Maintenance script: Math-Syntax korrigiert; Merksätze und Hinweise als normalen Text formatiert

2026-09-16T05:26:51Z

Math-Syntax korrigiert; Merksätze und Hinweise als normalen Text formatiert

← Nächstältere Version		Version vom 16. September 2026, 07:26 Uhr
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	= Was ist ein proportionaler Zusammenhang? =		= Was ist ein proportionaler Zusammenhang? =

	Stell Dir vor, Äpfel kosten <math>2{,}50\,€</math> pro Kilogramm. Dann gilt:		Stell Dir vor, Äpfel kosten <math>2{,}50\,\text{€}</math> pro Kilogramm. Dann gilt:

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	'''Merksatz:'''		'''Merksatz:'''

	<math>~~\boxed~~{y=k\cdot x}</math>		<math>{y=k\cdot x}</math>

	mit		mit

	<math>~~\boxed~~{k=\frac{y}{x}}</math>		<math>{k=\frac{y}{x}}</math>

	[[Datei:Supermarket scale.jpg\|450px\|rahmenlos\|center]]		[[Datei:Supermarket scale.jpg\|450px\|rahmenlos\|center]]
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	Beim Apfelbeispiel bedeutet		Beim Apfelbeispiel bedeutet

	<math>k=2{,}50\,\frac{€}{\mathrm{kg}}</math>,		<math>k=2{,}50\,\frac{\text{€}}{\mathrm{kg}}</math>,

	dass ein Kilogramm Äpfel <math>2{,}50\,€</math> kostet.		dass ein Kilogramm Äpfel <math>2{,}50\,\text{€}</math> kostet.

	Aus dem Wertepaar <math>(4\mid 10)</math> erhältst Du:		Aus dem Wertepaar <math>(4\mid 10)</math> erhältst Du:
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	<math>y=2x+3</math>		<math>y=2x+3</math>

	Hier kostet jede Einheit zwar <math>2\,€</math>, aber zusätzlich fallen <math>3\,€</math> Startkosten an. Für <math>x=0</math> ist dann		Hier kostet jede Einheit zwar <math>2\,\text{€}</math>, aber zusätzlich fallen <math>3\,\text{€}</math> Startkosten an. Für <math>x=0</math> ist dann

	<math>y=3</math>		<math>y=3</math>
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	Eine Wertetabelle zeigt zusammengehörige Werte übersichtlich.		Eine Wertetabelle zeigt zusammengehörige Werte übersichtlich.

	Beispiel: Ein Getränk kostet <math>1{,}50\,€</math> pro Flasche.		Beispiel: Ein Getränk kostet <math>1{,}50\,\text{€}</math> pro Flasche.

	{\| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"		{\| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
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	== Aufklappbarer Rechenweg: von 8 Stück auf 14 Stück ==		== Aufklappbarer Rechenweg: von 8 Stück auf 14 Stück ==

	Gegeben: <math>8</math> Müsliriegel kosten <math>12\,€</math>.		Gegeben: <math>8</math> Müsliriegel kosten <math>12\,\text{€}</math>.

	<div class="mw-collapsible mw-collapsed">		<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
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	Zuerst auf <math>1</math> Stück:		Zuerst auf <math>1</math> Stück:

	<math>12\,€:8=1{,}50\,€</math>		<math>12\,\text{€}:8=1{,}50\,\text{€}</math>

	Dann auf <math>14</math> Stück:		Dann auf <math>14</math> Stück:

	<math>1{,}50\,€\cdot 14=21\,€</math>		<math>1{,}50\,\text{€}\cdot 14=21\,\text{€}</math>

	Damit gilt:		Damit gilt:

	<math>14\ \text{Müsliriegel}\ \widehat{=}\ 21\,€</math>		<math>14\ \text{Müsliriegel}\ \widehat{=}\ 21\,\text{€}</math>

	</div>		</div>
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	Beispiel:		Beispiel:

	<math>3</math> Kinokarten kosten <math>24\,€</math>.		<math>3</math> Kinokarten kosten <math>24\,\text{€}</math>.

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	\| <math>40\,€</math>		\| <math>40\,\text{€}</math>
	\|}		\|}

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	= Eine vollständige Beispielaufgabe =		= Eine vollständige Beispielaufgabe =

	'''Situation:''' Für <math>4</math> Eintrittskarten bezahlt eine Gruppe <math>30\,€</math>. Es gibt keine Grundgebühr und jede Karte kostet gleich viel.		'''Situation:''' Für <math>4</math> Eintrittskarten bezahlt eine Gruppe <math>30\,\text{€}</math>. Es gibt keine Grundgebühr und jede Karte kostet gleich viel.

	{{BR}}		{{BR}}
	== Schritt 1: Einheit bestimmen ==		== Schritt 1: Einheit bestimmen ==

	<math>30\,€:4=7{,}50\,€</math>		<math>30\,\text{€}:4=7{,}50\,\text{€}</math>

	Also:		Also:
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	Nutze diese Prüfkette:		Nutze diese Prüfkette:

	<math>~~\boxed~~{\text{Situation}\rightarrow\text{Wertepaare}\rightarrow\frac{y}{x}\rightarrow\text{Graph}}</math>		<math>{\text{Situation}\rightarrow\text{Wertepaare}\rightarrow\frac{y}{x}\rightarrow\text{Graph}}</math>

	{\| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"		{\| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-16T03:55:05Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}

{{BR}}
= M6 M - Proportionale Zusammenhänge darstellen =

{{BR}}
= Einleitung =

In diesem aiMOOC lernst Du, '''proportionale Zusammenhänge''' sicher zu erkennen, zu beschreiben und in verschiedene Darstellungen zu übertragen. Du arbeitest dabei besonders mit '''Situationen aus dem Alltag''', '''Wertetabellen''', '''Pfeildiagrammen''', '''Koordinatensystemen''' und '''Graphen'''.

Das wichtigste Ziel lautet:

'''Du kannst denselben proportionalen Zusammenhang verbal, tabellarisch und grafisch darstellen und sicher zwischen diesen Darstellungen wechseln.'''

Außerdem lernst Du, einzelne Werte und Punkte zu deuten. Ein Punkt im Koordinatensystem ist nämlich nicht nur ein Zeichen auf dem Papier: Er beschreibt ein konkretes Wertepaar aus einer Situation.

[[Proportionalität|Proportionalität]] bedeutet, dass zwei Größen immer im gleichen Verhältnis zueinander stehen. Mathematisch kann ein proportionaler Zusammenhang mit

<math>y=k\cdot x</math>

beschrieben werden. Dabei ist <math>k</math> der '''Proportionalitätsfaktor'''.

[[Datei:Proporzionalità diretta.svg|500px|rahmenlos|center]]

Die Grafik zeigt mehrere proportionale Zusammenhänge der Form <math>y=kx</math>. Alle Geraden gehen durch den Ursprung. Je größer der positive Faktor <math>k</math> ist, desto steiler verläuft die Gerade.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=1m6HsVsETIg |500|center}}

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

# [[Proportionalität erkennen]]: entscheiden und begründen, ob ein Zusammenhang proportional ist.
# [[Proportionalitätsfaktor]]: den Faktor <math>k</math> aus einem Wertepaar oder einer Tabelle bestimmen.
# [[Wertetabelle]]: proportionale Werte berechnen und sinnvoll in einer Tabelle ordnen.
# [[Pfeildiagramm]]: gleiche Rechenschritte auf beide Größen übertragen.
# [[Koordinatensystem]]: Wertepaare als Punkte <math>(x\mid y)</math> eintragen.
# [[Graph einer proportionalen Zuordnung]]: erkennen, dass ein proportionaler Graph eine Gerade durch den Ursprung ist.
# [[Darstellungswechsel]]: verbal, tabellarisch, symbolisch und grafisch zwischen Darstellungen wechseln.
# [[Interpretation von Punkten]]: erklären, was ein einzelner Punkt im Sachzusammenhang bedeutet.

{{BR}}
= Was ist ein proportionaler Zusammenhang? =

Stell Dir vor, Äpfel kosten <math>2{,}50\,€</math> pro Kilogramm. Dann gilt:

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Masse der Äpfel <math>x</math> in kg
! Preis <math>y</math> in €
! Rechnung
|-
| <math>1</math>
| <math>2{,}50</math>
| <math>1\cdot 2{,}50=2{,}50</math>
|-
| <math>2</math>
| <math>5{,}00</math>
| <math>2\cdot 2{,}50=5{,}00</math>
|-
| <math>3</math>
| <math>7{,}50</math>
| <math>3\cdot 2{,}50=7{,}50</math>
|-
| <math>4</math>
| <math>10{,}00</math>
| <math>4\cdot 2{,}50=10{,}00</math>
|}

Für jedes Wertepaar gilt:

<math>\frac{y}{x}=2{,}50</math>

Der Quotient bleibt also gleich. Deshalb ist der Zusammenhang proportional.

'''Merksatz:'''

<math>\boxed{y=k\cdot x}</math>

mit

<math>\boxed{k=\frac{y}{x}}</math>

[[Datei:Supermarket scale.jpg|450px|rahmenlos|center]]

Eine Supermarktwaage passt gut zu proportionalen Zusammenhängen: Bei gleichbleibendem Kilopreis steigt der Gesamtpreis im gleichen Verhältnis wie die Masse.

{{BR}}
== Der Proportionalitätsfaktor ==

Der Faktor <math>k</math> sagt Dir, '''wie viel zu einer Einheit von <math>x</math> gehört'''.

Beim Apfelbeispiel bedeutet

<math>k=2{,}50\,\frac{€}{\mathrm{kg}}</math>,

dass ein Kilogramm Äpfel <math>2{,}50\,€</math> kostet.

Aus dem Wertepaar <math>(4\mid 10)</math> erhältst Du:

<math>k=\frac{10}{4}=2{,}5</math>

und damit wieder:

<math>y=2{,}5x</math>

{{BR}}
== Proportional oder nur „je mehr, desto mehr“? ==

Die Aussage „je mehr, desto mehr“ reicht '''nicht''' aus.

Beispiel:

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Anzahl Fahrten
! Preis in €
|-
| 1
| 3
|-
| 5
| 12
|}

Hier wird die Anzahl größer und der Preis ebenfalls. Trotzdem ist der Zusammenhang nicht proportional, denn:

<math>\frac{3}{1}=3</math>

aber

<math>\frac{12}{5}=2{,}4</math>

Die Quotienten sind verschieden.

'''Prüfe deshalb immer mindestens eine der folgenden Eigenschaften:'''

# Gleicher Faktor: Wird <math>x</math> mit einer Zahl multipliziert, muss auch <math>y</math> mit derselben Zahl multipliziert werden.
# Konstanter Quotient: <math>\frac{y}{x}=k</math> muss bei allen Wertepaaren gleich sein.
# Graph: Die Punkte müssen auf einer Geraden durch den Ursprung liegen.

{{BR}}
= Die verbale Darstellung =

Ein proportionaler Zusammenhang kann mit Worten beschrieben werden.

Beispiel:

'''„Ein Heft kostet 1,80 €. Der Gesamtpreis ist proportional zur Anzahl der Hefte.“'''

Daraus liest Du zwei Größen ab:

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Größe
! Bedeutung
! Variable
|-
| Anzahl der Hefte
| unabhängige Größe
| <math>x</math>
|-
| Gesamtpreis
| zugeordnete Größe
| <math>y</math>
|}

Der Preis pro Heft ist der Proportionalitätsfaktor:

<math>k=1{,}80</math>

Also gilt:

<math>y=1{,}80x</math>

{{BR}}
== Sprachliche Signale richtig deuten ==

Typische Formulierungen sind:

{| class="wikitable"
! Formulierung
! Mathematische Bedeutung
|-
| „pro Stück“
| Wert für <math>x=1</math>
|-
| „pro Kilogramm“
| Preis oder andere Größe für <math>1\,\mathrm{kg}</math>
|-
| „je Meter“
| Wert für <math>1\,\mathrm{m}</math>
|-
| „doppelte Menge, doppelter Preis“
| beide Größen werden mit <math>2</math> multipliziert
|-
| „halbe Menge, halber Preis“
| beide Größen werden durch <math>2</math> geteilt
|}

Achtung: Ein '''Grundpreis''', eine '''Startgebühr''' oder eine andere feste Zusatzkostenangabe führt normalerweise dazu, dass der Zusammenhang '''nicht proportional''' ist.

Beispiel:

<math>y=2x+3</math>

Hier kostet jede Einheit zwar <math>2\,€</math>, aber zusätzlich fallen <math>3\,€</math> Startkosten an. Für <math>x=0</math> ist dann

<math>y=3</math>

und nicht <math>0</math>. Der Graph geht also nicht durch den Ursprung.

{{BR}}
= Darstellung mit einer Wertetabelle =

Eine Wertetabelle zeigt zusammengehörige Werte übersichtlich.

Beispiel: Ein Getränk kostet <math>1{,}50\,€</math> pro Flasche.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Anzahl <math>x</math>
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 6
| 10
|-
! Preis <math>y</math> in €
| 0
| 1,50
| 3,00
| 4,50
| 6,00
| 9,00
| 15,00
|}

Die Rechenregel lautet:

<math>y=1{,}5x</math>

{{BR}}
== Visueller Rechenweg in der Tabelle ==

Von <math>2</math> Flaschen zu <math>6</math> Flaschen wird mit <math>3</math> multipliziert:

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
!
! Ausgangswert
! Rechenpfeil
! Zielwert
|-
! Anzahl
| <math>2</math>
| <math>\xrightarrow{\cdot 3}</math>
| <math>6</math>
|-
! Preis
| <math>3</math>
| <math>\xrightarrow{\cdot 3}</math>
| <math>9</math>
|}

Bei einer proportionalen Zuordnung muss auf beiden Zeilen '''derselbe Faktor''' wirken.

Von <math>6</math> Flaschen zu <math>1</math> Flasche:

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
!
! Ausgangswert
! Rechenpfeil
! Zielwert
|-
! Anzahl
| <math>6</math>
| <math>\xrightarrow{:6}</math>
| <math>1</math>
|-
! Preis
| <math>9</math>
| <math>\xrightarrow{:6}</math>
| <math>1{,}5</math>
|}

{{BR}}
== Aufklappbarer Rechenweg: von 8 Stück auf 14 Stück ==

Gegeben: <math>8</math> Müsliriegel kosten <math>12\,€</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Rechenweg einblenden'''
<div class="mw-collapsible-content">

Zuerst auf <math>1</math> Stück:

<math>12\,€:8=1{,}50\,€</math>

Dann auf <math>14</math> Stück:

<math>1{,}50\,€\cdot 14=21\,€</math>

Damit gilt:

<math>14\ \text{Müsliriegel}\ \widehat{=}\ 21\,€</math>

</div>
</div>

{{BR}}
= Pfeildiagramme =

Ein Pfeildiagramm macht sichtbar, welcher Rechenschritt auf '''beide Größen''' angewendet wird.

Beispiel:

<math>3</math> Kinokarten kosten <math>24\,€</math>.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Größe
! Start
! Schritt 1
! Einheit
! Schritt 2
! Ziel
|-
| Karten
| <math>3</math>
| <math>\xrightarrow{:3}</math>
| <math>1</math>
| <math>\xrightarrow{\cdot 5}</math>
| <math>5</math>
|-
| Preis
| <math>24\,€</math>
| <math>\xrightarrow{:3}</math>
| <math>8\,€</math>
| <math>\xrightarrow{\cdot 5}</math>
| <math>40\,€</math>
|}

Der Weg über <math>1</math> heißt häufig '''Zweisatz''' oder ist Teil eines [[Dreisatz|Dreisatzes]].

{{BR}}
== Dynamische Faktor-Zahlengerade ==

Betrachte zwei Zahlengeraden gleichzeitig. Der gleiche Faktor muss auf beiden Seiten wirken.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Faktor
! <math>x</math>-Werte
! <math>y</math>-Werte bei <math>y=4x</math>
|-
| Start
| <math>0\quad 1\quad 2\quad 3\quad 4\quad 5</math>
| <math>0\quad 4\quad 8\quad 12\quad 16\quad 20</math>
|-
| <math>\cdot 2</math>
| <math>2\xrightarrow{\cdot 2}4</math>
| <math>8\xrightarrow{\cdot 2}16</math>
|-
| <math>:4</math>
| <math>4\xrightarrow{:4}1</math>
| <math>16\xrightarrow{:4}4</math>
|}

'''Beobachtung:''' Auf beiden Zahlengeraden wird immer dieselbe Multiplikation oder Division durchgeführt.

{{BR}}
= Die grafische Darstellung =

Zu jedem Wertepaar <math>(x\mid y)</math> gehört ein Punkt im [[Koordinatensystem|Koordinatensystem]].

Nehmen wir wieder:

<math>y=1{,}5x</math>

Dann entstehen zum Beispiel die Punkte:

<math>(0\mid 0)</math>, <math>(1\mid 1{,}5)</math>, <math>(2\mid 3)</math>, <math>(4\mid 6)</math>, <math>(6\mid 9)</math>.

[[Datei:Koordinatensystem.svg|500px|rahmenlos|center]]

So trägst Du einen Punkt <math>(4\mid 6)</math> ein:

# Gehe auf der waagerechten <math>x</math>-Achse zu <math>x=4</math>.
# Gehe von dort senkrecht bis zur Höhe <math>y=6</math>.
# Markiere den Punkt <math>P(4\mid 6)</math>.

{{BR}}
== Warum geht der Graph durch den Ursprung? ==

Für jeden proportionalen Zusammenhang gilt:

<math>y=kx</math>

Setzt Du <math>x=0</math>, erhältst Du:

<math>y=k\cdot 0=0</math>

Deshalb gehört immer der Punkt

<math>(0\mid 0)</math>

zum Graphen.

Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist daher eine '''Gerade durch den Ursprung'''.

[[Datei:Proportionality.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Dynamischer Graph: Verändere den Proportionalitätsfaktor ==

Bewege im folgenden GeoGebra-Material den Regler für <math>k</math>. Beobachte dabei die Gleichung

<math>y=kx</math>

und die Steilheit der Geraden.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/ZqzAeZT7 </iframe>

Beantworte beim Experimentieren:

# Was passiert mit der Geraden, wenn <math>k</math> größer wird?
# Was bleibt immer gleich?
# Wo liegt der Graph für <math>k=0</math>?
# Welchen Wert hat <math>y</math> für <math>x=5</math>, wenn <math>k=3</math> ist?

{{BR}}
= Punkte im Graphen richtig interpretieren =

Ein Punkt <math>P(3\mid 7{,}50)</math> hat in einer Sachsituation eine konkrete Bedeutung.

Wenn <math>x</math> die Masse von Äpfeln in Kilogramm und <math>y</math> den Preis in Euro beschreibt, bedeutet

<math>P(3\mid 7{,}50)</math>:

'''3 kg Äpfel kosten 7,50 €.'''

Die Koordinaten darfst Du deshalb nicht vertauschen.

<math>P(3\mid 7{,}50)\neq P(7{,}50\mid 3)</math>

{{BR}}
== Punkt-Detektiv ==

Gegeben ist die Zuordnung

<math>y=2{,}4x</math>

mit <math>x</math> = Anzahl der Hefte und <math>y</math> = Preis in Euro.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Punkt
! Bedeutung
! Liegt auf dem Graphen?
|-
| <math>A(1\mid 2{,}4)</math>
| 1 Heft kostet 2,40 €
| ja
|-
| <math>B(5\mid 12)</math>
| 5 Hefte kosten 12 €
| ja
|-
| <math>C(4\mid 10)</math>
| 4 Hefte kosten 10 €
| nein
|}

Prüfung für <math>C</math>:

<math>2{,}4\cdot 4=9{,}6</math>

Der korrekte Punkt wäre also

<math>(4\mid 9{,}6)</math>.

{{BR}}
= Sicher zwischen Darstellungen wechseln =

Ein proportionaler Zusammenhang kann in mehreren Formen erscheinen.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Darstellung
! Beispiel
! Was musst Du erkennen?
|-
| verbal
| „1 kg kostet 3 €.“
| Einheitspreis <math>k=3</math>
|-
| Gleichung
| <math>y=3x</math>
| Multiplikation mit <math>3</math>
|-
| Tabelle
| <math>1\mapsto3,\ 2\mapsto6,\ 4\mapsto12</math>
| gleicher Quotient
|-
| Punkte
| <math>(1\mid3),(2\mid6),(4\mid12)</math>
| zusammengehörige Wertepaare
|-
| Graph
| Gerade durch <math>(0\mid0)</math>
| Ursprung und konstante Steigung
|}

{{BR}}
== Darstellungswechsel Schritt für Schritt ==

Ausgangssatz:

'''„Ein Meter Stoff kostet 7 €.“'''

'''1. Verbal → Gleichung'''

<math>k=7</math>

<math>y=7x</math>

'''2. Gleichung → Tabelle'''

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! <math>x</math> in m
| 0
| 1
| 2
| 3
| 5
|-
! <math>y</math> in €
| 0
| 7
| 14
| 21
| 35
|}

'''3. Tabelle → Punkte'''

<math>(0\mid0),(1\mid7),(2\mid14),(3\mid21),(5\mid35)</math>

'''4. Punkte → Graph'''

Trage die Punkte ein und verbinde sie zu einer Geraden durch den Ursprung.

'''5. Graph → verbale Deutung'''

Der Punkt <math>(5\mid35)</math> bedeutet:

'''5 m Stoff kosten 35 €.'''

{{BR}}
== Interaktiver Darstellungswechsel mit GeoGebra ==

Dieses Material ermöglicht Dir, Zahlen zu verändern und zu beobachten, wie sich Tabelle, Rechnung und Graph gegenseitig beeinflussen.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/vYwQFcJS </iframe>

Zusätzlich kannst Du mit einem für Schulstufe 5–6 geprüften Material üben, proportionale Zusammenhänge im Koordinatensystem zu erkennen und zu deuten:

<iframe> https://www.geogebra.org/m/zxtmw4gg </iframe>

{{BR}}
= Eine vollständige Beispielaufgabe =

'''Situation:''' Für <math>4</math> Eintrittskarten bezahlt eine Gruppe <math>30\,€</math>. Es gibt keine Grundgebühr und jede Karte kostet gleich viel.

{{BR}}
== Schritt 1: Einheit bestimmen ==

<math>30\,€:4=7{,}50\,€</math>

Also:

<math>k=7{,}50</math>

{{BR}}
== Schritt 2: Gleichung aufstellen ==

<math>y=7{,}5x</math>

{{BR}}
== Schritt 3: Tabelle erstellen ==

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Karten <math>x</math>
| 0
| 1
| 2
| 4
| 6
| 8
|-
! Preis <math>y</math> in €
| 0
| 7,50
| 15,00
| 30,00
| 45,00
| 60,00
|}

{{BR}}
== Schritt 4: Pfeildiagramm ==

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
!
! Ausgang
! Rechenschritt
! Einheit
! Rechenschritt
! Ziel
|-
| Karten
| <math>4</math>
| <math>\xrightarrow{:4}</math>
| <math>1</math>
| <math>\xrightarrow{\cdot6}</math>
| <math>6</math>
|-
| Preis
| <math>30</math>
| <math>\xrightarrow{:4}</math>
| <math>7{,}5</math>
| <math>\xrightarrow{\cdot6}</math>
| <math>45</math>
|}

{{BR}}
== Schritt 5: Punkte bestimmen ==

<math>(0\mid0),(1\mid7{,}5),(2\mid15),(4\mid30),(6\mid45),(8\mid60)</math>

{{BR}}
== Schritt 6: Punkt deuten ==

<math>P(6\mid45)</math> bedeutet:

'''6 Eintrittskarten kosten 45 €.'''

{{BR}}
= Typische Fehler und wie Du sie vermeidest =

{| class="wikitable"
! Typischer Fehler
! Warum falsch?
! Besser
|-
| Nur „je mehr, desto mehr“ prüfen
| Das beweist keine Proportionalität.
| Quotienten oder gleiche Faktoren prüfen.
|-
| Unterschiedliche Faktoren auf beide Größen anwenden
| Proportionalität verlangt denselben Faktor.
| Rechenpfeile parallel notieren.
|-
| Achsen vertauschen
| Dann verändert sich die Bedeutung eines Punktes.
| Vorher festlegen: <math>x</math> = Ausgangsgröße, <math>y</math> = zugeordnete Größe.
|-
| Ursprung vergessen
| Eine proportionale Gerade muss durch <math>(0\mid0)</math> gehen.
| Den Nullpunkt zuerst prüfen.
|-
| Startgebühr übersehen
| Mit Startwert <math>b\neq0</math> gilt nicht <math>y=kx</math>.
| Für <math>x=0</math> prüfen, ob auch <math>y=0</math> gilt.
|-
| Punkt nur ablesen, aber nicht deuten
| Mathematik bleibt ohne Sachbezug unvollständig.
| Beide Koordinaten mit Einheit in einem Satz erklären.
|}

{{BR}}
= Schnellcheck: Ist die Zuordnung proportional? =

Nutze diese Prüfkette:

<math>\boxed{\text{Situation}\rightarrow\text{Wertepaare}\rightarrow\frac{y}{x}\rightarrow\text{Graph}}</math>

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Prüffrage
! Ja
! Nein
|-
| Ist <math>\frac{y}{x}</math> für alle Wertepaare gleich?
| weiter
| nicht proportional
|-
| Führt Multiplikation von <math>x</math> mit <math>r</math> zu Multiplikation von <math>y</math> mit demselben <math>r</math>?
| weiter
| nicht proportional
|-
| Liegen die Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung?
| proportional
| nicht proportional
|}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Gleichung beschreibt einen proportionalen Zusammenhang mit dem Proportionalitätsfaktor 4?'''
(<math>y=4x</math>)
(!<math>y=x+4</math>)
(!<math>y=4+x</math>)
(!<math>y=\frac{4}{x}</math>)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss bei einer proportionalen Zuordnung für den Quotienten aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert gelten?'''
(Er ist konstant.)
(!Er wird immer größer.)
(!Er ist immer null.)
(!Er wechselt regelmäßig sein Vorzeichen.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Eigenschaft hat der Graph einer proportionalen Zuordnung?'''
(Er ist eine Gerade durch den Ursprung.)
(!Er ist immer eine waagerechte Gerade.)
(!Er ist eine beliebige Kurve.)
(!Er schneidet die y-Achse immer oberhalb des Ursprungs.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''3 Hefte kosten 6 Euro. Wie viel kosten 5 Hefte bei proportionaler Zuordnung?'''
(10 Euro)
(!8 Euro)
(!9 Euro)
(!12 Euro)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet der Punkt mit x gleich 4 und y gleich 12 in einem Preisdiagramm, wenn x die Anzahl und y den Preis in Euro beschreibt?'''
(4 Stück kosten 12 Euro.)
(!12 Stück kosten 4 Euro.)
(!Ein Stück kostet 12 Euro.)
(!Der Preis beträgt immer 4 Euro.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage reicht allein noch nicht aus, um Proportionalität zu beweisen?'''
(Je mehr, desto mehr.)
(!Der Quotient ist konstant.)
(!Beide Größen werden mit demselben Faktor vervielfacht.)
(!Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Ein Kilogramm Reis kostet 3 Euro. Welcher Proportionalitätsfaktor gehört zur Zuordnung Masse in Kilogramm zu Preis in Euro?'''
(3)
(!1)
(!0)
(!6)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Wertetabelle passt zu der Gleichung y gleich 2 mal x?'''
(x 1 2 3 und y 2 4 6)
(!x 1 2 3 und y 3 4 5)
(!x 1 2 3 und y 2 3 4)
(!x 1 2 3 und y 1 4 9)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was passiert bei einer proportionalen Zuordnung mit y, wenn x verdreifacht wird?'''
(y wird ebenfalls verdreifacht.)
(!y wird halbiert.)
(!y bleibt gleich.)
(!y wird um 3 erhöht.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Woran erkennst Du bei einer Rechnung besonders schnell den Proportionalitätsfaktor?'''
(Am Wert, der zu einer Einheit der Ausgangsgröße gehört.)
(!Am größten x Wert.)
(!Am letzten Tabellenfeld.)
(!An der Anzahl der Punkte im Graphen.)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Proportionalitätsfaktor || Wert pro Einheit
|-
| Wertetabelle || geordnete Wertepaare
|-
| Ursprungsgerade || Graph der direkten Proportionalität
|-
| Koordinatenpaar || Punktbeschreibung
|-
| Quotientengleichheit || konstantes Verhältnis
|-
| Pfeildiagramm || gleicher Rechenfaktor
|-
| x-Achse || Ausgangsgröße
|-
| y-Achse || zugeordnete Größe
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''verbale Darstellung'''
| Beschreibung mit Worten
|-
| '''Wertetabelle'''
| Darstellung zusammengehöriger Zahlenwerte
|-
| '''Pfeildiagramm'''
| Darstellung gleicher Rechenschritte
|-
| '''Koordinatenpunkt'''
| grafische Darstellung eines Wertepaars
|-
| '''Ursprungsgerade'''
| Graph eines proportionalen Zusammenhangs
|-
| '''Proportionalitätsfaktor'''
| konstanter Quotient aus y und x

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Interaktiver Darstellungswechsel ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ausgangsdarstellung
! Passende Folgedarstellung
|-
| '''1 kg kostet 4 €'''
| <math>y=4x</math>
|-
| '''<math>y=4x</math>'''
| Wertepaare wie <math>(1\mid4)</math> und <math>(3\mid12)</math>
|-
| '''<math>(2\mid8)</math>'''
| 2 Einheiten kosten 8 €
|-
| '''Tabelle mit 1→4, 2→8, 5→20'''
| Gerade durch den Ursprung
|-
| '''Gerade durch <math>(0\mid0)</math> und <math>(1\mid4)</math>'''
| Proportionalitätsfaktor 4
|}

{{E}}
</div>

<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Ursprung || Durch welchen besonderen Punkt verläuft der Graph jeder direkten Proportionalität?
|-
| Quotient || Welche Rechenart liefert y geteilt durch x?
|-
| Wertetabelle || Welche Darstellung ordnet zusammengehörige Zahlenwerte übersichtlich?
|-
| Koordinatensystem || Wo werden Wertepaare als Punkte dargestellt?
|-
| Faktor || Wie heißt die konstante Malzahl bei y gleich k mal x kurz?
|-
| Gerade || Welche Form hat der Graph einer proportionalen Zuordnung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M6+M+-+Proportionale+Zusammenhänge+darstellen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einem proportionalen Zusammenhang bleibt der Quotient aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert { konstant }.
Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung kann als <math>y=k\cdot x</math> geschrieben werden, wobei <math>k</math> der { Proportionalitätsfaktor } ist.
Wird die Ausgangsgröße verdoppelt, wird auch die zugeordnete Größe { verdoppelt }.
Eine übersichtliche Darstellung zusammengehöriger Zahlenwerte heißt { Wertetabelle }.
In einem Pfeildiagramm wird auf beide Größen derselbe { Faktor } angewendet.
Ein Wertepaar wird im Koordinatensystem als { Punkt } dargestellt.
Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine { Gerade }.
Diese Gerade verläuft immer durch den { Ursprung }.
Der Punkt <math>(3\mid12)</math> beschreibt zwei zusammengehörige { Werte }.
Ist bei <math>x=0</math> der Wert <math>y</math> nicht null, ist die Zuordnung im Allgemeinen nicht { proportional }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Preistabelle erstellen]]: Wähle ein Produkt mit einem festen Stückpreis. Erstelle für 1 bis 10 Stück eine Wertetabelle und notiere die Gleichung <math>y=kx</math>.
# [[Pfeildiagramm gestalten]]: Stelle für einen selbst gewählten proportionalen Zusammenhang zwei Rechenwege mit Multiplikations- und Divisionspfeilen dar.
# [[Punkte lesen]]: Zeichne ein Koordinatensystem, markiere fünf Punkte einer proportionalen Zuordnung und formuliere zu jedem Punkt einen Satz mit Einheiten.
# [[Proportionalität fotografieren]]: Suche im Alltag ein Beispiel, bei dem ein Preis pro Kilogramm, Liter, Meter oder Stück angegeben ist. Fotografiere nur Gegenstände oder Beschilderungen ohne erkennbare Personen und erkläre den Zusammenhang.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Darstellungswechsel-Plakat]]: Stelle denselben proportionalen Zusammenhang verbal, als Gleichung, als Wertetabelle, als Pfeildiagramm und als Graph dar.
# [[Fehlerdetektiv]]: Erfinde drei falsche Wertetabellen, in denen jeweils genau ein Wert die Proportionalität verletzt. Tausche mit einer Partnerperson und finde die Fehler.
# [[Graphen vergleichen]]: Zeichne die Graphen <math>y=2x</math>, <math>y=3x</math> und <math>y=5x</math> in dasselbe Koordinatensystem und beschreibe den Einfluss von <math>k</math>.
# [[Interview zum Einheitspreis]]: Befrage eine Person aus Deinem Umfeld, wann sie im Alltag mit Preisen pro Kilogramm, Liter, Stunde oder Stück rechnet. Übertrage ein Beispiel in eine Wertetabelle.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Nicht proportional begründen]]: Untersuche eine Situation mit Grundgebühr, zum Beispiel <math>y=2x+5</math>. Erkläre mit Tabelle, Graph und Quotienten, warum sie nicht proportional ist.
# [[Datenexperiment]]: Miss für einen gleichmäßigen Vorgang mehrere Werte, zum Beispiel Füllmenge bei ungefähr konstantem Wasserfluss. Prüfe, ob die Messwerte näherungsweise proportional sind, und diskutiere Messfehler.
# [[Erklärvideo produzieren]]: Erstelle ein kurzes eigenes Erklärvideo, in dem Du von einer Alltagssituation über Tabelle und Gleichung zum Graphen wechselst und einen Punkt im Sachzusammenhang deutest.
# [[Proportionalitäts-Challenge]]: Entwickle eine Aufgabe, bei der Lernende aus einem einzigen Wertepaar den Faktor bestimmen, drei neue Werte berechnen, einen Graphen zeichnen und zwei Punkte interpretieren müssen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Darstellungen verknüpfen]]: Gegeben ist der Satz „3 kg Orangen kosten 7,20 €“. Entwickle daraus Gleichung, Wertetabelle, Pfeildiagramm und mindestens vier Punkte für einen Graphen. Erkläre, wie Du zwischen den Darstellungen gewechselt hast.
# [[Graph beurteilen]]: Eine Gerade verläuft durch die Punkte <math>(2\mid5)</math> und <math>(6\mid15)</math>. Prüfe rechnerisch, ob diese Informationen zu einem proportionalen Zusammenhang passen. Erkläre zusätzlich, welche Information zum Ursprung wichtig ist.
# [[Fehler analysieren]]: Eine Schülerin sagt: „Der Zusammenhang ist proportional, weil beide Werte größer werden.“ Formuliere eine Gegenargumentation und konstruiere ein Beispiel, das ihre Aussage widerlegt.
# [[Punkt interpretieren]]: In einem Diagramm beschreibt <math>x</math> die Zeit in Stunden und <math>y</math> die Strecke in Kilometern. Deute <math>P(3\mid18)</math>, bestimme den Proportionalitätsfaktor und erkläre, was dieser in der Situation bedeutet.
# [[Modell vergleichen]]: Vergleiche <math>y=4x</math> mit <math>y=4x+3</math>. Zeige an Tabelle und Graph, weshalb nur eines der beiden Modelle proportional ist.
# [[Transferaufgabe]]: Ein Rezept verwendet für 4 Personen 300 g Reis. Entwickle eine proportionale Zuordnung für verschiedene Personenzahlen und erkläre, unter welcher Annahme dieses Modell sinnvoll ist.

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# einen proportionalen Zusammenhang aus einer Sachsituation erkennst und begründest,
# den Proportionalitätsfaktor <math>k</math> bestimmen und mit Einheit deuten kannst,
# Werte mit <math>y=kx</math> berechnen kannst,
# Wertetabellen vollständig und korrekt anlegst,
# gleiche Rechenfaktoren in Pfeildiagrammen verwendest,
# Wertepaare als Punkte <math>(x\mid y)</math> einträgst,
# eine Ursprungsgerade als Kennzeichen proportionaler Zusammenhänge erkennst,
# einzelne Punkte eines Graphen im Sachzusammenhang mit Einheiten interpretierst,
# sicher zwischen verbaler, tabellarischer, symbolischer und grafischer Darstellung wechselst,
# nicht proportionale Beispiele begründet von proportionalen Beispielen unterscheiden kannst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Proportionalit%C3%A4t </iframe>

{{BR}}
== Weitere freie und interaktive Lernmedien ==

# [[Wikimedia Commons]]: Die eingebundenen Grafiken und Fotos stammen aus Wikimedia Commons und sind auf ihren Dateiseiten mit freien Lizenzen oder als gemeinfrei gekennzeichnet.
# [[GeoGebra]]: Die eingebetteten Aktivitäten erlauben das Verändern von Parametern und das direkte Beobachten von Wertetabellen, Punkten und Graphen.
# [[YouTube]]: Das eingebettete Lernvideo behandelt Proportionalität auf dem Niveau der 6. Klasse.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Proportionale Zusammenhänge]]'''
# [[Zuordnung]]
# [[Wertetabelle]]
# [[Proportionalitätsfaktor]]
# [[Pfeildiagramm]]
# [[Koordinatensystem]]
# [[Ursprung]]
# [[Graph]]
# [[Dreisatz]]
# [[Verhältnis]]
# [[Lineare Funktion]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 6]]
[[Kategorie:Proportionalität]]
[[Kategorie:Zuordnungen]]
[[Kategorie:Koordinatensystem]]
[[Kategorie:M-Niveau]]
[[Kategorie:Mathematik Klasse 6]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M6 M - Proportionale Zusammenhänge darstellen - Versionsgeschichte

Maintenance script: Math-Syntax korrigiert; Merksätze und Hinweise als normalen Text formatiert

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt