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2026-09-15T20:33:13Z

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{{T}}

{{BR}}
= M6 M - Proportionale Sachaufgaben selbstständig lösen =

'''Zielgruppe:''' Klasse 6, M-Niveau

'''Lernziel:''' Du erkennst proportionale Strukturen auch in mehrschrittigen Sachsituationen, wählst selbstständig einen geeigneten Rechenweg und prüfst Dein Ergebnis auf Plausibilität.

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:100%;"
! Das kannst Du am Ende
! Mathematisches Werkzeug
! Typische Sachsituationen
|-
| proportionale Zusammenhänge erkennen
| <math>y=k\cdot x</math>
| Preise, Rezepte, Materialmengen
|-
| passende Rechenwege auswählen
| Faktor, über <math>1</math>, Zerlegen, Dreisatz
| Einkauf, Kochen, Basteln, Wege
|-
| mehrschrittige Aufgaben lösen
| Einheiten umrechnen, Zwischenergebnisse nutzen
| Packungen, Mengen, Gesamtkosten
|-
| Ergebnisse prüfen
| Überschlag und Gegenprobe
| Ist das Ergebnis realistisch?
|}

{{BR}}
= Einleitung =

Im Alltag musst Du oft aus bekannten Mengen neue Mengen berechnen: Für mehr Personen brauchst Du mehr Zutaten, für mehr Meter Stoff zahlst Du mehr Geld und für mehr gleiche Hefte steigt der Preis. Solche Situationen können '''proportional''' sein.

[[Datei:Cookie ingredients like flour and butter.jpg|500px|rahmenlos|center]]

Bei einer proportionalen Zuordnung ändern sich zwei Größen immer mit '''demselben Faktor'''.

<math>
\text{Wird }x\text{ mit }a\text{ multipliziert, dann wird auch }y\text{ mit }a\text{ multipliziert.}
</math>

Die Grundform lautet:

<math>
y=k\cdot x
</math>

Dabei ist <math>k</math> der '''Proportionalitätsfaktor'''.

{{BR}}
== Was bedeutet proportional? ==

Eine Zuordnung ist proportional, wenn der Quotient aus zusammengehörigen Werten gleich bleibt:

<math>
k=\frac{y}{x}
</math>

Beispiel: Drei gleiche Hefte kosten <math>4{,}50\,€</math>.

<math>
k=\frac{4{,}50\,€}{3}=1{,}50\,€/\text{Heft}
</math>

Also kostet jedes Heft <math>1{,}50\,€</math>. Für <math>x</math> Hefte gilt:

<math>
y=1{,}50\cdot x
</math>

[[Datei:Price Tag.png|350px|rahmenlos|center]]

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Anzahl Hefte <math>x</math>
! 0
! 1
! 2
! 3
! 4
! 8
|-
! Preis <math>y</math> in €
| 0
| 1,50
| 3,00
| 4,50
| 6,00
| 12,00
|}

'''Faktorprobe:'''

<math>
3\longrightarrow 8
</math>

Der Faktor ist:

<math>
\frac{8}{3}
</math>

Also:

<math>
4{,}50\cdot\frac{8}{3}=12
</math>

{{BR}}
== Vier sichere Erkennungsmerkmale ==

{| class="wikitable"
! Merkmal
! Mathematischer Test
! Beispiel
|-
| Beide Größen wachsen oder schrumpfen mit demselben Faktor.
| <math>x\cdot a\Rightarrow y\cdot a</math>
| Doppelt so viele gleiche Flaschen kosten doppelt so viel.
|-
| Der Quotient bleibt gleich.
| <math>\frac{y}{x}=k</math>
| <math>\frac{9}{6}=\frac{6}{4}=1{,}5</math>
|-
| Zum Wert <math>0</math> gehört ebenfalls <math>0</math>.
| <math>x=0\Rightarrow y=0</math>
| Kein gekaufter Artikel kostet <math>0\,€</math>.
|-
| Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.
| <math>y=kx</math>
| Preis gegen Anzahl bei festem Stückpreis
|}

'''Achtung:''' „Je mehr, desto mehr“ reicht allein nicht aus. Wenn eine Taxifahrt zum Beispiel aus einer festen Grundgebühr und einem Preis pro Kilometer besteht, ist der Gesamtpreis nicht proportional zur Strecke, weil bei <math>0</math> Kilometern bereits die Grundgebühr anfällt.

{{BR}}
== Dynamisches Diagramm: Proportionalität verändern ==

Im folgenden GeoGebra-Material kannst Du Zahlen verändern und beobachten, wie sich Wertetabelle und Graph ändern. Achte besonders auf den Ursprung und den konstanten Faktor.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/vYwQFcJS </iframe>

'''Beobachtungsauftrag:''' Verändere die Werte. Prüfe jeweils:

<math>
\frac{y_1}{x_1}\stackrel{?}{=}\frac{y_2}{x_2}
</math>

Wenn die Quotienten gleich sind, passen die Werte zu derselben proportionalen Zuordnung.

{{BR}}
== Doppelte Zahlengerade: zwei Größen gleichzeitig sehen ==

Eine doppelte Zahlengerade zeigt zwei proportionale Größen übereinander. Beispiel: <math>4</math> Portionen benötigen <math>300\,g</math> Nudeln.

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:100%;"
! Portionen
| 0
| 4
| 8
| 12
| 16
| 20
|-
! Nudeln
| 0 g
| 300 g
| 600 g
| 900 g
| 1200 g
| 1500 g
|}

Du erkennst:

<math>
4\cdot 3=12
</math>

und deshalb:

<math>
300\,g\cdot 3=900\,g
</math>

'''Interaktive doppelte Zahlengerade:'''

<iframe> https://www.geogebra.org/m/phurxnvu </iframe>

Probiere verschiedene Ausgangspaare aus. Verschiebe beziehungsweise ändere die Werte und beschreibe, wie beide Zahlengeraden zusammenhängen.

{{BR}}
= Rechenwege selbstständig wählen =

Nicht jede proportionale Sachaufgabe muss mit demselben Verfahren gelöst werden. Ein guter Rechenweg ist '''richtig, verständlich und möglichst günstig'''.

{{BR}}
== Rechenweg A: Mit einem einfachen Faktor rechnen ==

'''Situation:''' Für <math>5</math> Trinkflaschen werden <math>2\,l</math> Getränk benötigt. Wie viel Getränk braucht man für <math>15</math> Flaschen?

Der Faktor ist sofort sichtbar:

<math>
5\cdot 3=15
</math>

Also muss auch die Getränkemenge mit <math>3</math> multipliziert werden:

<math>
2\,l\cdot 3=6\,l
</math>

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Flaschen
! Getränk
! Rechenschritt
|-
| 5
| 2 l
| Ausgangswert
|-
| 15
| 6 l
| <math>\cdot 3</math>
|}

'''Dieser Weg ist besonders günstig, wenn der Veränderungsfaktor leicht erkennbar ist.'''

{{BR}}
== Rechenweg B: Erst auf 1, dann auf die Zielmenge ==

'''Situation:''' <math>6</math> Meter Geschenkband kosten <math>9{,}60\,€</math>. Wie viel kosten <math>15</math> Meter?

Zuerst auf <math>1\,m</math>:

<math>
9{,}60\,€:6=1{,}60\,€
</math>

Dann auf <math>15\,m</math>:

<math>
1{,}60\,€\cdot 15=24{,}00\,€
</math>

[[Datei:Measuring-tape.jpg|500px|rahmenlos|center]]

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Länge
! Preis
! Rechenweg
|-
| 6 m
| 9,60 €
| <math>:6</math>
|-
| 1 m
| 1,60 €
| Einheitswert
|-
| 15 m
| 24,00 €
| <math>\cdot 15</math>
|}

Der Einheitswert ist hier zugleich der Proportionalitätsfaktor:

<math>
k=1{,}60\,€/\text{m}
</math>

{{BR}}
== Rechenweg C: Geschickt zerlegen ==

'''Situation:''' <math>4</math> Eintrittskarten kosten <math>30\,€</math>. Wie viel kosten <math>14</math> Karten?

Du kannst <math>14</math> als <math>12+2</math> zerlegen.

Aus <math>4</math> Karten werden durch Verdreifachen <math>12</math> Karten:

<math>
30\,€\cdot 3=90\,€
</math>

Für <math>2</math> Karten brauchst Du die Hälfte von <math>30\,€</math>:

<math>
30\,€:2=15\,€
</math>

Zusammen:

<math>
90\,€+15\,€=105\,€
</math>

Gegenprobe über den Stückpreis:

<math>
30\,€:4=7{,}50\,€
</math>

<math>
14\cdot 7{,}50\,€=105\,€
</math>

{{BR}}
== Rechenweg D: Mit dem Proportionalitätsfaktor ==

Wenn Du den Einheitswert kennst, kannst Du direkt mit

<math>
y=k\cdot x
</math>

rechnen.

'''Beispiel:'''

<math>
k=2{,}40\,€/\text{kg}
</math>

Für <math>3{,}5\,kg</math> gilt:

<math>
y=2{,}40\cdot3{,}5=8{,}40
</math>

Also kosten <math>3{,}5\,kg</math> genau <math>8{,}40\,€</math>.

{{BR}}
== Entscheidungshilfe für Deinen Rechenweg ==

{| class="wikitable"
! Situation
! Günstiger Rechenweg
! Beispiel
|-
| Der Faktor ist sofort sichtbar.
| direkter Faktor
| von 6 auf 18 bedeutet <math>\cdot3</math>
|-
| Der Faktor ist unhandlich.
| erst auf 1
| von 6 m auf 15 m
|-
| Die Zielzahl lässt sich geschickt zusammensetzen.
| zerlegen
| <math>14=12+2</math>
|-
| Der Einheitswert ist schon bekannt.
| <math>y=kx</math>
| Preis pro Kilogramm
|-
| Du willst besonders übersichtlich dokumentieren.
| Dreisatz-Tabelle
| Ausgangswert → 1 → Zielwert
|}

{{BR}}
= Visueller Schritt-für-Schritt-Rechenweg =

'''Aufgabe:''' <math>8</math> gleiche Notizhefte kosten <math>11{,}20\,€</math>. Wie viel kosten <math>15</math> Hefte?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 1 ausklappen: Struktur prüfen'''

Wenn alle Hefte gleich viel kosten und es keinen Mengenrabatt gibt, ist die Situation proportional.

<math>
\text{Anzahl}\uparrow\quad\Rightarrow\quad\text{Preis}\uparrow
</math>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 2 ausklappen: Auf 1 Heft rechnen'''

<math>
11{,}20\,€:8=1{,}40\,€
</math>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 3 ausklappen: Auf 15 Hefte rechnen'''

<math>
1{,}40\,€\cdot15=21{,}00\,€
</math>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 4 ausklappen: Plausibilität prüfen'''

<math>
8<15<16
</math>

Für <math>16</math> Hefte wären es:

<math>
11{,}20\,€\cdot2=22{,}40\,€
</math>

Also muss der Preis für <math>15</math> Hefte knapp unter <math>22{,}40\,€</math> liegen. <math>21{,}00\,€</math> ist plausibel.
</div>

{{BR}}
= Sachaufgabe 1: Rezept anpassen =

[[Datei:Kitchen-scale.jpg|450px|rahmenlos|center]]

Ein Rezept für <math>4</math> Personen benötigt:

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Zutat
! für 4 Personen
|-
| Nudeln
| 300 g
|-
| Tomatensoße
| 200 ml
|-
| Gemüse
| 240 g
|}

Du möchtest für <math>18</math> Personen kochen.

Der Vergrößerungsfaktor ist:

<math>
\frac{18}{4}=4{,}5=\frac{9}{2}
</math>

Also:

<math>
300\,g\cdot4{,}5=1350\,g
</math>

<math>
200\,ml\cdot4{,}5=900\,ml
</math>

<math>
240\,g\cdot4{,}5=1080\,g
</math>

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Zutat
! für 4 Personen
! Faktor
! für 18 Personen
|-
| Nudeln
| 300 g
| <math>\cdot4{,}5</math>
| 1350 g
|-
| Tomatensoße
| 200 ml
| <math>\cdot4{,}5</math>
| 900 ml
|-
| Gemüse
| 240 g
| <math>\cdot4{,}5</math>
| 1080 g
|}

'''Plausibilitätsrahmen für die Nudeln:'''

<math>
4\cdot300\,g=1200\,g
</math>

<math>
5\cdot300\,g=1500\,g
</math>

Da <math>18</math> Personen zwischen <math>16</math> und <math>20</math> Personen liegen, muss die Nudelmenge zwischen <math>1200\,g</math> und <math>1500\,g</math> liegen. <math>1350\,g</math> passt.

{{BR}}
== Mehrschrittig: Rezeptmenge und Packungen ==

Nun werden die Nudeln nur in <math>500\,g</math>-Packungen verkauft.

Benötigt:

<math>
1350\,g
</math>

Anzahl rechnerischer Packungen:

<math>
1350:500=2{,}7
</math>

Du kannst aber keine <math>0{,}7</math> Packung kaufen. Deshalb brauchst Du '''3 Packungen'''.

Gekaufte Menge:

<math>
3\cdot500\,g=1500\,g
</math>

Rest:

<math>
1500\,g-1350\,g=150\,g
</math>

'''Wichtig:''' Bis zur benötigten Nudelmenge war die Rechnung proportional. Beim Kauf ganzer Packungen kommt ein neuer Schritt hinzu: Du musst auf eine ganze Packungszahl '''aufrunden'''. Dadurch ist der tatsächlich bezahlte Preis nicht mehr exakt proportional zur benötigten Grammzahl.

{{BR}}
= Sachaufgabe 2: Preise vergleichen =

[[Datei:Simple shopping cart.svg|400px|rahmenlos|center]]

Ein Bastelladen verkauft gleiche Holzleisten einzeln für <math>1{,}80\,€</math>. Für ein Projekt brauchst Du <math>14</math> Leisten.

<math>
14\cdot1{,}80\,€=25{,}20\,€
</math>

Nun gibt es ein Sonderangebot: Ein Paket mit <math>10</math> Leisten kostet <math>16\,€</math>, einzelne Leisten kosten weiterhin <math>1{,}80\,€</math>.

Das Sonderangebot erzeugt eine '''mehrschrittige''' Situation.

Ein Paket und vier Einzelstücke:

<math>
16\,€+4\cdot1{,}80\,€=16\,€+7{,}20\,€=23{,}20\,€
</math>

Ersparnis gegenüber dem reinen Einzelkauf:

<math>
25{,}20\,€-23{,}20\,€=2{,}00\,€
</math>

'''Modellentscheidung:''' Der reine Einzelpreis ist proportional zur Stückzahl. Sobald verschiedene Paketpreise kombiniert werden, musst Du die Gesamtsituation in Teilprobleme zerlegen.

{{BR}}
= Sachaufgabe 3: Materialmenge =

[[Datei:Ruler with millimeter and centimeter marks.svg|450px|rahmenlos|center]]

Für <math>5</math> Geschenkverpackungen werden <math>1{,}25\,m</math> Band benötigt.

Gesucht ist die Bandlänge für <math>14</math> Verpackungen.

Einheitswert:

<math>
1{,}25\,m:5=0{,}25\,m
</math>

Zielwert:

<math>
14\cdot0{,}25\,m=3{,}5\,m
</math>

Umrechnung:

<math>
3{,}5\,m=350\,cm
</math>

Kontrolle mit einem anderen Rechenweg:

<math>
10\text{ Verpackungen}\Rightarrow2{,}5\,m
</math>

<math>
4\text{ Verpackungen}\Rightarrow1{,}0\,m
</math>

<math>
2{,}5\,m+1{,}0\,m=3{,}5\,m
</math>

Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.

{{BR}}
= Sachaufgabe 4: Füllmenge und Zeit =

Eine Maschine füllt gleichmäßig in <math>6</math> Minuten <math>15\,l</math> Saft ab. Wie viel wird in <math>18</math> Minuten abgefüllt?

Da die Füllgeschwindigkeit konstant sein soll, liegt eine proportionale Situation vor.

Zeitfaktor:

<math>
18:6=3
</math>

Füllmenge:

<math>
15\,l\cdot3=45\,l
</math>

Proportionalitätsfaktor:

<math>
k=\frac{15\,l}{6\,min}=2{,}5\,\frac{l}{min}
</math>

Gegenprobe:

<math>
18\,min\cdot2{,}5\,\frac{l}{min}=45\,l
</math>

'''Modellkritik:''' Würde die Maschine zwischendurch stoppen oder ihre Geschwindigkeit ändern, wäre die einfache proportionale Rechnung nicht mehr passend.

{{BR}}
= Nicht jede Sachsituation ist proportional =

{| class="wikitable"
! Situation
! proportional?
! Begründung
|-
| 1 kg Äpfel kostet 2,40 €, jeder weitere Bruchteil wird zum selben Kilopreis berechnet.
| ja
| Der Quotient Preis durch Masse bleibt konstant.
|-
| Taxi: 4 € Grundgebühr plus 2 € je Kilometer
| nein
| Bei 0 km kostet die Fahrt bereits 4 €.
|-
| 2 Kinokarten kosten 18 €, 4 Kinokarten kosten 36 €.
| möglicherweise
| Die beiden Werte passen zur Proportionalität, weitere Bedingungen müssen gleich bleiben.
|-
| 1 T-Shirt kostet 12 €, ab 3 Stück gibt es Rabatt.
| nein
| Der Stückpreis verändert sich.
|-
| 5 gleiche Schrauben wiegen 20 g, 20 gleiche Schrauben wiegen 80 g.
| ja
| Vervierfachung der Stückzahl führt zur Vervierfachung der Masse.
|-
| Ein Kind ist mit 6 Jahren 120 cm groß. Mit 12 Jahren ist es deshalb 240 cm groß.
| nein
| Körpergröße wächst nicht proportional zum Alter.
|}

{{BR}}
= Der Graph einer proportionalen Zuordnung =

Für

<math>
y=1{,}5x
</math>

erhältst Du zum Beispiel:

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! <math>x</math>
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
|-
! <math>y</math>
| 0
| 1,5
| 3
| 4,5
| 6
| 7,5
|}

Die Punkte

<math>
(0|0),\ (1|1{,}5),\ (2|3),\ (3|4{,}5),\dots
</math>

liegen auf einer Geraden durch den Ursprung.

'''Warum muss die Gerade durch den Ursprung gehen?'''

<math>
y=k\cdot0=0
</math>

Wenn die erste Größe <math>0</math> ist, muss bei einer proportionalen Zuordnung auch die zweite Größe <math>0</math> sein.

'''Dynamisches Diagramm:'''

<iframe> https://www.geogebra.org/m/zxtmw4gg </iframe>

Verändere die Werte und prüfe, wie sich die Steigung verändert. Ein größerer Proportionalitätsfaktor bedeutet eine steilere Ursprungsgerade.

{{BR}}
= Geldbeträge und Stellenwerte sicher rechnen =

Bei Preisen ist die Dezimalschreibweise wichtig.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Betrag
! Euro
! Zehntel Euro
! Hundertstel Euro
! als Cent
|-
| 1,40 €
| 1
| 4
| 0
| 140 ct
|-
| 2,35 €
| 2
| 3
| 5
| 235 ct
|-
| 0,80 €
| 0
| 8
| 0
| 80 ct
|}

Zum Beispiel:

<math>
1{,}40\,€\cdot15=21{,}00\,€
</math>

Du kannst zur Kontrolle in Cent rechnen:

<math>
140\,ct\cdot15=2100\,ct=21\,€
</math>

[[Datei:Euro coins line.jpg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Einheiten als Teil des Lösungswegs =

Viele Sachaufgaben werden erst mehrschrittig, weil Du Einheiten umrechnen musst.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Größe
! Zusammenhang
! Beispiel
|-
| Masse
| <math>1\,kg=1000\,g</math>
| <math>1{,}35\,kg=1350\,g</math>
|-
| Länge
| <math>1\,m=100\,cm</math>
| <math>3{,}5\,m=350\,cm</math>
|-
| Volumen
| <math>1\,l=1000\,ml</math>
| <math>0{,}9\,l=900\,ml</math>
|-
| Geld
| <math>1\,€=100\,ct</math>
| <math>2{,}40\,€=240\,ct</math>
|}

'''Regel:''' Rechne möglichst zuerst mit einheitlichen Maßeinheiten.

{{BR}}
= Plausibilität prüfen =

Ein Ergebnis ist erst dann wirklich gut, wenn Du es geprüft hast.

{| class="wikitable"
! Prüfmethode
! Leitfrage
! Beispiel
|-
| Größenordnung
| Ist das Ergebnis ungefähr so groß, wie ich erwarte?
| Mehr Personen brauchen nicht weniger Zutaten.
|-
| Faktorprobe
| Wurde auf beiden Seiten derselbe Faktor verwendet?
| <math>\cdot3</math> bei Anzahl und Preis
|-
| Überschlag
| Liegt das genaue Ergebnis nahe an einer einfachen Schätzung?
| <math>1{,}98\cdot10\approx20</math>
|-
| Einheit
| Passt die Einheit zur Frage?
| Gesuchter Preis muss in Euro angegeben werden.
|-
| Gegenprobe
| Liefert ein zweiter Weg dasselbe Ergebnis?
| Einheitswert und direkter Faktor stimmen überein.
|-
| Alltagssinn
| Kann das Ergebnis in der Situation überhaupt vorkommen?
| Man kann keine 2,7 geschlossenen Packungen kaufen.
|}

'''Beispiel für einen Überschlag:'''

<math>
7\cdot3{,}98\,€\approx7\cdot4\,€=28\,€
</math>

Wenn die genaue Rechnung <math>27{,}86\,€</math> ergibt, ist das plausibel. Ein Ergebnis von <math>278{,}60\,€</math> wäre offensichtlich um eine Zehnerstelle zu groß.

{{BR}}
= Ein Lösungsplan für selbstständiges Arbeiten =

{| class="wikitable" style="width:100%;"
! Schritt
! Frage
! Mathematische Aktion
|-
| 1. Verstehen
| Welche Größen gehören zusammen?
| Angaben markieren und Einheiten notieren
|-
| 2. Struktur prüfen
| Ist die Zuordnung wirklich proportional?
| gleicher Faktor oder konstanter Quotient
|-
| 3. Ziel klären
| Welche Größe ist gesucht?
| Frage in einem kurzen Satz formulieren
|-
| 4. Rechenweg wählen
| Faktor, über 1, Zerlegen oder <math>y=kx</math>?
| günstigen Weg auswählen
|-
| 5. Rechnen
| Sind die Einheiten einheitlich?
| sauber mit Einheiten rechnen
|-
| 6. Prüfen
| Ist das Ergebnis realistisch?
| Überschlag, Faktorprobe oder Gegenprobe
|-
| 7. Antworten
| Was bedeutet die Zahl im Sachzusammenhang?
| Antwortsatz mit Einheit
|}

{{BR}}
= Video: Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen =

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=N2cllO5MINc |500|center}}

'''Beobachtungsauftrag:''' Notiere während des Videos, an welcher Stelle zuerst auf den Wert <math>1</math> gerechnet wird und wie anschließend der Zielwert entsteht.

{{BR}}
= Video: Fehlende Werte berechnen =

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=vUtbFUVeNmA |500|center}}

'''Transferauftrag:''' Erfinde nach dem Video eine eigene Sachsituation mit zwei Größen und löse sie auf zwei verschiedenen Wegen.

{{BR}}
= Interaktive Vertiefung mit GeoGebra =

Das folgende Material beschäftigt sich mit proportionalen Zuordnungen in einer Sachsituation beim Tanken. Nutze die Regler, verändere Preis und Menge und beobachte gleichzeitig den Rechnungsbetrag und den Graphen.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/dv68Bdtm </iframe>

Prüfe bei mehreren Einstellungen:

<math>
\frac{\text{Preis}}{\text{Liter}}\stackrel{?}{=}\text{konstant}
</math>

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Woran erkennst Du eine proportionale Zuordnung besonders sicher?'''
(Der Quotient zusammengehöriger Werte bleibt konstant)
(!Beide Größen werden größer)
(!Eine Größe bleibt immer gleich)
(!Der Graph startet irgendwo auf der y Achse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was passiert bei einer proportionalen Zuordnung wenn eine Größe verdoppelt wird?'''
(Die zugeordnete Größe wird ebenfalls verdoppelt)
(!Die zugeordnete Größe wird halbiert)
(!Die zugeordnete Größe bleibt unverändert)
(!Zur zugeordneten Größe wird immer zwei addiert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Drei gleiche Hefte kosten 4 Euro 50. Wie viel kosten sechs Hefte?'''
(9 Euro)
(!6 Euro)
(!7 Euro 50)
(!13 Euro 50)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist ein Preis mit fester Grundgebühr normalerweise nicht proportional zur Menge?'''
(Bei der Menge null ist der Preis nicht null)
(!Der Preis kann in Euro angegeben werden)
(!Die Menge kann größer werden)
(!Man kann den Preis addieren)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Ein Rezept für vier Personen wird auf zehn Personen vergrößert. Welcher Faktor wird verwendet?'''
(2 Komma 5)
(!2)
(!4)
(!6)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist der Rechenweg über den Wert eins besonders nützlich?'''
(Wenn der direkte Veränderungsfaktor unhandlich ist)
(!Wenn keine Größen gegeben sind)
(!Wenn die Zuordnung sicher nicht proportional ist)
(!Wenn man keine Einheit kennt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie verläuft der Graph einer proportionalen Zuordnung?'''
(Als Gerade durch den Ursprung)
(!Als Kreis)
(!Als waagerechte Gerade)
(!Als beliebige Kurve)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Prüfung zeigt direkt ob ein Ergebnis zur Größenordnung passt?'''
(Ein Überschlag)
(!Das Abschreiben der Aufgabe)
(!Das Weglassen der Einheit)
(!Das Vertauschen der Größen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Du brauchst 1350 Gramm Nudeln und eine Packung enthält 500 Gramm. Wie viele ganze Packungen musst Du kaufen?'''
(3 Packungen)
(!2 Packungen)
(!2 Komma 7 Packungen)
(!4 Packungen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Sechs Meter Band kosten 9 Euro 60. Wie hoch ist der Preis pro Meter?'''
(1 Euro 60)
(!60 Cent)
(!2 Euro 40)
(!3 Euro 60)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Proportionalitätsfaktor || konstanter Multiplikationsfaktor
|-
| Einheitswert || Wert für genau eine Einheit
|-
| Ursprungsgerade || Graph einer proportionalen Zuordnung
|-
| Überschlag || grobe Rechnung zur Plausibilitätsprüfung
|-
| Dreisatz || Rechenweg über eine Zwischenstufe
|-
| Quotient || Ergebnis einer Division
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Struktur prüfen'''
| Veränderungsfaktoren vergleichen
|-
| '''Einheiten klären'''
| gleichartige Maßeinheiten herstellen
|-
| '''Rechenweg wählen'''
| Faktor oder Einheitswert bestimmen
|-
| '''Ergebnis berechnen'''
| mathematische Operationen ausführen
|-
| '''Plausibilität prüfen'''
| Überschlag oder Gegenprobe verwenden

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Proportionalität || Wie heißt ein Zusammenhang mit konstantem Verhältnis zusammengehöriger Werte?
|-
| Quotient || Wie heißt das Ergebnis einer Division?
|-
| Dreisatz || Wie heißt der bekannte Rechenweg über eine Zwischenstufe?
|-
| Ursprung || Durch welchen besonderen Punkt verläuft der Graph einer proportionalen Zuordnung?
|-
| Plausibilität || Welcher Begriff bezeichnet die Prüfung ob ein Ergebnis sinnvoll sein kann?
|-
| Einheit || Was muss bei einem Ergebnis wie Meter Gramm oder Euro immer passend angegeben werden?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M6+M+Proportionale+Sachaufgaben+selbstständig+lösen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einer proportionalen Zuordnung verändern sich beide Größen mit demselben { Faktor }. Der Quotient aus zusammengehörigen Werten bleibt { konstant }. Der Wert für genau eine Einheit heißt { Einheitswert }. Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft durch den { Ursprung }. Bei einem Rechenweg über den Wert eins kann zuerst durch die gegebene Anzahl { dividiert } werden. Danach wird mit der gesuchten Anzahl { multipliziert }. Vor dem Rechnen sollten unterschiedliche Maßeinheiten passend { umgerechnet } werden. Ein grobes Rechnen zur Kontrolle nennt man { Überschlag }. Bei Packungsgrößen kann es nötig sein auf eine ganze Packungszahl { aufzurunden }. Am Ende gehört zur berechneten Zahl immer eine passende { Einheit }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Zusätzliche Übungsaufgaben mit Lösungen zum Aufklappen =

{{BR}}
== Übung A: Obstpreis ==

<math>2{,}5\,kg</math> Äpfel kosten <math>6{,}00\,€</math>. Wie viel kosten <math>4\,kg</math> bei gleichem Kilopreis?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung'''

<math>
6{,}00\,€:2{,}5=2{,}40\,€/\text{kg}
</math>

<math>
4\cdot2{,}40\,€=9{,}60\,€
</math>

Antwort: <math>4\,kg</math> kosten <math>9{,}60\,€</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung B: Farbe ==

Für <math>12\,m^2</math> Wandfläche werden <math>3\,l</math> Farbe benötigt. Wie viel Farbe brauchst Du für <math>30\,m^2</math> unter gleichen Bedingungen?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung'''

<math>
30:12=2{,}5
</math>

<math>
3\,l\cdot2{,}5=7{,}5\,l
</math>

Antwort: Du brauchst rechnerisch <math>7{,}5\,l</math> Farbe.
</div>

{{BR}}
== Übung C: Nicht proportional ==

Ein Fahrradverleih verlangt <math>5\,€</math> Startgebühr und <math>3\,€</math> pro Stunde. Ist der Preis proportional zur Mietdauer?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung'''

Nein. Für <math>0</math> Stunden wären bereits <math>5\,€</math> zu zahlen. Eine proportionale Zuordnung müsste durch <math>(0|0)</math> gehen.
</div>

{{BR}}
== Übung D: Mehrschrittig mit Packungen ==

Für <math>24</math> Bastelsterne brauchst Du <math>360\,cm</math> Draht. Du möchtest <math>70</math> Sterne herstellen. Der Draht wird in Rollen zu <math>5\,m</math> verkauft. Wie viele Rollen brauchst Du?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung'''

Zuerst Draht pro Stern:

<math>
360\,cm:24=15\,cm
</math>

Für <math>70</math> Sterne:

<math>
70\cdot15\,cm=1050\,cm
</math>

Umrechnen:

<math>
1050\,cm=10{,}5\,m
</math>

Rollenanzahl:

<math>
10{,}5\,m:5\,m=2{,}1
</math>

Da nur ganze Rollen gekauft werden können, brauchst Du '''3 Rollen'''.
</div>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Preise vergleichen]]: Fotografiere oder notiere fünf Stückpreise aus einem Prospekt oder einem Geschäft. Erstelle zu einem Produkt eine proportionale Wertetabelle mit mindestens vier Mengen.
# [[Rezept]]: Wähle ein einfaches Rezept für vier Personen und rechne alle Zutaten auf sechs Personen um. Markiere den verwendeten Faktor.
# [[Proportionalität im Alltag]]: Finde drei Alltagssituationen, von denen zwei proportional und eine nicht proportional sind. Begründe Deine Entscheidung.
# [[Wertetabelle]]: Erfinde eine proportionale Zuordnung mit einem selbst gewählten Einheitswert und gestalte dazu eine übersichtliche Tabelle.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Doppelte Zahlengerade]]: Stelle eine Preis-Mengen-Situation als doppelte Zahlengerade dar und erkläre schriftlich, wie Du einen fehlenden Wert abliest oder berechnest.
# [[Dreisatz]]: Löse dieselbe Sachaufgabe einmal mit einem direkten Faktor und einmal über den Wert eins. Vergleiche beide Wege.
# [[Materialbedarf]]: Plane für ein Klassenprojekt den Materialbedarf für 8, 14 und 25 gleiche Werkstücke. Dokumentiere die Proportionalitätsfaktoren und Einheiten.
# [[Plausibilitätsprüfung]]: Erstelle drei absichtlich falsche Lösungen zu proportionalen Sachaufgaben. Zeige jeweils mit Überschlag oder Gegenprobe, woran der Fehler erkannt werden kann.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Mehrschrittige Sachaufgabe]]: Entwickle eine Aufgabe, bei der zuerst proportional gerechnet und anschließend wegen Packungsgrößen aufgerundet werden muss. Gib eine vollständige Musterlösung an.
# [[Kostenmodell]]: Vergleiche zwei Angebote, von denen eines einen festen Grundpreis und das andere einen reinen Stückpreis besitzt. Erkläre, welcher Teil proportional ist und welcher nicht.
# [[Diagramm]]: Erhebe selbst Daten zu einer möglichst proportionalen Alltagssituation, stelle sie als Wertetabelle und Graph dar und untersuche, ob die Punkte tatsächlich auf einer Ursprungsgeraden liegen.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du eine proportionale Sachaufgabe löst, den Rechenweg begründest und am Ende eine Plausibilitätsprüfung durchführst.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellieren]]: Ein Getränkerezept für 6 Personen enthält 900 ml Saft. Eine Klasse mit 26 Personen soll versorgt werden. Entwickle einen geeigneten Rechenweg, berechne die benötigte Saftmenge und begründe, warum Dein Modell proportional ist.
# [[Rechenwege vergleichen]]: Für 8 gleiche Artikel werden 14,40 € bezahlt. Bestimme den Preis für 18 Artikel einmal über den Einheitswert und einmal durch geschicktes Zerlegen. Vergleiche die Effizienz beider Verfahren.
# [[Fehleranalyse]]: Jemand rechnet bei einer proportionalen Aufgabe von 5 auf 20 mit dem Faktor 4, multipliziert den zugehörigen Wert aber mit 5. Erkläre den Fehler und entwickle eine Kontrolle, die ihn sicher entdeckt.
# [[Modellkritik]]: Ein Kopierladen verlangt eine Startgebühr plus einen Preis pro Kopie. Erkläre, warum die Gesamtkosten nicht proportional zur Kopienzahl sind und welcher Teil der Kosten dennoch proportional beschrieben werden kann.
# [[Mehrschrittiges Problemlösen]]: Für 16 Werkstücke braucht man 2,4 m Material. Das Material wird in 1-m-Stücken verkauft. Bestimme den Bedarf für 55 Werkstücke, die Zahl der zu kaufenden Stücke und den Materialrest.
# [[Plausibilität]]: Erfinde zu einem Ergebnis von 48 € mindestens zwei unterschiedliche Überschlags- oder Gegenproben, mit denen Du zeigen könntest, dass der Wert in einer konkreten Preissituation realistisch ist.

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{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deine Entscheidungen begründest.

# Du erkennst proportionale Strukturen und kannst sie von nur scheinbar proportionalen Situationen unterscheiden.
# Du erklärst die Bedeutung des konstanten Quotienten <math>k=\frac{y}{x}</math>.
# Du wählst passend zwischen direktem Faktor, Einheitswert, Zerlegen und Dreisatz.
# Du rechnest sicher mit Größen wie Euro, Cent, Gramm, Kilogramm, Milliliter, Liter, Zentimeter und Meter.
# Du löst mehrschrittige Aufgaben, in denen nach einer proportionalen Rechnung weitere Entscheidungen nötig sind.
# Du stellst proportionale Zusammenhänge in Tabellen, Zahlengeraden und Graphen dar.
# Du prüfst Ergebnisse mit Überschlag, Faktorprobe, Einheit und Gegenprobe.
# Du formulierst einen vollständigen Antwortsatz, der zur Sachsituation passt.

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<br>

{{BR}}
= Medien und Lizenzhinweise =

Die verwendeten Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Für die Nachnutzung gelten die Lizenzangaben auf den jeweiligen Dateiseiten.

{| class="wikitable"
! Medium
! Einsatz im aiMOOC
! Lizenz laut Wikimedia Commons
|-
| [[Datei:Cookie ingredients like flour and butter.jpg|120px|rahmenlos]]
| Rezept und Zutaten
| CC0 1.0
|-
| [[Datei:Price Tag.png|120px|rahmenlos]]
| Preise
| Public Domain
|-
| [[Datei:Kitchen-scale.jpg|120px|rahmenlos]]
| Massen und Rezeptmengen
| CC0 1.0
|-
| [[Datei:Measuring-tape.jpg|120px|rahmenlos]]
| Längen und Materialmengen
| Public Domain
|-
| [[Datei:Ruler with millimeter and centimeter marks.svg|120px|rahmenlos]]
| Längeneinheiten
| CC BY-SA 4.0
|-
| [[Datei:Simple shopping cart.svg|120px|rahmenlos]]
| Einkaufssituationen
| CC0 1.0
|-
| [[Datei:Euro coins line.jpg|120px|rahmenlos]]
| Geld und Dezimalstellen
| CC0 1.0
|}

Die YouTube-Videos werden über die Plattform eingebettet. Die Einbettung bedeutet nicht, dass das Videomaterial selbst unter einer freien OER-Lizenz steht. Für eine Bearbeitung oder anderweitige Weiterverwendung des Videoinhalts müssen die jeweiligen Rechte des Videos beachtet werden.

{{BR}}
= OERs zum Thema =

'''Wikipedia: Proportionalität'''

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Proportionalit%C3%A4t </iframe>

'''GeoGebra: Proportionalität für die Sekundarstufe'''

<iframe> https://www.geogebra.org/math/ratios-rates?lang=de </iframe>

'''Interaktive Sachaufgabe mit veränderbaren Werten'''

<iframe> https://www.geogebra.org/m/sat6wybk </iframe>

<br>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Proportionalität]]'''
# [[Proportionale Zuordnung]]
# [[Dreisatz]]
# [[Wertetabelle]]
# [[Proportionalitätsfaktor]]
# [[Sachaufgaben]]
# [[Größen und Einheiten]]
# [[Diagramme]]
# [[Plausibilitätsprüfung]]
# [[Dezimalzahlen]]
# [[Brüche]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 6]]
[[Kategorie:M-Niveau]]
[[Kategorie:Proportionalität]]
[[Kategorie:Sachaufgaben]]
[[Kategorie:Dreisatz]]
[[Kategorie:Größen]]
[[Kategorie:Diagramme]]

= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M6 M - Proportionale Sachaufgaben selbstständig lösen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt