Maintenance script: Math-Syntax korrigiert; Merksätze und Hinweise als normalen Text formatiert

2026-09-16T05:26:50Z

Math-Syntax korrigiert; Merksätze und Hinweise als normalen Text formatiert

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	Wir arbeiten vor allem mit kleinen natürlichen Zahlen, damit Du jeden Rechenschritt selbst überprüfen kannst.		Wir arbeiten vor allem mit kleinen natürlichen Zahlen, damit Du jeden Rechenschritt selbst überprüfen kannst.

	<math>~~\text{~~Teiler~~} \longrightarrow \text{~~Anzahl der Teiler~~} \longrightarrow \text{~~Einordnung der Zahl}</~~math~~>		<span class="aimooc-math-note">Teiler → Anzahl der Teiler → Einordnung der Zahl</span>

	'''Grundidee:'''		'''Grundidee:'''
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	Eine natürliche Zahl <math>a</math> ist ein '''Teiler''' einer natürlichen Zahl <math>b</math>, wenn die Division ohne Rest aufgeht.		Eine natürliche Zahl <math>a</math> ist ein '''Teiler''' einer natürlichen Zahl <math>b</math>, wenn die Division ohne Rest aufgeht.

	<math>a~~\mid~~ b ~~\quad \Longleftrightarrow \quad~~ b:a~~\text{~~ ergibt eine natürliche Zahl ohne Rest}</~~math~~>		<span class="aimooc-math-note">a \| b ⇔ b:a ergibt eine natürliche Zahl ohne Rest</span>

	Beispiel:		Beispiel:
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	Die kleinste Primzahl ist		Die kleinste Primzahl ist

	<math>~~\boxed~~{2}</math>.		<math>{2}</math>.

	Sie ist zugleich die '''einzige gerade Primzahl'''.		Sie ist zugleich die '''einzige gerade Primzahl'''.
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	Deshalb ist		Deshalb ist

	<math>~~\boxed{~~1~~\text{~~ weder prim noch zusammengesetzt}}</~~math~~>.		<span class="aimooc-math-note">1 weder prim noch zusammengesetzt</span>.

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	<math>\Downarrow</math>		<math>\Downarrow</math>

	<math>~~\boxed~~{49\text{ ist zusammengesetzt}}</math>		<math>{49\text{ ist zusammengesetzt}}</math>

	{{BR}}		{{BR}}
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	also		also

	<math>~~\boxed~~{27\text{ zusammengesetzt}}</math>.		<math>{27\text{ zusammengesetzt}}</math>.

	Für <math>19</math> erhältst Du nur		Für <math>19</math> erhältst Du nur
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	und		und

	<math>~~\boxed~~{19\text{ prim}}</math>.		<math>{19\text{ prim}}</math>.

	{{BR}}		{{BR}}

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-16T03:54:57Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}

{{BR}}
= M6 G - Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen =

{{BR}}
= Einleitung =

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du '''Primzahlen''' und '''zusammengesetzte Zahlen''' sicher unterscheidest. Dabei reicht es nicht, eine Zahl nur anzuschauen: Du begründest Deine Entscheidung mit ihren '''Teilern''', mit '''Faktorzerlegungen''', mit '''Punktefeldern''' und mit dem '''Sieb des Eratosthenes'''.

Wir arbeiten vor allem mit kleinen natürlichen Zahlen, damit Du jeden Rechenschritt selbst überprüfen kannst.

<math>\text{Teiler} \longrightarrow \text{Anzahl der Teiler} \longrightarrow \text{Einordnung der Zahl}</math>

'''Grundidee:'''

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Zahlart
! Kennzeichen
! Beispiel
! Begründung
|-
| '''Primzahl'''
| genau zwei positive Teiler
| <math>7</math>
| <math>T(7)=\{1;7\}</math>
|-
| '''zusammengesetzte Zahl'''
| mehr als zwei positive Teiler
| <math>12</math>
| <math>T(12)=\{1;2;3;4;6;12\}</math>
|-
| '''Sonderfall'''
| nicht genau zwei und nicht mehr als zwei positive Teiler
| <math>1</math>
| <math>T(1)=\{1\}</math>
|}

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du

# [[Teiler|Teiler]] einer Zahl bestimmen und mit <math>a\mid b</math> ausdrücken, dass <math>a</math> ein Teiler von <math>b</math> ist.
# [[Primzahl|Primzahlen]] daran erkennen, dass sie genau zwei positive Teiler besitzen.
# [[Zusammengesetzte Zahl|zusammengesetzte Zahlen]] durch mindestens einen zusätzlichen Teiler begründen.
# die Sonderrolle der Zahlen <math>0</math> und <math>1</math> erklären.
# mit Punktefeldern Faktorpaare sichtbar machen.
# das [[Sieb des Eratosthenes|Sieb des Eratosthenes]] bis <math>100</math> anwenden.
# eine Aussage wie „<math>37</math> ist prim“ oder „<math>45</math> ist zusammengesetzt“ mit Teilern begründen.

{{BR}}
= Teiler als Grundlage =

{{BR}}
== Was bedeutet „Teiler“? ==

Eine natürliche Zahl <math>a</math> ist ein '''Teiler''' einer natürlichen Zahl <math>b</math>, wenn die Division ohne Rest aufgeht.

<math>a\mid b \quad \Longleftrightarrow \quad b:a\text{ ergibt eine natürliche Zahl ohne Rest}</math>

Beispiel:

<math>3\mid 12</math>, denn

<math>12:3=4</math>

und gleichzeitig

<math>3\cdot4=12</math>.

Dagegen gilt

<math>5\nmid 12</math>,

denn

<math>12:5=2\text{ Rest }2</math>.

{{BR}}
== Teilermengen systematisch finden ==

Die Menge aller positiven Teiler einer Zahl <math>n</math> schreiben wir als <math>T(n)</math>.

Für <math>12</math> kannst Du Faktorpaare suchen:

<math>1\cdot12=12</math>

<math>2\cdot6=12</math>

<math>3\cdot4=12</math>

Damit erhältst Du

<math>T(12)=\{1;2;3;4;6;12\}</math>.

[[Datei:Divisors 12.svg|500px|rahmenlos|center|Teilerbeziehungen der Zahl 12]]

<small>Freies Medium von Wikimedia Commons: „Divisors 12.svg“, Klaus Röder, unter anderem CC BY-SA 3.0. Die Dateibeschreibungsseite auf Wikimedia Commons enthält die vollständigen Lizenzangaben.</small>

{{BR}}
== Teilerpaare als Rechenweg ==

Ein besonders übersichtlicher Rechenweg ist die Suche nach Faktor- beziehungsweise Teilerpaaren.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Zahl
! Faktorpaare
! Teilermenge
! Einordnung
|-
| <math>7</math>
| <math>1\cdot7</math>
| <math>\{1;7\}</math>
| Primzahl
|-
| <math>10</math>
| <math>1\cdot10,\;2\cdot5</math>
| <math>\{1;2;5;10\}</math>
| zusammengesetzt
|-
| <math>13</math>
| <math>1\cdot13</math>
| <math>\{1;13\}</math>
| Primzahl
|-
| <math>18</math>
| <math>1\cdot18,\;2\cdot9,\;3\cdot6</math>
| <math>\{1;2;3;6;9;18\}</math>
| zusammengesetzt
|}

'''Merke:''' Um zu zeigen, dass eine Zahl zusammengesetzt ist, genügt bereits '''ein einziger zusätzlicher Teiler''' außer <math>1</math> und der Zahl selbst.

Beispiel:

<math>21=3\cdot7</math>

Also ist <math>3</math> ein Teiler von <math>21</math>. Damit besitzt <math>21</math> mehr als zwei Teiler und ist zusammengesetzt.

{{BR}}
= Primzahlen =

{{BR}}
== Definition ==

Eine '''Primzahl''' ist eine natürliche Zahl größer als <math>1</math>, die '''genau zwei positive Teiler''' hat:

<math>1</math> und die Zahl selbst.

Für eine Primzahl <math>p</math> gilt also:

<math>T(p)=\{1;p\}</math>

Beispiele:

<math>T(2)=\{1;2\}</math>

<math>T(3)=\{1;3\}</math>

<math>T(5)=\{1;5\}</math>

<math>T(11)=\{1;11\}</math>

<math>T(17)=\{1;17\}</math>

{{BR}}
== Die kleinste Primzahl ==

Die kleinste Primzahl ist

<math>\boxed{2}</math>.

Sie ist zugleich die '''einzige gerade Primzahl'''.

Warum?

Jede gerade Zahl größer als <math>2</math> ist durch <math>2</math> teilbar. Eine gerade Zahl <math>n>2</math> besitzt damit mindestens die Teiler

<math>1,\;2,\;n</math>

und ist deshalb zusammengesetzt.

{{BR}}
== Video: Was ist eine Primzahl? ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=rs7G5srTni4 |500|center}}

'''Beobachtungsauftrag:''' Notiere während des Videos je ein Beispiel für eine Primzahl und eine zusammengesetzte Zahl. Schreibe zu beiden Zahlen die passende Teilermenge auf.

{{BR}}
= Zusammengesetzte Zahlen =

{{BR}}
== Definition ==

Eine natürliche Zahl größer als <math>1</math> heißt '''zusammengesetzt''', wenn sie '''mehr als zwei positive Teiler''' besitzt.

Du kannst eine zusammengesetzte Zahl auch als Produkt von zwei natürlichen Zahlen größer als <math>1</math> schreiben.

Beispiele:

<math>4=2\cdot2</math>

<math>6=2\cdot3</math>

<math>8=2\cdot4</math>

<math>9=3\cdot3</math>

<math>15=3\cdot5</math>

<math>25=5\cdot5</math>

Schon eine solche Produktdarstellung beweist, dass die Zahl zusammengesetzt ist.

{{BR}}
== Prim oder zusammengesetzt? Ein direkter Vergleich ==

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Zahl
! Teilermenge
! Anzahl positiver Teiler
! Einordnung
|-
| <math>5</math>
| <math>T(5)=\{1;5\}</math>
| <math>2</math>
| Primzahl
|-
| <math>8</math>
| <math>T(8)=\{1;2;4;8\}</math>
| <math>4</math>
| zusammengesetzt
|-
| <math>11</math>
| <math>T(11)=\{1;11\}</math>
| <math>2</math>
| Primzahl
|-
| <math>15</math>
| <math>T(15)=\{1;3;5;15\}</math>
| <math>4</math>
| zusammengesetzt
|-
| <math>23</math>
| <math>T(23)=\{1;23\}</math>
| <math>2</math>
| Primzahl
|-
| <math>24</math>
| <math>T(24)=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}</math>
| <math>8</math>
| zusammengesetzt
|}

{{BR}}
= Punktefelder: Teiler sehen =

Punktefelder machen Faktoren sichtbar. Kannst Du eine Anzahl von Punkten zu einem Rechteck mit '''mehr als einer Reihe und mehr als einer Spalte''' anordnen, dann hast Du ein nichttriviales Faktorpaar gefunden.

[[Datei:Primes-vs-composites.svg|500px|rahmenlos|center|Punktefelder für Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen]]

<small>Freies Medium von Wikimedia Commons: „Primes-vs-composites.svg“ von David Eppstein, CC0. Die Grafik zeigt, dass sich zusammengesetzte Zahlen als echte Rechtecke aus Punkten anordnen lassen.</small>

{{BR}}
== Punktefeld für 7 ==

Bei <math>7</math> Punkten gelingt nur

<math>1\cdot7</math>.

Es gibt kein Rechteck mit mindestens zwei Reihen und mindestens zwei Spalten.

<math>7=1\cdot7</math>

Deshalb gilt:

<math>T(7)=\{1;7\}</math>

und <math>7</math> ist prim.

{{BR}}
== Punktefeld für 12 ==

Bei <math>12</math> Punkten gibt es mehrere rechteckige Anordnungen:

<math>12=1\cdot12</math>

<math>12=2\cdot6</math>

<math>12=3\cdot4</math>

Die zusätzlichen Rechtecke verraten zusätzliche Teiler:

<math>T(12)=\{1;2;3;4;6;12\}</math>.

Also ist <math>12</math> zusammengesetzt.

{{BR}}
== Mini-Punktefelder zum Nachbauen ==

Lege Plättchen, Münzen oder Papierpunkte.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Anzahl Punkte
! Mögliche rechteckige Anordnung
! Folgerung
|-
| <math>5</math>
| <math>1\cdot5</math>
| prim
|-
| <math>6</math>
| <math>1\cdot6,\;2\cdot3</math>
| zusammengesetzt
|-
| <math>7</math>
| <math>1\cdot7</math>
| prim
|-
| <math>8</math>
| <math>1\cdot8,\;2\cdot4</math>
| zusammengesetzt
|-
| <math>9</math>
| <math>1\cdot9,\;3\cdot3</math>
| zusammengesetzt
|-
| <math>11</math>
| <math>1\cdot11</math>
| prim
|}

{{BR}}
= Die Sonderfälle 0 und 1 =

{{BR}}
== Warum ist 1 keine Primzahl? ==

Die Zahl <math>1</math> besitzt nur '''einen''' positiven Teiler:

<math>T(1)=\{1\}</math>.

Eine Primzahl braucht aber genau zwei verschiedene positive Teiler.

Deshalb ist

<math>\boxed{1\text{ weder prim noch zusammengesetzt}}</math>.

{{BR}}
== Was ist mit 0? ==

Auch <math>0</math> ist weder Primzahl noch zusammengesetzte Zahl.

Denn jede positive natürliche Zahl <math>a</math> erfüllt

<math>a\cdot0=0</math>.

Damit besitzt <math>0</math> nicht genau zwei positive Teiler. In diesem aiMOOC untersuchen wir für die Einteilung „prim oder zusammengesetzt“ deshalb vor allem natürliche Zahlen größer als <math>1</math>.

{{BR}}
= Primzahltafel bis 100 =

[[Datei:Prime numbers (up to 100).svg|600px|rahmenlos|center|Primzahlen bis 100]]

<small>Freies Medium von Wikimedia Commons: „Prime numbers (up to 100).svg“ von Michaelversatile, CC BY 3.0.</small>

Die Primzahlen bis <math>100</math> sind:

<math>\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97\}</math>

{{BR}}
== Zahlentafel zum Mitdenken ==

'''Legende:''' '''fett''' = Primzahl, normal = zusammengesetzt, ''kursiv'' = Sonderfall.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
| ''1'' || '''2''' || '''3''' || 4 || '''5''' || 6 || '''7''' || 8 || 9 || 10
|-
| '''11''' || 12 || '''13''' || 14 || 15 || 16 || '''17''' || 18 || '''19''' || 20
|-
| 21 || 22 || '''23''' || 24 || 25 || 26 || 27 || 28 || '''29''' || 30
|-
| '''31''' || 32 || 33 || 34 || 35 || 36 || '''37''' || 38 || 39 || 40
|-
| '''41''' || 42 || '''43''' || 44 || 45 || 46 || '''47''' || 48 || 49 || 50
|-
| 51 || 52 || '''53''' || 54 || 55 || 56 || 57 || 58 || '''59''' || 60
|-
| '''61''' || 62 || 63 || 64 || 65 || 66 || '''67''' || 68 || 69 || 70
|-
| '''71''' || 72 || '''73''' || 74 || 75 || 76 || 77 || 78 || '''79''' || 80
|-
| 81 || 82 || '''83''' || 84 || 85 || 86 || 87 || 88 || '''89''' || 90
|-
| 91 || 92 || 93 || 94 || 95 || 96 || '''97''' || 98 || 99 || 100
|}

{{BR}}
= Das Sieb des Eratosthenes =

Mit dem '''Sieb des Eratosthenes''' findest Du systematisch alle Primzahlen in einem Zahlenbereich.

[[Datei:Animation Sieb des Eratosthenes Überarbeitet.gif|500px|rahmenlos|center|Animiertes Sieb des Eratosthenes]]

<small>Freies Medium von Wikimedia Commons: „Animation Sieb des Eratosthenes Überarbeitet.gif“, Bearbeitung von Faultier11 nach SKopp, CC BY-SA 4.0.</small>

{{BR}}
== Schritt für Schritt bis 100 ==

{| class="wikitable"
! Schritt
! Handlung
! Mathematische Idee
|-
| '''1'''
| Streiche die <math>1</math>.
| <math>1</math> hat nur einen positiven Teiler und ist keine Primzahl.
|-
| '''2'''
| Markiere die <math>2</math>. Streiche alle größeren Vielfachen von <math>2</math>.
| <math>4,6,8,10,\ldots</math> sind durch <math>2</math> teilbar und daher zusammengesetzt.
|-
| '''3'''
| Markiere die <math>3</math>. Streiche alle noch nicht gestrichenen größeren Vielfachen von <math>3</math>.
| <math>9,15,21,27,\ldots</math> besitzen den zusätzlichen Teiler <math>3</math>.
|-
| '''4'''
| Die nächste freie Zahl ist <math>5</math>. Markiere sie und streiche ihre größeren Vielfachen.
| Zum Beispiel <math>25=5\cdot5</math> und <math>35=5\cdot7</math>.
|-
| '''5'''
| Die nächste freie Zahl ist <math>7</math>. Markiere sie und streiche ihre größeren Vielfachen.
| Zum Beispiel <math>49=7\cdot7</math> und <math>77=7\cdot11</math>.
|-
| '''6'''
| Lies die nicht gestrichenen Zahlen ab.
| Sie besitzen im betrachteten Bereich keinen zusätzlichen Teiler und sind Primzahlen.
|}

{{BR}}
== Warum funktioniert das Sieb? ==

Sobald eine Zahl als echtes Vielfaches einer kleineren Zahl erkannt wird, besitzt sie einen zusätzlichen Teiler.

Beispiel:

<math>35=5\cdot7</math>

Damit sind

<math>1,\;5,\;7,\;35</math>

Teiler von <math>35</math>. Also ist <math>35</math> zusammengesetzt und darf ausgesiebt werden.

Eine Zahl, die nach dem systematischen Streichen der Vielfachen übrig bleibt, besitzt keinen solchen zusätzlichen Faktor und ist prim.

{{BR}}
== Animierter Rechenweg: Warum wird 49 gestrichen? ==

<math>49</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>49=7\cdot7</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>7\mid49</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>T(49)=\{1;7;49\}</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>\boxed{49\text{ ist zusammengesetzt}}</math>

{{BR}}
== Video: Primzahlen mit dem Sieb finden ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=mX6VQtbNywg |500|center}}

'''Arbeitsauftrag zum Video:''' Halte nach jedem Siebschritt das Video kurz an und erkläre laut, warum mindestens eine gerade gestrichene Zahl zusammengesetzt sein muss.

{{BR}}
= Visueller Entscheidungsweg =

Wenn Du eine Zahl untersuchen sollst, kannst Du so vorgehen:

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Frage
! Ja
! Nein
|-
| Ist die Zahl kleiner oder gleich <math>1</math>?
| Sonderfall: nicht prim und nicht zusammengesetzt
| weiter
|-
| Findest Du außer <math>1</math> und der Zahl selbst einen weiteren Teiler?
| zusammengesetzt
| weiterprüfen
|-
| Hast Du alle möglichen Faktorpaare für die kleine Zahl geprüft und keinen zusätzlichen Teiler gefunden?
| Primzahl
| weiterprüfen
|}

Beispiele:

<math>27=3\cdot9</math>

also

<math>\boxed{27\text{ zusammengesetzt}}</math>.

Für <math>19</math> erhältst Du nur

<math>1\cdot19</math>.

Daher

<math>T(19)=\{1;19\}</math>

und

<math>\boxed{19\text{ prim}}</math>.

{{BR}}
= Zahlengerade: Wo liegen die Primzahlen? =

Auf einer Zahlengerade bis <math>30</math> liegen Primzahlen nicht in einem gleichmäßigen Abstand.

<math>
1\;-\;\mathbf{2}\;-\;\mathbf{3}\;-\;4\;-\;\mathbf{5}\;-\;6\;-\;\mathbf{7}\;-\;8\;-\;9\;-\;10\;-\;\mathbf{11}\;-\;12\;-\;\mathbf{13}\;-\;14\;-\;15\;-\;16\;-\;\mathbf{17}\;-\;18\;-\;\mathbf{19}\;-\;20\;-\;21\;-\;22\;-\;\mathbf{23}\;-\;24\;-\;25\;-\;26\;-\;27\;-\;28\;-\;\mathbf{29}\;-\;30
</math>

'''Entdeckungsauftrag:''' Vergleiche die Abstände zwischen benachbarten Primzahlen. Finde mindestens drei verschiedene Abstände.

{{BR}}
== Interaktive Zahlengeraden-Sortierung ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die Begriffe der richtigen Position auf der Zahlengeraden zu.
! Beschreibung
|-
| '''Primzahlpunkt'''
| Eine Position, deren Zahl genau zwei positive Teiler hat
|-
| '''Zusammengesetztenpunkt'''
| Eine Position, deren Zahl mehr als zwei positive Teiler hat
|-
| '''Sonderpunkt'''
| Die Position der Eins
|-
| '''Gerade Primzahl'''
| Die besondere Position der einzigen geraden Primzahl
|-
| '''Primzahllücke'''
| Ein Abstand zwischen zwei benachbarten Primzahlen
|}
{{E}}
</div>

{{BR}}
= Muster entdecken =

Primzahlen erscheinen in Zahlenrastern nicht regelmäßig. Trotzdem können interessante Muster sichtbar werden.

[[Datei:Ulam spiral with prime numbers and divisor-based dot sizes.png|500px|rahmenlos|center|Ulam-Spirale mit Primzahlen und Teileranzahlen]]

'''Forscherfrage:''' Welche Linien oder Häufungen fallen Dir auf? Eine sichtbare Häufung ist noch kein Beweis für eine mathematische Regel. Formuliere deshalb zuerst nur eine Beobachtung.

{{BR}}
= Typische Fehler vermeiden =

{| class="wikitable"
! Häufiger Fehler
! Korrektur
! Begründung
|-
| „Alle ungeraden Zahlen sind prim.“
| Falsch.
| <math>9=3\cdot3</math> und <math>15=3\cdot5</math> sind ungerade und trotzdem zusammengesetzt.
|-
| „Die <math>1</math> ist prim.“
| Falsch.
| <math>T(1)=\{1\}</math>; es gibt nur einen positiven Teiler.
|-
| „Die <math>2</math> ist zusammengesetzt, weil sie gerade ist.“
| Falsch.
| <math>T(2)=\{1;2\}</math>; genau zwei positive Teiler.
|-
| „Wenn eine Zahl groß ist, ist sie bestimmt zusammengesetzt.“
| Falsch.
| Zum Beispiel ist <math>97</math> eine Primzahl.
|-
| „Zum Beweisen von zusammengesetzt muss ich alle Teiler finden.“
| Nicht nötig.
| Ein zusätzlicher Teiler genügt, zum Beispiel <math>7\mid91</math>.
|}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Aussage beschreibt eine Primzahl richtig?'''
(Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler)
(!Eine Primzahl hat genau einen positiven Teiler)
(!Eine Primzahl ist immer gerade)
(!Eine Primzahl hat immer mindestens vier positive Teiler)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist die Zahl 1 keine Primzahl?'''
(Sie hat nur einen positiven Teiler)
(!Sie ist ungerade)
(!Sie ist kleiner als 10)
(!Sie kann nicht addiert werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Besonderheit besitzt die Zahl 2?'''
(Sie ist die einzige gerade Primzahl)
(!Sie ist die einzige ungerade Primzahl)
(!Sie besitzt vier positive Teiler)
(!Sie ist weder prim noch zusammengesetzt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist zusammengesetzt?'''
(15)
(!13)
(!17)
(!19)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Rechnung beweist sofort, dass 21 zusammengesetzt ist?'''
(21 gleich 3 mal 7)
(!21 plus 1 gleich 22)
(!21 minus 1 gleich 20)
(!21 ist größer als 10)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Teilermenge gehört zur Zahl 13?'''
(1 und 13)
(!1 und 3 und 13)
(!1 und 2 und 13)
(!1 und 5 und 13)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht beim Sieb des Eratosthenes nach dem Markieren der 2?'''
(Die größeren Vielfachen von 2 werden gestrichen)
(!Alle ungeraden Zahlen werden gestrichen)
(!Nur die Zahl 2 wird gestrichen)
(!Alle Zahlen größer als 2 werden gestrichen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist 49 keine Primzahl?'''
(49 ist 7 mal 7)
(!49 ist ungerade)
(!49 ist größer als 10)
(!49 endet nicht auf 0)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist eine Primzahl?'''
(97)
(!91)
(!87)
(!95)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was zeigt ein echtes rechteckiges Punktefeld mit mindestens zwei Reihen und zwei Spalten?'''
(Die Zahl besitzt ein zusätzliches Faktorpaar und ist zusammengesetzt)
(!Die Zahl muss eine Primzahl sein)
(!Die Zahl muss ungerade sein)
(!Die Zahl hat genau einen Teiler)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Primzahl || genau zwei positive Teiler
|-
| zusammengesetzte Zahl || mehr als zwei positive Teiler
|-
| Sonderfall Eins || weder prim noch zusammengesetzt
|-
| Teiler || Division ohne Rest
|-
| Punktefeld || macht Faktorpaare sichtbar
|-
| Siebverfahren || streicht Vielfache systematisch
|-
| gerade Ausnahme || einzige gerade Primzahl
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Primzahl'''
| genau zwei positive Teiler
|-
| '''Zusammengesetzt'''
| mehr als zwei positive Teiler
|-
| '''Sonderfall'''
| weder prim noch zusammengesetzt
|-
| '''Teilerprobe'''
| Teilbarkeit ohne Rest untersuchen
|-
| '''Siebverfahren'''
| Vielfache schrittweise entfernen
|}
{{E}}

<br>
</div>
<br />

{{BR}}
== Interaktive Sortierung: Begründungen prüfen ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die passende Begründung zu.
! Aussage
|-
| '''Faktorbeweis'''
| Ein Produkt mit zwei Faktoren größer als eins zeigt eine zusammengesetzte Zahl.
|-
| '''Teilerbeweis'''
| Ein zusätzlicher positiver Teiler genügt zum Nachweis einer zusammengesetzten Zahl.
|-
| '''Primzahlbeweis'''
| Für eine kleine Zahl werden alle möglichen Teiler geprüft und nur eins und die Zahl selbst gefunden.
|-
| '''Siebbeweis'''
| Ein gestrichenes echtes Vielfaches besitzt einen zusätzlichen Teiler.
|-
| '''Sonderfallbeweis'''
| Die Eins besitzt nur einen positiven Teiler.
|}
{{E}}
</div>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Primzahl || Wie heißt eine Zahl größer als eins mit genau zwei positiven Teilern?
|-
| Teiler || Wie heißt eine Zahl, durch die ohne Rest geteilt werden kann?
|-
| Punktefeld || Wie heißt eine Anordnung von Punkten, mit der Faktorpaare sichtbar werden?
|-
| Eratosthenes || Nach welchem Mathematiker ist das bekannte Primzahlsieb benannt?
|-
| Vielfaches || Wie heißt eine Zahl, die durch Multiplizieren mit einer natürlichen Zahl entsteht?
|-
| Zusammengesetzt || Wie heißt eine Zahl größer als eins mit mehr als zwei positiven Teilern?
|}
{{E}}
<br>

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== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M6+G+Primzahlen+und+zusammengesetzte+Zahlen </iframe>

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== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Primzahl besitzt genau { zwei } positive Teiler.
Die beiden Teiler einer Primzahl sind die Zahl eins und { sich selbst }.
Eine natürliche Zahl größer als eins mit zusätzlichen Teilern heißt { zusammengesetzt }.
Die Zahl eins ist { keine Primzahl }.
Die einzige gerade Primzahl ist die Zahl { zwei }.
Beim Sieb des Eratosthenes werden die echten { Vielfachen } gefundener Primzahlen gestrichen.
Die Rechnung <math>21=3\cdot7</math> zeigt, dass 21 einen zusätzlichen { Teiler } besitzt.
Ein rechteckiges Punktefeld kann ein { Faktorpaar } sichtbar machen.
</quiz>

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= Offene Aufgaben =

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=== Leicht ===

# [[Teilerkarten|Teilerkarten]]: Schreibe die Zahlen <math>2</math> bis <math>20</math> auf Karten. Notiere auf der Rückseite jeweils die Teilermenge und sortiere die Karten in „prim“, „zusammengesetzt“ und „Sonderfall“.
# [[Punktefelder|Punktefeld-Werkstatt]]: Lege für <math>5</math>, <math>6</math>, <math>7</math>, <math>8</math>, <math>9</math> und <math>10</math> Punktefelder. Fotografiere oder zeichne die verschiedenen Rechtecke und leite daraus die Faktorpaare ab.
# [[Primzahl-Zahlengerade|Primzahl-Zahlengerade]]: Zeichne eine Zahlengerade von <math>1</math> bis <math>30</math>. Markiere Primzahlen, zusammengesetzte Zahlen und die <math>1</math> verschieden und schreibe zu drei Markierungen eine Teilerbegründung.
# [[Fehlerdetektiv Primzahlen|Fehlerdetektiv]]: Erfinde drei falsche Aussagen über Primzahlen, zum Beispiel „Alle ungeraden Zahlen sind prim“. Widerlege jede Aussage mit einem passenden Gegenbeispiel.

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=== Standard ===

# [[Sieb des Eratosthenes|Sieb-Poster]]: Erstelle eine Zahlentafel bis <math>100</math> und dokumentiere jeden Siebschritt mit einer eigenen Farbe oder einem Symbol. Schreibe neben jeden Schritt eine Begründung mit Teilbarkeit.
# [[Erklärvideo Primzahlen|Erklärvideo]]: Produziere ein Video von höchstens drei Minuten, in dem Du den Unterschied zwischen Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen an zwei Punktefeldern und zwei Teilermengen erklärst.
# [[Primzahl-Sortierspiel|Sortierspiel]]: Entwickle ein Kartenspiel mit mindestens 24 Zahlenkarten. Eine Karte darf nur dann abgelegt werden, wenn die Einordnung „prim“ oder „zusammengesetzt“ mit einem Teiler oder einer vollständigen kleinen Teilermenge begründet wird.
# [[Teilerdetektiv|Teilerdetektiv]]: Untersuche zehn selbst gewählte Zahlen zwischen <math>20</math> und <math>80</math>. Dokumentiere nicht nur das Ergebnis, sondern jeweils den kürzesten Beweis, der zur Einordnung genügt.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Primzahlmuster|Primzahlmuster erforschen]]: Untersuche die Primzahlen bis <math>100</math> auf der Zahlengerade. Formuliere drei Beobachtungen zu Abständen oder Endziffern und prüfe jede Beobachtung auf Gegenbeispiele.
# [[Sieb-Vergleich|Verfahren vergleichen]]: Vergleiche das Sieb des Eratosthenes mit der direkten Teilerprobe für alle Zahlen bis <math>50</math>. Beschreibe, bei welcher Aufgabe welches Verfahren übersichtlicher ist, und begründe Deine Entscheidung.
# [[Digitale Primzahltafel|Digitale Primzahltafel]]: Gestalte eine klickbare oder animierte Primzahltafel, in der beim Auswählen einer Zahl ihre Teilermenge oder ein passendes Punktefeld erscheint. Achte darauf, die <math>1</math> als Sonderfall darzustellen.
# [[Mathematische Ausstellung Primzahlen|Mini-Ausstellung]]: Plane eine kleine Ausstellung mit mindestens vier Stationen zu Teilern, Punktefeldern, Primzahltafel und Sieb des Eratosthenes. Jede Station muss eine Mitmachaufgabe und eine überprüfbare Lösung enthalten.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

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= Lernkontrolle =

# [[Begründung mit Teilern|Begründung statt Raten]]: Eine Schülerin behauptet: „<math>51</math> ist prim, weil die Zahl ungerade ist.“ Prüfe die Aussage, finde einen passenden Teiler und formuliere eine vollständige Gegenbegründung.
# [[Vergleich von Zahlen|Zahlen vergleichen]]: Vergleiche <math>29</math> und <math>30</math>. Erkläre mit Teilermengen oder Faktorpausen, warum die beiden Nachbarzahlen unterschiedlichen Zahlarten angehören.
# [[Sieb erklären|Sieb verstehen]]: Beim Sieben wird <math>77</math> gestrichen. Erkläre ohne die vollständige Teilermenge aufzuschreiben, warum das Streichen mathematisch gerechtfertigt ist.
# [[Punktefeld übertragen|Vom Bild zur Rechnung]]: Ein Punktefeld besteht aus drei Reihen mit neun Punkten. Bestimme die dargestellte Zahl und erkläre, welche Aussage Du allein aus dieser Anordnung über „prim oder zusammengesetzt“ treffen kannst.
# [[Gegenbeispiel finden|Aussage prüfen]]: Prüfe die Aussage „Jede Zahl, die nicht durch <math>2</math> teilbar ist, ist eine Primzahl“. Finde zwei Gegenbeispiele und zeige jeweils einen zusätzlichen Teiler.
# [[Eigenes Kriterium formulieren|Entscheidungsregel]]: Formuliere eine kurze Entscheidungshilfe für eine jüngere Schülerin oder einen jüngeren Schüler. Deine Regel muss erklären, wie Teilermengen, Faktorpaare und der Sonderfall <math>1</math> zusammenhängen.

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= Lernnachweis =

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

# eine Teilermenge kleiner natürlicher Zahlen korrekt bestimmen kannst.
# bei einer Primzahl erklären kannst, warum genau zwei positive Teiler vorhanden sind.
# bei einer zusammengesetzten Zahl mindestens einen zusätzlichen Teiler oder ein nichttriviales Faktorpaar angeben kannst.
# die Zahlen <math>0</math> und <math>1</math> nicht fälschlich als Primzahlen einordnest.
# weißt, dass <math>2</math> die einzige gerade Primzahl ist.
# Punktefelder in Faktorpaare übersetzen kannst.
# das Sieb des Eratosthenes in einem vorgegebenen Zahlenraum korrekt durchführst.
# eine mathematische Behauptung mit Rechnung, Teilbarkeit oder Gegenbeispiel begründen kannst.

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= OERs zum Thema =

'''Wikipedia: Primzahl'''

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Primzahl </iframe>

'''Wikipedia: Zusammengesetzte Zahl'''

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zusammengesetzte_Zahl </iframe>

'''Wikipedia: Sieb des Eratosthenes'''

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Sieb_des_Eratosthenes </iframe>

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= Freie Medien und Quellenhinweise =

Die verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien wurden wegen ihres direkten fachlichen Nutzens ausgewählt. Die jeweils vollständigen Urheber- und Lizenzangaben stehen auf den zugehörigen Dateibeschreibungsseiten.

# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Primes-vs-composites.svg Primes-vs-composites.svg] – Punktefelder für Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen, CC0.
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Prime_numbers_%28up_to_100%29.svg Prime numbers (up to 100).svg] – Primzahltafel bis 100, CC BY 3.0.
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animation_Sieb_des_Eratosthenes_%C3%9Cberarbeitet.gif Animation Sieb des Eratosthenes Überarbeitet.gif] – animiertes Sieb, CC BY-SA 4.0.
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Divisors_12.svg Divisors 12.svg] – Teilerbeziehungen von 12, unter anderem CC BY-SA 3.0.
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ulam_spiral_with_prime_numbers_and_divisor-based_dot_sizes.png Ulam spiral with prime numbers and divisor-based dot sizes.png] – Visualisierung von Primzahlen und Teileranzahlen.

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= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[M6 G - Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen]]'''
# [[Natürliche Zahlen]]
# [[Teiler]]
# [[Vielfache]]
# [[Teilbarkeit]]
# [[Primzahl]]
# [[Zusammengesetzte Zahl]]
# [[Sieb des Eratosthenes]]
# [[Primfaktorzerlegung]]
# [[Größter gemeinsamer Teiler]]
# [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 6]]
[[Kategorie:G-Niveau]]
[[Kategorie:Primzahlen]]
[[Kategorie:Teilbarkeit]]
[[Kategorie:Zahlenlehre]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M6 G - Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen - Versionsgeschichte

Maintenance script: Math-Syntax korrigiert; Merksätze und Hinweise als normalen Text formatiert

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt