Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-15T12:09:59Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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{{T}}
{{BR}}
= M5 M - Gemeinsame Teiler und Vielfache =

{{BR}}
= Einleitung =
Wann lassen sich 24 rote und 36 blaue Karten in möglichst viele gleich große Gruppen aufteilen, ohne dass etwas übrig bleibt? Wann treffen sich zwei regelmäßig fahrende Busse wieder gleichzeitig, wenn einer alle 6 Minuten und der andere alle 8 Minuten kommt? Hinter beiden Fragen steckt dieselbe Grundidee: Du vergleichst Zahlen und suchst passende '''gemeinsame Teiler''' oder '''gemeinsame Vielfache'''.

In diesem aiMOOC für [[Klasse 5|Klasse 5]] auf '''M-Niveau''' entdeckst Du die Begriffe handelnd, visuell und rechnerisch. Du arbeitest mit Zahlentafeln, Mengen, Zahlengeraden, Vielfachenreihen, Tabellen, Animationen und interaktiven Suchaufgaben. Die wichtigsten Schreibweisen werden mit mathematischen Symbolen dargestellt.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Frage
! Mathematische Idee
! Typische Anwendung
|-
| Was teilt mehrere Zahlen ohne Rest?
| <math>T(a)\cap T(b)</math>
| Gruppen bilden, Packungen, gleich große Abschnitte
|-
| Welcher gemeinsame Teiler ist der größte?
| <math>\operatorname{ggT}(a,b)</math>
| größtmögliche gleich große Gruppen
|-
| Welche Zahlen tauchen in mehreren Vielfachenreihen auf?
| <math>V(a)\cap V(b)</math>
| wiederkehrende Abläufe
|-
| Welches gemeinsame Vielfache ist das kleinste?
| <math>\operatorname{kgV}(a,b)</math>
| erstes gemeinsames Wiederauftreten
|}

[[Datei:Multiplication tables animated.gif|300px|rahmenlos|center|Animierte Darstellung von Einmaleins- und Vielfachenreihen]]

'''Beobachtungsauftrag:''' Schau auf die Animation und suche Stellen, an denen verschiedene Reihen dieselbe Zahl erreichen. Genau solche Treffer sind für gemeinsame Vielfache wichtig.

{{BR}}
== Lernziele ==
{| class="wikitable" style="margin:auto;"
! Am Ende kannst Du ...
! Woran erkennst Du das?
|-
| Teiler bestimmen
| Du findest alle Zahlen, durch die eine Zahl ohne Rest teilbar ist.
|-
| gemeinsame Teiler finden
| Du vergleichst zwei Teilermengen und bildest ihre Schnittmenge.
|-
| den größten gemeinsamen Teiler bestimmen
| Du erkennst das größte Element der gemeinsamen Teilermenge.
|-
| Vielfache bilden
| Du erzeugst Vielfachenreihen durch fortgesetztes Multiplizieren.
|-
| gemeinsame Vielfache und das kgV bestimmen
| Du vergleichst Vielfachenreihen und findest den ersten gemeinsamen Treffer.
|-
| Sachprobleme zuordnen
| Du entscheidest begründet, ob ein Teiler- oder Vielfachenproblem vorliegt.
|}

{{BR}}
= Grundidee: Teilen und Vervielfachen =

{{BR}}
== Teiler: Passt die Zahl ohne Rest hinein? ==
Eine natürliche Zahl <math>d</math> heißt '''Teiler''' einer natürlichen Zahl <math>n</math>, wenn <math>n</math> ohne Rest durch <math>d</math> geteilt werden kann. Man schreibt:

<math>d\mid n</math>

Das bedeutet: Es gibt eine natürliche Zahl <math>k</math> mit

<math>n=d\cdot k</math>.

Beispiel:

<math>4\mid 20</math>, denn <math>20=4\cdot 5</math>.

Dagegen gilt:

<math>6\nmid 20</math>, denn <math>20:6</math> hat einen Rest.

Die Menge aller positiven Teiler von <math>n</math> heißt '''Teilermenge''' <math>T(n)</math>.

<math>T(12)=\{1,2,3,4,6,12\}</math>

Ein nützlicher Trick ist die Suche nach '''Teilerpaaren''':

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Produkt
! Teilerpaar von 24
|-
| <math>1\cdot 24=24</math>
| 1 und 24
|-
| <math>2\cdot 12=24</math>
| 2 und 12
|-
| <math>3\cdot 8=24</math>
| 3 und 8
|-
| <math>4\cdot 6=24</math>
| 4 und 6
|}

Damit erhältst Du:

<math>T(24)=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}</math>.

[[Datei:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg|500px|rahmenlos|center|Teilbarkeitsnetz der Zahl 60]]

'''Bildauftrag:''' Beginne bei 60 und suche im Teilbarkeitsnetz Zahlen, die 60 ohne Rest teilen. Vergleiche das Netz anschließend mit <math>T(60)</math>.

{{BR}}
== Vielfache: Immer wieder dieselbe Schrittweite ==
Ein '''Vielfaches''' einer Zahl entsteht, wenn Du die Zahl mit <math>1,2,3,\ldots</math> multiplizierst.

Für <math>6</math> gilt:

<math>V(6)=\{6,12,18,24,30,36,42,48,\ldots\}</math>.

Die Punkte zeigen: Eine positive Zahl besitzt unendlich viele positive Vielfache.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Faktor
! Rechnung
! Vielfaches von 6
|-
| <math>1</math>
| <math>1\cdot 6</math>
| <math>6</math>
|-
| <math>2</math>
| <math>2\cdot 6</math>
| <math>12</math>
|-
| <math>3</math>
| <math>3\cdot 6</math>
| <math>18</math>
|-
| <math>4</math>
| <math>4\cdot 6</math>
| <math>24</math>
|-
| <math>5</math>
| <math>5\cdot 6</math>
| <math>30</math>
|}

[[Datei:Multiplication table to scale.svg|500px|rahmenlos|center|Einmaleins-Tafel als visuelle Hilfe für Vielfache]]

'''Suchauftrag:''' Suche in der Tafel die Produkte der 4er- und 6er-Reihe. Welche Zahlen erscheinen in beiden Reihen?

{{BR}}
== Teiler und Vielfache gehören zusammen ==
Die Aussagen

<math>4\mid 20</math>

und

<math>20\in V(4)</math>

beschreiben dieselbe Beziehung aus zwei Blickrichtungen.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Blickrichtung
! Aussage
! Beispiel
|-
| Teiler
| <math>a</math> teilt <math>b</math>
| <math>5\mid 30</math>
|-
| Vielfaches
| <math>b</math> ist ein Vielfaches von <math>a</math>
| <math>30=6\cdot 5</math>
|}

Merksatz: '''Wenn <math>a</math> ein Teiler von <math>b</math> ist, dann ist <math>b</math> ein Vielfaches von <math>a</math>.'''

{{BR}}
= Gemeinsame Teiler entdecken =

{{BR}}
== Zwei Teilermengen vergleichen ==
Bestimme zuerst beide Teilermengen.

<math>T(12)=\{1,2,3,4,6,12\}</math>

<math>T(18)=\{1,2,3,6,9,18\}</math>

Die Zahlen, die in '''beiden''' Mengen liegen, sind die gemeinsamen Teiler:

<math>T(12)\cap T(18)=\{1,2,3,6\}</math>.

Als Mengenmodell:

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Nur Teiler von 12
! Gemeinsame Teiler
! Nur Teiler von 18
|-
| <math>4,12</math>
| <math>1,2,3,6</math>
| <math>9,18</math>
|}

Der größte gemeinsame Teiler ist daher:

<math>\operatorname{ggT}(12,18)=6</math>.

{{BR}}
== Schritt für Schritt zum ggT ==
{| class="wikitable" style="margin:auto;"
! Schritt
! Handlung
! Beispiel 24 und 36
|-
| 1
| Bestimme <math>T(24)</math>.
| <math>\{1,2,3,4,6,8,12,24\}</math>
|-
| 2
| Bestimme <math>T(36)</math>.
| <math>\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}</math>
|-
| 3
| Markiere die gemeinsamen Teiler.
| <math>\{1,2,3,4,6,12\}</math>
|-
| 4
| Wähle den größten gemeinsamen Teiler.
| <math>\operatorname{ggT}(24,36)=12</math>
|}

'''Kontrolle:''' <math>24:12=2</math> und <math>36:12=3</math>. Beide Divisionen haben Rest <math>0</math>.

{{BR}}
== Anwendung: Gruppeneinteilung ==
Eine Klasse hat 24 rote und 36 blaue Spielkarten. Es sollen möglichst viele identische Materialgruppen entstehen. Jede Gruppe soll gleich viele rote und gleich viele blaue Karten erhalten, und keine Karte darf übrig bleiben.

Gesucht ist die größte Zahl, die 24 und 36 ohne Rest teilt:

<math>\operatorname{ggT}(24,36)=12</math>.

Also sind '''12 Gruppen''' möglich.

Pro Gruppe:

<math>24:12=2</math> rote Karten,

<math>36:12=3</math> blaue Karten.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Anzahl Gruppen
! Rote Karten je Gruppe
! Blaue Karten je Gruppe
! Rest?
|-
| 12
| 2
| 3
| nein
|}

'''Entscheidungssignal:''' Formulierungen wie „möglichst viele gleich große Gruppen“, „ohne Rest aufteilen“ oder „gleich lange Abschnitte“ führen häufig zu gemeinsamen Teilern oder zum ggT.

{{BR}}
= Gemeinsame Vielfache entdecken =

{{BR}}
== Zwei Vielfachenreihen vergleichen ==
Für <math>6</math> und <math>8</math>:

<math>V(6)=\{6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,\ldots\}</math>

<math>V(8)=\{8,16,24,32,40,48,56,64,72,\ldots\}</math>

Gemeinsame Vielfache sind zum Beispiel:

<math>24,48,72,\ldots</math>

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist:

<math>\operatorname{kgV}(6,8)=24</math>.

[[Datei:Least common multiple chart.svg|500px|rahmenlos|center|Tabelle zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen]]

'''Bildauftrag:''' Suche in der kgV-Tabelle kleine Zahlenpaare, deren kgV gleich einer der beiden Zahlen ist. Was fällt Dir auf?

{{BR}}
== Zahlentafel: Treffer sichtbar machen ==
In der folgenden Tafel bedeutet „4“: Vielfaches von 4, „6“: Vielfaches von 6 und „4&6“: gemeinsames Vielfaches.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
| 1 || 2 || 3 || 4 (4) || 5 || 6 (6) || 7 || 8 (4)
|-
| 9 || 10 || 11 || '''12 (4&6)''' || 13 || 14 || 15 || 16 (4)
|-
| 17 || 18 (6) || 19 || 20 (4) || 21 || 22 || 23 || '''24 (4&6)'''
|-
| 25 || 26 || 27 || 28 (4) || 29 || 30 (6) || 31 || 32 (4)
|-
| 33 || 34 || 35 || '''36 (4&6)''' || 37 || 38 || 39 || 40 (4)
|-
| 41 || 42 (6) || 43 || 44 (4) || 45 || 46 || 47 || '''48 (4&6)'''
|}

Daraus liest Du:

<math>V(4)\cap V(6)=\{12,24,36,48,\ldots\}</math>

und damit

<math>\operatorname{kgV}(4,6)=12</math>.

{{BR}}
== Dynamische Zahlengerade ==
Auf einer Zahlengeraden lassen sich Vielfache als gleich große Sprünge darstellen. Bei Vielfachen von <math>4</math> springst Du in Viererschritten, bei Vielfachen von <math>6</math> in Sechserschritten. Gemeinsame Landepunkte sind gemeinsame Vielfache.

[[Datei:Number-line.svg|500px|rahmenlos|center|Zahlengerade als Grundmodell für gleich große Sprünge]]

<iframe> https://www.geogebra.org/m/rKSeHq9A </iframe>

'''Interaktiver Auftrag:''' Verändere die Zahlen im GeoGebra-Material. Beobachte, welche Vielfachen auf dem Zahlenstrahl markiert werden, und überprüfe Aussagen zur Teilbarkeit.

{{BR}}
== Schritt für Schritt zum kgV ==
{| class="wikitable" style="margin:auto;"
! Schritt
! Handlung
! Beispiel 9 und 12
|-
| 1
| Schreibe einige Vielfache von 9 auf.
| <math>9,18,27,36,45,\ldots</math>
|-
| 2
| Schreibe einige Vielfache von 12 auf.
| <math>12,24,36,48,\ldots</math>
|-
| 3
| Suche den ersten gemeinsamen Treffer.
| <math>36</math>
|-
| 4
| Notiere das Ergebnis.
| <math>\operatorname{kgV}(9,12)=36</math>
|}

{{BR}}
== Anwendung: Regelmäßig wiederkehrende Ereignisse ==
Bus A fährt alle 6 Minuten, Bus B alle 8 Minuten. Beide fahren jetzt gleichzeitig ab. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?

Die Abfahrtszeiten nach jetzt sind Vielfache:

<math>V(6)=\{6,12,18,24,\ldots\}</math>

<math>V(8)=\{8,16,24,\ldots\}</math>

Der erste gemeinsame Zeitpunkt ist:

<math>\operatorname{kgV}(6,8)=24</math>.

Also fahren beide nach '''24 Minuten''' wieder gleichzeitig ab.

'''Entscheidungssignal:''' Wörter wie „alle ... Minuten“, „regelmäßig“, „wieder gleichzeitig“ oder „erster gemeinsamer Zeitpunkt“ führen häufig zu gemeinsamen Vielfachen oder zum kgV.

{{BR}}
= ggT oder kgV? So entscheidest Du =
{| class="wikitable" style="margin:auto;"
! Situation
! Frage an Dich
! Passendes Werkzeug
|-
| Dinge ohne Rest in gleichartige Gruppen aufteilen
| Welche Gruppenzahl teilt alle Anzahlen?
| gemeinsame Teiler, oft <math>\operatorname{ggT}</math>
|-
| Strecken in möglichst lange gleich große Abschnitte teilen
| Welche Abschnittslänge teilt alle Längen?
| gemeinsame Teiler, oft <math>\operatorname{ggT}</math>
|-
| Zwei Abläufe wiederholen sich regelmäßig
| Wann treffen die Zeitreihen erstmals zusammen?
| gemeinsame Vielfache, oft <math>\operatorname{kgV}</math>
|-
| Mehrere Rhythmen sollen wieder gleichzeitig starten
| Was ist der kleinste gemeinsame Wiederholungszeitpunkt?
| <math>\operatorname{kgV}</math>
|}

'''Kurztest im Kopf:'''

„größtmöglich aufteilen“ <math>\rightarrow</math> eher ggT.

„frühestmöglich wieder gemeinsam“ <math>\rightarrow</math> eher kgV.

{{BR}}
= Rechenhilfen für Klasse 5 =

{{BR}}
== Teiler systematisch mit Teilerpaaren suchen ==
Bei <math>48</math> suchst Du Produkte mit Ergebnis 48:

<math>1\cdot48,\;2\cdot24,\;3\cdot16,\;4\cdot12,\;6\cdot8</math>.

Damit:

<math>T(48)=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\}</math>.

Du kannst die Suche beenden, sobald sich die Paare nur noch in umgekehrter Reihenfolge wiederholen würden.

{{BR}}
== Teilbarkeitsregeln als Beschleuniger ==
{| class="wikitable" style="margin:auto;"
! Teiler
! Schnelltest
! Beispiel
|-
| 2
| letzte Ziffer ist gerade
| <math>246</math> ist durch 2 teilbar
|-
| 3
| Quersumme ist durch 3 teilbar
| <math>231:\;2+3+1=6</math>
|-
| 5
| letzte Ziffer ist 0 oder 5
| <math>145</math> ist durch 5 teilbar
|-
| 10
| letzte Ziffer ist 0
| <math>320</math> ist durch 10 teilbar
|}

Diese Regeln helfen beim Finden von Teilern, ersetzen aber nicht die vollständige Kontrolle, wenn alle Teiler gesucht sind.

{{BR}}
== Interaktiver ggT-kgV-Check ==
<iframe> https://www.geogebra.org/m/exqj9kyy </iframe>

'''Forscherauftrag:''' Wähle zwei Zahlen mit den Schiebereglern. Berechne ggT und kgV zuerst selbst und kontrolliere danach im Applet. Suche anschließend drei Zahlenpaare, bei denen der ggT 1 ist.

{{BR}}
= Medien: Erklärvideos =
Das folgende Video erklärt den größten gemeinsamen Teiler anschaulich und knüpft an Teilermengen an.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=kegNhNMInGQ |500|center}}

Das folgende Video erklärt das kleinste gemeinsame Vielfache und zeigt, wie gemeinsame Vielfache gefunden werden.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=tGDCF575v2o |500|center}}

'''Videoauftrag:''' Stoppe jeweils vor einer Beispiel-Lösung. Berechne selbst weiter und vergleiche erst danach.

{{BR}}
= Forscherfenster: Ein animierter Rechenweg =
Für große Zahlen gibt es weitere Verfahren zur Bestimmung des ggT. Der [[Euklidischer Algorithmus|euklidische Algorithmus]] ist in Klasse 5 noch kein Pflichtstoff, aber die Animation zeigt eine spannende Idee: Immer wieder werden passende Reststücke betrachtet, bis die gemeinsame Größe sichtbar wird.

[[Datei:Euclidean algorithm 252 105 animation.gif|250px|rahmenlos|center|Animation des euklidischen Algorithmus]]

'''Nur zum Entdecken:''' Beschreibe, was sich in der Animation von Schritt zu Schritt verändert. Du musst das Verfahren noch nicht selbst anwenden können.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==
{{MC}}

'''Welche Zahl ist ein gemeinsamer Teiler von 12 und 18?'''
(6)
(!4)
(!8)
(!9)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der größte gemeinsame Teiler von 8 und 12?'''
(4)
(!2)
(!8)
(!24)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches von 4 und 6?'''
(24)
(!8)
(!10)
(!18)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 8?'''
(24)
(!12)
(!18)
(!48)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage beschreibt einen Teiler richtig?'''
(Ein Teiler teilt eine Zahl ohne Rest)
(!Ein Teiler ist immer größer als die Zahl)
(!Ein Teiler entsteht nur durch Addition)
(!Jede Zahl hat genau zwei Teiler)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Menge ist die Teilermenge von 10?'''
(1 2 5 10)
(!1 2 4 10)
(!2 5 10 20)
(!1 3 5 10)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''24 rote und 36 blaue Karten sollen in möglichst viele identische Gruppen ohne Rest verteilt werden. Wie viele Gruppen sind möglich?'''
(12)
(!6)
(!18)
(!24)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Zwei Signale ertönen alle 5 Minuten und alle 8 Minuten gleichzeitig beginnend. Nach wie vielen Minuten ertönen sie wieder gemeinsam?'''
(40)
(!13)
(!20)
(!80)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Schreibweise bedeutet 5 teilt 30?'''
(5 teilt 30 ohne Rest)
(!30 teilt 5 ohne Rest)
(!5 ist kein Teiler von 30)
(!30 ist kleiner als 5)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Frage passt typischerweise zum kgV?'''
(Wann treten zwei regelmäßige Ereignisse erstmals wieder gemeinsam auf)
(!Wie viele Teiler hat eine Primzahl)
(!Wie groß ist der Rest einer beliebigen Division)
(!Welche Zahl ist der größte Teiler nur einer einzigen Zahl)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==
<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Teilermenge || alle positiven Teiler einer Zahl
|-
| Vielfachenmenge || fortgesetzte Produkte mit 1 2 3 und so weiter
|-
| Schnittmenge || Elemente die in beiden Mengen vorkommen
|-
| größter gemeinsamer Teiler || größtes gemeinsames Element zweier Teilermengen
|-
| kleinstes gemeinsames Vielfaches || erster gemeinsamer Treffer zweier Vielfachenreihen
|-
| Gruppeneinteilung || typische Anwendung für gemeinsame Teiler
|-
| Wiederholungsrhythmus || typische Anwendung für gemeinsame Vielfache
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==
<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Teilermenge'''
| Alle Zahlen die eine Zahl ohne Rest teilen
|-
| '''Vielfachenreihe'''
| Zahlen in gleich großen Multiplikationsschritten
|-
| '''ggT'''
| Größter gemeinsamer Teiler
|-
| '''kgV'''
| Kleinstes gemeinsames Vielfaches
|-
| '''Schnittmenge'''
| Gemeinsame Elemente zweier Mengen
|-
| '''Gruppenproblem'''
| Aufteilen ohne Rest
|-
| '''Rhythmusproblem'''
| Wiederkehrende Ereignisse treffen sich wieder
|}

{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==
<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Teiler || Wie heißt eine Zahl, die eine andere Zahl ohne Rest teilt?
|-
| Vielfache || Wie heißen Zahlen, die durch fortgesetztes Multiplizieren einer Ausgangszahl entstehen?
|-
| Schnittmenge || Wie heißt die Menge der Elemente, die in zwei Mengen gleichzeitig vorkommen?
|-
| Teilermenge || Wie heißt die Menge aller positiven Teiler einer Zahl?
|-
| Gruppierung || Welche Anwendungsidee passt zu möglichst vielen gleichartigen Gruppen ohne Rest?
|-
| Rhythmus || Welches Wort beschreibt regelmäßig wiederkehrende Ereignisse?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==
<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M5+M+Gemeinsame+Teiler+und+Vielfache </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==
<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Zahl ist ein { Teiler } einer anderen Zahl, wenn die Division ohne Rest möglich ist.
Die Menge aller positiven Teiler heißt { Teilermenge }.
Gemeinsame Teiler findet man durch den Vergleich zweier { Teilermengen }.
Der größte gemeinsame Teiler wird mit { ggT } abgekürzt.
Vielfache entstehen durch fortgesetztes { Multiplizieren }.
Der erste gemeinsame Treffer zweier Vielfachenreihen ist das { kgV }.
Beim Aufteilen in möglichst viele gleichartige Gruppen hilft häufig der { ggT }.
Bei regelmäßig wiederkehrenden Ereignissen hilft häufig das { kgV }.
Die gemeinsamen Elemente zweier Mengen bilden die { Schnittmenge }.
Für 6 und 8 ist 24 das kleinste gemeinsame { Vielfache }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Teilermenge|Teilerkarten]]: Schreibe die Zahlen von 1 bis 30 auf Karten. Wähle 18 und finde alle Karten, die 18 ohne Rest teilen. Ordne sie anschließend als Teilerpaare.
# [[Vielfache|Vielfachen-Sprungbild]]: Zeichne eine Zahlengerade von 0 bis 60. Markiere die Vielfachen von 4 mit Bögen und die Vielfachen von 6 mit einer zweiten Bogenart. Kreise gemeinsame Landepunkte ein.
# [[Teilbarkeit|Zahlendetektiv]]: Suche in Deiner Umgebung fünf Zahlen auf Preisschildern, Hausnummern oder Seitenzahlen. Prüfe jeweils, ob sie durch 2, 3, 5 oder 10 teilbar sind.
# [[Gemeinsame Teiler|Mengenmodell]]: Erstelle zwei Kreise als Mengendiagramm für die Teiler von 16 und 24. Trage gemeinsame Teiler in den Überlappungsbereich ein.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Größter gemeinsamer Teiler|Gruppenplan]]: Plane für 30 rote und 45 blaue Spielfiguren möglichst viele gleich ausgestattete Gruppen. Dokumentiere Deinen Rechenweg und erkläre, warum keine größere Gruppenzahl möglich ist.
# [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|Busfahrplan]]: Erfinde zwei Buslinien mit unterschiedlichen Taktzeiten zwischen 4 und 12 Minuten. Bestimme, wann sie nach einem gemeinsamen Start wieder gleichzeitig abfahren, und stelle die Zeiten in einer Tabelle dar.
# [[Zahlengerade|Vielfachen-Animation]]: Erstelle mit einer Präsentations- oder Animationssoftware eine kurze Animation, in der zwei Punktfiguren in unterschiedlichen Schrittweiten auf einer Zahlengerade springen. Zeige den ersten gemeinsamen Treffpunkt.
# [[Mathematik im Alltag|Rhythmus-Interview]]: Befrage jemanden zu einem regelmäßig wiederkehrenden Ablauf, zum Beispiel Training, Bus, Schicht oder Erinnerung. Formuliere daraus eine kgV-Aufgabe und löse sie.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Problemlösen|ggT-oder-kgV-Challenge]]: Erfinde sechs Sachaufgaben, davon drei zu gemeinsamen Teilern und drei zu gemeinsamen Vielfachen. Tausche sie mit einer Partnerperson und begründet jeweils die Methodenwahl.
# [[Fehleranalyse|Fehlerwerkstatt]]: Erfinde drei typische Fehler beim Bestimmen von ggT oder kgV. Schreibe zu jedem Fehler eine falsche Lösung, eine Diagnose und eine verbesserte Lösung.
# [[Mathematisches Modellieren|Schulhof-Rhythmen]]: Beobachte zwei regelmäßig wiederkehrende Abläufe in Schule oder Freizeit. Sammle passende Daten, vereinfache sie zu einem mathematischen Modell und prüfe, ob das kgV eine sinnvolle Antwort liefert.
# [[Erklärvideo|Mini-Lernvideo]]: Produziere ein 2- bis 4-minütiges Erklärvideo, in dem Du den Unterschied zwischen ggT und kgV an zwei selbst gewählten Situationen erklärst. Nutze dabei Zahlentafel, Mengenmodell oder Zahlengerade.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =
# [[Methodenwahl|Werkzeug wählen]]: Erkläre ohne Rechnung, woran Du erkennst, ob eine Sachaufgabe eher mit gemeinsamen Teilern oder mit gemeinsamen Vielfachen gelöst wird. Formuliere je ein eigenes Beispiel.
# [[Argumentieren|Behauptung prüfen]]: Eine Schülerin sagt: „Das kgV zweier Zahlen ist immer ihr Produkt.“ Prüfe die Aussage mit mindestens zwei Gegenbeispielen und erkläre, wann sie trotzdem stimmen kann.
# [[Darstellungen verknüpfen|Darstellungen vergleichen]]: Zeige <math>\operatorname{kgV}(4,6)=12</math> auf zwei verschiedene Arten, zum Beispiel mit Vielfachenreihen und Zahlengerade. Erkläre, was in beiden Darstellungen gleich bleibt.
# [[Transfer|Gruppenproblem verändern]]: Aus 24 roten und 36 blauen Karten werden 24 rote und 42 blaue Karten. Untersuche, wie sich die maximale Anzahl identischer Gruppen verändert, und begründe das Ergebnis.
# [[Fehleranalyse|Falscher Treffpunkt]]: Jemand behauptet, <math>\operatorname{kgV}(6,8)=48</math>, weil 48 in beiden Reihen vorkommt. Erkläre genau, was an der Begründung fehlt und wie die korrekte Lösung gefunden wird.
# [[Mathematische Kommunikation|Vergleich erklären]]: Erkläre einer jüngeren Person den Unterschied zwischen „gemeinsamer Teiler“ und „gemeinsames Vielfaches“, ohne die Wörter „kleiner“ oder „größer“ als einzige Begründung zu verwenden.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =
Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Zusammenhänge begründest.

{| class="wikitable" style="margin:auto;"
! Kompetenz
! Das solltest Du zeigen
|-
| Teiler verstehen
| Teilermengen vollständig und systematisch bestimmen
|-
| gemeinsame Teiler nutzen
| Schnittmengen bilden und den ggT aus ihnen ablesen
|-
| Vielfache verstehen
| Vielfachenreihen korrekt fortsetzen und gemeinsame Treffer erkennen
|-
| kgV nutzen
| den kleinsten gemeinsamen Treffer bestimmen und seine Bedeutung erklären
|-
| Probleme modellieren
| Gruppeneinteilungen als Teilerproblem und Wiederholungsrhythmen als Vielfachenproblem erkennen
|-
| Darstellungen verwenden
| Rechnungen mit Tabellen, Mengenmodell oder Zahlengerade erklären
|-
| Ergebnisse prüfen
| mit Division, Vielfachenreihe oder Gegenprobe kontrollieren
|-
| mathematisch begründen
| erklären, warum ein gefundener Teiler oder ein Vielfaches tatsächlich gemeinsam ist
|}

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =
Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind freie Medien; Urheber- und Lizenzangaben stehen jeweils auf der zugehörigen Dateiseite. Für weiteres selbstständiges Erkunden eignen sich die Wikipedia-Artikel zu Teilbarkeit, ggT und kgV.

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit </iframe>

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'''[[M5 M - Gemeinsame Teiler und Vielfache]]'''
# [[Natürliche Zahlen]]
# [[Multiplikation]]
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# [[Teilbarkeit]]
# [[Teiler (Mathematik)|Teiler]]
# [[Vielfache]]
# [[Größter gemeinsamer Teiler]]
# [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]]
# [[Mengenlehre|Schnittmenge]]
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# [[Sachaufgabe|Sachaufgaben]]
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[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 5]]
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[[Kategorie:Teilbarkeit]]
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= aiMOOC-Projekte =
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M5 M - Gemeinsame Teiler und Vielfache - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt