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2026-09-15T19:44:54Z

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{{T}}

{{BR}}
= Einleitung =

'''M5 E - Vermutungen entwickeln und prüfen''' führt Dich in eine besonders wichtige Arbeitsweise der [[Mathematik]] ein: Du beobachtest ein Muster, formulierst daraus eine '''Vermutung''', prüfst sie systematisch und suchst bewusst nach einem '''Gegenbeispiel'''. Erst danach entscheidest Du, ob Deine Vermutung widerlegt ist, weiterhin plausibel erscheint oder bereits durch eine tragfähige '''Begründung''' abgesichert werden kann.

Mathematik bedeutet dabei nicht nur Rechnen. Du lernst, Fragen zu stellen wie: '''„Ist das immer so?“''', '''„Welche Voraussetzung brauche ich?“''', '''„Kann ich ein Gegenbeispiel finden?“''' und '''„Warum muss das für alle passenden Fälle gelten?“'''

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center"
! Schritt
! Forscherfrage
! Beispiel
|-
| '''Beobachten'''
| Was fällt auf?
| <math>1,4,9,16,25,\ldots</math>
|-
| '''Vermuten'''
| Welche Regel könnte gelten?
| „Die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Quadratzahlen sind ungerade.“
|-
| '''Prüfen'''
| Gilt die Aussage für viele gezielt gewählte Beispiele?
| <math>4-1=3,\;9-4=5,\;16-9=7,\;25-16=9</math>
|-
| '''Gegenbeispiel suchen'''
| Gibt es einen passenden Fall, in dem die Aussage falsch ist?
| Suche nicht zufällig, sondern an kritischen Stellen.
|-
| '''Begründen'''
| Warum gilt die Aussage immer?
| Ein neues Quadrat erhält einen L-förmigen Rand aus einer ungeraden Anzahl zusätzlicher Kästchen.
|}

[[Datei:SquareNumbers.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

# [[Vermutung|mathematische Vermutungen]] aus Zahlen, Figuren, Tabellen und Experimenten entwickeln.
# Vermutungen als klare Aussagen formulieren, zum Beispiel mit '''immer''', '''für alle''' oder in einer '''Wenn-Dann-Form'''.
# Beispiele '''systematisch''' auswählen, statt nur ein oder zwei zufällige Fälle zu testen.
# gezielt nach [[Gegenbeispiel|Gegenbeispielen]] suchen.
# erklären, warum viele passende Beispiele eine Vermutung stützen, aber eine allgemeine Aussage noch nicht automatisch beweisen.
# zwischen '''Vermutung''', '''Prüfung''' und '''Begründung''' unterscheiden.
# mathematische Zusammenhänge mit <math>\text{Zahlen}</math>, Tabellen, Bildern, Zahlengeraden, geometrischen Modellen und digitalen Simulationen untersuchen.

{{BR}}
= Der mathematische Forscherzyklus =

Eine Vermutung ist eine Aussage, die aufgrund von Beobachtungen sinnvoll erscheint, deren allgemeine Gültigkeit aber noch geprüft werden muss.

<math>\boxed{\text{Beobachten} \rightarrow \text{Vermuten} \rightarrow \text{Prüfen} \rightarrow \text{Gegenbeispiel suchen} \rightarrow \text{Begründen}}</math>

'''Wichtig:''' Bei Aussagen der Form „Für alle … gilt …“ reichen viele richtige Beispiele allein nicht als Begründung. Ein einziges echtes Gegenbeispiel reicht dagegen aus, um eine solche allgemeine Aussage zu widerlegen.

{| class="wikitable"
! Aussage
! Was leisten Beispiele?
! Was leistet ein Gegenbeispiel?
! Was leistet eine Begründung?
|-
| „Für jede passende Zahl gilt …“
| Sie machen die Vermutung plausibler.
| Ein passender falscher Fall widerlegt die Aussage.
| Sie erklärt, warum kein passender Fall scheitern kann.
|-
| „Es gibt mindestens eine Zahl mit …“
| Ein passendes Beispiel kann die Existenz bereits zeigen.
| Ein einzelner anderer Fall widerlegt die Aussage nicht.
| Sie kann erklären, warum ein solches Beispiel existiert.
|}

{{BR}}
== Vermutung oder Begründung? ==

'''Vermutung:'''
<math>3+5=8,\quad 7+9=16,\quad 11+13=24</math>

Daraus könntest Du vermuten:

<math>\text{„Die Summe zweier ungerader Zahlen ist immer gerade.“}</math>

'''Prüfung an weiteren Beispielen:'''
<math>1+19=20,\quad 25+101=126,\quad 999+3=1002</math>

'''Begründungsidee:''' Jede ungerade Zahl besteht aus Zweierpaketen und einem einzelnen Rest. Addierst Du zwei ungerade Zahlen, bilden die beiden einzelnen Reste zusammen wieder ein Zweierpaket. Deshalb ist die Summe gerade.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center"
! Darstellung
! Erste ungerade Zahl
! Zweite ungerade Zahl
! Summe
|-
| Zweierpakete plus Rest
| <math>2a+1</math>
| <math>2b+1</math>
| <math>2a+1+2b+1=2(a+b+1)</math>
|}

Die letzte Zeile ist ein '''E-Niveau-Ausblick''': Du musst die Buchstabenrechnung noch nicht vollständig beherrschen. Sie zeigt aber, wie eine Begründung viele Einzelfälle gleichzeitig erfassen kann.

{{BR}}
= Zahlenmuster untersuchen =

Zahlenmuster sind gute Orte für Vermutungen. Aber Vorsicht: Wenige Anfangswerte legen eine Regel nicht immer eindeutig fest.

<math>2,\;4,\;6,\;\ldots</math>

Eine naheliegende Regel lautet „immer <math>+2</math>“, also wäre die nächste Zahl <math>8</math>. Man könnte aber auch eine andere Regel erfinden, die mit <math>2,4,6</math> beginnt. Deshalb gehört zu einer guten Vermutung immer eine möglichst klare Beschreibung der vermuteten Regel.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=wHyqq-WAn1g |500|center}}

{{BR}}
== Dynamisches Experiment: Zahlenfolgen ==

Bewege den Regler und beobachte, wie sich die Folge verändert. Formuliere zuerst eine Vermutung, bevor Du die Kontrolle benutzt.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/Bqn6WnCe </iframe>

Untersuche anschließend verschiedene Zahlenmuster:

<iframe> https://www.geogebra.org/m/b5apx95m </iframe>

'''Forscherprotokoll:'''

{| class="wikitable"
! Beobachtung
! Vermutung
! Prüfwerte
! Gegenbeispiel gefunden?
! Begründungsidee
|-
| Die Folge wächst gleichmäßig.
| Von einem Glied zum nächsten wird dieselbe Zahl addiert.
| <math>a_1,a_2,a_3,a_4,a_5</math>
| ja / nein
| Vergleiche alle Differenzen <math>a_{n+1}-a_n</math>.
|}

{{BR}}
== Quadratzahlen: Eine Vermutung wächst als Figur ==

[[Datei:SquareNumbers.svg|500px|rahmenlos|center]]

Die ersten Quadratzahlen sind:

<math>1^2=1,\quad 2^2=4,\quad 3^2=9,\quad 4^2=16,\quad 5^2=25</math>

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center"
! <math>n</math>
! <math>n^2</math>
! Zuwachs zur nächsten Quadratzahl
|-
| <math>1</math>
| <math>1</math>
| <math>4-1=3</math>
|-
| <math>2</math>
| <math>4</math>
| <math>9-4=5</math>
|-
| <math>3</math>
| <math>9</math>
| <math>16-9=7</math>
|-
| <math>4</math>
| <math>16</math>
| <math>25-16=9</math>
|-
| <math>5</math>
| <math>25</math>
| <math>36-25=11</math>
|}

'''Vermutung:''' Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist immer ungerade.

Visuell wächst ein <math>n\times n</math>-Quadrat zu einem <math>(n+1)\times(n+1)</math>-Quadrat. Der neue L-Rand besteht aus

<math>n+(n+1)=2n+1</math>

Kästchen. <math>2n+1</math> ist ungerade. Damit wird aus dem beobachteten Muster eine Begründungsidee.

{{BR}}
== Dreieckszahlen: Muster in einer Tabelle ==

[[Datei:TriangleNumbers.svg|500px|rahmenlos|center]]

Die ersten Dreieckszahlen entstehen durch

<math>1,\quad 1+2,\quad 1+2+3,\quad 1+2+3+4,\ldots</math>

also

<math>1,\;3,\;6,\;10,\;15,\ldots</math>

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center"
! Stufe
! Punkte
! Zuwachs
|-
| erste Stufe
| <math>1</math>
| Start
|-
| zweite Stufe
| <math>3</math>
| <math>+2</math>
|-
| dritte Stufe
| <math>6</math>
| <math>+3</math>
|-
| vierte Stufe
| <math>10</math>
| <math>+4</math>
|-
| fünfte Stufe
| <math>15</math>
| <math>+5</math>
|}

'''Forscherauftrag:''' Vermute die nächsten drei Werte. Prüfe Deine Regel nicht nur an der nächsten Stufe, sondern an mehreren Stufen.

{{BR}}
== Pascalsches Dreieck: Viele Vermutungen in einem Bild ==

[[Datei:Pascal triangle.svg|500px|rahmenlos|center]]

Im [[Pascalsches Dreieck|Pascalschen Dreieck]] entsteht jede innere Zahl aus der Summe der beiden schräg darüberliegenden Zahlen.

<math>
\begin{array}{ccccccccc}
&&&&1&&&&\\
&&&1&&1&&&\\
&&1&&2&&1&&\\
&1&&3&&3&&1&\\
1&&4&&6&&4&&1
\end{array}
</math>

Mögliche Vermutungen:

# Die Randzahlen sind immer <math>1</math>.
# Jede Zeile ist spiegelsymmetrisch.
# Die Summe der Zahlen einer Zeile scheint sich jeweils zu verdoppeln.
# Bestimmte Zahlenmuster tauchen diagonal auf.

Prüfe jede Vermutung an mindestens drei Zeilen. Markiere außerdem, welche Vermutungen Du schon begründen kannst und welche zunächst nur beobachtet sind.

{{BR}}
= Systematisch prüfen statt zufällig probieren =

Wenn Du eine Vermutung testen willst, sind '''gezielt ausgewählte Beispiele''' stärker als bloß zufällige Beispiele.

{| class="wikitable"
! Art des Tests
! Geeignete Beispiele
! Warum?
|-
| kleine Werte
| <math>0,1,2,3</math>
| Randfälle und Sonderfälle fallen schnell auf.
|-
| größere Werte
| zum Beispiel <math>50,101,999</math>
| Die Regel soll nicht nur bei kleinen Zahlen funktionieren.
|-
| gerade und ungerade Zahlen
| <math>8,9,24,25</math>
| Parität kann entscheidend sein.
|-
| Zahlen mit Null
| <math>0,10,100</math>
| Null verändert manche Rechenregeln oder Aussagen.
|-
| gleiche und verschiedene Werte
| <math>a=b</math> sowie <math>a\neq b</math>
| Manche Aussagen gelten nur unter Zusatzbedingungen.
|-
| Figuren in anderer Lage
| drehen, spiegeln, verschieben
| Die Form kann gleich bleiben, obwohl die Lage anders ist.
|}

[[Datei:NumberLineIntegers.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Dynamische Zahlengerade: Vermuten, setzen, kontrollieren ==

Vermute zuerst die Position eines Bruchs. Verschiebe danach die Punkte auf der Zahlengeraden und prüfe Deine Vermutung.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/ZqdRT6Qn </iframe>

'''Beispiel:'''

<math>\frac12=\frac24=\frac36</math>

Alle drei Brüche liegen an derselben Stelle der Zahlengeraden. Die Darstellung macht sichtbar, dass unterschiedliche Schreibweisen denselben Wert besitzen können.

{{BR}}
= Gegenbeispiele gezielt suchen =

Ein Gegenbeispiel muss '''alle Voraussetzungen''' der Vermutung erfüllen, aber die behauptete Folgerung verletzen.

{| class="wikitable"
! Vermutung
! Gezielter Test
! Ergebnis
|-
| „Wenn die Quersumme gerade ist, ist die Zahl gerade.“
| <math>13</math> hat die Quersumme <math>1+3=4</math>.
| <math>13</math> ist ungerade. Die Vermutung ist widerlegt.
|-
| „Je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch.“
| Vergleiche <math>\frac14</math> und <math>\frac56</math>.
| <math>\frac56>\frac14</math>. Ohne Zusatzbedingung ist die Vermutung falsch.
|-
| „Wenn man die Seitenlänge eines Quadrats verdoppelt, verdoppelt sich seine Fläche.“
| <math>2^2=4</math> und <math>4^2=16</math>.
| Die Fläche vervierfacht sich. Die Vermutung ist widerlegt.
|-
| „Jede Figur aus sechs zusammenhängenden Quadraten ist ein Würfelnetz.“
| Falte verschiedene Anordnungen.
| Manche Anordnungen überlappen beim Falten. Die Vermutung ist falsch.
|}

'''Strategie zur Gegenbeispielsuche:'''

<math>\boxed{\text{Voraussetzung festhalten} \rightarrow \text{kritischen Fall wählen} \rightarrow \text{Behauptung prüfen}}</math>

{{BR}}
== Beispiel: Quersumme und Parität ==

Behauptung:

<math>\text{„Ist die Quersumme gerade, dann ist auch die Zahl gerade.“}</math>

Teste nicht nur Zahlen wie <math>24</math> oder <math>42</math>, denn dort passt die Aussage zufällig:

<math>2+4=6,\quad 4+2=6</math>

Suche gezielt eine '''ungerade''' Zahl mit gerader Quersumme:

<math>13:\quad 1+3=4</math>

Damit ist <math>13</math> ein Gegenbeispiel. Eine einzige passende Zahl genügt, um die allgemeine Aussage zu widerlegen.

{{BR}}
= Stellenwertsystem als Experiment =

[[Datei:Base ten blocks (light).svg|500px|rahmenlos|center]]

Unser [[Dezimalsystem|Stellenwertsystem]] bündelt jeweils zehn Einheiten einer Stelle zu einer Einheit der nächsthöheren Stelle:

<math>10\cdot 1=10,\quad 10\cdot 10=100,\quad 10\cdot 100=1000</math>

'''Vermutung:''' Multipliziert man eine natürliche Zahl mit <math>10</math>, verschiebt sich jede Ziffer um eine Stelle nach links und an der Einerstelle steht eine Null.

Prüfe zum Beispiel:

<math>7\cdot10=70</math>

<math>43\cdot10=430</math>

<math>508\cdot10=5080</math>

Verändere nun selbst Zahlen im Stellenwertmodell:

<iframe> https://www.geogebra.org/m/WSCERsuF </iframe>

'''Gegenbeispielsuche:''' Prüfe besonders Zahlen, in denen bereits eine Null vorkommt, zum Beispiel <math>304</math> oder <math>1020</math>. Entscheide danach, ob die Vermutung für natürliche Zahlen standhält.

{{BR}}
= Brüche: Voraussetzungen genau beachten =

[[Datei:Frac25.svg|350px|rahmenlos|center]]

Bei Brüchen können Vermutungen leicht falsch werden, wenn eine Voraussetzung fehlt.

'''Zu grobe Vermutung:'''

<math>\text{„Je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch.“}</math>

Gegenbeispiel:

<math>\frac56>\frac14</math>

'''Verbesserte Vermutung:'''

Für positive Brüche mit '''demselben Zähler''' gilt: Je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch.

Beispiel:

<math>\frac12>\frac13>\frac14>\frac15</math>

{{BR}}
== Bewegliche Bruchdarstellung ==

Verändere Zähler und Nenner. Sage immer zuerst voraus, was passieren wird, und bewege erst danach die Regler.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/r79cn3zm </iframe>

Mit der Simulation kannst Du zum Beispiel die Vermutung

<math>\frac12=\frac24=\frac36=\frac48</math>

visuell prüfen.

{{BR}}
== Interaktives Bruch-Experiment ==

In dieser Simulation kannst Du Brüche legen, vergleichen und zwischen Darstellungen wechseln:

<iframe> https://phet.colorado.edu/sims/html/fractions-intro/latest/fractions-intro_de.html </iframe>

Arbeite in vier Schritten:

# Lege einen Bruch.
# Formuliere eine Vermutung über einen gleich großen Bruch.
# Stelle beide Darstellungen her.
# Entscheide, ob das Bild Deine Vermutung nur bestätigt oder ob Du zusätzlich eine Begründung geben kannst.

{{BR}}
= Geometrische Vermutungen =

Geometrie eignet sich besonders gut für Vermutungen, weil Du Figuren verändern, drehen, falten und messen kannst.

{{BR}}
== Quadrat: Seitenlänge und Flächeninhalt ==

Für ein Quadrat mit Seitenlänge <math>a</math> gilt

<math>A=a^2</math>.

Eine häufige falsche Vermutung lautet:

<math>\text{„Doppelte Seitenlänge bedeutet doppelte Fläche.“}</math>

Prüfe:

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center"
! Seitenlänge
! Flächeninhalt
! Veränderung
|-
| <math>a=2</math>
| <math>A=4</math>
| Ausgangswert
|-
| <math>a=4</math>
| <math>A=16</math>
| Fläche ist viermal so groß.
|-
| <math>a=6</math>
| <math>A=36</math>
| Gegenüber <math>a=2</math> ist die Seite dreimal, die Fläche neunmal so groß.
|}

Dynamische Prüfung:

<iframe> https://www.geogebra.org/m/Yq6NCm7C </iframe>

'''Begründung:'''

<math>(2a)^2=(2a)\cdot(2a)=4a^2</math>

Damit wird aus der Beobachtung eine allgemeine Begründung.

{{BR}}
== Würfelnetze: Falten statt raten ==

[[Datei:Cube nets.svg|500px|rahmenlos|center]]

Ein [[Würfelnetz]] besteht aus sechs Quadraten. Aber nicht jede Anordnung aus sechs zusammenhängenden Quadraten lässt sich zu einem Würfel falten.

'''Vermutung:''' „Wenn sechs Quadrate zusammenhängen, entsteht immer ein Würfelnetz.“

Diese Vermutung lässt sich durch ein einziges ungeeignetes Netz widerlegen.

Bewege den Schieberegler und falte den Würfel dynamisch:

<iframe> https://www.geogebra.org/m/q6pesCU5 </iframe>

Vergleiche anschließend verschiedene mögliche Netze:

<iframe> https://www.geogebra.org/m/teCkgD2S </iframe>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=HSEK_DvqOog |500|center}}

'''Forscherfrage:''' Welche Merkmale helfen Dir, ein unmögliches Netz bereits vor dem Falten zu erkennen?

{{BR}}
= Tabellen und Diagramme als Prüfwerkzeuge =

Eine Tabelle hilft Dir, Beispiele geordnet zu prüfen. Ein Diagramm kann zusätzlich zeigen, wie sich eine Größe verändert.

Beispiel zur Vermutung:

<math>\text{„Beim Verdoppeln einer Zahl verdoppelt sich auch ihr Abstand von }0\text{.“}</math>

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center"
! <math>x</math>
! <math>2x</math>
! Abstand von <math>x</math> zu <math>0</math>
! Abstand von <math>2x</math> zu <math>0</math>
|-
| <math>2</math>
| <math>4</math>
| <math>2</math>
| <math>4</math>
|-
| <math>5</math>
| <math>10</math>
| <math>5</math>
| <math>10</math>
|-
| <math>9</math>
| <math>18</math>
| <math>9</math>
| <math>18</math>
|}

Für Klasse 5 arbeitest Du zunächst mit natürlichen Zahlen. Später kannst Du dieselbe Frage auch auf ganze Zahlen erweitern.

{{BR}}
== Interaktive Einmaleins-Struktur ==

[[Datei:Multiplication table to scale.svg|500px|rahmenlos|center]]

Nutze die Einmaleins-Tabelle nicht nur zum Nachschlagen. Suche Muster und formuliere Vermutungen:

# Wo liegen alle Quadratzahlen?
# Welche Symmetrie entsteht durch <math>a\cdot b=b\cdot a</math>?
# Welche Produkte kommen besonders häufig vor?
# Welche Vermutung kannst Du zur Parität eines Produkts aufstellen?

Beispiel:

<math>\text{gerade}\cdot\text{beliebig}=\text{gerade}</math>

Prüfe diese Vermutung mit unterschiedlichen geraden Faktoren und versuche anschließend zu begründen, warum sie immer gilt.

{{BR}}
= Vermutungen verbessern =

Eine widerlegte Vermutung ist kein Misserfolg. Oft zeigt Dir ein Gegenbeispiel, welche Bedingung noch fehlt.

{| class="wikitable"
! Erste Vermutung
! Gegenbeispiel
! Verbesserte Vermutung
|-
| Je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch.
| <math>\frac56>\frac14</math>
| Bei gleichem positiven Zähler wird der Bruch kleiner, wenn der Nenner größer wird.
|-
| Jede Figur aus sechs Quadraten ist ein Würfelnetz.
| Eine Anordnung, bei der Flächen beim Falten übereinanderliegen.
| Nur bestimmte Anordnungen aus sechs Quadraten sind Würfelnetze.
|-
| Doppelte Seitenlänge ergibt doppelte Quadratfläche.
| <math>2^2=4</math>, aber <math>4^2=16</math>.
| Doppelte Seitenlänge ergibt vierfache Quadratfläche.
|-
| Gerade Quersumme bedeutet gerade Zahl.
| <math>13</math> hat Quersumme <math>4</math>.
| Die Gerade-Ungerade-Eigenschaft einer natürlichen Zahl wird durch ihre Einerziffer bestimmt.
|}

{{BR}}
= Gute mathematische Sprache =

Eine gute Vermutung ist so formuliert, dass klar ist, '''für welche Objekte''' sie gelten soll und '''was genau behauptet''' wird.

{| class="wikitable"
! Ungenaue Formulierung
! Präzisere mathematische Aussage
|-
| „Das wird immer größer.“
| „Bei jedem Schritt wird das nächste Folgenglied um <math>3</math> größer.“
|-
| „Großer Nenner heißt kleiner.“
| „Bei positiven Brüchen mit gleichem Zähler ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner.“
|-
| „Das Quadrat wächst viermal.“
| „Wird die Seitenlänge eines Quadrats verdoppelt, vervierfacht sich sein Flächeninhalt.“
|-
| „Das geht nie.“
| „Es gibt keine Anordnung dieser Art, die alle genannten Bedingungen erfüllt.“
|}

'''Wenn-Dann-Form:'''

<math>\boxed{\text{Wenn Voraussetzung, dann Behauptung.}}</math>

Beispiel:

<math>\text{Wenn eine natürliche Zahl auf }0\text{ oder }5\text{ endet, dann ist sie durch }5\text{ teilbar.}</math>

{{BR}}
= Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung =

Nutze beim Prüfen einer Vermutung dieses Schema:

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center"
! Schritt
! Symbol
! Handlung
! Leitfrage
|-
| Beobachtung
| <math>\circ</math>
| Daten, Figuren oder Rechnungen anschauen
| Was fällt mir auf?
|-
| Vermutung
| <math>?</math>
| eine allgemeine Aussage formulieren
| Gilt das vielleicht immer?
|-
| Test
| <math>\checkmark</math>
| verschiedene passende Beispiele prüfen
| Hält die Vermutung auch bei Randfällen?
|-
| Gegenbeispiel
| <math>\times</math>
| gezielt einen scheiternden Fall suchen
| Wo könnte die Aussage besonders leicht falsch werden?
|-
| Begründung
| <math>\Rightarrow</math>
| Zusammenhang erklären
| Warum muss das für alle passenden Fälle gelten?
|}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist eine mathematische Vermutung?'''
(Eine noch zu prüfende mathematische Aussage)
(!Eine Rechnung mit garantiert richtigem Ergebnis)
(!Ein Gegenbeispiel)
(!Eine fertige Begründung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was kann eine allgemeine Vermutung sicher widerlegen?'''
(Ein passendes Gegenbeispiel)
(!Ein einziges bestätigendes Beispiel)
(!Eine schöne Zeichnung)
(!Eine große Zahl ohne Prüfung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum beweisen zehn passende Beispiele eine Aussage für alle natürlichen Zahlen noch nicht?'''
(Weil noch ein nicht getesteter Fall scheitern könnte)
(!Weil natürliche Zahlen nur bis hundert gehen)
(!Weil Beispiele in Mathematik verboten sind)
(!Weil nur ungerade Zahlen geprüft werden dürfen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Vorgehensweise ist beim Prüfen einer Vermutung besonders sinnvoll?'''
(Kleine große und kritische Fälle gezielt auswählen)
(!Nur das erste Beispiel prüfen)
(!Nur besonders einfache Fälle verwenden)
(!Die Vermutung sofort als wahr notieren)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist ein Gegenbeispiel zur Aussage Gerade Quersumme bedeutet gerade Zahl?'''
(13)
(!24)
(!42)
(!88)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage über ein Quadrat ist richtig?'''
(Doppelte Seitenlänge führt zur vierfachen Fläche)
(!Doppelte Seitenlänge führt zur doppelten Fläche)
(!Doppelte Seitenlänge verändert die Fläche nicht)
(!Doppelte Seitenlänge halbiert die Fläche)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage unterscheidet Vermutung und Begründung richtig?'''
(Eine Vermutung behauptet einen Zusammenhang eine Begründung erklärt warum er gilt)
(!Vermutung und Begründung bedeuten genau dasselbe)
(!Eine Begründung besteht nur aus einem Beispiel)
(!Eine Vermutung ist immer bereits bewiesen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei der Aussage Je größer der Nenner desto kleiner der Bruch problematisch?'''
(Es fehlt eine passende Zusatzbedingung wie gleicher Zähler)
(!Jeder Bruch hat denselben Nenner)
(!Brüche können nicht verglichen werden)
(!Ein Nenner darf nur gerade sein)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss ein Gegenbeispiel erfüllen?'''
(Es erfüllt die Voraussetzungen aber verletzt die Behauptung)
(!Es verletzt schon die Voraussetzungen)
(!Es bestätigt die Behauptung)
(!Es muss die größte mögliche Zahl enthalten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Frage gehört besonders zum mathematischen Vermuten?'''
(Ist das immer so)
(!Wie schreibe ich meinen Namen)
(!Welche Farbe hat mein Heft)
(!Wann beginnt die Pause)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Vermutung || noch zu prüfende mathematische Aussage
|-
| Gegenbeispiel || passender Fall der eine allgemeine Aussage widerlegt
|-
| Begründung || Erklärung warum ein Zusammenhang allgemein gilt
|-
| Voraussetzung || Bedingung einer Wenn-Dann-Aussage
|-
| Behauptung || Folgerung einer Wenn-Dann-Aussage
|-
| Plausibilität || Eindruck dass eine Vermutung nach Tests gut passen könnte
|-
| Zahlenmuster || erkennbare Regelmäßigkeit in einer Zahlenfolge
|-
| Randfall || besonders kleiner großer oder sonst kritischer Prüfwert
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Vermutung'''
| noch nicht allgemein abgesicherte Aussage
|-
| '''Beispieltest'''
| Prüfung eines einzelnen passenden Falls
|-
| '''Gegenbeispiel'''
| Widerlegung einer allgemeinen Aussage
|-
| '''Begründung'''
| Erklärung der allgemeinen Gültigkeit
|-
| '''Voraussetzung'''
| Bedingung für die Behauptung

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Vermutung || Wie heißt eine mathematische Aussage die zunächst geprüft werden soll?
|-
| Beispiel || Wie nennt man einen einzelnen konkreten Prüfungsfall?
|-
| Gegenbeispiel || Wie heißt ein passender Fall der eine allgemeine Aussage widerlegt?
|-
| Begründung || Wie nennt man die Erklärung warum eine Aussage allgemein gilt?
|-
| Muster || Wie heißt eine erkennbare Regelmäßigkeit in Zahlen oder Figuren?
|-
| Aussage || Welcher Oberbegriff passt zu einem mathematischen Satz der wahr oder falsch sein kann?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M5+E+-+Vermutungen+entwickeln+und+prüfen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Aus einer Beobachtung kann eine mathematische { Vermutung } entstehen. Eine solche Aussage sollte an mehreren gezielt gewählten { Beispielen } geprüft werden. Bei einer allgemeinen Aussage reicht ein einziges echtes { Gegenbeispiel }, um sie zu widerlegen. Viele passende Beispiele erhöhen die { Plausibilität }, ersetzen aber nicht automatisch eine allgemeine Begründung. Eine { Begründung } erklärt, warum der Zusammenhang für alle passenden Fälle gilt. Bei einer Wenn-Dann-Aussage nennt man die Bedingung { Voraussetzung }. Die Folgerung heißt { Behauptung }. Beim systematischen Prüfen sind auch besonders kleine, große oder kritische { Randfälle } wichtig. Tabellen, Zahlengeraden und dynamische Modelle helfen dabei, mathematische { Muster } sichtbar zu machen. Wird eine Vermutung widerlegt, kann man sie häufig durch eine zusätzliche { Bedingung } verbessern.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Zahlenfolge|Musterdetektiv]]: Erfinde eine Zahlenfolge mit mindestens sechs Gliedern. Formuliere die Regel und lasse eine andere Person eine Vermutung über die Fortsetzung aufstellen.
# [[Gegenbeispiel|Gegenbeispiel-Jagd]]: Widerlege die Aussage „Jede Zahl mit gerader Quersumme ist gerade“ mit drei verschiedenen Gegenbeispielen und erkläre, warum jedes davon passt.
# [[Quadratzahl|Quadratzahlen legen]]: Lege oder zeichne die Quadrate <math>1^2</math> bis <math>6^2</math>. Markiere jeweils den neu hinzukommenden Rand und notiere die entstehende Zahlenfolge.
# [[Bruch|Bruchvergleich]]: Zeichne <math>\frac12</math>, <math>\frac13</math>, <math>\frac14</math> und <math>\frac15</math> als gleich große Kreise oder Balken und formuliere eine Vermutung zum Nenner.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Stellenwertsystem|Stellenwert-Forschung]]: Prüfe die Vermutung „Beim Multiplizieren einer natürlichen Zahl mit <math>10</math> verschieben sich alle Ziffern um eine Stelle nach links“ an mindestens acht bewusst verschieden gewählten Zahlen.
# [[Würfelnetz|Netzwerkstatt]]: Zeichne mehrere Anordnungen aus sechs Quadraten, schneide sie aus und prüfe durch Falten, welche davon Würfelnetze sind. Dokumentiere mindestens ein Gegenbeispiel.
# [[Flächeninhalt|Quadrat-Experiment]]: Untersuche in einer Tabelle die Seitenlängen <math>1</math> bis <math>10</math> und ihre Flächen. Formuliere zwei Vermutungen über das Wachstum und prüfe sie.
# [[Mathematisches Argumentieren|Vermutung verbessern]]: Erfinde eine bewusst zu allgemeine Aussage über Zahlen oder Brüche. Suche ein Gegenbeispiel und verbessere die Aussage so, dass das Gegenbeispiel ausgeschlossen wird.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Dreieckszahl|Figurenfolge untersuchen]]: Baue eine eigene wachsende Figurenfolge mit Plättchen. Erstelle eine Tabelle aus Stufennummer, Gesamtzahl und Zuwachs. Formuliere und begründe eine Vermutung.
# [[Pascalsches Dreieck|Pascalsches Dreieck erforschen]]: Suche drei verschiedene Muster im Pascalschen Dreieck. Kennzeichne, was Du nur beobachtet hast und was Du bereits begründen kannst.
# [[Wenn-Dann-Aussage|Bedingungen prüfen]]: Formuliere drei Wenn-Dann-Aussagen aus der Mathematik der Klasse 5. Untersuche jeweils Voraussetzung und Behauptung und suche nach einem Gegenbeispiel zur Umkehrung.
# [[Erklärvideo|Mathe-Forschervideo]]: Produziere ein zwei- bis dreiminütiges Video, in dem Du eine Vermutung aufstellst, systematisch prüfst, gezielt nach einem Gegenbeispiel suchst und Vermutung und Begründung sprachlich klar unterscheidest.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transferaufgabe Zahlenmuster|Zahlenmuster bewerten]]: Eine Person sieht <math>5,10,15,20</math> und behauptet: „Die nächste Zahl muss <math>25</math> sein.“ Erkläre, warum <math>25</math> naheliegt, aber ohne zusätzliche Regel nicht logisch erzwungen ist. Gib eine andere mögliche Fortsetzungsregel an.
# [[Transferaufgabe Brüche|Bedingung finden]]: Die Vermutung „Ein größerer Nenner macht einen Bruch kleiner“ ist falsch. Finde ein Gegenbeispiel und formuliere danach eine verbesserte Aussage mit einer passenden Voraussetzung.
# [[Transferaufgabe Geometrie|Flächenwachstum]]: Eine quadratische Spielfläche hat Seitenlänge <math>3\,\mathrm{m}</math>. Jemand behauptet, bei doppelter Seitenlänge brauche man doppelt so viele Quadratmeter Belag. Prüfe und widerlege oder begründe die Aussage.
# [[Transferaufgabe Gegenbeispiel|Prüfstrategie planen]]: Entwirf für die Vermutung „Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist größer als jeder Faktor“ eine systematische Testreihe. Achte besonders auf kritische Werte und entscheide, ob die Aussage stimmt.
# [[Transferaufgabe Würfelnetz|Geometrisch argumentieren]]: Zwei verschiedene Anordnungen aus je sechs Quadraten werden als Würfelnetze vorgeschlagen. Beschreibe, wie Du ohne bloßes Raten systematisch prüfen würdest, ob beide tatsächlich einen Würfel ergeben.
# [[Transferaufgabe Begründung|Beispiel oder Begründung]]: Eine Person rechnet <math>3+5=8</math>, <math>7+9=16</math> und <math>21+11=32</math> und sagt: „Damit ist bewiesen, dass die Summe zweier ungerader Zahlen immer gerade ist.“ Bewerte diese Aussage und ergänze eine allgemeine Begründung.

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= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse angibst, sondern Deinen Denkweg sichtbar machst.

# Du formulierst aus Beobachtungen mindestens eine klare mathematische Vermutung.
# Du wählst Beispiele systematisch aus und begründest Deine Auswahl.
# Du suchst gezielt nach einem Gegenbeispiel und erklärst, warum es die Voraussetzungen erfüllt.
# Du unterscheidest sprachlich zwischen „Die Beispiele passen“, „Die Vermutung ist widerlegt“ und „Die Aussage ist begründet“.
# Du kannst eine zu allgemeine Vermutung nach einem Gegenbeispiel sinnvoll verbessern.
# Du nutzt mindestens zwei Darstellungsformen, zum Beispiel Tabelle und Zeichnung oder Rechnung und Zahlengerade.
# Du erklärst bei einer Wenn-Dann-Aussage, was Voraussetzung und was Behauptung ist.
# Du kannst einen einfachen mathematischen Zusammenhang nachvollziehbar begründen.

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= OERs zum Thema =

Der Wikipedia-Artikel zum mathematischen Begriff der Vermutung bietet eine weiterführende Einordnung:

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Vermutung_(Mathematik) </iframe>

Weitere frei zugängliche interaktive Lernmedien in diesem aiMOOC stammen aus Wikimedia Commons, GeoGebra und PhET. Nutze bei externen Angeboten die jeweils angegebenen Lizenz- und Datenschutzinformationen.

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{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Mathematisches Argumentieren]]'''
# [[Vermutung]]
# [[Gegenbeispiel]]
# [[Begründung]]
# [[Wenn-Dann-Aussage]]
# [[Zahlenfolge]]
# [[Quadratzahl]]
# [[Dreieckszahl]]
# [[Stellenwertsystem]]
# [[Bruch]]
# [[Zahlengerade]]
# [[Flächeninhalt]]
# [[Würfelnetz]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 5]]
[[Kategorie:Niveaustufe E]]
[[Kategorie:Mathematisches Argumentieren]]
[[Kategorie:Zahlen und Operationen]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Bruchrechnung]]
[[Kategorie:Zahlenmuster]]
[[Kategorie:Gegenbeispiel]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M5 E - Vermutungen entwickeln und prüfen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt