Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-15T12:11:35Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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{{T}}

{{BR}}
= Einleitung =

'''M5 M - Rechengesetze zum geschickten Rechnen''' richtet sich an Lernende der '''Klasse 5 auf M-Niveau'''. Du lernst drei zentrale [[Rechengesetze]] kennen und nutzt sie nicht nur zum Benennen, sondern vor allem zum '''geschickten Rechnen''':

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center; width:95%;"
! Gesetz
! Deutsche Bezeichnung
! Grundidee
! Beispiel
|-
| [[Kommutativgesetz]]
| Tauschgesetz
| Zahlen dürfen bei Addition oder Multiplikation vertauscht werden.
| <math>4\cdot25=25\cdot4</math>
|-
| [[Assoziativgesetz]]
| Verbindungsgesetz
| Klammern dürfen bei Addition oder Multiplikation anders gesetzt werden.
| <math>(4\cdot25)\cdot7=4\cdot(25\cdot7)</math>
|-
| [[Distributivgesetz]]
| Verteilungsgesetz
| Eine Multiplikation kann auf eine Summe oder Differenz verteilt beziehungsweise wieder zusammengefasst werden.
| <math>7\cdot19+7\cdot1=7\cdot20</math>
|}

Der wichtigste Gedanke lautet: '''Du veränderst die Form einer Rechnung, aber nicht ihren Wert.''' So kannst Du passende Zahlen zusammenbringen, runde Zahlen erzeugen und Kopfrechnungen vereinfachen.

[[Datei:Array multiplieur.png|500px|rahmenlos|center]]

Das Punkte- beziehungsweise Arraymodell hilft Dir, Multiplikation als Anordnung zu sehen. Reihen und Spalten können gedreht oder zerlegt werden. Genau daraus entstehen anschauliche Zugänge zum Tausch- und Verteilungsgesetz.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=fWsMeDFiyPo |500|center}}

{{BR}}
= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du Rechengesetze '''erkennen, darstellen, begründen und gezielt anwenden'''.

{| class="wikitable" style="width:100%;"
! Kompetenz
! Das kannst Du anschließend
|-
| Erkennen
| Du entscheidest, ob Tauschgesetz, Verbindungsgesetz oder Verteilungsgesetz verwendet wurde.
|-
| Darstellen
| Du übersetzt zwischen Rechnung, Punktefeld, Flächenmodell, Zahlenkarten und sprachlicher Erklärung.
|-
| Anwenden
| Du formst Rechnungen so um, dass runde oder leicht zu berechnende Zahlen entstehen.
|-
| Begründen
| Du erklärst, warum eine Umformung erlaubt ist und weshalb das Ergebnis gleich bleibt.
|-
| Prüfen
| Du erkennst typische Fehler, besonders bei Subtraktion und Division.
|-
| Transfer
| Du entwickelst eigene Rechenwege und vergleichst ihre Effizienz.
|}

{{BR}}
= Grundbegriffe =

Für geschicktes Rechnen brauchst Du sichere Fachbegriffe:

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Rechenart
! Aufbau
! Beispiel
|-
| Addition
| <math>\text{Summand}+\text{Summand}=\text{Summe}</math>
| <math>38+62=100</math>
|-
| Multiplikation
| <math>\text{Faktor}\cdot\text{Faktor}=\text{Produkt}</math>
| <math>4\cdot25=100</math>
|-
| Subtraktion
| <math>\text{Minuend}-\text{Subtrahend}=\text{Differenz}</math>
| <math>100-37=63</math>
|-
| Division
| <math>\text{Dividend}:\text{Divisor}=\text{Quotient}</math>
| <math>100:4=25</math>
|}

'''Wichtig:''' Das Tauschgesetz und das Verbindungsgesetz gelten bei natürlichen Zahlen für '''Addition und Multiplikation'''. Für Subtraktion und Division gelten sie im Allgemeinen nicht.

{{BR}}
= Das Tauschgesetz =

Das [[Kommutativgesetz|Tauschgesetz]] sagt: Bei einer Addition oder Multiplikation darfst Du die Reihenfolge der Zahlen vertauschen.

{{BR}}
== Tauschgesetz der Addition ==

<math>a+b=b+a</math>

Beispiel:

<math>27+73=73+27=100</math>

Wenn in einer längeren Summe passende Zahlen weit auseinanderstehen, kannst Du sie durch Tauschen nebeneinander bringen:

<math>27+46+73</math>

<math>=27+73+46</math>

<math>=100+46</math>

<math>=146</math>

{{BR}}
== Tauschgesetz der Multiplikation ==

<math>a\cdot b=b\cdot a</math>

Beispiel:

<math>4\cdot25=25\cdot4=100</math>

[[Datei:CommutativeExample2.svg|500px|rahmenlos|center]]

Die Abbildung zeigt die Idee für Addition und Multiplikation: Ein Punkte- oder Rechteckfeld bleibt gleich groß, wenn Reihen und Spalten vertauscht werden.

{{BR}}
== Punktefeld zum Drehen ==

Vergleiche die beiden Felder:

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center; font-size:140%;"
! <math>3\cdot4</math>
! gedanklich um <math>90^\circ</math> drehen
! <math>4\cdot3</math>
|-
| ● ● ● ●<br>● ● ● ●<br>● ● ● ●
| ↻
| ● ● ●<br>● ● ●<br>● ● ●<br>● ● ●
|-
| colspan="3" | <math>3\cdot4=4\cdot3=12</math>
|}

Die Anzahl der Punkte bleibt gleich. Du siehst also nicht nur eine Regel, sondern einen '''Grund dafür'''.

{{BR}}
== Zahlenkarten: Finde Rechenfreunde ==

Bei Summen kannst Du Zahlenkarten so ordnen, dass runde Zahlen entstehen:

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center; font-size:150%;"
| '''38'''
| '''17'''
| '''62'''
| '''83'''
|-
| colspan="4" | Tausche geschickt:
|-
| '''38'''
| '''62'''
| '''17'''
| '''83'''
|-
| colspan="4" | <math>(38+62)+(17+83)=100+100=200</math>
|}

Das Tauschgesetz macht aus einer unübersichtlichen Rechnung eine Rechnung mit zwei Hunderterfreunden.

{{BR}}
= Das Verbindungsgesetz =

Das [[Assoziativgesetz|Verbindungsgesetz]] sagt: Bei Addition oder Multiplikation darfst Du die Klammern anders setzen. Die Reihenfolge der Zahlen bleibt dabei zunächst gleich.

{{BR}}
== Verbindungsgesetz der Addition ==

<math>(a+b)+c=a+(b+c)</math>

Beispiel:

<math>25+(38+62)</math>

<math>=25+100</math>

<math>=125</math>

Auch umgekehrt ist die Umklammerung erlaubt:

<math>(25+38)+62=25+(38+62)</math>

[[Datei:AssociativeExampleAddition.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Verbindungsgesetz der Multiplikation ==

<math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math>

Besonders nützlich ist das, wenn sich ein leichtes Teilprodukt bilden lässt:

<math>4\cdot25\cdot7</math>

<math>=(4\cdot25)\cdot7</math>

<math>=100\cdot7</math>

<math>=700</math>

Noch ein Beispiel:

<math>8\cdot125\cdot3</math>

<math>=(8\cdot125)\cdot3</math>

<math>=1000\cdot3</math>

<math>=3000</math>

{{BR}}
== Tauschgesetz und Verbindungsgesetz gemeinsam ==

Oft brauchst Du beide Gesetze zusammen.

Aus

<math>6\cdot25\cdot4</math>

machst Du zuerst durch Tauschen

<math>6\cdot4\cdot25</math>

und dann durch Verbinden

<math>6\cdot(4\cdot25)</math>

also

<math>6\cdot100=600</math>.

Das ist ein typischer M-Niveau-Rechenweg: Du sollst nicht nur das Ergebnis finden, sondern eine '''geschickte Struktur''' erkennen.

{{BR}}
= Das Verteilungsgesetz =

Das [[Distributivgesetz|Verteilungsgesetz]] verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion.

{{BR}}
== Verteilen über eine Summe ==

<math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>

Beispiel:

<math>6\cdot(20+3)</math>

<math>=6\cdot20+6\cdot3</math>

<math>=120+18</math>

<math>=138</math>

{{BR}}
== Zusammenfassen durch Ausklammern ==

Das Verteilungsgesetz funktioniert auch rückwärts:

<math>a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c)</math>

Genau das steckt in der Rechnung

<math>7\cdot19+7\cdot1=7\cdot20</math>.

Schritt für Schritt:

{| class="wikitable" style="width:90%; margin:auto;"
! Schritt
! Rechnung
! Gedanke
|-
| 1
| <math>7\cdot19+7\cdot1</math>
| Beide Produkte haben den gemeinsamen Faktor <math>7</math>.
|-
| 2
| <math>7\cdot(19+1)</math>
| Den gemeinsamen Faktor <math>7</math> ausklammern.
|-
| 3
| <math>7\cdot20</math>
| <math>19+1</math> ergibt eine runde Zahl.
|-
| 4
| <math>140</math>
| Die vereinfachte Rechnung ausführen.
|}

{{BR}}
== Flächenmodell zum Verteilungsgesetz ==

[[Datei:Illustration of distributive property with rectangles.svg|600px|rahmenlos|center]]

Ein Rechteck mit der Höhe <math>a</math> und der Gesamtbreite <math>b+c</math> hat den Flächeninhalt

<math>a\cdot(b+c)</math>.

Zerlegst Du es in zwei Teilrechtecke, erhältst Du

<math>a\cdot b+a\cdot c</math>.

Beide Darstellungen beschreiben dieselbe Fläche. Deshalb gilt:

<math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>.

{{BR}}
== Flächenmodell mit konkreten Zahlen ==

Stell Dir ein Rechteck mit Höhe <math>7</math> und Gesamtbreite <math>20</math> vor. Zerlege die Breite in <math>19+1</math>:

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center; width:80%;"
! Teilfläche
! Breite
! Höhe
! Fläche
|-
| großes Teilrechteck
| <math>19</math>
| <math>7</math>
| <math>7\cdot19</math>
|-
| schmaler Ergänzungsstreifen
| <math>1</math>
| <math>7</math>
| <math>7\cdot1</math>
|-
| Gesamtfläche
| <math>20</math>
| <math>7</math>
| <math>7\cdot20</math>
|}

Damit wird sichtbar:

<math>7\cdot19+7\cdot1=7\cdot(19+1)=7\cdot20</math>.

{{BR}}
== Verteilen über eine Differenz ==

Du kannst eine Zahl auch als Unterschied zu einer runden Zahl auffassen:

<math>6\cdot98</math>

<math>=6\cdot(100-2)</math>

<math>=6\cdot100-6\cdot2</math>

<math>=600-12</math>

<math>=588</math>

Ein weiteres Beispiel:

<math>25\cdot39</math>

<math>=25\cdot(40-1)</math>

<math>=1000-25</math>

<math>=975</math>

Das ist besonders praktisch, wenn ein Faktor '''knapp neben 10, 20, 50, 100 oder 1000''' liegt.

{{BR}}
= Rechenstrategien für geschicktes Rechnen =

Die Gesetze sind keine isolierten Regeln. Sie sind Werkzeuge für Rechenstrategien.

{| class="wikitable" style="width:100%;"
! Strategie
! Beispiel
! Rechengesetz
|-
| Zahlen zu <math>10</math>, <math>100</math> oder <math>1000</math> ergänzen
| <math>38+17+62+83=(38+62)+(17+83)=200</math>
| Tauschgesetz und Verbindungsgesetz
|-
| Ein leichtes Teilprodukt bilden
| <math>4\cdot25\cdot9=(4\cdot25)\cdot9=900</math>
| Verbindungsgesetz
|-
| Einen Faktor nahe an einer runden Zahl zerlegen
| <math>7\cdot19=7\cdot(20-1)=140-7=133</math>
| Verteilungsgesetz
|-
| Gemeinsamen Faktor ausklammern
| <math>7\cdot19+7\cdot1=7\cdot20=140</math>
| Verteilungsgesetz rückwärts
|-
| Mehrere Gesetze verbinden
| <math>2\cdot25\cdot4\cdot5=(2\cdot5)\cdot(25\cdot4)=10\cdot100=1000</math>
| Tauschgesetz und Verbindungsgesetz
|}

{{BR}}
= Stellenwertmodell und runde Zahlen =

Geschicktes Rechnen funktioniert oft deshalb so gut, weil unser Zahlensystem ein [[Dezimalsystem|Zehnersystem]] ist. Zahlen wie <math>10</math>, <math>100</math> und <math>1000</math> sind besonders leicht weiterzuverarbeiten.

[[Datei:Base ten blocks (transparent).svg|600px|rahmenlos|center]]

Ein Stellenwertmodell zeigt, dass

<math>20=2\cdot10</math>,

<math>200=2\cdot100</math>

und

<math>2000=2\cdot1000</math>

sind.

Darum ist zum Beispiel

<math>7\cdot20=14\cdot10=140</math>

leichter als eine direkte Rechnung mit <math>7\cdot19+7\cdot1</math>.

{{BR}}
== Zahlenkarten zum Ergänzen ==

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center; font-size:160%;"
| '''19'''
| '''+'''
| '''1'''
| '''→'''
| '''20'''
|-
| colspan="5" | <math>7\cdot19+7\cdot1=7\cdot(19+1)=7\cdot20</math>
|}

Die Zahlenkarten machen sichtbar: Die beiden Teilbreiten <math>19</math> und <math>1</math> werden zu <math>20</math> zusammengesetzt.

{{BR}}
= Zahlengerade: Summanden umordnen =

[[Datei:NumberLineIntegers.svg|600px|rahmenlos|center]]

Auf einer Zahlengeraden kannst Du Addition als Bewegung darstellen. Bei

<math>23+7+17</math>

kannst Du wegen des Tauschgesetzes zuerst <math>23+17</math> rechnen:

<math>23+7+17=23+17+7=40+7=47</math>.

Die Gesamtstrecke bleibt gleich, auch wenn Du die Teilstrecken in anderer Reihenfolge gehst.

{{BR}}
== Dynamische Zahlengerade ==

Mit der folgenden dynamischen Darstellung kannst Du Additionsschritte verändern und beobachten, dass verschiedene Zerlegungen am gleichen Ziel enden:

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dnxexdjk/width/800/height/500/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

Arbeitsauftrag: Stelle zwei Additionen mit denselben Summanden in verschiedener Reihenfolge dar. Beschreibe, was sich verändert und was gleich bleibt.

{{BR}}
= Dynamische Geometrie zum Verteilungsgesetz =

Das Verteilungsgesetz lässt sich besonders gut mit Rechtecken untersuchen. Beim Umfang eines Rechtecks gilt zum Beispiel:

<math>u=2a+2b</math>

und wegen des Verteilungsgesetzes ebenso

<math>u=2(a+b)</math>.

Für <math>a=6</math> und <math>b=4</math> erhältst Du:

<math>u=2\cdot6+2\cdot4=12+8=20</math>

sowie

<math>u=2\cdot(6+4)=2\cdot10=20</math>.

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nk84ubyz/width/800/height/500/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

Verändere die Seitenlängen und überprüfe an mehreren Beispielen, ob beide Umfangsrechnungen immer dasselbe Ergebnis liefern.

{{BR}}
= Animierte Muster der Multiplikation =

[[Datei:Multiplication tables animated.gif|300px|rahmenlos|center]]

Die Animation zeigt Muster in Einmaleinsreihen. Beobachte besonders Paare wie <math>3\cdot8</math> und <math>8\cdot3</math>. Das Tauschgesetz erklärt, warum beide Produkte denselben Wert haben.

{{BR}}
= Schritt-für-Schritt-Rechenwege =

Mathematik wird verständlicher, wenn Du den Rechenweg sichtbar machst.

{{BR}}
== Beispiel 1: Summe geschickt ordnen ==

<math>48+35+52</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>48+52+35</math> Tauschgesetz

<math>\Downarrow</math>

<math>(48+52)+35</math> Verbindungsgesetz

<math>\Downarrow</math>

<math>100+35</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>135</math>

{{BR}}
== Beispiel 2: Produkt geschickt verbinden ==

<math>8\cdot25\cdot5</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>8\cdot5\cdot25</math> Tauschgesetz

<math>\Downarrow</math>

<math>(8\cdot5)\cdot25</math> Verbindungsgesetz

<math>\Downarrow</math>

<math>40\cdot25</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>1000</math>

{{BR}}
== Beispiel 3: Nahe an einer runden Zahl ==

<math>9\cdot49</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>9\cdot(50-1)</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>9\cdot50-9\cdot1</math> Verteilungsgesetz

<math>\Downarrow</math>

<math>450-9</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>441</math>

{{BR}}
== Beispiel 4: Gemeinsamen Faktor erkennen ==

<math>12\cdot7+12\cdot3</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>12\cdot(7+3)</math> Verteilungsgesetz rückwärts

<math>\Downarrow</math>

<math>12\cdot10</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>120</math>

{{BR}}
= Welches Gesetz passt wann? =

{| class="wikitable" style="width:100%;"
! Frage an Dich
! Wenn die Antwort ja lautet
|-
| Möchtest Du Zahlen in einer Summe oder einem Produkt vertauschen?
| Nutze das '''Tauschgesetz'''.
|-
| Möchtest Du bei einer Summe oder einem Produkt anders klammern?
| Nutze das '''Verbindungsgesetz'''.
|-
| Siehst Du eine Multiplikation mit einer Summe oder Differenz?
| Prüfe das '''Verteilungsgesetz'''.
|-
| Taucht in mehreren Produkten derselbe Faktor auf?
| Prüfe, ob Du diesen Faktor '''ausklammern''' kannst.
|-
| Liegt ein Faktor knapp neben einer runden Zahl?
| Zerlege ihn mit einer Summe oder Differenz und nutze das '''Verteilungsgesetz'''.
|-
| Lassen sich Zahlen zu <math>10</math>, <math>100</math> oder <math>1000</math> ergänzen?
| Tausche und verbinde geschickt.
|}

{{BR}}
= Fehlerfallen =

Rechengesetze darfst Du nur dort anwenden, wo ihre Voraussetzungen erfüllt sind.

{| class="wikitable" style="width:100%;"
! Behauptung
! Prüfung
! Ergebnis
|-
| <math>9-4=4-9</math>
| Subtraktion ist nicht kommutativ.
| '''Falsch'''
|-
| <math>(10-4)-3=10-(4-3)</math>
| Links steht <math>3</math>, rechts <math>9</math>.
| '''Falsch'''
|-
| <math>24:6=6:24</math>
| <math>24:6=4</math>, aber <math>6:24</math> ist nicht <math>4</math>.
| '''Falsch'''
|-
| <math>(24:6):2=24:(6:2)</math>
| Links steht <math>2</math>, rechts <math>8</math>.
| '''Falsch'''
|-
| <math>5\cdot(8+2)=5\cdot8+5\cdot2</math>
| Multiplikation wird auf beide Summanden verteilt.
| '''Richtig'''
|-
| <math>7\cdot12+5\cdot12=12\cdot(7+5)</math>
| Erst Tauschgesetz in den Produkten, dann ausklammern.
| '''Richtig'''
|}

{{BR}}
= Punkt vor Strich und Klammern =

Rechengesetze ersetzen nicht die bekannten Rechenregeln. Klammern werden zuerst beachtet; Multiplikation und Division stehen in der üblichen Rangfolge vor Addition und Subtraktion.

Vergleiche:

<math>3+4\cdot5=3+20=23</math>

aber

<math>(3+4)\cdot5=7\cdot5=35</math>.

Das Verteilungsgesetz kann eine Klammer auflösen:

<math>(3+4)\cdot5=3\cdot5+4\cdot5=15+20=35</math>.

{{BR}}
= Rechengesetze als Gleichheitsideen =

Bei jeder erlaubten Umformung bleibt der Wert gleich. Das Gleichheitszeichen <math>=</math> bedeutet deshalb nicht „jetzt kommt das Ergebnis“, sondern „links und rechts steht derselbe Wert“.

Beispiel:

<math>7\cdot19+7\cdot1</math>

<math>=7\cdot(19+1)</math>

<math>=7\cdot20</math>

<math>=140</math>.

Jede Zeile ist gleichwertig. Das ist ein wichtiger Schritt auf dem Weg zu [[Term|Termen]] und später zu [[Gleichung|Gleichungen]].

{{BR}}
= Rechenlabor: Entscheide selbst =

Untersuche die Rechnung

<math>16+29+84+71</math>.

Eine günstige Umordnung ist:

<math>16+84+29+71</math>

und eine günstige Verbindung:

<math>(16+84)+(29+71)</math>.

Damit folgt:

<math>100+100=200</math>.

Untersuche nun

<math>4\cdot18+4\cdot2</math>.

Hier ist Ausklammern besonders günstig:

<math>4\cdot(18+2)=4\cdot20=80</math>.

Die wichtigste Frage beim geschickten Rechnen lautet deshalb:

'''Welche Struktur macht die Rechnung einfacher?'''

{{BR}}
= Digitale Übungswerkstatt =

Die folgende interaktive Sammlung enthält Aufgaben zu Rechenregeln und Rechengesetzen für die Schulstufe 5–6:

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/vkeaeuga/width/800/height/500/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

Bearbeite mehrere Beispiele und notiere bei jeder Umformung nicht nur das Ergebnis, sondern auch das verwendete Gesetz.

{{BR}}
= Erklärvideos =

Das folgende Video erklärt Tausch-, Verbindungs- und Verteilungsgesetz in einer gemeinsamen Übersicht:

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=bj5UG9Cj8gA |500|center}}

Ein weiteres Erklärvideo legt den Schwerpunkt auf die drei Rechengesetze und ihre Anwendung:

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=nsBC5t3XUCI |500|center}}

{{BR}}
= Medien- und Lizenzhinweise =

Die verwendeten Wikimedia-Commons-Medien wurden als frei lizenzierte beziehungsweise gemeinfreie Medien ausgewählt. Die jeweiligen Dateiseiten enthalten Urheberangaben und Lizenzbedingungen.

{| class="wikitable" style="width:100%;"
! Medium
! Lernzweck
! Lizenz laut Wikimedia Commons
|-
| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:CommutativeExample2.svg CommutativeExample2.svg]
| Tauschgesetz anschaulich
| CC BY-SA 3.0 beziehungsweise weitere auf der Dateiseite angebotene freie Lizenzen
|-
| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AssociativeExampleAddition.svg AssociativeExampleAddition.svg]
| Verbindungsgesetz der Addition
| CC BY-SA 4.0
|-
| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Illustration_of_distributive_property_with_rectangles.svg Illustration of distributive property with rectangles.svg]
| Flächenmodell zum Verteilungsgesetz
| CC0 1.0
|-
| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Array_multiplieur.png Array multiplieur.png]
| Multiplikation als Feld beziehungsweise Array
| CC0 1.0
|-
| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Base_ten_blocks_(transparent).svg Base ten blocks (transparent).svg]
| Stellenwertmodell
| CC0 1.0
|-
| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:NumberLineIntegers.svg NumberLineIntegers.svg]
| Zahlengerade
| CC BY-SA 3.0 beziehungsweise weitere auf der Dateiseite angebotene freie Lizenzen
|-
| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Multiplication_tables_animated.gif Multiplication tables animated.gif]
| animierte Multiplikationsmuster
| CC BY-SA 3.0
|}

Die YouTube- und GeoGebra-Inhalte werden extern eingebettet und nicht als lokale Kopien in den aiMOOC übernommen. Für eine Weiterverwendung außerhalb der Einbettung gelten die Bedingungen der jeweiligen Plattform beziehungsweise Urheber.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was erlaubt das Tauschgesetz bei einer Addition?'''
(Die Summanden dürfen vertauscht werden)
(!Die Summanden dürfen beliebig verändert werden)
(!Nur der erste Summand darf verdoppelt werden)
(!Die Addition wird immer zur Multiplikation)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage beschreibt das Verbindungsgesetz der Multiplikation?'''
(Die Faktoren bleiben gleich und nur die Gruppierung ändert sich)
(!Die Faktoren werden durch Summanden ersetzt)
(!Die Reihenfolge muss immer umgekehrt werden)
(!Eine Multiplikation wird immer zur Subtraktion)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Beschreibung passt zum Verteilungsgesetz?'''
(Ein Faktor wird mit jedem Summanden einer Summe multipliziert)
(!Nur der erste Summand wird multipliziert)
(!Die Summe wird durch eine Division ersetzt)
(!Alle Zahlen dürfen beliebig vertauscht werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Umordnung macht 25 plus 17 plus 75 besonders geschickt?'''
(25 plus 75 plus 17)
(!17 plus 25 plus 25)
(!75 minus 25 plus 17)
(!25 mal 75 plus 17)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Für welche Rechenart gilt das Tauschgesetz im Allgemeinen nicht?'''
(Subtraktion)
(!Addition)
(!Multiplikation)
(!Addition natürlicher Zahlen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der gemeinsame Faktor in 9 mal 14 plus 9 mal 6?'''
(9)
(!14)
(!6)
(!20)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet 6 mal 23 nach dem Ausmultiplizieren über 20 plus 3?'''
(6 mal 20 plus 6 mal 3)
(!6 plus 20 mal 3)
(!6 mal 20 plus 3)
(!20 mal 3 plus 6)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie kann 9 mal 14 plus 9 mal 6 geschickt zusammengefasst werden?'''
(9 mal die Summe aus 14 und 6)
(!18 mal die Summe aus 14 und 6)
(!9 plus das Produkt aus 14 und 6)
(!14 mal die Summe aus 9 und 6)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist 4 mal 25 mal 8 leicht zu berechnen?'''
(Weil 4 mal 25 zuerst zu 100 verbunden werden kann)
(!Weil 25 durch 8 ersetzt werden darf)
(!Weil alle Faktoren addiert werden dürfen)
(!Weil Multiplikation immer von rechts nach links gerechnet werden muss)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Beschreibung zeigt geschicktes Ausklammern bei 7 mal 19 plus 7 mal 1?'''
(7 wird gemeinsamer Faktor vor der Summe 19 plus 1)
(!14 wird gemeinsamer Faktor vor der Zahl 20)
(!Die drei Zahlen werden nur addiert)
(!19 wird gemeinsamer Faktor vor der Summe 7 plus 1)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Tauschgesetz || Reihenfolge ändern
|-
| Verbindungsgesetz || Klammern umgruppieren
|-
| Verteilungsgesetz || Multiplikation auf eine Summe verteilen
|-
| Ausklammern || gemeinsamen Faktor herausziehen
|-
| Summand || Zahl einer Addition
|-
| Faktor || Zahl einer Multiplikation
|-
| Summe || Ergebnis einer Addition
|-
| Produkt || Ergebnis einer Multiplikation
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Tauschgesetz'''
| Reihenfolge von Summanden oder Faktoren ändern
|-
| '''Verbindungsgesetz'''
| Klammern bei Addition oder Multiplikation anders setzen
|-
| '''Verteilungsgesetz'''
| Multiplikation mit einer Summe oder Differenz verbinden
|-
| '''Ausklammern'''
| gemeinsamen Faktor vor eine Klammer ziehen
|-
| '''Ausmultiplizieren'''
| einen Faktor auf alle Glieder in einer Klammer verteilen

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Tauschgesetz || Wie heißt das Kommutativgesetz auf Deutsch?
|-
| Verbindungsgesetz || Wie heißt das Assoziativgesetz auf Deutsch?
|-
| Verteilungsgesetz || Wie heißt das Distributivgesetz auf Deutsch?
|-
| Faktor || Wie heißt eine Zahl in einer Multiplikation?
|-
| Summe || Wie heißt das Ergebnis einer Addition?
|-
| Produkt || Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M5+M+Rechengesetze+zum+geschickten+Rechnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Das Kommutativgesetz heißt auf Deutsch { Tauschgesetz }.
Beim Assoziativgesetz darfst Du die { Klammern } bei Addition oder Multiplikation anders setzen.
Das Distributivgesetz heißt auch { Verteilungsgesetz }.
In der Rechnung <math>7\cdot19+7\cdot1</math> ist die Zahl { 7 } der gemeinsame Faktor.
Durch Ausklammern entsteht aus <math>7\cdot19+7\cdot1</math> die Rechnung <math>7\cdot</math> { (19+1) }.
Die Zahlen <math>38</math> und <math>62</math> ergänzen sich zur runden Zahl { 100 }.
Das Tauschgesetz gilt im Allgemeinen nicht für die { Subtraktion }.
Ein Rechteckmodell kann das { Distributivgesetz } anschaulich erklären.
Beim geschickten Rechnen wird die Form einer Rechnung verändert, ihr { Wert } bleibt gleich.
Aus <math>4\cdot25</math> entsteht das leicht nutzbare Teilprodukt { 100 }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Punktefeld gestalten]]: Zeichne ein Punktefeld zu <math>4\cdot7</math>. Drehe es gedanklich oder auf Papier und erkläre mit einer zweiten Rechnung das Tauschgesetz.
# [[Zahlenkarten ordnen]]: Schreibe die Zahlen <math>26</math>, <math>74</math>, <math>39</math> und <math>61</math> auf vier Karten. Finde eine besonders günstige Reihenfolge und dokumentiere Deinen Rechenweg.
# [[Rechenfreunde sammeln]]: Erstelle ein kleines Plakat mit mindestens sechs Zahlenpaaren, die zusammen <math>10</math>, <math>100</math> oder <math>1000</math> ergeben.
# [[Flächenmodell zeichnen]]: Zeichne ein Rechteck zu <math>5\cdot(8+2)</math>, zerlege es in zwei Teilrechtecke und beschrifte alle Teilflächen.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Rechenweg vergleichen]]: Berechne <math>8\cdot49</math> einmal direkt und einmal mit dem Verteilungsgesetz über <math>50-1</math>. Vergleiche, welcher Weg für Dich übersichtlicher ist.
# [[Erklärvideo planen]]: Entwirf ein einminütiges Erklärvideo zum Unterschied zwischen Tauschgesetz und Verbindungsgesetz. Nutze mindestens ein Beispiel und eine visuelle Darstellung.
# [[Fehlerdetektiv]]: Erfinde drei falsche Anwendungen von Rechengesetzen, zum Beispiel bei Subtraktion oder Division. Lass eine Partnerperson die Fehler finden und korrigieren.
# [[Alltagsbeispiel modellieren]]: Finde eine Alltagssituation, die sich mit <math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math> beschreiben lässt, und stelle sie als Skizze, Tabelle oder Fotogeschichte dar.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Strategienetz erstellen]]: Entwickle ein Entscheidungsdiagramm, das bei einer Rechnung hilft zu entscheiden, ob Tauschen, Verbinden, Verteilen oder Ausklammern besonders sinnvoll ist.
# [[Mehrere Rechenwege beweisen]]: Finde mindestens drei verschiedene geschickte Rechenwege für <math>25\cdot48</math>. Begründe bei jedem Schritt das verwendete Rechengesetz.
# [[Rechenchallenge entwickeln]]: Erstelle fünf Aufgaben, bei denen das Ergebnis ohne Taschenrechner schnell gefunden werden kann, wenn ein passendes Rechengesetz erkannt wird. Gib zu jeder Aufgabe eine Musterlösung mit Begründung an.
# [[Mini-Untersuchung durchführen]]: Teste an mindestens zehn Beispielen, ob das Tausch- und Verbindungsgesetz bei Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division funktioniert. Ordne Deine Ergebnisse in einer Tabelle und formuliere daraus Regeln.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Strategie begründen]]: Berechne <math>37+28+63+72</math> möglichst geschickt. Kennzeichne jeden Umformungsschritt mit dem verwendeten Rechengesetz und erkläre, warum Dein Weg effizient ist.
# [[Flächenmodell übertragen]]: Ein Rechteck ist <math>12</math> Einheiten hoch und <math>25</math> Einheiten breit. Zerlege die Breite so, dass Du den Flächeninhalt mit dem Verteilungsgesetz besonders leicht berechnen kannst. Zeichne das Modell und begründe die Zerlegung.
# [[Fehler analysieren]]: Eine Person behauptet <math>(20-8)-5=20-(8-5)</math>, weil man Klammern immer umsetzen dürfe. Erkläre den Denkfehler, berechne beide Seiten und formuliere die korrekte Regel.
# [[Rechenwege vergleichen]]: Vergleiche <math>9\cdot49=9\cdot(50-1)</math> mit einer direkten Multiplikation. Beschreibe, welcher Rechenweg im Kopf günstiger ist und warum.
# [[Ausklammern erkennen]]: Forme <math>13\cdot17+13\cdot3</math> so um, dass eine runde Zahl entsteht. Erkläre, woran Du erkannt hast, dass Ausklammern sinnvoll ist.
# [[Transfer entwickeln]]: Erfinde selbst eine Rechnung mit mindestens vier Zahlen, bei der Tauschgesetz, Verbindungsgesetz und Verteilungsgesetz in einem sinnvollen Lösungsweg vorkommen. Löse sie und begründe jede Umformung.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern mathematische Zusammenhänge sichtbar machst.

# [[Rechengesetze benennen]]: Du kannst Tauschgesetz, Verbindungsgesetz und Verteilungsgesetz fachsprachlich korrekt benennen.
# [[Rechengesetze darstellen]]: Du kannst die drei Gesetze mit <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> formulieren.
# [[Geschickt rechnen]]: Du kannst Zahlen so umordnen, gruppieren oder zerlegen, dass runde und leicht berechenbare Zwischenergebnisse entstehen.
# [[Darstellungen verknüpfen]]: Du kannst Punktefelder, Flächenmodelle, Zahlengeraden und Rechnungen miteinander in Beziehung setzen.
# [[Rechenwege begründen]]: Du kannst erklären, warum eine Umformung erlaubt ist und welches Gesetz dabei verwendet wird.
# [[Fehler erkennen]]: Du kannst begründen, warum Tausch- und Verbindungsgesetz bei Subtraktion und Division im Allgemeinen nicht gelten.
# [[Transfer leisten]]: Du kannst eigene Aufgaben entwickeln und unterschiedliche Lösungswege auf Effizienz und Richtigkeit vergleichen.

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<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

Die folgenden Wikipedia-Artikel vertiefen die drei grundlegenden Rechengesetze:

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kommutativgesetz </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Assoziativgesetz </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Distributivgesetz </iframe>

Zusätzliche freie beziehungsweise offen zugängliche Lernangebote:

<iframe> https://www.geogebra.org/math/order-operations?lang=de </iframe>

<br>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Rechengesetze]]'''
# [[Kommutativgesetz|Tauschgesetz]]
# [[Assoziativgesetz|Verbindungsgesetz]]
# [[Distributivgesetz|Verteilungsgesetz]]
# [[Grundrechenarten]]
# [[Kopfrechnen]]
# [[Natürliche Zahlen]]
# [[Dezimalsystem]]
# [[Term]]
# [[Gleichung]]
# [[Flächeninhalt]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 5]]
[[Kategorie:M-Niveau]]
[[Kategorie:Arithmetik]]
[[Kategorie:Rechengesetze]]
[[Kategorie:Kopfrechnen]]
[[Kategorie:Grundrechenarten]]
[[Kategorie:Natürliche Zahlen]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M5 M - Rechengesetze zum geschickten Rechnen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt