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2026-09-15T12:10:05Z

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{{T}}

{{BR}}
= M5 E - Primfaktorzerlegung =

{{BR}}
= Einleitung =

Bei einer '''Primfaktorzerlegung''' zerlegst Du eine natürliche Zahl größer als <math>1</math> vollständig in [[Primzahl|Primzahlen]]. Diese Primzahlen heißen '''Primfaktoren'''. Das Ziel ist also nicht irgendeine Zerlegung, sondern eine Zerlegung, bei der am Ende nur noch Primzahlen vorkommen.

Ein Beispiel:

<math>60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=2^2\cdot3\cdot5</math>

Die Zerlegung ist besonders nützlich, weil Du damit [[Teiler]], [[Teilbarkeit]], [[größter gemeinsamer Teiler|ggT]] und [[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kgV]] besser verstehen kannst. Im E-Niveau geht es außerdem darum, aus der Primfaktorzerlegung begründet abzulesen, welche Zahlen Teiler einer gegebenen Zahl sind und welche nicht.

'''Lernziele:''' Nach diesem aiMOOC kannst Du zusammengesetzte natürliche Zahlen systematisch in Primfaktoren zerlegen, gleiche Primfaktoren mit [[Potenz|Potenzen]] zusammenfassen, Deine Zerlegung durch Multiplikation überprüfen und aus der Zerlegung Aussagen über Teiler ableiten.

{{BR}}
== Primzahlen als Bausteine der natürlichen Zahlen ==

Eine '''Primzahl''' ist eine natürliche Zahl größer als <math>1</math>, die genau zwei positive Teiler hat: <math>1</math> und sich selbst.

Beispiele:

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Zahl
! Teiler
! Primzahl?
|-
| <math>2</math>
| <math>1,2</math>
| Ja
|-
| <math>3</math>
| <math>1,3</math>
| Ja
|-
| <math>4</math>
| <math>1,2,4</math>
| Nein
|-
| <math>5</math>
| <math>1,5</math>
| Ja
|-
| <math>11</math>
| <math>1,11</math>
| Ja
|-
| <math>12</math>
| <math>1,2,3,4,6,12</math>
| Nein
|}

'''Wichtig:''' Die Zahl <math>1</math> ist keine Primzahl. Sie hat nur einen positiven Teiler.

{{BR}}
== Primzahlkarten bis 50 ==

Nutze diese Übersicht wie einen Kartensatz. Wenn Du eine Zahl zerlegst, suchst Du zuerst nach kleinen Primzahlen.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto; font-size:120%;"
|-
| '''<math>2</math>''' || '''<math>3</math>''' || '''<math>5</math>''' || '''<math>7</math>''' || '''<math>11</math>'''
|-
| '''<math>13</math>''' || '''<math>17</math>''' || '''<math>19</math>''' || '''<math>23</math>''' || '''<math>29</math>'''
|-
| '''<math>31</math>''' || '''<math>37</math>''' || '''<math>41</math>''' || '''<math>43</math>''' || '''<math>47</math>'''
|}

Merke Dir besonders die kleinsten Primzahlen:

<math>2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ldots</math>

Sie helfen Dir, schnell passende erste Faktoren zu finden.

{{BR}}
== Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen als Rechtecke ==

Eine zusammengesetzte Zahl kann oft auf mehrere Arten als Rechteck aus gleich vielen Kästchen pro Reihe dargestellt werden. Bei einer Primzahl gibt es dagegen nur ein Rechteck mit einer Reihe beziehungsweise einer Spalte, wenn die Seitenlängen natürliche Zahlen sein sollen.

[[Datei:Number factorization and primes visualized.svg|700px|rahmenlos|center]]

Das freie Bild auf Wikimedia Commons stellt natürliche Zahlen von <math>1</math> bis <math>20</math> als Rechteckanordnungen dar. So kannst Du Faktoren als Seitenlängen eines Rechtecks sehen.

Beispiel:

<math>12=3\cdot4=2\cdot6</math>

Dagegen besitzt <math>11</math> keine Zerlegung

<math>11=a\cdot b</math>

mit natürlichen Zahlen <math>a>1</math> und <math>b>1</math>. Deshalb ist <math>11</math> eine Primzahl.

{{BR}}
== Dynamische Zahlengerade ==

Auf einer Zahlengeraden kannst Du natürliche Zahlen anordnen und markieren. Für die Primfaktorzerlegung ist das hilfreich, wenn Du Vielfache und Teilbarkeitsmuster untersuchst.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/FV7TJx6K </iframe>

Untersuche zum Beispiel die Vielfachen von <math>2</math>, <math>3</math> und <math>5</math>. Überlege: Welche Zahlen werden von mehreren dieser Primzahlen getroffen?

{{BR}}
= Von Faktoren zu Primfaktoren =

Ein '''Faktor''' ist eine Zahl, die in einer Multiplikation vorkommt.

<math>6\cdot10=60</math>

Hier sind <math>6</math> und <math>10</math> Faktoren von <math>60</math>. Aber beide Faktoren sind noch keine Primzahlen.

Deshalb zerlegen wir weiter:

<math>6=2\cdot3</math>

und

<math>10=2\cdot5</math>.

Damit folgt:

<math>60=(2\cdot3)\cdot(2\cdot5)</math>

also

<math>60=2\cdot2\cdot3\cdot5</math>

und kurz:

<math>60=2^2\cdot3\cdot5</math>.

{{BR}}
== Der Faktorbaum ==

Ein [[Faktorbaum]] zeigt die Zerlegung Schritt für Schritt. Jeder zusammengesetzte Faktor wird weiter zerlegt. Erst wenn an allen Enden Primzahlen stehen, ist die Zerlegung abgeschlossen.

[[Datei:Factor Tree 60.svg|500px|rahmenlos|center]]

Für <math>60</math> kannst Du zum Beispiel mit

<math>60=6\cdot10</math>

beginnen.

Dann gilt:

<math>6=2\cdot3</math>

und

<math>10=2\cdot5</math>.

Die Blätter des Faktorbaums sind damit

<math>2,\ 3,\ 2,\ 5</math>.

Nach dem Sortieren erhältst Du:

<math>2,\ 2,\ 3,\ 5</math>.

Also:

<math>\boxed{60=2^2\cdot3\cdot5}</math>

{{BR}}
== Verschiedene Faktorwege führen zum selben Ziel ==

Du musst nicht immer mit denselben Faktoren beginnen.

Weg A:

<math>60=6\cdot10</math>

<math>60=(2\cdot3)\cdot(2\cdot5)</math>

<math>60=2^2\cdot3\cdot5</math>

Weg B:

<math>60=3\cdot20</math>

<math>60=3\cdot4\cdot5</math>

<math>60=3\cdot2\cdot2\cdot5</math>

<math>60=2^2\cdot3\cdot5</math>

Die Reihenfolge der Primfaktoren kann verschieden sein. Das Ergebnis enthält aber dieselben Primfaktoren mit denselben Häufigkeiten.

Das ist eine wichtige Eigenschaft: Jede natürliche Zahl größer als <math>1</math> besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung, wenn man nur die Reihenfolge der Faktoren außer Acht lässt.

{{BR}}
== Ein zweiter Faktorbaum: 42 ==

[[Datei:Factor Tree 42.svg|500px|rahmenlos|center]]

Rechnerisch:

<math>42=6\cdot7</math>

<math>42=(2\cdot3)\cdot7</math>

also:

<math>\boxed{42=2\cdot3\cdot7}</math>

Kontrolle:

<math>2\cdot3\cdot7=6\cdot7=42</math>.

{{BR}}
= Systematisches Zerlegen durch Division =

Neben dem Faktorbaum kannst Du eine Zahl auch nacheinander durch kleine Primzahlen teilen.

Arbeite möglichst in dieser Reihenfolge:

<math>2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ldots</math>

Wenn die Zahl durch <math>2</math> teilbar ist, teilst Du durch <math>2</math>. Prüfe danach erneut, ob der Rest noch einmal durch <math>2</math> teilbar ist. Erst wenn das nicht mehr geht, versuchst Du die nächste Primzahl.

{{BR}}
== Teilbarkeitsregeln als Start-Hilfe ==

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Primzahl
! Schneller Test
! Beispiel
|-
| <math>2</math>
| Die letzte Ziffer ist gerade.
| <math>84</math> ist durch <math>2</math> teilbar.
|-
| <math>3</math>
| Die Quersumme ist durch <math>3</math> teilbar.
| <math>126</math>: <math>1+2+6=9</math>.
|-
| <math>5</math>
| Die Zahl endet auf <math>0</math> oder <math>5</math>.
| <math>90</math> ist durch <math>5</math> teilbar.
|}

Diese Regeln helfen Dir nur beim Finden eines passenden Primfaktors. Die vollständige Primfaktorzerlegung entsteht erst, wenn Du bis zu Primzahlen weiterzerlegst.

{{BR}}
== Beispiel: 84 schrittweise zerlegen ==

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Schritt
! Aktuelle Zahl
! Primteiler
! Rechnung
! Rest
|-
| 1
| <math>84</math>
| <math>2</math>
| <math>84:2</math>
| <math>42</math>
|-
| 2
| <math>42</math>
| <math>2</math>
| <math>42:2</math>
| <math>21</math>
|-
| 3
| <math>21</math>
| <math>3</math>
| <math>21:3</math>
| <math>7</math>
|-
| 4
| <math>7</math>
| <math>7</math>
| <math>7:7</math>
| <math>1</math>
|}

Die gefundenen Primfaktoren sind:

<math>2,\ 2,\ 3,\ 7</math>.

Also:

<math>\boxed{84=2^2\cdot3\cdot7}</math>

'''Produktprobe:'''

<math>2^2\cdot3\cdot7=4\cdot3\cdot7=12\cdot7=84</math>.

Die Probe bestätigt die Zerlegung.

{{BR}}
== Beispiel: 90 schrittweise zerlegen ==

<math>90=2\cdot45</math>

<math>45=3\cdot15</math>

<math>15=3\cdot5</math>

Damit:

<math>90=2\cdot3\cdot3\cdot5</math>

und mit Potenzschreibweise:

<math>\boxed{90=2\cdot3^2\cdot5}</math>

'''Produktprobe:'''

<math>2\cdot3^2\cdot5=2\cdot9\cdot5=18\cdot5=90</math>.

{{BR}}
== Beispiel: 126 mit Teilbarkeitsregeln ==

Die Zahl <math>126</math> ist gerade. Deshalb ist <math>2</math> ein Primfaktor.

<math>126=2\cdot63</math>

Für <math>63</math> gilt:

<math>6+3=9</math>.

Also ist <math>63</math> durch <math>3</math> teilbar.

<math>63=3\cdot21</math>

Auch <math>21</math> ist durch <math>3</math> teilbar:

<math>21=3\cdot7</math>.

Damit:

<math>\boxed{126=2\cdot3^2\cdot7}</math>

Kontrolle:

<math>2\cdot9\cdot7=18\cdot7=126</math>.

{{BR}}
== Beispiel: 72 und Potenzschreibweise ==

<math>72=2\cdot36</math>

<math>36=2\cdot18</math>

<math>18=2\cdot9</math>

<math>9=3\cdot3</math>

Also:

<math>72=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3</math>

und kurz:

<math>\boxed{72=2^3\cdot3^2}</math>.

Kontrolle:

<math>2^3\cdot3^2=8\cdot9=72</math>.

{{BR}}
= Potenzen lesen =

Wenn derselbe Primfaktor mehrfach vorkommt, kannst Du ihn als Potenz schreiben.

<math>2\cdot2\cdot2=2^3</math>

<math>3\cdot3=3^2</math>

Deshalb gilt:

<math>72=2^3\cdot3^2</math>.

Der [[Exponent]] zeigt an, wie oft der Primfaktor als Faktor vorkommt.

Bei

<math>60=2^2\cdot3\cdot5</math>

kommt der Faktor <math>2</math> zweimal vor, der Faktor <math>3</math> einmal und der Faktor <math>5</math> einmal.

{{BR}}
== Was passiert bei einer Primzahl? ==

Ist die Ausgangszahl bereits eine Primzahl, ist sie nicht weiter in kleinere natürliche Faktoren größer als <math>1</math> zerlegbar.

Beispiel:

<math>\boxed{47=47}</math>

Die einzige Primfaktorzerlegung besteht also aus der Primzahl selbst.

{{BR}}
== Sonderfall 1 ==

Die Zahl <math>1</math> besitzt keine Primfaktoren. Deshalb schreiben wir für sie keine Primfaktorzerlegung als Produkt von Primzahlen.

Das passt dazu, dass <math>1</math> keine Primzahl ist.

{{BR}}
= Primfaktorzerlegung und Teiler =

Die Primfaktorzerlegung verrät Dir sehr viel über die [[Teiler]] einer Zahl.

Betrachte wieder:

<math>60=2^2\cdot3\cdot5</math>.

Ein Teiler von <math>60</math> darf nur Primfaktoren verwenden, die in dieser Zerlegung vorkommen, und keinen davon häufiger, als er in <math>60</math> vorkommt.

{{BR}}
== Teiler aus Primfaktoren zusammensetzen ==

Aus

<math>60=2^2\cdot3\cdot5</math>

kannst Du zum Beispiel bilden:

<math>2</math>

<math>3</math>

<math>5</math>

<math>2\cdot2=4</math>

<math>2\cdot3=6</math>

<math>2\cdot5=10</math>

<math>2^2\cdot3=12</math>

<math>3\cdot5=15</math>

<math>2^2\cdot5=20</math>

<math>2\cdot3\cdot5=30</math>

und natürlich <math>1</math> sowie <math>60</math> selbst.

Damit sind die positiven Teiler:

<math>1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 10,\ 12,\ 15,\ 20,\ 30,\ 60</math>.

{{BR}}
== Teiler schnell begründen ==

Aus

<math>60=2^2\cdot3\cdot5</math>

folgt:

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Behauptung
! Entscheidung
! Begründung mit Primfaktoren
|-
| <math>4\mid60</math>
| Ja
| <math>4=2^2</math> und <math>2^2</math> steckt in der Zerlegung.
|-
| <math>6\mid60</math>
| Ja
| <math>6=2\cdot3</math> und beide Primfaktoren sind vorhanden.
|-
| <math>8\mid60</math>
| Nein
| <math>8=2^3</math>, aber <math>60</math> enthält nur <math>2^2</math>.
|-
| <math>15\mid60</math>
| Ja
| <math>15=3\cdot5</math>.
|-
| <math>9\mid60</math>
| Nein
| <math>9=3^2</math>, aber <math>60</math> enthält nur einen Faktor <math>3</math>.
|}

Das Zeichen <math>a\mid b</math> bedeutet: <math>a</math> teilt <math>b</math> ohne Rest.

{{BR}}
== E-Niveau: Anzahl der Teiler aus den Exponenten ==

Bei

<math>60=2^2\cdot3^1\cdot5^1</math>

kann ein Teiler den Faktor <math>2</math> nullmal, einmal oder zweimal enthalten. Dafür gibt es also <math>3</math> Möglichkeiten.

Der Faktor <math>3</math> kann nullmal oder einmal vorkommen. Dafür gibt es <math>2</math> Möglichkeiten.

Der Faktor <math>5</math> kann ebenfalls nullmal oder einmal vorkommen. Auch dafür gibt es <math>2</math> Möglichkeiten.

Insgesamt erhältst Du:

<math>(2+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=3\cdot2\cdot2=12</math>

positive Teiler.

Das stimmt mit der oben aufgelisteten Teilermenge überein.

{{BR}}
= Visuelle Schritt-für-Schritt-Zerlegung =

Die folgende Animation zeigt das Prinzip einer fortschreitenden Faktorisierung an einer größeren Zahl. Entscheidend ist nicht, dass Du diese Zahl sofort im Kopf zerlegst, sondern dass Du beobachtest, wie zusammengesetzte Faktoren immer weiter aufgespalten werden.

[[Datei:Factorization.gif|700px|rahmenlos|center]]

Stoppe gedanklich an jeder Stufe und frage:

# Sind alle sichtbaren Endfaktoren Primzahlen?
# Falls nein: Welcher Faktor muss noch zerlegt werden?
# Kann ich das bisherige Produkt durch Multiplikation kontrollieren?

{{BR}}
== Interaktive Zerlegung mit Faktorbaum ==

Mit diesem GeoGebra-Material kannst Du Zahlen auswählen, Faktorpaare untersuchen, einen Faktorbaum aufbauen und die Primfaktorzerlegung kontrollieren.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/paA4EbQw </iframe>

Arbeitsauftrag:

# Wähle eine zusammengesetzte Zahl zwischen <math>20</math> und <math>100</math>.
# Baue einen Faktorbaum.
# Notiere die Primfaktoren in aufsteigender Reihenfolge.
# Schreibe gleiche Faktoren als Potenz.
# Führe eine Produktprobe durch.

{{BR}}
== Interaktive Rechteckdarstellung von Faktoren ==

Faktoren lassen sich auch als Seitenlängen eines Rechtecks deuten. Diese Darstellung verbindet Teilbarkeit mit Geometrie.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/KDuaSGs3 </iframe>

Untersuche zum Beispiel <math>24</math>, <math>30</math> und <math>49</math>. Vergleiche die möglichen Rechtecke mit den jeweiligen Faktorzerlegungen.

{{BR}}
== Vertiefende GeoGebra-Lernumgebung ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/ax8sq3px </iframe>

Die Lernumgebung verbindet Primzahlen, Primzahlprüfung, Primfaktorzerlegung und Aufgaben zur Teilbarkeit.

{{BR}}
= Typische Fehler und wie Du sie erkennst =

{{BR}}
== Fehler 1: Zu früh aufhören ==

Falsch:

<math>60=2\cdot30</math>

Das ist noch keine Primfaktorzerlegung, weil <math>30</math> keine Primzahl ist.

Weiter:

<math>30=2\cdot15</math>

und

<math>15=3\cdot5</math>.

Erst dann:

<math>60=2^2\cdot3\cdot5</math>.

{{BR}}
== Fehler 2: Einen zusammengesetzten Faktor stehen lassen ==

Falsch:

<math>84=2\cdot6\cdot7</math>

Der Faktor <math>6</math> ist zusammengesetzt.

Richtig:

<math>6=2\cdot3</math>

also:

<math>84=2^2\cdot3\cdot7</math>.

{{BR}}
== Fehler 3: Die Produktprobe vergessen ==

Angenommen, jemand schreibt:

<math>90=2\cdot3\cdot5</math>.

Die Produktprobe zeigt sofort:

<math>2\cdot3\cdot5=30</math>

und nicht <math>90</math>.

Damit ist klar: Es fehlt ein Primfaktor <math>3</math>.

Richtig ist:

<math>90=2\cdot3^2\cdot5</math>.

{{BR}}
== Fehler 4: Die 1 als Primfaktor verwenden ==

Eine Schreibweise wie

<math>30=1\cdot2\cdot3\cdot5</math>

liefert zwar rechnerisch wieder <math>30</math>, aber <math>1</math> ist kein Primfaktor. In der Primfaktorzerlegung wird sie deshalb nicht aufgeführt.

{{BR}}
= Merkschema =

{| class="wikitable" style="margin:auto;"
! Schritt
! Frage an Dich
! Beispiel bei <math>60</math>
|-
| '''Start'''
| Durch welche kleine Primzahl ist die Zahl teilbar?
| <math>60</math> ist durch <math>2</math> teilbar.
|-
| '''Teilen'''
| Was bleibt nach der Division?
| <math>60:2=30</math>
|-
| '''Weiterteilen'''
| Ist der Rest noch zusammengesetzt?
| <math>30:2=15</math>, danach <math>15:3=5</math>
|-
| '''Stoppen'''
| Ist der letzte Rest prim?
| <math>5</math> ist prim.
|-
| '''Ordnen'''
| Welche Primfaktoren wurden gefunden?
| <math>2,2,3,5</math>
|-
| '''Kurzschreibweise'''
| Welche Faktoren wiederholen sich?
| <math>2^2\cdot3\cdot5</math>
|-
| '''Probe'''
| Ergibt die Multiplikation wieder die Ausgangszahl?
| <math>4\cdot3\cdot5=60</math>
|}

{{BR}}
= Erklärvideos =

Das folgende Video ist ausdrücklich für die 5. Klasse angelegt und erklärt das Grundprinzip der Primfaktorzerlegung.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=TJkFnoVmABU |500|center}}

Ein zweites Video zeigt eine kurze Einführung mit Beispielen wie <math>36</math> und <math>105</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=q_Jhhqp4p3w |500|center}}

Zur Vertiefung kannst Du Dir weitere Beispiele ansehen:

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=l6vSWJmbh0s |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was kennzeichnet eine Primzahl?'''
(Sie ist größer als eins und hat genau zwei positive Teiler.)
(!Sie ist immer ungerade.)
(!Sie hat genau drei positive Teiler.)
(!Sie lässt sich immer durch fünf teilen.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Primfaktorzerlegung gehört zu 60?'''
(2 mal 2 mal 3 mal 5)
(!2 mal 3 mal 10)
(!3 mal 4 mal 5)
(!2 mal 5 mal 6)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zerlegung gehört zu 84?'''
(2 hoch 2 mal 3 mal 7)
(!2 mal 3 mal 7)
(!2 hoch 3 mal 3 mal 7)
(!2 hoch 2 mal 5 mal 7)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist ein Faktorbaum fertig?'''
(Wenn an allen Enden Primzahlen stehen.)
(!Wenn genau zwei Äste gezeichnet wurden.)
(!Wenn die Ausgangszahl gerade ist.)
(!Wenn irgendwo die Zahl zehn vorkommt.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Wert ist ein Teiler von 60 und lässt sich direkt aus 2 hoch 2 mal 3 mal 5 zusammensetzen?'''
(12)
(!8)
(!9)
(!25)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Primfaktorzerlegung gehört zu 72?'''
(2 hoch 3 mal 3 hoch 2)
(!2 hoch 2 mal 3 hoch 2)
(!2 hoch 3 mal 3)
(!2 mal 3 hoch 3)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage über die Zahl 1 ist richtig?'''
(Sie ist keine Primzahl.)
(!Sie ist die kleinste Primzahl.)
(!Sie besitzt genau zwei positive Teiler.)
(!Sie ist ein Primfaktor jeder Zahl.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist 8 kein Teiler von 60?'''
(Weil 8 drei Zweierfaktoren braucht, 60 aber nur zwei Zweierfaktoren enthält.)
(!Weil 8 keine gerade Zahl ist.)
(!Weil 60 keinen Zweierfaktor enthält.)
(!Weil jeder Teiler von 60 eine Primzahl sein muss.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Primfaktorzerlegung gehört zu 90?'''
(2 mal 3 hoch 2 mal 5)
(!2 hoch 2 mal 3 mal 5)
(!2 mal 3 mal 5)
(!3 hoch 2 mal 10)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bleibt bei verschiedenen richtigen Faktorwegen gleich?'''
(Die Primfaktoren und ihre Häufigkeiten.)
(!Die Form des gezeichneten Faktorbaums.)
(!Die Reihenfolge aller Zwischenschritte.)
(!Der zuerst gewählte Faktor.)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Primzahl || Natürliche Zahl größer als eins mit genau zwei positiven Teilern
|-
| Primfaktor || Primzahl, die eine gegebene Zahl ohne Rest teilt
|-
| Faktorbaum || Verzweigte Darstellung einer vollständigen Zerlegung
|-
| Produktprobe || Kontrolle durch Rückmultiplikation der gefundenen Primfaktoren
|-
| Potenz || Kurzschreibweise für wiederholte gleiche Faktoren
|-
| Teilbarkeit || Division ohne Rest
|-
| Quersumme || Hilfsmittel zur Prüfung auf Teilbarkeit durch drei
|-
| Exponent || Gibt an, wie oft ein gleicher Primfaktor vorkommt
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Gerade Endziffer'''
| Zweierfaktor
|-
| '''Endziffer Null oder Fünf'''
| Fünferfaktor
|-
| '''Durch drei teilbare Quersumme'''
| Dreierfaktor
|-
| '''Nur Primzahlen an den Blättern'''
| Fertiger Faktorbaum
|-
| '''Rückrechnung durch Multiplikation'''
| Produktprobe

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Primzahl || Wie heißt eine natürliche Zahl größer als eins mit genau zwei positiven Teilern?
|-
| Faktorbaum || Wie heißt die verzweigte Darstellung einer schrittweisen Zerlegung?
|-
| Produktprobe || Wie heißt die Kontrolle durch Rückmultiplikation?
|-
| Quersumme || Welche Rechengröße hilft bei der Teilbarkeit durch drei?
|-
| Exponent || Wie heißt die hochgestellte Zahl in einer Potenz?
|-
| Teilbarkeit || Wie heißt die Eigenschaft, wenn eine Division ohne Rest möglich ist?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M5+E+Primfaktorzerlegung </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Primzahl besitzt genau { zwei } positive Teiler.
Die Zahl { eins } ist keine Primzahl.
Bei einer Primfaktorzerlegung werden zusammengesetzte Zahlen vollständig in { Primzahlen } zerlegt.
Ein Faktorbaum ist fertig, wenn an allen Enden nur noch { Primzahlen } stehen.
Gleiche Primfaktoren können mit einer { Potenz } abgekürzt werden.
Bei der Zahl sechzig kommt der Primfaktor zwei { zweimal } vor.
Die Zerlegung von sechzig enthält außerdem die Primfaktoren drei und { fünf }.
Mit einer { Produktprobe } kontrollierst Du die Zerlegung durch Multiplikation.
Ein Teiler darf keinen Primfaktor häufiger benötigen, als er in der { Primfaktorzerlegung } vorkommt.
Die Quersumme hilft besonders beim Prüfen der Teilbarkeit durch { drei }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Primzahlkarten]]: Gestalte eigene Karten für alle Primzahlen bis <math>50</math>. Notiere auf der Rückseite jeweils, warum die Zahl prim ist.
# [[Faktorbaum zeichnen]]: Zeichne einen Faktorbaum für <math>36</math> und kontrolliere Dein Ergebnis durch Multiplikation.
# [[Produktprobe]]: Zerlege <math>45</math>, <math>50</math> und <math>70</math> in Primfaktoren und führe zu jeder Zahl eine Produktprobe durch.
# [[Teiler entdecken]]: Nutze die Zerlegung <math>30=2\cdot3\cdot5</math> und finde alle positiven Teiler von <math>30</math>.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Zwei Faktorwege]]: Zerlege <math>72</math> auf zwei verschiedenen Wegen mit Faktorbaum. Erkläre, warum beide Wege dieselbe Primfaktorzerlegung ergeben.
# [[Fehlerdetektiv]]: Eine Person schreibt <math>84=2\cdot6\cdot7</math> als fertige Primfaktorzerlegung. Erkläre den Fehler und verbessere die Lösung.
# [[Teilbarkeit begründen]]: Entscheide mithilfe von <math>120=2^3\cdot3\cdot5</math>, ob <math>8</math>, <math>9</math>, <math>10</math>, <math>12</math>, <math>15</math> und <math>25</math> Teiler von <math>120</math> sind.
# [[Erklärplakat]]: Erstelle ein übersichtliches Lernplakat mit Faktorbaum, Potenzschreibweise, Teilbarkeitsregeln und Produktprobe am Beispiel einer selbst gewählten Zahl.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Teilerstruktur untersuchen]]: Zerlege <math>180</math> in Primfaktoren und entwickle ein System, mit dem Du alle positiven Teiler findest, ohne einen Teiler zu vergessen.
# [[Vergleich zweier Zahlen]]: Zerlege <math>84</math> und <math>126</math>. Markiere gemeinsame Primfaktoren und erkläre, wie sich daraus gemeinsame Teiler erkennen lassen.
# [[Eigenes Lernvideo]]: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du eine Zahl mit mindestens drei verschiedenen Primfaktoren zerlegst, die Potenzschreibweise erklärst und eine Produktprobe ausführst.
# [[Forscherauftrag]]: Untersuche Zahlen der Form <math>2^a\cdot3^b</math> für kleine natürliche Exponenten. Beschreibe, wie sich die Anzahl möglicher Teiler verändert, wenn ein Exponent erhöht wird.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Strategiewahl]]: Du sollst <math>294</math> zerlegen. Begründe, mit welcher Primzahl Du beginnen würdest, führe die Zerlegung vollständig aus und kontrolliere sie.
# [[Fehleranalyse]]: Jemand behauptet <math>108=2^2\cdot3^2</math>. Zeige mit einer Produktprobe, warum die Aussage falsch ist, und bestimme die richtige Zerlegung.
# [[Transfer Teilbarkeit]]: Gegeben ist <math>n=2^3\cdot3^2\cdot5</math>. Entscheide begründet, ob <math>24</math>, <math>40</math>, <math>45</math>, <math>72</math> und <math>90</math> Teiler von <math>n</math> sind.
# [[Vergleich von Faktorwegen]]: Erstelle zwei verschiedene Faktorwege für <math>120</math>. Erkläre, warum die Primfaktorzerlegung trotz unterschiedlicher Zwischenschritte übereinstimmt.
# [[Unbekannte Zahl]]: Eine Zahl hat die Primfaktorzerlegung <math>2^2\cdot3\cdot7</math>. Bestimme die Zahl und erkläre, welche Teiler Du sofort erkennen kannst.
# [[Gegenbeispiel]]: Prüfe die Aussage „Wenn zwei Zahlen beide durch <math>6</math> teilbar sind, enthalten beide mindestens die Primfaktoren <math>2</math> und <math>3</math>.“ Begründe Deine Entscheidung mit Primfaktorzerlegungen.
# [[Muster erkennen]]: Vergleiche die Zerlegungen von <math>18</math>, <math>36</math>, <math>72</math> und <math>144</math>. Beschreibe, wie sich die Exponenten verändern und welche Teilbarkeitseigenschaften daraus folgen.

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse angibst, sondern Deine Zerlegung nachvollziehbar darstellst.

# [[Primzahlen erkennen]]: Du kannst entscheiden, ob eine kleine natürliche Zahl eine Primzahl ist.
# [[Faktorbaum anwenden]]: Du kannst eine zusammengesetzte Zahl vollständig bis zu Primzahlen zerlegen.
# [[Systematisch dividieren]]: Du kannst kleine Primzahlen der Reihe nach als mögliche Teiler prüfen.
# [[Potenzschreibweise verwenden]]: Du kannst wiederholte gleiche Primfaktoren korrekt als Potenz schreiben.
# [[Produktprobe durchführen]]: Du kannst Deine Zerlegung durch Multiplikation kontrollieren.
# [[Teiler begründen]]: Du kannst aus einer Primfaktorzerlegung entscheiden, ob eine Zahl Teiler ist.
# [[Fehler erklären]]: Du kannst unvollständige oder falsche Primfaktorzerlegungen erkennen und verbessern.
# [[Zusammenhänge darstellen]]: Du kannst Primfaktoren, Teilbarkeit und Teiler miteinander verbinden.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

Wikipedia bietet einen ausführlichen Überblick zur Primfaktorzerlegung:

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung </iframe>

Weitere freie beziehungsweise offene Lernressourcen:

# [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Prime_factorization Wikimedia Commons: Kategorie Prime factorization] – freie Abbildungen und Animationen zu Faktorzerlegungen.
# [https://www.geogebra.org/m/paA4EbQw GeoGebra: Primality and Prime Factorization] – interaktive Primzahlprüfung und Faktorbaum.
# [https://www.geogebra.org/m/ax8sq3px GeoGebra: Primfaktorzerlegung] – deutschsprachige Lernumgebung.
# [https://www.geogebra.org/m/sxwn5bmd GeoGebra: Primfaktorzerlegung, Schulstufe 5–6] – Aufgaben zur eigenständigen Zerlegung.

{{BR}}
== Medienhinweise ==

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien wurden wegen ihres direkten Lernbezugs ausgewählt. Die Lizenzinformationen sind jeweils auf der zugehörigen Dateiseite dokumentiert. Die Datei „Factor Tree 60.svg“ ist unter CC0 veröffentlicht. „Factorization.gif“ ist gemeinfrei. „PrimeDecompositionExample.svg“ und „Number factorization and primes visualized.svg“ sind ebenfalls als freie Commons-Medien verfügbar. Bei eingebetteten YouTube- und GeoGebra-Inhalten verbleiben Rechte und technische Bereitstellung bei den jeweiligen Plattformen und Urheberinnen beziehungsweise Urhebern.

{{BR}}
= Erweiterung: Größere Zerlegung lesen =

[[Datei:PrimeDecompositionExample.svg|600px|rahmenlos|center]]

Die Abbildung zeigt eine Zerlegung von <math>864</math>. Du musst eine solche Zahl im E-Niveau nicht immer vollständig im Kopf zerlegen. Du solltest aber den Aufbau lesen können.

Eine mögliche Rechnung ist:

<math>864=32\cdot27</math>

mit

<math>32=2^5</math>

und

<math>27=3^3</math>.

Also:

<math>\boxed{864=2^5\cdot3^3}</math>.

Produktprobe:

<math>2^5\cdot3^3=32\cdot27=864</math>.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Primfaktorzerlegung]]'''
# [[Primzahl]]
# [[Faktor]]
# [[Faktorbaum]]
# [[Teilbarkeit]]
# [[Teiler]]
# [[Potenz]]
# [[Quersumme]]
# [[Produkt]]
# [[Größter gemeinsamer Teiler]]
# [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 5]]
[[Kategorie:Zahlen]]
[[Kategorie:Primzahlen]]
[[Kategorie:Teilbarkeit]]
[[Kategorie:Primfaktorzerlegung]]
[[Kategorie:E-Niveau]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M5 E - Primfaktorzerlegung - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt