenn er korrekt ist und die Zahlen so umformt, dass Du möglichst einfache Zwischenschritte erhältst.

{{BR}}
== Vergleich 1: Addition ==

<math>48+27+52</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Rechenweg A anzeigen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>(48+27)+52=75+52=127</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Rechenweg B anzeigen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>48+27+52=48+52+27=(48+52)+27=100+27=127</math>

Verwendet werden Kommutativ- und Assoziativgesetz. Der Vorteil ist die Zwischenzahl <math>100</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Vergleich 2: Multiplikation ==

<math>24\cdot25</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Strategie mit Zerlegen anzeigen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>24\cdot25=(6\cdot4)\cdot25=6\cdot(4\cdot25)=6\cdot100=600</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Strategie mit Distributivgesetz anzeigen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>24\cdot25=(20+4)\cdot25=20\cdot25+4\cdot25=500+100=600</math>
</div>
</div>

'''Vergleich:''' Beide Wege sind richtig. Der erste Weg nutzt die besonders günstige Kombination <math>4\cdot25=100</math>. Der zweite Weg zerlegt <math>24</math> in leicht berechenbare Teile.

{{BR}}
== Vergleich 3: nahe an einer runden Zahl ==

<math>99\cdot37</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Geschickten Rechenweg anzeigen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>99\cdot37=(100-1)\cdot37=3700-37=3663</math>
</div>
</div>

'''Rechenvorteil:''' Die Multiplikation mit <math>100</math> ist sofort möglich.

{{BR}}
= Entscheidungsbaum: Welches Gesetz passt? =

{| class="wikitable" style="margin:auto; width:96%"
! Frage an den Term
! Wenn ja …
! Beispiel
|-
| Möchtest Du nur die Reihenfolge von Summanden oder Faktoren ändern?
| Nutze das '''Kommutativgesetz'''.
| <math>35+68+65\rightarrow35+65+68</math>
|-
| Möchtest Du nur anders klammern, weil ausschließlich addiert oder ausschließlich multipliziert wird?
| Nutze das '''Assoziativgesetz'''.
| <math>4\cdot(25\cdot17)\rightarrow(4\cdot25)\cdot17</math>
|-
| Steht eine Multiplikation vor einer Summe oder Differenz?
| Nutze das '''Distributivgesetz''' zum Zerlegen.
| <math>7\cdot98=7\cdot(100-2)</math>
|-
| Haben mehrere Summanden denselben Faktor?
| Nutze das '''Distributivgesetz''' rückwärts zum Ausklammern.
| <math>6\cdot41+6\cdot59=6(41+59)</math>
|-
| Enthält der Term Subtraktion oder Division und Du willst einfach vertauschen oder umklammern?
| Prüfe besonders sorgfältig. Meist ist das '''nicht erlaubt'''.
| <math>12-5\neq5-12</math>
|}

{{BR}}
= Fehlerdetektiv =

Die drei Rechengesetze gelten nicht wahllos für jede Rechenart.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center"
! Behauptung
! Prüfung
! Urteil
|-
| <math>13-8=8-13</math>
| <math>5\neq-5</math>
| falsch
|-
| <math>(20-7)-3=20-(7-3)</math>
| <math>10\neq16</math>
| falsch
|-
| <math>24:6=6:24</math>
| <math>4\neq\frac14</math>
| falsch
|-
| <math>(48:8):2=48:(8:2)</math>
| <math>3\neq12</math>
| falsch
|-
| <math>5(12+8)=5\cdot12+5\cdot8</math>
| <math>100=60+40</math>
| richtig
|}

'''Merke:''' Ein Rechengesetz ist eine Erlaubnis zur Umformung. Ohne passende Regel darfst Du einen Term nicht einfach verändern.

{{BR}}
= Schritt-für-Schritt: drei Musterstrategien =

{{BR}}
== Musterstrategie A: Ergänzen zu 100 ==

<math>36+58+64</math>

# <math>36+58+64=36+64+58</math> – Kommutativgesetz.
# <math>=(36+64)+58</math> – Assoziativgesetz.
# <math>=100+58</math> – günstiges Zwischenergebnis.
# <math>=158</math>.

{{BR}}
== Musterstrategie B: Faktor 125 nutzen ==

<math>16\cdot125</math>

# <math>16\cdot125=(2\cdot8)\cdot125</math>.
# <math>=2\cdot(8\cdot125)</math> – Assoziativgesetz.
# <math>=2\cdot1000</math>.
# <math>=2000</math>.

{{BR}}
== Musterstrategie C: Nachbarzahl zerlegen ==

<math>49\cdot23</math>

# <math>49\cdot23=(50-1)\cdot23</math>.
# <math>=50\cdot23-1\cdot23</math> – Distributivgesetz.
# <math>=1150-23</math>.
# <math>=1127</math>.

{{BR}}
= Übungsatelier: Rechenvorteile erkennen =

Berechne möglichst im Kopf und notiere neben jedem Rechenweg das verwendete Gesetz.

{| class="wikitable" style="margin:auto; width:95%; text-align:center"
! Aufgabe
! Günstige Idee
! Zielstruktur
|-
| <math>27+46+73</math>
| <math>27+73</math> zusammenbringen
| <math>100+46</math>
|-
| <math>4\cdot39\cdot25</math>
| <math>4\cdot25</math> zusammenbringen
| <math>100\cdot39</math>
|-
| <math>98\cdot6</math>
| <math>98=100-2</math>
| <math>600-12</math>
|-
| <math>14\cdot35+14\cdot65</math>
| <math>14</math> ausklammern
| <math>14(35+65)</math>
|-
| <math>8\cdot125\cdot9</math>
| <math>8\cdot125</math> zuerst
| <math>1000\cdot9</math>
|-
| <math>32+19+68+81</math>
| Paare zu <math>100</math> bilden
| <math>100+100</math>
|}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösungen anzeigen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>27+46+73=146</math><br>
<math>4\cdot39\cdot25=3900</math><br>
<math>98\cdot6=588</math><br>
<math>14\cdot35+14\cdot65=1400</math><br>
<math>8\cdot125\cdot9=9000</math><br>
<math>32+19+68+81=200</math>
</div>
</div>

{{BR}}
= Medienwerkstatt: selbst visualisieren =

Mathematik wird verständlicher, wenn Du Rechenwege nicht nur schreibst, sondern '''sichtbar machst'''.

{| class="wikitable" style="margin:auto; width:96%"
! Darstellung
! Geeignet für
! Beispielauftrag
|-
| Punktefeld
| Kommutativgesetz der Multiplikation
| Zeichne <math>4\cdot7</math> und drehe die Anordnung gedanklich zu <math>7\cdot4</math>.
|-
| Zahlengerade
| Kommutativgesetz der Addition
| Zeige die Sprungfolgen <math>3+5</math> und <math>5+3</math>.
|-
| Rechenbaum
| Assoziativgesetz
| Stelle für <math>25+38+75</math> einen ungünstigen und einen günstigen Baum gegenüber.
|-
| Flächenmodell
| Distributivgesetz
| Zerlege ein Rechteck <math>12\cdot17</math> in <math>12\cdot10+12\cdot7</math>.
|-
| Stellenwertmodell
| Distributivgesetz
| Zerlege <math>243</math> in <math>200+40+3</math> und multipliziere mit <math>4</math>.
|-
| Bruchstreifen
| Transfer des Kommutativgesetzes
| Lege <math>\frac13+\frac12</math> und <math>\frac12+\frac13</math>.
|}

{{BR}}
= Weitere Lernvideos =

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=pOMQNP5S8IE |500|center}}

''Lehrerschmidt erklärt in diesem Video den Umgang mit Termen und Rechenregeln. Nutze es als Wiederholung zu [[Term|Termen]] und [[Punkt-vor-Strich-Rechnung|Reihenfolgeregeln]].''

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welches Gesetz erlaubt bei einer Addition das Vertauschen der Summanden?'''
(Kommutativgesetz)
(!Assoziativgesetz)
(!Distributivgesetz)
(!Punkt-vor-Strich-Regel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage beschreibt das Assoziativgesetz korrekt?'''
(Die Klammerung bei einer reinen Addition darf verändert werden)
(!Die Reihenfolge einer Subtraktion darf beliebig vertauscht werden)
(!Addition wird in Multiplikation umgewandelt)
(!Eine Klammer muss immer zuerst entfernt werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Rechnung zeigt das Distributivgesetz?'''
(7 mal 52 = 7 mal 50 plus 7 mal 2)
(!7 plus 52 = 52 plus 7)
(!7 mal 52 = 52 mal 7)
(!7 mal 52 = 7 plus 52)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist 38 plus 62 plus 17 vorteilhaft umformbar?'''
(38 und 62 ergeben zusammen 100)
(!38 und 62 ergeben zusammen 90)
(!17 muss immer zuerst gerechnet werden)
(!Addition darf nicht umgestellt werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zwischenrechnung ist bei 8 mal 37 mal 125 besonders günstig?'''
(8 mal 125)
(!37 mal 125)
(!8 plus 37)
(!125 minus 37)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Rechnung ist im Allgemeinen nicht durch das Kommutativgesetz erlaubt?'''
(12 minus 5 = 5 minus 12)
(!12 plus 5 = 5 plus 12)
(!12 mal 5 = 5 mal 12)
(!3 mal 7 = 7 mal 3)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zerlegung hilft bei 99 mal 24 am meisten?'''
(99 = 100 minus 1)
(!99 = 90 plus 9)
(!24 = 12 plus 12)
(!24 = 6 mal 4)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der Rechenvorteil bei 25 mal 48 plus 25 mal 52?'''
(25 kann ausgeklammert werden und 48 plus 52 ergibt 100)
(!25 muss zweimal neu berechnet werden)
(!48 und 52 müssen voneinander abgezogen werden)
(!Die Faktoren dürfen nicht verändert werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage über das Assoziativgesetz ist richtig?'''
(Bei reiner Addition oder reiner Multiplikation darf die Klammerung verändert werden)
(!Bei jeder Subtraktion darf die Klammerung beliebig verändert werden)
(!Bei jeder Division darf die Klammerung beliebig verändert werden)
(!Es erlaubt nur das Vertauschen zweier Zahlen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Rechnung ist für 19 mal 46 besonders geschickt?'''
(20 mal 46 minus 46)
(!19 plus 46)
(!46 minus 19)
(!20 mal 46 plus 46)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Kommutativgesetz || Vertauschungsgesetz
|-
| Assoziativgesetz || Verbindungsgesetz
|-
| Distributivgesetz || Verteilungsgesetz
|-
| Punktefeld || Faktoren vertauschen
|-
| Flächenmodell || Produkt zerlegen
|-
| Runde Zahl || Rechenvorteil
|-
| Ausklammern || gemeinsamen Faktor herausziehen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Vertauschungsgesetz'''
| Reihenfolge von Summanden oder Faktoren ändern
|-
| '''Verbindungsgesetz'''
| Klammern bei gleicher Rechenart neu setzen
|-
| '''Verteilungsgesetz'''
| einen Faktor auf eine Summe oder Differenz verteilen
|-
| '''Ausklammern'''
| einen gemeinsamen Faktor vor die Klammer ziehen
|-
| '''Rechenvorteil'''
| eine besonders einfache Zwischenrechnung erzeugen

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Kommutativ || Welches Gesetz beschreibt das Vertauschen von Summanden oder Faktoren?
|-
| Assoziativ || Welches Gesetz erlaubt das Umgruppieren bei Addition oder Multiplikation?
|-
| Distributiv || Welches Gesetz verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion?
|-
| Klammer || Welches Zeichen zeigt an, welche Teilrechnung zusammengehört?
|-
| Produkt || Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
|-
| Summand || Wie heißt eine Zahl, die bei einer Addition hinzugefügt wird?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M6+M+-+Rechengesetze+für+Rechenvorteile+nutzen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Das Kommutativgesetz heißt auch { Vertauschungsgesetz }.
Bei einer Addition darf die Reihenfolge der { Summanden } vertauscht werden.
Bei einer Multiplikation darf die Reihenfolge der { Faktoren } vertauscht werden.
Das Assoziativgesetz heißt auch { Verbindungsgesetz }.
Beim Assoziativgesetz darf die { Klammerung } bei reiner Addition oder reiner Multiplikation verändert werden.
Das Distributivgesetz heißt auch { Verteilungsgesetz }.
Mit dem Distributivgesetz kann ein Produkt in mehrere { Teilprodukte } zerlegt werden.
Die Umkehrung des Distributivgesetzes nennt man häufig { Ausklammern }.
Bei 38 plus 62 entsteht als günstige Zwischenzahl { 100 }.
Bei 8 mal 125 entsteht als günstige Zwischenzahl { 1000 }.
Subtraktion ist im Allgemeinen nicht { kommutativ }.
Division ist im Allgemeinen nicht { assoziativ }.
Ein guter Rechenweg erzeugt möglichst einfache { Zwischenergebnisse }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Punktefeld|Punktefeld drehen]]: Zeichne ein Punktefeld für <math>3\cdot8</math>. Drehe Dein Blatt um 90 Grad und notiere die passende Tauschaufgabe. Erkläre in einem Satz, was gleich bleibt.
# [[Zahlengerade|Sprünge vertauschen]]: Zeichne eine Zahlengerade und stelle <math>4+7</math> sowie <math>7+4</math> als Sprungfolgen dar. Markiere den gemeinsamen Endpunkt.
# [[Rechenvorteil|Hundert-Paare suchen]]: Erfinde fünf Additionsaufgaben mit drei Summanden, bei denen zwei Summanden zusammen <math>100</math> ergeben. Tausche anschließend Deine Aufgaben mit einer Lernpartnerin oder einem Lernpartner.
# [[Fehleranalyse|Fehlerdetektiv]]: Erfinde je eine falsche Umformung zur Subtraktion und zur Division. Lass eine andere Person erklären, warum die Umformung nicht erlaubt ist.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Rechenbaum|Zwei Rechenbäume]]: Erstelle zu <math>25+38+75</math> einen ungünstigen und einen vorteilhaften Rechenbaum. Beschrifte jeden Umbau mit dem verwendeten Gesetz.
# [[Flächenmodell|Flächenmodell bauen]]: Zeichne auf kariertem Papier ein Rechteck für <math>14\cdot18</math>. Zerlege es auf zwei verschiedene Arten und notiere jeweils den passenden distributiven Term.
# [[Kopfrechnen|Strategiekarten]]: Gestalte drei Strategiekarten zu „Vertauschen“, „Verbinden“ und „Verteilen“. Jede Karte soll eine Formel, ein Zahlenbeispiel und einen Rechenvorteil enthalten.
# [[Interview|Mathe-Interview]]: Befrage zwei Personen, welche Kopfrechentricks sie bei <math>99\cdot27</math>, <math>48+52+19</math> und <math>8\cdot125\cdot6</math> verwenden. Ordne die Tricks den Rechengesetzen zu.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Strategievergleich|Strategien bewerten]]: Finde für <math>48\cdot25</math> mindestens drei korrekte Rechenwege. Vergleiche sie nach Anzahl und Schwierigkeit der Zwischenschritte und begründe Deinen Favoriten.
# [[Distributivgesetz|Eigene Knobelaufgabe]]: Erfinde einen Term mit mindestens vier Zahlen, bei dem Ausklammern zu einer vollen Hunderter- oder Tausenderzahl führt. Gib zusätzlich einen weniger günstigen Lösungsweg an.
# [[Erklärvideo|Erklärvideo produzieren]]: Produziere ein 60- bis 90-sekündiges Video zum Thema „Warum <math>a(b+c)=ab+ac</math>?“. Nutze ein selbst gezeichnetes Flächenmodell und erkläre den Rechenvorteil an einem Zahlenbeispiel.
# [[Lernspiel|Strategie-Spiel entwickeln]]: Entwickle ein Kartenspiel mit mindestens zwölf Termkarten. Zu jeder Karte muss entschieden werden, welches Rechengesetz am schnellsten zu einem Rechenvorteil führt. Teste das Spiel mit Mitschülerinnen und Mitschülern und verbessere unklare Karten.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Strategiewahl|Strategie begründen]]: Berechne <math>36+49+64+51</math> möglichst geschickt. Beschreibe nicht nur die Rechnung, sondern begründe, warum Deine Reihenfolge vorteilhaft ist.
# [[Gesetze kombinieren|Gesetze kombinieren]]: Vereinfache <math>8\cdot37\cdot125</math>. Markiere, an welcher Stelle Du das Kommutativgesetz und an welcher Stelle Du das Assoziativgesetz nutzt.
# [[Distributives Denken|Nachbarzahl nutzen]]: Berechne <math>49\cdot68</math> ohne schriftliche Multiplikation. Entwickle einen Weg mit dem Distributivgesetz und erkläre, warum <math>50</math> eine günstige Nachbarzahl ist.
# [[Ausklammern|Struktur erkennen]]: Vergleiche <math>17\cdot42+17\cdot58</math> mit <math>17\cdot(42+58)</math>. Begründe mithilfe eines Flächenmodells, warum beide Terme denselben Wert haben.
# [[Fehleranalyse|Fehler erklären]]: Eine Schülerin schreibt <math>30-(18-8)=(30-18)-8</math>. Prüfe beide Seiten und erkläre, welches Rechengesetz hier fälschlich angenommen wurde.
# [[Transfer|Neue Situation]]: Ein Rechteck ist <math>23</math> cm lang und <math>18</math> cm breit. Zeige zwei verschiedene distributive Zerlegungen zur Flächenberechnung und entscheide, welcher Weg für Dich im Kopf leichter ist.
# [[Vergleichen|Effizienz beurteilen]]: Zwei Lernende berechnen <math>25\cdot64</math>. Person A rechnet <math>25\cdot60+25\cdot4</math>, Person B rechnet <math>(25\cdot4)\cdot16</math>. Prüfe beide Wege und bewerte ihren Rechenvorteil.

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{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du Rechengesetze '''anwenden, begründen und vergleichen''' kannst.

# Du erkennst, wann das [[Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] bei Addition und Multiplikation anwendbar ist.
# Du nutzt das [[Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]], um günstige Klammerungen zu bilden.
# Du zerlegst Produkte mit dem [[Distributivgesetz|Distributivgesetz]] und kannst auch ausklammern.
# Du erklärst einen Rechenvorteil mit passenden Zwischenergebnissen wie <math>10</math>, <math>100</math> oder <math>1000</math>.
# Du kannst mindestens zwei Lösungswege zu einem Term vergleichen und ihre Effizienz begründen.
# Du erkennst typische Fehlanwendungen bei Subtraktion und Division.
# Du kannst einen Rechenweg mit Punktefeld, Zahlengerade, Rechenbaum, Stellenwert- oder Flächenmodell veranschaulichen.
# Du verwendest mathematische Fachbegriffe wie Summand, Faktor, Produkt, Klammerung, Ausmultiplizieren und Ausklammern korrekt.

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{{BR}}
= OERs zum Thema =

'''Wikipedia: Kommutativgesetz'''
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kommutativgesetz </iframe>

'''Wikipedia: Assoziativgesetz'''
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Assoziativgesetz </iframe>

'''Wikipedia: Distributivgesetz'''
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Distributivgesetz </iframe>

{{BR}}
== Freie und interaktive Medienquellen ==

# [[commons:File:CommutativeExample2.svg|Wikimedia Commons – Punktefeld zum Kommutativgesetz]]: freie Grafik; Lizenzangaben stehen auf der Dateiseite.
# [[commons:File:AssociativeExampleAddition.svg|Wikimedia Commons – Assoziativgesetz der Addition]]: freie Grafik; Lizenzangaben stehen auf der Dateiseite.
# [[commons:File:Illustration of distributive property with rectangles.svg|Wikimedia Commons – Flächenmodell zum Distributivgesetz]]: CC0-Grafik.
# [[commons:File:Number line with addition of 1 and 2.svg|Wikimedia Commons – Addition auf der Zahlengeraden]]: freie Grafik; Lizenzangaben stehen auf der Dateiseite.
# [https://www.geogebra.org/m/t6AAcvDX GeoGebra – Multiplicative Commutativity]: interaktives Punktefeld.
# [https://www.geogebra.org/m/bmwnzbsn GeoGebra – Associative Property of Multiplication Using Models]: interaktives Modell zur Klammerung.
# [https://www.geogebra.org/m/nk84ubyz GeoGebra – Verteilungsgesetz: Umfang]: geprüftes Material für Schulstufe 5–6.
# [https://www.geogebra.org/m/CfJPUyfJ GeoGebra – Number Line]: dynamische Zahlengerade.
# [https://www.geogebra.org/m/E3zmzdhv GeoGebra – Fraction bars]: bewegliche Bruchstreifen.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Rechengesetze]]'''
# [[Kommutativgesetz]]
# [[Assoziativgesetz]]
# [[Distributivgesetz]]
# [[Kopfrechnen]]
# [[Rechenstrategien]]
# [[Term]]
# [[Klammerrechnung]]
# [[Punkt-vor-Strich-Rechnung]]
# [[Grundrechenarten]]
# [[Natürliche Zahlen]]
# [[Bruchrechnung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 6]]
[[Kategorie:M-Niveau]]
[[Kategorie:Rechengesetze]]
[[Kategorie:Kommutativgesetz]]
[[Kategorie:Assoziativgesetz]]
[[Kategorie:Distributivgesetz]]
[[Kategorie:Kopfrechnen]]
[[Kategorie:Rechenstrategien]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M6 M - Rechengesetze für Rechenvorteile nutzen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt