Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-15T19:44:43Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}
{{BR}}
= M5 E - Zusammengesetzte Flächen untersuchen =

{{BR}}
= Einleitung =
Zusammengesetzte Flächen begegnen Dir in [[Grundriss|Grundrissen]], auf [[Grundstück|Grundstücksplänen]], in Gärten, auf Spielfeldern und bei Figuren auf kariertem Papier. In diesem aiMOOC untersuchst Du einfache Figuren, die sich aus [[Rechteck|Rechtecken]] und [[Quadrat|Quadraten]] zusammensetzen. Du bestimmst ihren '''Flächeninhalt''' und ihren '''Umfang''', indem Du Figuren geschickt '''zerlegst''' oder zu einer einfachen Figur '''ergänzt'''.

Für das E-Niveau ist nicht nur das richtige Ergebnis wichtig. Du sollst auch erklären können, '''warum''' ein Lösungsweg funktioniert, fehlende Längen aus bekannten Längen bestimmen und verschiedene Strategien vergleichen.

[[Datei:HouseFlrPlan.svg|500px|rahmenlos|center]]

Ein Grundriss zeigt besonders gut, warum zusammengesetzte Flächen nützlich sind: Räume und ganze Wohnungen lassen sich oft in Rechtecke zerlegen. Für dieses Thema sind deshalb Raster, Grundrisse, bewegliche Flächenteile und dynamische Geometrie besonders geeignet.

{{BR}}
= Lernziele =
{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:left;"
! Kompetenz
! Das kannst Du am Ende
|-
| [[Flächeninhalt]]
| Du berechnest den Flächeninhalt von Rechtecken mit <math>A=a\cdot b</math> und bestimmst den Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren durch Addieren oder Subtrahieren von Teilflächen.
|-
| [[Umfang]]
| Du verfolgst den Außenrand einer Figur und addierst alle äußeren Seitenlängen.
|-
| [[Zerlegung]]
| Du teilst eine zusammengesetzte Figur in möglichst wenige bekannte Teilfiguren.
|-
| [[Ergänzung]]
| Du ergänzt eine Figur zu einem großen Rechteck und ziehst die fehlende Fläche ab.
|-
| [[Problemlösen]]
| Du erschließt fehlende Seitenlängen aus Gesamt- und Teillängen.
|-
| [[Argumentieren]]
| Du vergleichst zwei Lösungswege und begründest, welcher übersichtlicher oder schneller ist.
|}

{{BR}}
= Grundlagen: Umfang und Flächeninhalt unterscheiden =
'''Umfang''' und '''Flächeninhalt''' beschreiben zwei verschiedene Eigenschaften einer Figur.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Größe
! Leitfrage
! Typische Einheit
! Beispiel Rechteck
|-
| '''Umfang''' <math>U</math>
| Wie lang ist der Rand?
| <math>\mathrm{cm}</math>, <math>\mathrm{m}</math>
| <math>U=2a+2b=2(a+b)</math>
|-
| '''Flächeninhalt''' <math>A</math>
| Wie groß ist die bedeckte Fläche?
| <math>\mathrm{cm}^2</math>, <math>\mathrm{m}^2</math>
| <math>A=a\cdot b</math>
|}

Merke: Eine Längeneinheit wie <math>\mathrm{cm}</math> passt zum Umfang. Eine quadratische Einheit wie <math>\mathrm{cm}^2</math> passt zum Flächeninhalt.

{{BR}}
== Rechteck als Baustein ==
Ein Rechteck mit Länge <math>a</math> und Breite <math>b</math> enthält bei ganzzahligen Seitenlängen <math>a</math> Einheitsquadrate pro Reihe und <math>b</math> Reihen. Deshalb gilt

<math>A_\text{Rechteck}=a\cdot b</math>.

Für den Rand gilt

<math>U_\text{Rechteck}=a+b+a+b=2a+2b</math>.

[[Datei:Illustration for the area of a rectangle.svg|500px|rahmenlos|center]]

Ein Quadrat mit Seitenlänge <math>s</math> ist ein besonderes Rechteck:

<math>A_\text{Quadrat}=s^2</math>

und

<math>U_\text{Quadrat}=4s</math>.

{{BR}}
== Raster und Einheitsquadrate ==
Ein Raster macht Flächen sichtbar. Ein Kästchen mit Seitenlänge <math>1\,\mathrm{cm}</math> hat den Flächeninhalt

<math>1\,\mathrm{cm}^2=1\,\mathrm{cm}\cdot 1\,\mathrm{cm}</math>.

[[Datei:Graph-paper.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Squares in a square grid.svg|500px|rahmenlos|center]]

Beim Zählen von Kästchen erkennst Du die Bedeutung einer Flächeneinheit. Beim Rechnen ersetzt die Multiplikation das einzelne Abzählen.

{{BR}}
= Was ist eine zusammengesetzte Fläche? =
Eine zusammengesetzte Fläche besteht aus mehreren einfachen Teilflächen. In Klasse 5 sind besonders Figuren sinnvoll, deren Seiten waagerecht oder senkrecht verlaufen und die sich aus Rechtecken oder Quadraten zusammensetzen lassen.

[[Datei:Rectilinear polygons.svg|500px|rahmenlos|center]]

Für den Flächeninhalt gibt es zwei besonders wichtige Grundideen:

<math>A_\text{gesamt}=A_1+A_2+\ldots</math> beim '''Zerlegen'''

oder

<math>A_\text{gesamt}=A_\text{groß}-A_\text{Lücke}</math> beim '''Ergänzen'''.

{{BR}}
== Bewegte Zerlegung ==
Die folgende freie Animation zeigt eine L-förmige Figur, die in kleinere, gleichartige Teile zerlegt wird. Beobachte, dass beim Zerschneiden und Verschieben keine Fläche verloren geht und keine Fläche hinzukommt.

[[Datei:Geometrical dissection of an L-triomino (rep-4).gif|500px|rahmenlos|center]]

Die zentrale Idee lautet: Werden Teilstücke nur verschoben oder neu angeordnet, bleibt die gesamte Fläche gleich.

{{BR}}
= Beispiel: Eine L-Fläche auf zwei Arten berechnen =
Wir betrachten eine L-Figur. Das umschließende Rechteck ist <math>10\,\mathrm{cm}</math> breit und <math>8\,\mathrm{cm}</math> hoch. Oben rechts fehlt ein Rechteck mit <math>4\,\mathrm{cm}</math> Breite und <math>3\,\mathrm{cm}</math> Höhe.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! colspan="2" | Schematische Zerlegung der L-Figur
|-
| rowspan="2" | '''Teil A'''<br><math>6\,\mathrm{cm}\times 8\,\mathrm{cm}</math>
| ''Aussparung''<br><math>4\,\mathrm{cm}\times 3\,\mathrm{cm}</math>
|-
| '''Teil B'''<br><math>4\,\mathrm{cm}\times 5\,\mathrm{cm}</math>
|}

Zwei Längen müssen zuerst erschlossen werden:

<math>6\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}</math>

und

<math>5\,\mathrm{cm}=8\,\mathrm{cm}-3\,\mathrm{cm}</math>.

{{BR}}
== Strategie A: Zerlegen und addieren ==
Wir teilen die L-Figur in zwei Rechtecke.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Schritt
! Rechnung
! Ergebnis
|-
| Teil A
| <math>A_1=6\cdot 8</math>
| <math>48\,\mathrm{cm}^2</math>
|-
| Teil B
| <math>A_2=4\cdot 5</math>
| <math>20\,\mathrm{cm}^2</math>
|-
| Gesamt
| <math>A=A_1+A_2=48+20</math>
| <math>68\,\mathrm{cm}^2</math>
|}

Also gilt

<math>\boxed{A=68\,\mathrm{cm}^2}</math>.

{{BR}}
== Strategie B: Ergänzen und abziehen ==
Wir denken uns zuerst das ganze umschließende Rechteck und ziehen die Aussparung ab.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
! Schritt
! Rechnung
! Ergebnis
|-
| Großes Rechteck
| <math>A_\text{groß}=10\cdot 8</math>
| <math>80\,\mathrm{cm}^2</math>
|-
| Fehlendes Rechteck
| <math>A_\text{Lücke}=4\cdot 3</math>
| <math>12\,\mathrm{cm}^2</math>
|-
| Gesuchte Fläche
| <math>A=80-12</math>
| <math>68\,\mathrm{cm}^2</math>
|}

Auch hier gilt

<math>\boxed{A=68\,\mathrm{cm}^2}</math>.

{{BR}}
== Zwei richtige Wege vergleichen ==
Beide Strategien müssen denselben Flächeninhalt liefern. Genau das macht sie zu einer guten gegenseitigen Kontrolle.

[[Datei:Rectangle partitions 4.svg|500px|rahmenlos|center]]

Das Bild zeigt, dass ein Rechteck auf verschiedene Arten in kleinere Rechtecke zerlegt werden kann. Für eine Rechnung ist meist die Zerlegung günstig, die '''wenige Teilflächen''' erzeugt und deren Seitenlängen leicht ablesbar oder berechenbar sind.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:left;"
! Strategie
! Besonders günstig, wenn ...
! Denkregel
|-
| '''Zerlegen'''
| die Figur klar in wenige Rechtecke geteilt werden kann
| Teilflächen berechnen und addieren
|-
| '''Ergänzen'''
| eine Figur fast ein großes Rechteck ist und nur eine kleine Aussparung fehlt
| große Fläche minus fehlende Fläche
|-
| '''Zweiter Lösungsweg'''
| Du Dein Ergebnis prüfen möchtest
| Dasselbe Problem anders rechnen
|}

{{BR}}
= Umfang einer zusammengesetzten Figur =
Beim Umfang zählt '''nur der äußere Rand'''. Innere Trennlinien einer Zerlegung gehören nicht zum Umfang der Gesamtfigur.

Für die L-Figur aus dem Beispiel gehen wir einmal vollständig um den Rand:

<math>U=6+3+4+5+10+8</math>

<math>U=36\,\mathrm{cm}</math>.

Ein häufiger Fehler wäre, die Umfänge der beiden Teilrechtecke einfach zu addieren:

<math>U_1=2\cdot 6+2\cdot 8=28\,\mathrm{cm}</math>

<math>U_2=2\cdot 4+2\cdot 5=18\,\mathrm{cm}</math>.

Dann entstünde zunächst <math>46\,\mathrm{cm}</math>. Die gemeinsame Innenkante von <math>5\,\mathrm{cm}</math> wurde dabei aber zweimal mitgezählt. Deshalb müsste man korrigieren:

<math>U=28+18-2\cdot 5=36\,\mathrm{cm}</math>.

Für Klasse 5 ist meistens der sicherste Weg: '''Außenrand verfolgen, jede Außenkante genau einmal notieren und addieren.'''

{{BR}}
== Fehlende Längen erschließen ==
Nicht jede Seitenlänge muss direkt angegeben sein. Bei rechtwinkligen Stufenfiguren kannst Du oft Gesamt- und Teilstrecken vergleichen.

Wenn eine gesamte Höhe <math>8\,\mathrm{cm}</math> beträgt und ein oberer Abschnitt <math>3\,\mathrm{cm}</math> hoch ist, dann ist der Rest

<math>8-3=5</math>,

also <math>5\,\mathrm{cm}</math>.

Wenn eine Gesamtbreite <math>10\,\mathrm{cm}</math> beträgt und rechts <math>4\,\mathrm{cm}</math> fehlen, bleibt

<math>10-4=6</math>,

also <math>6\,\mathrm{cm}</math>.

'''E-Niveau-Tipp:''' Markiere gleiche Höhen und Breiten gedanklich als Streifen. Frage immer: Welche Teilstrecken ergeben zusammen die Gesamtstrecke?

{{BR}}
= Anwendungen: Grundriss, Grundstück und Raster =

{{BR}}
== Grundrisse ==
In einem Grundriss kannst Du Räume als Teilflächen auffassen. Ein verwinkelter Raum lässt sich zum Beispiel in zwei Rechtecke zerlegen. Ein fast rechteckiger Raum mit Nische lässt sich oft leichter durch Ergänzen berechnen.

[[Datei:HouseFlrPlan.svg|500px|rahmenlos|center]]

Prüffragen für einen Grundriss: Welche Linien gehören zum Außenrand? Welche Innenwände trennen nur Teilflächen? Welche Maße fehlen noch? Welche Strategie benötigt weniger Rechnungen?

{{BR}}
== Grundstücke und Katasterpläne ==
Auch Grundstücke können zusammengesetzte Flächen bilden. In echten Plänen sind Formen häufig komplizierter als im Schulbuch. Für Klasse 5 vereinfachen wir sie auf rechtwinklige Teilflächen.

[[Datei:Plan cadastral.png|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Plots Of Land.svg|500px|rahmenlos|center]]

Bei einer Grundstücksaufgabe kann der Umfang zum Beispiel für die Länge eines Zauns wichtig sein, der Flächeninhalt dagegen für die Größe einer Rasenfläche.

{{BR}}
== Rasterdarstellung und Flächenmodell ==
Raster helfen beim Schätzen und Zählen. In Karten und digitalen Modellen kann eine Fläche als Raster oder als genau begrenzte Polygonfläche dargestellt werden.

[[Datei:Area in spatial raster and vector data.svg|500px|rahmenlos|center]]

Für Deine Aufgaben genügt die Idee: Je klarer Du eine Fläche in bekannte Bausteine zerlegen kannst, desto leichter lässt sie sich berechnen.

{{BR}}
= Dynamische Geometrie und interaktive Zerlegungen =
Verändere in den folgenden GeoGebra-Materialien Figuren und Maße. Notiere jeweils zuerst eine Vermutung, rechne anschließend und kontrolliere Dein Ergebnis in der dynamischen Darstellung.

'''Interaktive Zerlegung einer zusammengesetzten Figur:'''
<iframe> https://www.geogebra.org/m/mdmfqmtk </iframe>

'''Flächenbausteine verschieben, drehen und zu neuen Figuren zusammensetzen:'''
<iframe> https://www.geogebra.org/m/fw7PfwQT </iframe>

'''Flächeninhalt eines Rechtecks als Grundlage untersuchen:'''
<iframe> https://www.geogebra.org/m/zrvndw67 </iframe>

Arbeitsauftrag: Erzeuge oder betrachte mindestens drei verschiedene Figuren. Finde für jede Figur einen Zerlegungsweg. Suche anschließend nach einer Ergänzungsstrategie und vergleiche die Anzahl der Rechenschritte.

{{BR}}
= Videoimpulse =
Das erste Video erklärt die Flächenberechnung zusammengesetzter Flächen mit Zerlegungsstrategien.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=d_nj9BN1MME |500|center}}

Das zweite Video behandelt zusammengesetzte Flächen aus Rechtecken und Quadraten sowie Umfang und Flächeninhalt.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=YPWYwgoIvRc |500|center}}

Stoppe ein Video vor einem Rechenschritt und versuche, den nächsten Schritt selbst vorherzusagen. Vergleiche danach Deinen Weg mit dem gezeigten Weg.

{{BR}}
= Visuelle Schritt-für-Schritt-Strategie =
{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:left;"
! Schritt
! Deine Frage
! Mathematische Aktion
|-
| '''1. Verstehen'''
| Suche ich Umfang oder Flächeninhalt?
| Einheit festlegen: Länge oder Quadrat-Einheit
|-
| '''2. Markieren'''
| Welche Längen kenne ich, welche fehlen?
| Fehlende Längen mit Addition oder Subtraktion bestimmen
|-
| '''3. Strategie wählen'''
| Ist Zerlegen oder Ergänzen kürzer?
| Hilfslinien einzeichnen oder umschließendes Rechteck denken
|-
| '''4. Rechnen'''
| Welche Rechteckflächen brauche ich?
| <math>A=a\cdot b</math> für jede benötigte Rechteckfläche
|-
| '''5. Zusammensetzen'''
| Muss ich addieren oder subtrahieren?
| <math>A=\sum A_i</math> oder <math>A=A_\text{groß}-A_\text{Lücke}</math>
|-
| '''6. Kontrollieren'''
| Passt Einheit und Größenordnung?
| Zweiten Lösungsweg, Raster oder Überschlag verwenden
|}

{{BR}}
= Typische Fehler und wie Du sie vermeidest =
{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:left;"
! Typischer Fehler
! Warum problematisch?
! Bessere Strategie
|-
| Umfang und Flächeninhalt verwechselt
| Randlänge und Flächengröße sind verschiedene Größen
| Erst Leitfrage und Einheit notieren
|-
| Innere Zerlegungslinie zum Umfang addiert
| Eine Innenkante gehört nicht zum Außenrand
| Außenrand mit dem Finger oder Stift einmal vollständig verfolgen
|-
| Teilflächen überlappen
| Überlappte Bereiche werden doppelt gezählt
| Hilfslinien so wählen, dass Teilflächen lückenlos und überlappungsfrei sind
|-
| Beim Ergänzen die Lücke addiert
| Die Lücke gehört nicht zur gesuchten Figur
| <math>A=A_\text{groß}-A_\text{Lücke}</math> notieren
|-
| Fehlende Länge geraten
| Die Rechnung ist dann nicht begründet
| Gesamtstrecke in bekannte Teilstrecken zerlegen
|-
| Einheit <math>\mathrm{cm}</math> statt <math>\mathrm{cm}^2</math>
| Flächeninhalt braucht eine quadratische Einheit
| Vor dem Ergebnis prüfen: Rand oder Fläche?
|}

{{BR}}
= Medien- und Lizenzhinweise =
Die eingebundenen Abbildungen und Animationen stammen aus Wikimedia Commons. Die genauen Urheber- und Lizenzangaben sind jeweils über die Dateiseite erreichbar. Verwendet werden unter anderem freie beziehungsweise gemeinfreie Medien unter CC0, Public Domain, CC BY, CC BY-SA, GFDL oder GPL. Die YouTube-Videos werden eingebettet; Lizenz und Verfügbarkeit liegen beim jeweiligen Anbieter.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:left;"
! Medium
! Lizenzhinweis laut Wikimedia Commons
|-
| Graph-paper.svg
| CC BY-SA und GFDL
|-
| Squares in a square grid.svg
| Public Domain
|-
| Rectilinear polygons.svg
| Public Domain
|-
| Illustration for the area of a rectangle.svg
| CC0
|-
| HouseFlrPlan.svg
| GPL
|-
| Plan cadastral.png
| CC BY-SA 4.0
|-
| Area in spatial raster and vector data.svg
| CC BY-SA 4.0
|-
| Rectangle partitions 4.svg
| CC0
|-
| Geometrical dissection of an L-triomino rep-4
| CC BY-SA 3.0 und GFDL
|-
| Plots Of Land.svg
| CC BY 4.0
|}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Rechtecks?'''
(A gleich Länge mal Breite)
(!A gleich Länge plus Breite)
(!U gleich Länge mal Breite)
(!U gleich Länge plus Breite)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was machst Du beim Zerlegen einer zusammengesetzten Fläche?'''
(Du berechnest Teilflächen und addierst sie)
(!Du addierst nur alle Außenkanten)
(!Du verdoppelst jede Seitenlänge)
(!Du ziehst immer die größte Fläche ab)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist die Grundidee beim Ergänzen?'''
(Große einfache Fläche minus fehlende Fläche)
(!Alle Teilumfänge addieren)
(!Nur die längste Seite verwenden)
(!Jede Seitenlänge quadrieren)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Einheit passt zu einem Flächeninhalt?'''
(Quadratzentimeter)
(!Zentimeter)
(!Liter)
(!Sekunde)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gehört beim Umfang einer zusammengesetzten Figur in die Rechnung?'''
(Nur die Kanten des Außenrandes)
(!Alle eingezeichneten Hilfslinien)
(!Nur die waagerechten Kanten)
(!Nur die längste Kante)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist die Fläche des Beispiel-L, wenn das große Rechteck 80 Quadratzentimeter und die Lücke 12 Quadratzentimeter groß ist?'''
(68 Quadratzentimeter)
(!92 Quadratzentimeter)
(!80 Quadratzentimeter)
(!12 Quadratzentimeter)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Eine Gesamthöhe ist 8 Zentimeter, ein oberer Teil ist 3 Zentimeter hoch. Wie hoch ist der Rest?'''
(5 Zentimeter)
(!11 Zentimeter)
(!24 Zentimeter)
(!3 Zentimeter)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum darfst Du die Umfänge zweier Teilrechtecke nicht einfach addieren?'''
(Gemeinsame Innenkanten würden doppelt gezählt)
(!Flächen dürfen niemals zerlegt werden)
(!Rechtecke haben keinen Umfang)
(!Die Außenkanten verschwinden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was sollte bei zwei korrekten Lösungswegen für dieselbe Figur gleich sein?'''
(Der berechnete Flächeninhalt)
(!Die Anzahl der Rechenschritte)
(!Die Anzahl der Teilrechtecke)
(!Die eingezeichneten Hilfslinien)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist Ergänzen oft besonders praktisch?'''
(Wenn nur eine kleine rechteckige Aussparung aus einem großen Rechteck fehlt)
(!Wenn gar keine Seitenlänge bekannt ist)
(!Wenn nur der Umfang gesucht wird)
(!Wenn die Figur keinen rechten Winkel besitzt)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==
<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Zerlegen || Teilflächen addieren
|-
| Ergänzen || Ergänzungsfläche abziehen
|-
| Umfang || Länge des Außenrandes
|-
| Flächeninhalt || Größe der bedeckten Fläche
|-
| Rechteckformel || Länge mal Breite
|-
| Kontrollweg || Zweite Strategie prüfen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==
<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Teilflächen addieren'''
| Zerlegen
|-
| '''Großes Rechteck minus Lücke'''
| Ergänzen
|-
| '''Außenrand verfolgen'''
| Umfang
|-
| '''Quadratische Einheit verwenden'''
| Flächeninhalt
|-
| '''Gesamtstrecke minus Teilstrecke'''
| Fehlende Länge
|-
| '''Anderen Rechenweg verwenden'''
| Kontrolle

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==
<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Rechteck || Welche einfache Figur ist der wichtigste Baustein beim Zerlegen?
|-
| Umfang || Wie heißt die Länge des gesamten Außenrandes?
|-
| Flächeninhalt || Welche Größe beschreibt, wie viel Fläche eine Figur bedeckt?
|-
| Zerlegen || Wie heißt die Strategie, bei der eine Figur in Teilflächen geteilt wird?
|-
| Ergänzen || Wie heißt die Strategie, bei der eine Figur zu einer einfachen Gesamtfigur vervollständigt wird?
|-
| Raster || Wie heißt ein Netz aus Kästchen, das beim Zählen von Flächeneinheiten hilft?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==
<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M5+E+-+Zusammengesetzte+Flächen+untersuchen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==
<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Der Umfang beschreibt die Länge des { Außenrandes }.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks wird mit Länge mal { Breite } berechnet.
Beim Zerlegen wird eine zusammengesetzte Figur in bekannte { Teilflächen } aufgeteilt.
Die Flächeninhalte der Teilflächen werden beim Zerlegen { addiert }.
Beim Ergänzen wird eine fehlende Fläche von einer größeren Fläche { abgezogen }.
Eine Flächeneinheit wird quadratisch geschrieben, zum Beispiel { Quadratzentimeter }.
Innere Hilfslinien gehören nicht zum { Umfang } der Gesamtfigur.
Fehlende Seitenlängen können häufig aus Gesamtstrecken und bekannten Teilstrecken durch { Subtraktion } bestimmt werden.
Zwei korrekte Strategien müssen für dieselbe Figur denselben { Flächeninhalt } ergeben.
Ein zweiter Lösungsweg eignet sich besonders gut zur { Kontrolle }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Raster]]: Zeichne auf kariertem Papier eine L-Figur aus mindestens 20 Kästchen. Bestimme den Flächeninhalt zuerst durch Zählen und danach durch Zerlegen in Rechtecke.
# [[Flächeninhalt]]: Färbe in einer selbst gezeichneten zusammengesetzten Figur zwei verschiedene mögliche Zerlegungen. Berechne beide Wege und vergleiche die Ergebnisse.
# [[Umfang]]: Zeichne eine Stufenfigur, fahre ihren Außenrand mit einem farbigen Stift nach und notiere jede Außenkante genau einmal in einer Umfangsrechnung.
# [[Grundriss]]: Skizziere einen erfundenen kleinen Raumgrundriss aus Rechtecken und markiere, welche Maße Du für Flächeninhalt und Umfang brauchst.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Rechteck]]: Erfinde eine zusammengesetzte Figur mit Flächeninhalt <math>36\,\mathrm{cm}^2</math>. Berechne sie einmal durch Zerlegen und einmal durch Ergänzen.
# [[Problemlösen]]: Zeichne eine L-Figur mit mindestens zwei nicht direkt angegebenen Seitenlängen. Tausche die Aufgabe mit einer anderen Person und erklärt Euch gegenseitig, wie die fehlenden Längen bestimmt werden.
# [[Grundstück]]: Entwirf auf Rasterpapier ein vereinfachtes Grundstück mit rechteckiger Aussparung. Berechne Fläche und benötigte Zaunlänge und beschrifte alle Einheiten korrekt.
# [[GeoGebra]]: Verändere in einer dynamischen Flächenaufgabe Maße oder Teilflächen. Dokumentiere drei Varianten in einer Tabelle mit Zerlegungsweg, Ergänzungsweg und Ergebnis.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Flächenvergleich]]: Konstruiere zwei unterschiedliche Figuren mit demselben Flächeninhalt, aber verschiedenem Umfang. Begründe mathematisch, warum das möglich ist.
# [[Optimierung]]: Untersuche mehrere Rechtecke mit demselben Flächeninhalt. Vergleiche ihre Umfänge und formuliere eine Vermutung dazu, welche Form einen besonders kleinen Umfang hat.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde drei typische falsche Lösungen zu einer zusammengesetzten Fläche, zum Beispiel doppelt gezählte Innenkante, falsche Einheit oder falsches Vorzeichen beim Ergänzen. Korrigiere und erkläre jeden Fehler.
# [[Erklärvideo]]: Plane ein kurzes Erklärvideo oder eine Bilderfolge, in der Du dieselbe L-Figur mit Zerlegen und Ergänzen löst und am Ende beide Strategien bewertest.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =
# [[Strategievergleich]]: Eine L-Figur entsteht aus einem Rechteck <math>12\,\mathrm{cm}\times 9\,\mathrm{cm}</math>, aus dessen Ecke ein Rechteck <math>5\,\mathrm{cm}\times 4\,\mathrm{cm}</math> entfernt wird. Berechne den Flächeninhalt durch Ergänzen und entwickle zusätzlich einen Zerlegungsweg. Erkläre, welcher Weg hier kürzer ist.
# [[Umfang und Flächeninhalt]]: Zwei Figuren bestehen jeweils aus acht gleich großen Einheitsquadraten. Entwickle zwei Anordnungen mit unterschiedlichem Umfang und erkläre, warum der Flächeninhalt trotzdem gleich bleibt.
# [[Grundriss]]: Ein verwinkelter Raum soll mit Bodenbelag ausgelegt und an den Außenwänden mit Sockelleisten versehen werden. Erkläre, welche Größe Du für den Bodenbelag und welche Du für die Sockelleisten brauchst, und beschreibe passende Rechenstrategien.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Schülerin addiert beim Umfang die Umfänge aller Teilrechtecke. Erkläre genau, wo dabei Überzählungen entstehen und wie Du den Fehler ohne Neuzeichnen korrigieren könntest.
# [[Modellieren]]: Entwirf eine zusammengesetzte Fläche, bei der Zerlegen deutlich günstiger ist als Ergänzen. Entwirf danach eine zweite Figur, bei der Ergänzen günstiger ist. Begründe jeweils Deine Entscheidung.
# [[Plausibilitätsprüfung]]: Jemand erhält für eine Figur, die vollständig in einem Rechteck von <math>10\,\mathrm{cm}\times 8\,\mathrm{cm}</math> liegt, einen Flächeninhalt von <math>94\,\mathrm{cm}^2</math>. Beurteile das Ergebnis ohne die Figur vollständig nachzurechnen und begründe Deine Entscheidung.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =
Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deinen Weg nachvollziehbar darstellst.
# [[Flächeninhalt]]: Du verwendest <math>A=a\cdot b</math> sicher für Rechtecke und gibst eine passende quadratische Einheit an.
# [[Umfang]]: Du erkennst den Außenrand und addierst jede Außenkante genau einmal.
# [[Zerlegung]]: Du zerlegst eine einfache zusammengesetzte Figur lückenlos und ohne Überlappung in geeignete Rechtecke.
# [[Ergänzung]]: Du ergänzt zu einer einfachen Gesamtfigur und ziehst fehlende Teilflächen korrekt ab.
# [[Fehlende Länge]]: Du leitest nicht angegebene Seitenlängen aus Gesamt- und Teilstrecken her.
# [[Strategievergleich]]: Du kannst zwei richtige Lösungswege vergleichen und begründet einen günstigen Weg auswählen.
# [[Kontrolle]]: Du prüfst Einheit, Größenordnung und Ergebnis mit einem zweiten Weg, einem Raster oder einem Überschlag.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =
Der Wikipedia-Artikel zum Flächeninhalt bietet weiterführende Informationen zu Flächenformeln und zum Zerlegen von Polygonen.

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt </iframe>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =
{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Zusammengesetzte Flächen]]'''
# [[Flächeninhalt]]
# [[Umfang]]
# [[Rechteck]]
# [[Quadrat]]
# [[Zerlegung]]
# [[Grundriss]]
# [[Raster]]
# [[Problemlösen]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Flächeninhalt]]
[[Kategorie:Umfang]]
[[Kategorie:Klasse 5]]
[[Kategorie:E-Niveau]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M5 E - Zusammengesetzte Flächen untersuchen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt