Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-15T12:13:04Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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{{T}}

{{BR}}
= M5 E - Stellenwertsysteme vergleichen =

{{BR}}
= Einleitung =

Zahlen können auf sehr unterschiedliche Weise geschrieben werden. Die Zahl '''zweiundzwanzig''' kann zum Beispiel als <math>22</math>, als '''XXII''' oder im Dualsystem als <math>(10110)_2</math> notiert werden. Die Zeichen sehen verschieden aus – der '''Zahlenwert''' bleibt gleich.

In diesem aiMOOC vergleichst Du drei Darstellungsweisen:
# [[Dezimalsystem]]: unser Stellenwertsystem mit der Basis <math>10</math>.
# [[Römische Zahlschrift]]: eine nichtstellige Zahlschrift mit festen Zeichenwerten und Additions- beziehungsweise Subtraktionsregeln.
# [[Dualsystem]]: ein weiteres Stellenwertsystem mit der Basis <math>2</math>.

Dabei untersuchst Du besonders die Begriffe '''Basis''', '''Position''', '''Stellenwert''' und '''Null'''. Du sollst nicht nur umwandeln, sondern auch '''begründen''', warum ein Zahlensystem funktioniert und welche Vor- und Nachteile unterschiedliche Darstellungen haben.

[[Datei:Base ten blocks (transparent).svg|500px|rahmenlos|center]]

Das Bild zeigt Zehnerblöcke als Modell für das Bündeln im Dezimalsystem. Ein Einerwürfel, eine Zehnerstange, eine Hunderterplatte und ein Tausenderwürfel machen sichtbar, dass jeweils <math>10</math> Einheiten zu einer Einheit der nächsthöheren Stelle gebündelt werden.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=hQvOuhrJoRc |500|center}}

{{BR}}
= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du:
# [[Stellenwertsystem|Stellenwertsysteme]] anhand von Basis, Ziffernvorrat und Position beschreiben.
# den Wert einer Ziffer mit <math>\text{Ziffernwert}\cdot\text{Stellenwert}</math> erklären.
# natürliche Zahlen in einer [[Stellenwerttafel]] zerlegen und zusammensetzen.
# erklären, warum die [[Null]] im Dezimalsystem als Platzhalter wichtig ist.
# das Dezimalsystem mit der [[Römische Zahlschrift|römischen Zahlschrift]] vergleichen.
# einfache Zahlen zwischen Dezimal-, römischer und binärer Schreibweise übersetzen.
# mathematisch begründen, warum verschiedene Schreibweisen denselben Zahlenwert darstellen können.

{{BR}}
= Grundidee: Ziffer, Stelle und Zahlenwert =

Eine '''Ziffer''' ist ein einzelnes Zeichen. Im Dezimalsystem stehen dafür

<math>0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9.</math>

Eine '''Zahl''' kann aus mehreren Ziffern bestehen. Bei <math>4207</math> hat jede Ziffer eine Position. Diese Position entscheidet über ihren Stellenwert.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Tausender
! Hunderter
! Zehner
! Einer
|-
| <math>4</math>
| <math>2</math>
| <math>0</math>
| <math>7</math>
|-
| <math>4\cdot1000</math>
| <math>2\cdot100</math>
| <math>0\cdot10</math>
| <math>7\cdot1</math>
|}

Damit gilt:

<math>4207=4\cdot10^3+2\cdot10^2+0\cdot10^1+7\cdot10^0.</math>

'''Merke:''' Im Stellenwertsystem bestimmt nicht nur die Ziffer selbst ihren Beitrag zur Zahl, sondern auch ihre '''Position'''.

{{BR}}
== Interaktives Stellenwertmodell ==

Probiere eine dynamische Stellenwerttafel aus. Verschiebe beziehungsweise verändere die Ziffern und beobachte, wie sich der Zahlenwert ändert.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/gkrwcnus </iframe>

Eine zweite Darstellung zeigt das '''Bündeln''' in Zehnerschritten:

<iframe> https://www.geogebra.org/m/yt3f7ek5 </iframe>

{{BR}}
== Visueller Rechenweg: Eine Zahl zerlegen ==

Betrachte <math>5834</math> Schritt für Schritt:

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Schritt
! Darstellung
! Bedeutung
|-
| 1
| <math>5834</math>
| Ausgangszahl
|-
| 2
| <math>5\cdot1000+8\cdot100+3\cdot10+4</math>
| Ziffer mal Stellenwert
|-
| 3
| <math>5000+800+30+4</math>
| Teilwerte
|-
| 4
| <math>5834</math>
| Summe der Teilwerte
|}

Du kannst jeden Schritt rückwärts lesen. So lässt sich aus einer Zerlegung wieder die ursprüngliche Zahl zusammensetzen.

{{BR}}
= Die Basis eines Stellenwertsystems =

Die '''Basis''' gibt an, wie viele verschiedene Ziffern zur Verfügung stehen und mit welchem Faktor die Stellenwerte von rechts nach links wachsen.

Für ein Stellenwertsystem zur Basis <math>b</math> gilt:

<math>b^0,\;b^1,\;b^2,\;b^3,\ldots</math>

Für eine Zahl mit den Ziffern <math>a_n,\ldots,a_1,a_0</math> kann man schreiben:

<math>(a_na_{n-1}\ldots a_1a_0)_b=\sum_{i=0}^{n}a_i\cdot b^i.</math>

Für Klasse 5 genügt die Idee: '''Jede Stelle links ist das <math>b</math>-Fache der Stelle rechts.'''

{{BR}}
== Basis 10: das Dezimalsystem ==

Im Dezimalsystem ist <math>b=10</math>. Deshalb sind die Stellenwerte

<math>1,\;10,\;100,\;1000,\ldots</math>

oder als Potenzen:

<math>10^0,\;10^1,\;10^2,\;10^3,\ldots</math>

[[Datei:Decimal Place Value Chart (emphasizing the One's Column).jpg|450px|rahmenlos|center]]

'''Beispiel:'''

<math>372=3\cdot10^2+7\cdot10^1+2\cdot10^0.</math>

Das bedeutet:

<math>372=300+70+2.</math>

{{BR}}
== Warum ist die Null so wichtig? ==

Untersuche die Zahl <math>507</math>:

<math>507=5\cdot100+0\cdot10+7\cdot1.</math>

Die Null zeigt: '''Es gibt hier keine Zehner, aber die Zehnerstelle ist vorhanden.'''

Ohne die Null würde aus <math>507</math> die Zahl <math>57</math> werden:

<math>57=5\cdot10+7.</math>

Die Null ist deshalb in einem Stellenwertsystem ein wichtiger '''Platzhalter'''.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Zahl
! Hunderter
! Zehner
! Einer
! Wert
|-
| <math>507</math>
| <math>5</math>
| <math>0</math>
| <math>7</math>
| <math>500+0+7</math>
|-
| <math>57</math>
| <math>0</math>
| <math>5</math>
| <math>7</math>
| <math>0+50+7</math>
|}

'''Argumentationsfrage:''' Warum kann man die Null in <math>507</math> nicht einfach weglassen, obwohl sie selbst den Wert <math>0</math> hat?

{{BR}}
= Römische Zahlen: ein nichtstelliges Zahlensystem =

Bei der [[Römische Zahlschrift|römischen Zahlschrift]] haben die Zeichen feste Werte:

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Zeichen
! I
! V
! X
! L
! C
! D
! M
|-
! Wert
| 1
| 5
| 10
| 50
| 100
| 500
| 1000
|}

Die Ziffer '''X''' bedeutet also grundsätzlich <math>10</math>. Sie wird nicht allein dadurch zu <math>100</math>, dass man sie weiter links schreibt. Damit unterscheidet sich die römische Zahlschrift grundlegend von einem Stellenwertsystem.

[[Datei:Roman numerals on alarm clock (Unsplash).jpg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Addieren und subtrahieren ==

Häufig werden römische Zahlzeichen von groß nach klein geschrieben und addiert:

<math>\mathrm{XXII}=10+10+1+1=22.</math>

Steht ein kleineres Zeichen unmittelbar vor einem größeren, wird es in bestimmten erlaubten Fällen subtrahiert:

<math>\mathrm{IV}=5-1=4</math>

<math>\mathrm{IX}=10-1=9</math>

<math>\mathrm{XL}=50-10=40</math>

<math>\mathrm{XC}=100-10=90.</math>

Die Position eines Zeichens kann also für die '''Leseregel''' wichtig sein. Trotzdem besitzt die Stelle keinen eigenen Wert wie <math>1,10,100,\ldots</math> im Dezimalsystem.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Yyk8Muhmq_o |500|center}}

{{BR}}
== Wo ist die Null bei römischen Zahlen? ==

Die klassische römische Zahlschrift benötigt für gewöhnliche Zahlendarstellungen kein Nullzeichen als Stellenhalter.

Beispiel:

<math>507=\mathrm{DVII}=500+5+1+1.</math>

Es muss kein Zeichen für „null Zehner“ geschrieben werden, weil die Zeichen feste Werte besitzen und nicht in Zehner-, Hunderter- oder Tausenderstellen eingetragen werden.

'''Vergleiche:'''

<math>507=5\cdot100+0\cdot10+7</math>

aber

<math>\mathrm{DVII}=500+5+1+1.</math>

{{BR}}
= Vergleich: Dezimalsystem und römische Zahlschrift =

{| class="wikitable"
! Merkmal
! Dezimalsystem
! Römische Zahlschrift
|-
| Art
| Stellenwertsystem
| nichtstellige Zeichenwert-Zahlschrift
|-
| Ziffern beziehungsweise Zeichen
| <math>0</math> bis <math>9</math>
| I, V, X, L, C, D, M
|-
| Basis im Stellenwert-Sinn
| <math>10</math>
| keine Stellenwertbasis
|-
| Bedeutung der Position
| bestimmt den Stellenwert
| bestimmt teilweise Additions- oder Subtraktionsregel
|-
| Null als Platzhalter
| wesentlich
| nicht nötig
|-
| Beispiel für 49
| <math>49</math>
| XLIX
|-
| Rechnen mit schriftlichen Verfahren
| gut geeignet
| deutlich unpraktischer
|}

'''Mathematische Begründung:''' Im Dezimalsystem kann dieselbe Ziffer je nach Position verschiedene Werte annehmen:

<math>5,\;50,\;500,\;5000.</math>

In der römischen Zahlschrift bleibt der Grundwert von '''V''' dagegen <math>5</math>. Genau das ist der Kernunterschied zwischen '''Stellenwert''' und '''Zeichenwert'''.

{{BR}}
= Noch ein Stellenwertsystem: das Dualsystem =

Das [[Dualsystem]] heißt auch '''Binärsystem''' oder '''Zweiersystem'''. Es besitzt nur zwei Ziffern:

<math>0\quad\text{und}\quad1.</math>

Die Basis ist

<math>b=2.</math>

Darum lauten die Stellenwerte von rechts nach links:

<math>2^0,\;2^1,\;2^2,\;2^3,\;2^4,\ldots</math>

also

<math>1,\;2,\;4,\;8,\;16,\ldots</math>

{{BR}}
== Beispiel: Binärzahl in Dezimalzahl übersetzen ==

Nimm die Binärzahl

<math>(10110)_2.</math>

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Stelle
! <math>2^4</math>
! <math>2^3</math>
! <math>2^2</math>
! <math>2^1</math>
! <math>2^0</math>
|-
! Stellenwert
| 16
| 8
| 4
| 2
| 1
|-
! Ziffer
| 1
| 0
| 1
| 1
| 0
|-
! Beitrag
| 16
| 0
| 4
| 2
| 0
|}

Also:

<math>(10110)_2=1\cdot16+0\cdot8+1\cdot4+1\cdot2+0\cdot1=22.</math>

Damit gilt:

<math>(10110)_2=22_{10}=\mathrm{XXII}.</math>

Drei Schreibweisen – ein Zahlenwert.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=JrmRcy9drM4 |500|center}}

{{BR}}
== Interaktiv: Dezimalsystem und Dualsystem ==

Untersuche mit dem dynamischen Modell, wie dieselbe Zahl in zwei verschiedenen Stellenwertsystemen dargestellt wird:

<iframe> https://www.geogebra.org/m/vbfmxdf8 </iframe>

Achte auf die Bündelung:
# Im Dezimalsystem entsteht die nächste Stelle nach jeweils <math>10</math> Einheiten.
# Im Dualsystem entsteht die nächste Stelle bereits nach jeweils <math>2</math> Einheiten.

{{BR}}
= Drei Systeme direkt vergleichen =

{| class="wikitable"
! Eigenschaft
! Dezimalsystem
! Römische Zahlschrift
! Dualsystem
|-
| Systemtyp
| Stellenwertsystem
| nichtstelliges Zahlensystem
| Stellenwertsystem
|-
| Basis
| <math>10</math>
| keine Stellenwertbasis
| <math>2</math>
|-
| Ziffern/Zeichen
| 0–9
| I, V, X, L, C, D, M
| 0 und 1
|-
| Position bestimmt Stellenwert
| ja
| nein
| ja
|-
| Null als Platzhalter
| ja
| nein
| ja
|-
| Zahlwert 10
| <math>10</math>
| X
| <math>(1010)_2</math>
|-
| Zahlwert 22
| <math>22</math>
| XXII
| <math>(10110)_2</math>
|}

{{BR}}
= Übersetzen zwischen Zahlensystemen =

Beim Übersetzen bleibt der '''Zahlenwert''' gleich. Nur die Schreibweise ändert sich.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Dezimal
! Römisch
! Dual
|-
| <math>5</math>
| V
| <math>(101)_2</math>
|-
| <math>10</math>
| X
| <math>(1010)_2</math>
|-
| <math>12</math>
| XII
| <math>(1100)_2</math>
|-
| <math>17</math>
| XVII
| <math>(10001)_2</math>
|-
| <math>22</math>
| XXII
| <math>(10110)_2</math>
|}

{{BR}}
== Übersetzungsstrategie ==

'''Von einem Stellenwertsystem ins Dezimalsystem:'''

<math>\text{Ziffer}\cdot\text{Stellenwert}</math> für jede Stelle berechnen und anschließend addieren.

Beispiel:

<math>(1101)_2=1\cdot8+1\cdot4+0\cdot2+1\cdot1=13.</math>

'''Von römisch nach dezimal:'''

Feste Zeichenwerte lesen und die Additions- beziehungsweise erlaubten Subtraktionsregeln beachten.

Beispiel:

<math>\mathrm{XIII}=10+1+1+1=13.</math>

Damit:

<math>(1101)_2=13=\mathrm{XIII}.</math>

{{BR}}
== Interaktive Übersetzungswerkstatt ==

Übertrage jede Zahl zuerst in eine Wertzerlegung und anschließend in die beiden anderen Schreibweisen.

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ausgangsdarstellung
! Zwischenidee
! Gesuchte Übersetzung
|-
| '''<math>18</math>'''
| Zerlege in <math>16+2</math>
| <math>(10010)_2</math> und XVIII
|-
| '''XXIV'''
| Zerlege in <math>10+10+4</math>
| <math>24</math> und <math>(11000)_2</math>
|-
| '''<math>(1111)_2</math>'''
| Zerlege in <math>8+4+2+1</math>
| <math>15</math> und XV
|-
| '''XXXI'''
| Zerlege in <math>30+1</math>
| <math>31</math> und <math>(11111)_2</math>
|}

{{E}}
</div>

{{BR}}
= Zahlengerade: Gleicher Wert, andere Schreibweise =

Eine Zahl ist ein mathematischer Wert. Eine Zahlschrift ist nur eine Darstellung dieses Wertes. Deshalb liegen

<math>22,\qquad\mathrm{XXII},\qquad(10110)_2</math>

auf einer Zahlengeraden am '''gleichen Punkt'''.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/h5ws2TBZ </iframe>

'''Auftrag:''' Markiere nacheinander die Werte <math>5</math>, <math>10</math>, <math>15</math> und <math>22</math>. Notiere zu jedem Punkt zusätzlich die römische und die binäre Schreibweise.

{{BR}}
= Historischer Blick: Babylonische Zahlzeichen =

Lange vor unseren heutigen Ziffern wurden andere Zahlzeichen verwendet. Die babylonische Zahlschrift arbeitete mit einem Stellenwertprinzip zur Basis <math>60</math>. Dadurch entstanden Stellenwerte wie

<math>60^0=1,\qquad60^1=60,\qquad60^2=3600.</math>

[[Datei:Babylonian numerals.svg|500px|rahmenlos|center]]

Die babylonische Schreibweise entwickelte sich über einen langen Zeitraum. Ein modernes Nullzeichen wie in unserem Dezimalsystem gab es anfangs nicht. Später wurden Platzhalterzeichen verwendet, um leere Stellen deutlicher zu markieren.

[[Datei:Babylonian digit 0.svg|160px|rahmenlos|center]]

Spuren der Basis <math>60</math> findest Du noch heute bei Zeit- und Winkelangaben:

<math>1\text{ Stunde}=60\text{ Minuten}</math>

und

<math>1\text{ Minute}=60\text{ Sekunden}.</math>

{{BR}}
== Historisches Vergleichsmedium ==

Dieses historische Zifferblatt aus der Zeit der Französischen Revolution stellt unterschiedliche Zeiteinteilungen gegenüber und zeigt, dass Zahl- und Maßsysteme kulturell verändert werden können.

[[Datei:Decimal duodecimal conversion clockface.png|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Warum Stellenwertsysteme praktisch sind =

Stellenwertsysteme ermöglichen es, mit wenigen Ziffern sehr viele Zahlen eindeutig darzustellen.

Im Dezimalsystem braucht man für

<math>7,\;70,\;700,\;7000</math>

immer dieselbe Ziffer <math>7</math>. Die Position verändert ihren Wert:

<math>7\cdot10^0,\quad7\cdot10^1,\quad7\cdot10^2,\quad7\cdot10^3.</math>

Diese Struktur hilft auch beim Rechnen. Bei der schriftlichen Addition werden Stellen gleichen Wertes untereinander geschrieben:

<math>
\begin{array}{r}
372\\
+ 458\\
\hline
830
\end{array}
</math>

Einer werden mit Einern, Zehner mit Zehnern und Hunderter mit Hundertern verarbeitet. Genau diese feste Stellenstruktur fehlt der römischen Zahlschrift.

{{BR}}
= Denkfehler untersuchen =

'''Fehler 1:''' „Die <math>5</math> ist immer fünf wert.“

Gegenbeispiel:

<math>5=5,\qquad50=5\cdot10,\qquad500=5\cdot100.</math>

Die Aussage stimmt im Dezimalsystem also nicht. Der '''Ziffernwert''' ist <math>5</math>, aber ihr '''Beitrag zum Zahlenwert''' hängt vom Stellenwert ab.

'''Fehler 2:''' „Eine Null kann man immer weglassen.“

Gegenbeispiel:

<math>204\neq24.</math>

Denn

<math>204=2\cdot100+0\cdot10+4</math>

und

<math>24=2\cdot10+4.</math>

'''Fehler 3:''' „Römische Zahlen sind auch ein Stellenwertsystem, weil die Reihenfolge wichtig ist.“

Die Reihenfolge kann bei römischen Zahlen tatsächlich eine Rechenregel beeinflussen. Trotzdem haben die Positionen keine festen Stellenwerte wie <math>1,10,100,\ldots</math>. Deshalb ist die römische Zahlschrift kein Stellenwertsystem.

{{BR}}
= Mathematisch argumentieren =

Beim Begründen kannst Du dieses Schema benutzen:

# '''Behauptung''': Formuliere, was Du zeigen willst.
# '''Beispiel oder Gegenbeispiel''': Nutze eine passende Zahl.
# '''Mathematische Zerlegung''': Schreibe mit <math>\cdot</math>, <math>+</math> und Potenzen.
# '''Schluss''': Erkläre, warum das Beispiel Deine Behauptung stützt.

'''Beispiel:'''

Behauptung: „Die Null ist im Dezimalsystem als Platzhalter wichtig.“

<math>306=3\cdot100+0\cdot10+6.</math>

Ohne die Null entstünde

<math>36=3\cdot10+6.</math>

Also verändert das Weglassen der Null die Position der anderen Ziffern und damit den Zahlenwert. Die Null hält die Zehnerstelle frei.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Basis hat das Dezimalsystem?'''
(10)
(!2)
(!5)
(!60)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Wert hat die Ziffer 7 in der Zahl 5732?'''
(700)
(!7)
(!70)
(!7000)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum steht in 507 eine Null?'''
(Sie hält die Zehnerstelle frei)
(!Sie macht die Zahl automatisch gerade)
(!Sie verdoppelt den Wert der 5)
(!Sie ersetzt die Einerstelle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was unterscheidet die römische Zahlschrift vom Dezimalsystem?'''
(Die römischen Zeichen haben feste Grundwerte statt Stellenwerte)
(!Römische Zahlen benutzen die Basis 2)
(!Römische Zahlen besitzen zehn Ziffern)
(!Römische Zahlen brauchen immer eine Null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Wert hat XL?'''
(40)
(!60)
(!15)
(!110)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Ziffern werden im Dualsystem verwendet?'''
(0 und 1)
(!0 bis 9)
(!I und V)
(!1 bis 60)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Dezimalwert hat die Binärzahl 10110?'''
(22)
(!18)
(!24)
(!30)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie wird die Dezimalzahl 12 im Dualsystem geschrieben?'''
(1100)
(!1010)
(!1110)
(!1001)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bleibt beim Übersetzen zwischen Zahlensystemen gleich?'''
(Der Zahlenwert)
(!Die Anzahl der Zeichen)
(!Die Basis)
(!Die verwendeten Ziffern)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Basis verwendete das babylonische Stellenwertsystem?'''
(60)
(!10)
(!2)
(!12)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Basis 10 || Dezimalsystem
|-
| Basis 2 || Dualsystem
|-
| I V X L C D M || Römische Zahlzeichen
|-
| Null als Platzhalter || freie Stelle sichtbar machen
|-
| Ziffernposition || legt den Stellenwert fest
|-
| Basis 60 || Babylonisches Stellenwertsystem
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Dezimalsystem'''
| Zehnerbündelung
|-
| '''Dualsystem'''
| Zweierbündelung
|-
| '''Römische Zahlschrift'''
| feste Zeichenwerte
|-
| '''Null als Platzhalter'''
| markiert eine unbesetzte Stelle
|-
| '''Ziffernposition'''
| bestimmt den Stellenwert

|}
{{E}}

<br>
</div>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Dezimalsystem || Wie heißt unser Stellenwertsystem mit der Basis zehn?
|-
| Stellenwert || Wie heißt der Wert, der zu einer bestimmten Position gehört?
|-
| Platzhalter || Welche Funktion hat die Null zum Beispiel in 507?
|-
| Dualsystem || Wie heißt das Stellenwertsystem mit den Ziffern Null und Eins?
|-
| Zahlzeichen || Wie nennt man ein geschriebenes Symbol zur Darstellung einer Zahl?
|-
| Sexagesimalsystem || Wie heißt ein Stellenwertsystem zur Basis sechzig?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M5+E+-+Stellenwertsysteme+vergleichen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Im Dezimalsystem ist die Basis { 10 }.
Der Wert einer Ziffer hängt in einem Stellenwertsystem von ihrer { Position } ab.
Die Zahl 507 benötigt die Null als { Platzhalter }.
Römische Zahlzeichen besitzen feste { Zeichenwerte }.
Im Dualsystem gibt es nur die Ziffern 0 und { 1 }.
Die Stellenwerte des Dualsystems sind Potenzen der Zahl { 2 }.
Die Binärzahl 10110 hat im Dezimalsystem den Wert { 22 }.
Beim Übersetzen in ein anderes Zahlensystem bleibt der { Zahlenwert } gleich.
Das historische babylonische Stellenwertsystem verwendete die Basis { 60 }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Stellenwerttafel|Stellenwert-Poster]]: Gestalte eine Stellenwerttafel für Einer, Zehner, Hunderter und Tausender. Trage drei selbst gewählte Zahlen ein und zerlege sie jeweils mit <math>\cdot</math> und <math>+</math>.
# [[Null|Null-Detektiv]]: Finde fünf Zahlen, bei denen eine Null zwischen zwei anderen Ziffern steht. Erkläre jeweils, was sich ändert, wenn die Null entfernt wird.
# [[Römische Zahlschrift|Römische Zahlen im Alltag]]: Suche in Deiner Umgebung nach römischen Zahlen, zum Beispiel an Uhren, Gebäuden oder in Büchern. Zeichne oder fotografiere ein Beispiel und übersetze es.
# [[Dualsystem|Binärkarten]]: Bastle Karten mit den Werten <math>1,2,4,8,16</math>. Lege damit die Zahlen von <math>1</math> bis <math>20</math> und notiere die passenden Binärzahlen.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Zahlensystem|Übersetzungs-Triathlon]]: Wähle fünf Zahlen zwischen <math>1</math> und <math>50</math> und stelle jede dezimal, römisch und binär dar. Prüfe jede Übersetzung durch eine Wertzerlegung.
# [[Fehleranalyse|Fehler finden]]: Erfinde drei falsche Aussagen zu Stellenwerten, Null oder römischen Zahlen. Tausche sie mit einer anderen Person und widerlege die Fehler mit Gegenbeispielen.
# [[Mathematische Argumentation|Erklärkarte]]: Erstelle eine Karte mit der Behauptung „Die Position einer Ziffer ist im Dezimalsystem entscheidend“. Begründe sie mit mindestens zwei Zahlen und passenden <math>-Zerlegungen.
# [[Babylonische Mathematik|Historische Zahlzeichen]]: Recherchiere, wie babylonische Zahlzeichen aufgebaut waren. Erstelle eine kurze Gegenüberstellung zu Dezimal- und römischer Schreibweise und kennzeichne Gemeinsamkeiten und Unterschiede.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Null|Warum braucht ein Stellenwertsystem die Null?]]: Begründe ausführlich mit mindestens drei Beispielen, warum eine leere Stelle eindeutig gekennzeichnet werden muss. Vergleiche dabei Dezimal- und Dualsystem.
# [[Fünfersystem|Erfinde ein Basis-5-System]]: Verwende nur die Ziffern <math>0,1,2,3,4</math>. Entwickle eine Stellenwerttafel, stelle mindestens sechs Dezimalzahlen darin dar und erkläre die Bündelungsregel.
# [[Zahlensystem|Welches System rechnet besser?]]: Vergleiche die Addition einer selbst gewählten Zahlenpaarung im Dezimalsystem und mit römischen Zahlen. Begründe, welche Darstellung sich für ein schriftliches Verfahren besser eignet.
# [[Erklärvideo|Erkläranimation]]: Produziere ein kurzes Video oder eine Folienanimation, in der die Zahl <math>22</math> nacheinander als <math>22</math>, XXII und <math>(10110)_2</math> erscheint. Erkläre bei jedem Wechsel, was sich verändert und was gleich bleibt.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transfer|Unbekannte Basis]]: In einem erfundenen Stellenwertsystem gilt von rechts nach links <math>1,4,16,64</math>. Bestimme die Basis und erkläre Deine Entscheidung.
# [[Argumentation|Null begründen]]: Zwei Lernende behaupten, <math>403</math> und <math>43</math> unterschieden sich nur „durch eine wertlose Null“. Widerlege die Aussage mithilfe einer Stellenwertzerlegung.
# [[Systemvergleich|Darstellungen vergleichen]]: Erkläre, warum <math>30</math>, XXX und <math>(11110)_2</math> denselben Zahlenwert bezeichnen, obwohl die Schreibweisen unterschiedlich lang sind.
# [[Fehleranalyse|Falsche Binärzahl]]: Jemand schreibt <math>(1021)_2</math>. Erkläre, warum diese Schreibweise im üblichen Dualsystem nicht möglich ist, und formuliere die allgemeine Regel für erlaubte Ziffern.
# [[Mathematische Modellierung|Eigenes System]]: Entwickle ein Stellenwertsystem zur Basis <math>3</math>. Gib die erlaubten Ziffern und die ersten vier Stellenwerte an und stelle anschließend die Dezimalzahl <math>10</math> darin dar.
# [[Bewerten|Geeignetes Zahlensystem]]: Beurteile, ob Du für schriftliche Addition lieber das Dezimalsystem oder die römische Zahlschrift verwenden würdest. Begründe mit Strukturmerkmalen und einem selbst gewählten Beispiel.

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{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:
# den Unterschied zwischen '''Ziffer''', '''Stelle''', '''Stellenwert''' und '''Zahlenwert''' sicher erklären kannst.
# die Basis eines Stellenwertsystems als Bündelungsfaktor verstehst.
# Zahlen im Dezimalsystem mit Potenzen von <math>10</math> zerlegen kannst.
# die Funktion der Null als Platzhalter an Beispielen begründen kannst.
# die römische Zahlschrift als nichtstelliges System von Stellenwertsystemen unterscheiden kannst.
# einfache römische Zahlen sicher lesen und schreiben kannst.
# einfache Binärzahlen mit Potenzen von <math>2</math> auswerten kannst.
# denselben Zahlenwert in mehreren Zahlschriften darstellen kannst.
# Fehler in Begründungen zu Zahlensystemen erkennen und mathematisch korrigieren kannst.
# eine eigene Schlussfolgerung mit Beispiel, Rechnung und Begründung darstellen kannst.

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{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Stellenwertsystem </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/R%C3%B6mische_Zahlschrift </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dualsystem </iframe>

{{BR}}
== Weitere interaktive OER ==

# [https://www.geogebra.org/m/gkrwcnus GeoGebra: Stellenwerttabelle für natürliche Zahlen]
# [https://www.geogebra.org/m/yt3f7ek5 GeoGebra: Stellenwert-System mit Bündeln]
# [https://www.geogebra.org/m/vbfmxdf8 GeoGebra: Dezimalsystem und Dualsystem]
# [https://www.geogebra.org/m/h5ws2TBZ GeoGebra/Serlo: Zahlengerade]
# [https://www.geogebra.org/math/natural-numbers?lang=de GeoGebra: Natürliche Zahlen und römische Zahlen für Schulstufe 5–6]

{{BR}}
== Medien- und Quellenhinweise ==

Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Die jeweilige freie Lizenz beziehungsweise Gemeinfreiheit ist auf der Dateibeschreibungsseite dokumentiert.

# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Base_ten_blocks_(transparent).svg Wikimedia Commons: Base ten blocks – CC0]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Decimal_Place_Value_Chart_(emphasizing_the_One%27s_Column).jpg Wikimedia Commons: Decimal Place Value Chart – CC0]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Roman_numerals_on_alarm_clock_(Unsplash).jpg Wikimedia Commons: Roman numerals on alarm clock – CC0]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Babylonian_numerals.svg Wikimedia Commons: Babylonian numerals – freie CC-BY-SA-Lizenz]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Babylonian_digit_0.svg Wikimedia Commons: Babylonian digit 0]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Decimal_duodecimal_conversion_clockface.png Wikimedia Commons: historische Dezimal-/Duodezimal-Uhr]
# [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenwertsystem Wikipedia: Stellenwertsystem]
# [https://de.wikipedia.org/wiki/R%C3%B6mische_Zahlschrift Wikipedia: Römische Zahlschrift]
# [https://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem Wikipedia: Dualsystem]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Stellenwertsysteme]]'''
# [[Natürliche Zahlen]]
# [[Dezimalsystem]]
# [[Stellenwerttafel]]
# [[Römische Zahlschrift]]
# [[Dualsystem]]
# [[Zahlensystem]]
# [[Null]]
# [[Potenzen]]
# [[Mathematische Argumentation]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 5]]
[[Kategorie:Zahlensysteme]]
[[Kategorie:Stellenwertsystem]]
[[Kategorie:Römische Zahlen]]
[[Kategorie:Dualsystem]]
[[Kategorie:E-Niveau]]
[[Kategorie:M5]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M5 E - Stellenwertsysteme vergleichen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt