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2026-09-15T20:07:23Z

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{{T}}

{{BR}}
= Einleitung =

In diesem aiMOOC entdeckst Du, warum manche [[Bruch|Brüche]] als [[Dezimalzahl|Dezimalzahlen]] '''nicht abbrechen'''. Statt immer neue, zufällige Nachkommastellen zu erzeugen, taucht bei solchen Brüchen ein festes Ziffernmuster immer wieder auf. Dieses Muster heißt '''Periode'''.

Ein besonders wichtiges Beispiel ist:

<math>\frac{1}{3}=1:3=0{,}3333\ldots=0{,}\overline{3}</math>

Die Schreibweise <math>0{,}\overline{3}</math> bedeutet: Die Ziffer <math>3</math> wiederholt sich ohne Ende.

[[Datei:PieChartFractionOneThirdSplit.svg|420px|rahmenlos|center]]

Die Abbildung zeigt ein Drittel eines Ganzen. Dieses eine Drittel lässt sich als Bruch exakt mit <math>\frac13</math> angeben. Bei der Dezimalschreibweise entsteht dagegen eine unendliche periodische Ziffernfolge.

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du Zusammenhänge zwischen [[Bruchrechnung|Brüchen]], [[Division]], [[Dezimalzahl|Dezimaldarstellungen]] und periodischen Mustern erklären.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Du kannst ...
! Beispiel
|-
| einen Bruch als Division deuten
| <math>\frac{2}{3}=2:3</math>
|-
| eine schriftliche Division weiterführen
| <math>1:3=0{,}333\ldots</math>
|-
| eine Periode erkennen
| <math>0{,}272727\ldots=0{,}\overline{27}</math>
|-
| rein periodische und gemischt periodische Dezimalzahlen unterscheiden
| <math>0{,}\overline{3}</math> und <math>0{,}1\overline{6}</math>
|-
| abbrechende und nicht abbrechende Dezimaldarstellungen vergleichen
| <math>\frac18=0{,}125</math>, aber <math>\frac17=0{,}\overline{142857}</math>
|-
| aus wiederkehrenden Resten auf wiederkehrende Ziffern schließen
| Rest <math>1</math> taucht bei <math>1:3</math> immer wieder auf
|}

{{BR}}
= Vom Bruch zur Division =

Ein Bruch ist zugleich eine Divisionsaufgabe:

<math>\frac{a}{b}=a:b</math>

Dabei ist <math>a</math> der [[Zähler]] und <math>b</math> der [[Nenner]]. Für <math>\frac13</math> gilt also:

<math>\frac13=1:3</math>

[[Datei:PieChartFractionThirdsSplit.svg|420px|rahmenlos|center]]

Drei gleich große Drittel ergeben wieder ein Ganzes:

<math>\frac13+\frac13+\frac13=1</math>

Daraus folgt auch:

<math>3\cdot\frac13=1</math>

Die Dezimaldarstellung muss deshalb eine Zahl sein, die mit <math>3</math> multipliziert wieder <math>1</math> ergibt.

{{BR}}
== Entdeckerstation 1: Teile ein Ganzes in Drittel ==

Betrachte <math>1</math> Ganzes. Beim Teilen durch <math>3</math> lässt sich die Einerstelle nicht ohne Rest verteilen. Deshalb wechseln wir zu Zehnteln.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Schritt
! Darstellung
! Ergebnis
! Rest
|-
| Einer teilen
| <math>1:3</math>
| <math>0</math> ganze Einer
| <math>1</math>
|-
| Einen Einer in zehn Zehntel tauschen
| <math>10:3</math>
| <math>3</math> Zehntel
| <math>1</math> Zehntel
|-
| Das Rest-Zehntel in zehn Hundertstel tauschen
| <math>10:3</math>
| <math>3</math> Hundertstel
| <math>1</math> Hundertstel
|-
| Das Rest-Hundertstel in zehn Tausendstel tauschen
| <math>10:3</math>
| <math>3</math> Tausendstel
| <math>1</math> Tausendstel
|}

Der gleiche Rest entsteht immer wieder. Deshalb entsteht auch immer wieder die gleiche Ziffer:

<math>0{,}3\rightarrow0{,}33\rightarrow0{,}333\rightarrow0{,}3333\rightarrow\ldots</math>

{{BR}}
== Stellenwerte sichtbar machen ==

[[Datei:Base ten blocks (transparent).svg|600px|rahmenlos|center]]

Du kannst Stellenwertmaterial unterschiedlich skalieren: Wird der größte Block als <math>1</math> Ganzes festgelegt, können kleinere Teile Zehntel, Hundertstel und Tausendstel darstellen.

Für <math>\frac13</math> kannst Du Dir die Dezimaldarstellung so vorstellen:

<math>0{,}\overline3=\frac3{10}+\frac3{100}+\frac3{1000}+\frac3{10000}+\ldots</math>

Es gibt dabei '''keine letzte Nachkommastelle'''.

'''Interaktives Stellenwertmodell:''' Verändere Einer, Zehntel, Hundertstel und Tausendstel und beobachte den Aufbau von Dezimalzahlen.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/DNbwCmaT </iframe>

{{BR}}
= Schriftliche Division und periodische Muster =

Die Verbindung zwischen Bruch und periodischer Dezimalzahl wird besonders deutlich bei der schriftlichen Division.

{{BR}}
== Beispiel: <math>\frac13</math> ==

<math>
\begin{array}{rcl}
1:3&=&0{,}3333\ldots\\
10:3&=&3\ \text{Rest}\ 1\\
10:3&=&3\ \text{Rest}\ 1\\
10:3&=&3\ \text{Rest}\ 1\\
&\vdots&
\end{array}
</math>

Immer wenn der Rest <math>1</math> wieder auftaucht, beginnt genau die gleiche Rechensituation erneut. Deshalb wiederholt sich die Ziffer <math>3</math>:

<math>\frac13=0{,}\overline3</math>

[[Datei:DivisionAL.gif|430px|rahmenlos|center]]

Die Animation veranschaulicht den Ablauf einer schriftlichen Division. Entscheidend für periodische Dezimalzahlen ist besonders der '''Rest''': Wiederholt sich ein Rest, wiederholt sich danach auch der weitere Rechenweg.

{{BR}}
== Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung ==

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Rechenschritt
! Rechnung
! Ziffer hinter dem Komma
! Neuer Rest
|-
| 1
| <math>10=3\cdot3+1</math>
| <math>3</math>
| <math>1</math>
|-
| 2
| <math>10=3\cdot3+1</math>
| <math>3</math>
| <math>1</math>
|-
| 3
| <math>10=3\cdot3+1</math>
| <math>3</math>
| <math>1</math>
|-
| 4
| <math>10=3\cdot3+1</math>
| <math>3</math>
| <math>1</math>
|}

Das Muster ist jetzt eindeutig:

<math>\boxed{\frac13=0{,}\overline3}</math>

{{BR}}
== Beispiel: <math>\frac23</math> ==

<math>
\begin{array}{rcl}
2:3&=&0{,}6666\ldots\\
20:3&=&6\ \text{Rest}\ 2\\
20:3&=&6\ \text{Rest}\ 2\\
20:3&=&6\ \text{Rest}\ 2
\end{array}
</math>

Also:

<math>\boxed{\frac23=0{,}\overline6}</math>

Prüfe den Zusammenhang:

<math>0{,}\overline3+0{,}\overline3=0{,}\overline6</math>

und

<math>\frac13+\frac13=\frac23</math>

{{BR}}
== Beispiel: <math>\frac16</math> – erst Vorperiode, dann Periode ==

Bei <math>\frac16</math> beginnt die Wiederholung nicht sofort:

<math>
\begin{array}{rcl}
1:6&=&0{,}1666\ldots\\
10:6&=&1\ \text{Rest}\ 4\\
40:6&=&6\ \text{Rest}\ 4\\
40:6&=&6\ \text{Rest}\ 4
\end{array}
</math>

Daher gilt:

<math>\boxed{\frac16=0{,}1\overline6}</math>

Die Ziffer <math>1</math> gehört zur '''Vorperiode'''. Die Ziffer <math>6</math> ist die '''Periode'''.

{{BR}}
= Was ist eine Periode? =

Die '''Periode''' ist die kürzeste Ziffernfolge, die sich bei einer nicht abbrechenden periodischen Dezimaldarstellung immer wiederholt.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Lange Schreibweise
! Periodenschreibweise
! Periode
! Periodenlänge
|-
| <math>0{,}333333\ldots</math>
| <math>0{,}\overline3</math>
| <math>3</math>
| eine Stelle
|-
| <math>0{,}272727\ldots</math>
| <math>0{,}\overline{27}</math>
| <math>27</math>
| zwei Stellen
|-
| <math>0{,}142857142857\ldots</math>
| <math>0{,}\overline{142857}</math>
| <math>142857</math>
| sechs Stellen
|-
| <math>0{,}166666\ldots</math>
| <math>0{,}1\overline6</math>
| <math>6</math>
| eine Stelle nach einer Vorperiode
|}

Achte darauf, die '''kürzeste''' sich wiederholende Ziffernfolge zu markieren:

<math>0{,}333333\ldots=0{,}\overline3</math>

und nicht unnötig

<math>0{,}\overline{33}</math>.

{{BR}}
== Rein periodisch und gemischt periodisch ==

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Art
! Kennzeichen
! Beispiel
|-
| rein periodisch
| Die Periode beginnt direkt nach dem Komma.
| <math>\frac13=0{,}\overline3</math>
|-
| gemischt periodisch
| Vor der Periode stehen zunächst eine oder mehrere nicht wiederholte Nachkommastellen.
| <math>\frac16=0{,}1\overline6</math>
|}

{{BR}}
== Nicht verwechseln: periodisch, gerundet und abgeschnitten ==

<math>0{,}\overline3</math> ist eine '''exakte''' Schreibweise für <math>\frac13</math>.

Dagegen sind

<math>0{,}3,\quad 0{,}33,\quad 0{,}333</math>

nur endliche Näherungen.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Zahl
! Als Bruch
! Abstand zu <math>\frac13</math>
|-
| <math>0{,}3</math>
| <math>\frac3{10}</math>
| <math>\frac1{30}</math>
|-
| <math>0{,}33</math>
| <math>\frac{33}{100}</math>
| <math>\frac1{300}</math>
|-
| <math>0{,}333</math>
| <math>\frac{333}{1000}</math>
| <math>\frac1{3000}</math>
|}

Mit jeder weiteren <math>3</math> wird die Näherung genauer. Die periodische Schreibweise erfasst jedoch alle Stellen auf einmal:

<math>0{,}\overline3=\frac13</math>

{{BR}}
= Periodische Dezimalzahlen auf der Zahlengeraden =

[[Datei:Number line.svg|650px|rahmenlos|center]]

Auf einer Zahlengeraden liegt <math>\frac13</math> zwischen <math>0{,}3</math> und <math>0{,}4</math>.

Noch genauer gilt:

<math>0{,}33<\frac13<0{,}34</math>

und:

<math>0{,}333<\frac13<0{,}334</math>

und:

<math>0{,}3333<\frac13<0{,}3334</math>

Die Intervalle werden immer enger.

{{BR}}
== Dynamische Zahlengerade ==

Verschiebe Punkte, vergrößere Abschnitte und beobachte, wie zwischen zwei sichtbaren Dezimalstellen immer weitere Stellen liegen.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/crhfcjv4 </iframe>

Eine weitere bewegliche Bruchdarstellung verbindet Brüche direkt mit Positionen auf der Zahlengeraden:

<iframe> https://www.geogebra.org/m/fecj8ccu </iframe>

{{BR}}
= Ein längeres Muster: <math>\frac17</math> =

Bei <math>\frac17</math> besteht die Periode nicht aus einer einzigen Ziffer.

Wir führen die Division Schritt für Schritt aus:

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Schritt
! Zu teilende Zahl
! Rechnung
! nächste Ziffer
! Rest
|-
| 1
| <math>10</math>
| <math>10=1\cdot7+3</math>
| <math>1</math>
| <math>3</math>
|-
| 2
| <math>30</math>
| <math>30=4\cdot7+2</math>
| <math>4</math>
| <math>2</math>
|-
| 3
| <math>20</math>
| <math>20=2\cdot7+6</math>
| <math>2</math>
| <math>6</math>
|-
| 4
| <math>60</math>
| <math>60=8\cdot7+4</math>
| <math>8</math>
| <math>4</math>
|-
| 5
| <math>40</math>
| <math>40=5\cdot7+5</math>
| <math>5</math>
| <math>5</math>
|-
| 6
| <math>50</math>
| <math>50=7\cdot7+1</math>
| <math>7</math>
| <math>1</math>
|}

Jetzt ist wieder der Rest <math>1</math> erreicht. Genau mit diesem Rest begann der Nachkommateil. Der gesamte Ablauf startet also erneut:

<math>1\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow6\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow1\rightarrow\ldots</math>

Deshalb wiederholen sich die Ziffern

<math>142857</math>

und es gilt:

<math>\boxed{\frac17=0{,}\overline{142857}}</math>

{{BR}}
== Warum muss irgendwann etwas passieren? ==

Bei einer Division durch <math>7</math> kann der Rest nur

<math>0,1,2,3,4,5</math> oder <math>6</math>

sein.

Es gibt zwei Möglichkeiten:

{| class="wikitable" style="margin:auto;"
! Fall
! Folge
|-
| Der Rest wird <math>0</math>.
| Die Dezimaldarstellung bricht ab.
|-
| Ein früherer Rest erscheint erneut.
| Ab diesem Punkt wiederholt sich der gleiche Rechenweg und damit die gleiche Ziffernfolge.
|}

Diese Rest-Idee erklärt, warum ein Bruch aus ganzen Zahlen bei seiner Dezimaldarstellung entweder abbricht oder irgendwann periodisch wird.

{{BR}}
= Abbrechend oder periodisch? =

Vergleiche:

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Bruch
! Dezimaldarstellung
! Beobachtung
|-
| <math>\frac12</math>
| <math>0{,}5</math>
| bricht ab
|-
| <math>\frac14</math>
| <math>0{,}25</math>
| bricht ab
|-
| <math>\frac18</math>
| <math>0{,}125</math>
| bricht ab
|-
| <math>\frac15</math>
| <math>0{,}2</math>
| bricht ab
|-
| <math>\frac13</math>
| <math>0{,}\overline3</math>
| periodisch
|-
| <math>\frac16</math>
| <math>0{,}1\overline6</math>
| periodisch
|-
| <math>\frac17</math>
| <math>0{,}\overline{142857}</math>
| periodisch
|-
| <math>\frac{11}{12}</math>
| <math>0{,}91\overline6</math>
| periodisch
|}

{{BR}}
== E-Niveau: Vorhersagen mit dem Nenner ==

Kürze den Bruch zuerst vollständig.

Besteht der Nenner danach nur aus den Primfaktoren <math>2</math> und <math>5</math>, dann kann die Dezimaldarstellung abbrechen.

Beispiele:

<math>8=2^3</math>

<math>20=2^2\cdot5</math>

<math>125=5^3</math>

Daher brechen zum Beispiel <math>\frac18</math>, <math>\frac7{20}</math> und <math>\frac3{125}</math> ab.

Enthält der vollständig gekürzte Nenner noch einen anderen Primfaktor, entsteht eine nicht abbrechende periodische Dezimaldarstellung.

Beispiele:

<math>3,\ 6=2\cdot3,\ 7,\ 12=2^2\cdot3</math>

Deshalb sind <math>\frac13</math>, <math>\frac16</math>, <math>\frac17</math> und <math>\frac{11}{12}</math> periodisch.

'''Wichtig:''' Erst kürzen!

<math>\frac3{12}=\frac14=0{,}25</math>

Obwohl <math>12</math> den Faktor <math>3</math> enthält, ist der gekürzte Nenner <math>4=2^2</math>. Deshalb bricht die Dezimaldarstellung ab.

{{BR}}
== Entdeckertabelle zur Nennerregel ==

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Bruch
! vollständig gekürzt?
! Nennerfaktoren
! Vorhersage
! Dezimaldarstellung
|-
| <math>\frac{3}{8}</math>
| ja
| <math>2^3</math>
| abbrechend
| <math>0{,}375</math>
|-
| <math>\frac{7}{20}</math>
| ja
| <math>2^2\cdot5</math>
| abbrechend
| <math>0{,}35</math>
|-
| <math>\frac{5}{6}</math>
| ja
| <math>2\cdot3</math>
| periodisch
| <math>0{,}8\overline3</math>
|-
| <math>\frac{4}{15}</math>
| ja
| <math>3\cdot5</math>
| periodisch
| <math>0{,}2\overline6</math>
|-
| <math>\frac{6}{15}</math>
| nein, zunächst <math>\frac25</math>
| <math>5</math>
| abbrechend
| <math>0{,}4</math>
|}

{{BR}}
= Musterlabor =

Untersuche verschiedene Brüche mit einem Taschenrechner oder durch schriftliche Division. Ein Taschenrechner zeigt nur endlich viele Stellen an. Du musst daher unterscheiden zwischen einer '''Anzeige''' und einer mathematisch exakten periodischen Schreibweise.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Bruch
! mögliche Rechneranzeige
! mathematisch exakt
|-
| <math>\frac13</math>
| <math>0{,}333333333</math>
| <math>0{,}\overline3</math>
|-
| <math>\frac29</math>
| <math>0{,}222222222</math>
| <math>0{,}\overline2</math>
|-
| <math>\frac{10}{11}</math>
| <math>0{,}909090909</math>
| <math>0{,}\overline{90}</math>
|-
| <math>\frac17</math>
| <math>0{,}142857143</math>
| <math>0{,}\overline{142857}</math>
|}

{{BR}}
== Interaktives Periodenmuster ==

Verändere Brüche und beobachte, ob die Dezimaldarstellung abbricht oder sich ein Muster wiederholt.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/ecbhqu5d </iframe>

{{BR}}
== Interaktiver Dezimal-Visualisierer ==

Mit diesem Stellenwertmodell kannst Du Zehntel und Hundertstel verändern. Nutze es, um endliche Näherungen wie <math>0{,}3</math>, <math>0{,}33</math> und <math>0{,}34</math> zu vergleichen.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/m9zqpwwv </iframe>

{{BR}}
= Lernvideo: Periodische Dezimalzahlen =

Das folgende Video behandelt abbrechende und periodische Dezimalzahlen auf dem Niveau der 6. Klasse.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=TTd6Q7ltKuA |500|center}}

{{BR}}
== Lernvideo: Brüche in Dezimalzahlen umwandeln ==

Achte beim Ansehen besonders darauf, wie aus der Division eine Dezimaldarstellung entsteht und woran sich periodische Stellen erkennen lassen.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=lz3rgS9tLoY |500|center}}

{{BR}}
== Vertiefungsvideo: Periodische Dezimalzahlen als Brüche ==

Wenn Du die Richtung umkehren möchtest, kannst Du untersuchen, wie sich eine periodische Dezimalzahl wieder als Bruch darstellen lässt.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=gygNP1C5jYM |500|center}}

{{BR}}
= Merkkasten =

{| class="wikitable" style="margin:auto;"
! Merksatz
! Mathematisches Beispiel
|-
| Ein Bruch bedeutet Division.
| <math>\frac ab=a:b</math>
|-
| Endet die Division mit Rest <math>0</math>, kann die Dezimaldarstellung abbrechen.
| <math>\frac18=0{,}125</math>
|-
| Taucht bei der Division ein früherer Rest erneut auf, wiederholt sich danach auch die Ziffernfolge.
| <math>\frac13=0{,}\overline3</math>
|-
| Die kürzeste wiederholte Ziffernfolge heißt Periode.
| <math>0{,}\overline{27}=0{,}272727\ldots</math>
|-
| Eine Periode wird mit einem Überstrich markiert.
| <math>0{,}\overline{142857}</math>
|-
| Bei einer gemischt periodischen Zahl steht vor der Periode eine Vorperiode.
| <math>0{,}1\overline6</math>
|}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Dezimaldarstellung gehört zu <math>\frac13</math>?'''
(0,333... mit sich ständig wiederholender 3)
(!0,3 und danach endet die Zahl)
(!0,13)
(!3,0)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet der Überstrich bei <math>0{,}\overline7</math>?'''
(Die Ziffer 7 wiederholt sich ohne Ende)
(!Die Ziffer 7 wird gerundet)
(!Die Zahl endet nach der 7)
(!Die 7 wird mit 10 multipliziert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum entsteht bei <math>1:3</math> immer wieder die Ziffer 3?'''
(Der gleiche Rest 1 entsteht immer wieder)
(!Der Divisor wird jedes Mal kleiner)
(!Nach dem Komma dürfen nur Dreien stehen)
(!Weil 3 eine Primzahl ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist rein periodisch?'''
(0,272727...)
(!0,16666...)
(!0,125)
(!0,45)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist gemischt periodisch?'''
(0,16666...)
(!0,33333...)
(!0,125)
(!0,75)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Dezimaldarstellung bricht ab?'''
(0,375)
(!0,33333...)
(!0,272727...)
(!0,142857142857...)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Ziffernfolge ist die Periode von 0,142857142857...?'''
(142857)
(!14)
(!857)
(!142)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss vor der Nennerregel zuerst geschehen?'''
(Der Bruch muss vollständig gekürzt werden)
(!Der Zähler muss verdoppelt werden)
(!Der Nenner muss auf 100 erweitert werden)
(!Die Nachkommastellen müssen gerundet werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Nennerfaktoren erlauben nach vollständigem Kürzen eine abbrechende Dezimaldarstellung?'''
(Nur 2 und 5)
(!Nur 3 und 7)
(!Nur 2 und 3)
(!Nur 5 und 7)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht, wenn bei einer schriftlichen Division ein früherer Rest wieder auftaucht?'''
(Der weitere Rechenweg wiederholt sich)
(!Die Division ist falsch)
(!Die Dezimalzahl muss sofort abgebrochen werden)
(!Der Nenner wird zu null)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Periode || kürzeste Ziffernfolge, die sich wiederholt
|-
| Vorperiode || Nachkommastellen vor Beginn der Wiederholung
|-
| Bruchstrich || kann als Divisionszeichen gelesen werden
|-
| Rest || entscheidet beim schriftlichen Dividieren über den nächsten Schritt
|-
| Überstrich || kennzeichnet die sich wiederholenden Ziffern
|-
| abbrechend || Dezimaldarstellung mit endlich vielen notwendigen Nachkommastellen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''rein periodisch'''
| Periode beginnt direkt nach dem Komma
|-
| '''gemischt periodisch'''
| Vorperiode steht vor der Periode
|-
| '''schriftliche Division'''
| macht wiederkehrende Reste sichtbar
|-
| '''Überstrich'''
| markiert die Periode
|-
| '''abbrechend'''
| Rest wird schließlich null

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Periode || Wie heißt die kürzeste Ziffernfolge, die sich ständig wiederholt?
|-
| Division || Welche Rechenart steckt hinter einem Bruchstrich?
|-
| Rest || Was bleibt bei einer Division möglicherweise nach einem Rechenschritt übrig?
|-
| Nenner || Welcher Teil des Bruchs bestimmt, durch welche Zahl geteilt wird?
|-
| Ueberstrich || Wie heißt die Markierung über einer sich wiederholenden Ziffernfolge?
|-
| Rational || Wie nennt man eine Zahl, die als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M6+E+-+Periodische+Dezimalzahlen+entdecken </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein Bruch kann als { Division } gelesen werden.
Bei <math>\frac13</math> entsteht bei jedem weiteren Divisionsschritt wieder derselbe { Rest }.
Eine sich wiederholende Ziffernfolge heißt { Periode }.
Bei einer rein periodischen Dezimalzahl beginnt die Wiederholung direkt nach dem { Komma }.
Bei einer gemischt periodischen Dezimalzahl steht vor der Periode eine { Vorperiode }.
Die Periode wird häufig mit einem { Überstrich } markiert.
Wird der Rest bei der Division null, kann die Dezimaldarstellung { abbrechen }.
Vor der Untersuchung der Primfaktoren des Nenners sollte ein Bruch vollständig { gekürzt } werden.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Periodenmuster finden]]: Berechne <math>\frac19</math>, <math>\frac29</math>, <math>\frac39</math> und <math>\frac49</math> als Dezimalzahlen. Markiere bei jeder Zahl die Periode und beschreibe ein Muster.
# [[Bruchbild gestalten]]: Zeichne einen Kreis oder ein Rechteck, markiere <math>\frac13</math> und erkläre mit einem kurzen Rechenweg, warum die passende Dezimaldarstellung nicht nach einer festen Zahl von Stellen endet.
# [[Zahlengerade untersuchen]]: Zeichne den Bereich von <math>0{,}3</math> bis <math>0{,}4</math>. Trage <math>0{,}33</math>, <math>0{,}333</math> und <math>0{,}334</math> ein und beschreibe, wo <math>\frac13</math> liegen muss.
# [[Periodenkarte erstellen]]: Gestalte eine Lernkarte zu <math>0{,}\overline{27}</math>. Zeige lange Schreibweise, Periodenschreibweise und Periodenlänge.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Schriftliche Division dokumentieren]]: Führe <math>2:3</math>, <math>1:6</math> und <math>4:11</math> schriftlich aus. Markiere gleiche Reste mit gleichen Symbolen und erkläre den Zusammenhang zur Periode.
# [[Brüche sortieren]]: Untersuche <math>\frac14</math>, <math>\frac38</math>, <math>\frac56</math>, <math>\frac7{20}</math>, <math>\frac29</math> und <math>\frac4{15}</math>. Sortiere in abbrechend und periodisch und begründe Deine Entscheidung.
# [[Erklärvideo produzieren]]: Erstelle ein höchstens zweiminütiges Lernvideo zu <math>\frac13=0{,}\overline3</math>. Zeige dabei Bruchbild, Division und periodische Schreibweise.
# [[Rechneranzeige prüfen]]: Gib mehrere periodische Brüche in einen Taschenrechner ein. Vergleiche die endliche Anzeige mit der exakten Periodenschreibweise und erkläre, warum die Anzeige nicht alle Stellen zeigen kann.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Nennerregel erforschen]]: Erstelle eine Tabelle für die Nenner von <math>2</math> bis <math>20</math>. Prüfe bei gekürzten Stammbrüchen <math>\frac1n</math>, welche Dezimaldarstellungen abbrechen, und formuliere eine Regel zu den Primfaktoren des Nenners.
# [[Restkreislauf visualisieren]]: Stelle die Restfolge von <math>1:7</math> als Kreislaufdiagramm dar. Verbinde jeden Rest mit der jeweils erzeugten Ziffer und erkläre, warum die Periode sechs Stellen hat.
# [[Eigene Forscherfrage]]: Suche zwei verschiedene Brüche mit derselben Periodenlänge, aber unterschiedlichen Perioden. Dokumentiere Deine Suche und begründe die Ergebnisse durch schriftliche Division.
# [[Perioden-Ausstellung]]: Entwickle mit einer Gruppe eine kleine Ausstellung mit Bruchbildern, Zahlengeraden, schriftlichen Divisionen, Stellenwertmodellen und digitalen Interaktionen. Jede Station soll denselben Bruch aus mindestens zwei Darstellungsformen erklären.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Darstellungen verbinden]]: Erkläre an <math>\frac16</math>, wie Bruch, schriftliche Division, Restfolge und Schreibweise <math>0{,}1\overline6</math> zusammenhängen.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Schülerin schreibt <math>\frac13=0{,}33</math>. Erkläre genau, was daran falsch ist und wie die Aussage korrekt formuliert werden kann.
# [[Vorhersage begründen]]: Entscheide ohne vollständige Division, ob <math>\frac7{40}</math> und <math>\frac7{30}</math> abbrechende oder periodische Dezimaldarstellungen besitzen. Begründe mit den gekürzten Nennern.
# [[Restmuster übertragen]]: Bei einer Division taucht nach mehreren Schritten derselbe Rest erneut auf. Erkläre allgemein, warum ab diesem Zeitpunkt die nachfolgenden Ziffern wiederholt werden müssen.
# [[Vergleich von Näherungen]]: Ordne <math>0{,}3</math>, <math>0{,}33</math>, <math>0{,}333</math> und <math>\frac13</math>. Begründe Deine Reihenfolge und beschreibe, was beim Anhängen weiterer Dreien geschieht.
# [[Muster erklären]]: Untersuche <math>\frac19</math>, <math>\frac29</math>, <math>\frac49</math> und <math>\frac89</math>. Formuliere eine Vermutung und begründe sie mit der Bedeutung des Bruchs als Division.

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern die Zusammenhänge zwischen den Darstellungen erklären kannst.

{| class="wikitable" style="margin:auto;"
! Kompetenz
! Das solltest Du zeigen können
|-
| Bruch und Division verbinden
| <math>\frac ab=a:b</math> deuten und anwenden
|-
| Schriftlich dividieren
| Rechenschritte korrekt fortsetzen und Reste notieren
|-
| Perioden erkennen
| kürzeste Wiederholungsfolge bestimmen
|-
| Periodenschreibweise verwenden
| Überstrich an der richtigen Stelle setzen
|-
| Darstellungen vergleichen
| Bruch, Dezimalzahl, Zahlengerade und Stellenwertdarstellung aufeinander beziehen
|-
| Abbrechend oder periodisch unterscheiden
| Entscheidung begründen statt nur abzulesen
|-
| Nennerregel auf E-Niveau anwenden
| Bruch zuerst kürzen und anschließend Primfaktoren des Nenners untersuchen
|-
| Zusammenhänge erklären
| Wiederkehrende Reste mit wiederkehrenden Ziffern verbinden
|}

{{BR}}
= OERs zum Thema =

Der Wikipedia-Artikel zu Dezimalbrüchen bietet eine weiterführende Darstellung zu endlichen und periodischen Dezimalentwicklungen:

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dezimalbruch </iframe>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Periodische Dezimalzahlen]]'''
# [[Bruch]]
# [[Division]]
# [[Schriftliche Division]]
# [[Dezimalzahl]]
# [[Stellenwertsystem]]
# [[Zahlengerade]]
# [[Rationale Zahl]]
# [[Primfaktorzerlegung]]
# [[Bruchrechnung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 6]]
[[Kategorie:E-Niveau]]
[[Kategorie:Bruchrechnung]]
[[Kategorie:Dezimalzahlen]]
[[Kategorie:Periodische Dezimalzahlen]]
[[Kategorie:Rationale Zahlen]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M6 E - Periodische Dezimalzahlen entdecken - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt