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2026-09-14T08:56:27Z

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{{T}}
{{BR}}
= Einleitung =

'''M5 - Geometrie mit dynamischen Veränderungen untersuchen''' bedeutet: Du schaust geometrische Figuren nicht nur an, sondern '''veränderst''' sie. Du ziehst an Eckpunkten, drehst Schenkel, verschiebst Figuren, spiegelst sie oder faltest Netze. Dabei stellst Du immer wieder dieselbe Forscherfrage:

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:100%"
|-
! Verändern
! Beobachten
! Vermuten
! Prüfen
! Begründen
|-
| Ziehe einen Punkt oder Regler.
| Was ändert sich?
| Was könnte immer gleich bleiben?
| Teste viele verschiedene Lagen.
| Erkläre mathematisch, warum die Eigenschaft erhalten bleibt oder nicht.
|}

Eine Eigenschaft, die bei einer erlaubten Veränderung '''immer gleich bleibt''', nennt man eine '''invariante Eigenschaft''' oder kurz eine '''Invariante'''. Eine Beobachtung allein ist noch kein Beweis. Erst wenn Du Deine Vermutung systematisch prüfst und begründest, entsteht mathematisches Wissen.

[[Datei:Congruent.svg|500px|rahmenlos|center]]

Die Grafik zeigt typische Bewegungen in der Ebene: [[Achsenspiegelung]], [[Verschiebung]] und [[Drehung]]. Solche Bewegungen verändern die Lage einer Figur, aber bestimmte Eigenschaften bleiben erhalten.

{{BR}}
== Lernziele und Differenzierung G/M/E ==

{| class="wikitable" style="width:100%"
|-
! Niveau
! Du kannst …
! Typische Forscherhandlung
|-
| '''G – Grundniveau'''
| Veränderungen beobachten, Winkelarten erkennen, Längen und Winkel messen sowie einfache gleichbleibende Eigenschaften beschreiben.
| „Ich ziehe den Punkt fünfmal und notiere, was jedes Mal gleich bleibt.“
|-
| '''M – Mittleres Niveau'''
| eigene Vermutungen formulieren, Messwerte vergleichen, Gegenbeispiele suchen und einfache Begründungen geben.
| „Ich vermute, dass im Rechteck alle Winkel <math>90^\circ</math> bleiben. Ich prüfe das an mehreren Formen.“
|-
| '''E – Erweitertes Niveau'''
| zwischen zufälligen und notwendigen Eigenschaften unterscheiden, Bedingungen einer Konstruktion untersuchen und Zusammenhänge mit Formeln oder geometrischen Argumenten begründen.
| „Die rechten Winkel bleiben nicht wegen des Aussehens erhalten, sondern weil die Seiten durch senkrechte beziehungsweise parallele Geraden gebunden sind.“
|}

{{BR}}
== Die Forscherschleife: Ziehen – Denken – Prüfen – Begründen ==

{| class="wikitable" style="width:100%"
|-
! Schritt
! Leitfrage
! Mathematische Handlung
|-
| '''1. Verändern'''
| Was darf ich bewegen?
| Eckpunkt, Schenkel, Schieberegler, Figur oder Körper verändern
|-
| '''2. Beobachten'''
| Was wird anders, was bleibt gleich?
| Winkel, Seitenlängen, Parallelität, Symmetrie, Umfang oder Flächeninhalt beobachten
|-
| '''3. Vermuten'''
| Welche Regel könnte gelten?
| Eine Aussage in einem vollständigen Satz formulieren
|-
| '''4. Prüfen'''
| Gilt die Aussage wirklich immer?
| Viele Fälle testen und gezielt Extremfälle suchen
|-
| '''5. Gegenbeispiel suchen'''
| Kann ich meine Vermutung widerlegen?
| Eine Lage erzeugen, in der die vermutete Eigenschaft nicht gilt
|-
| '''6. Begründen'''
| Warum gilt die Aussage?
| Definitionen, Beziehungen und Formeln verwenden
|}

'''Merksatz:''' Viele passende Beispiele machen eine Vermutung glaubwürdig. Ein einziges Gegenbeispiel reicht aber aus, um eine allgemeine Vermutung zu widerlegen.

{{BR}}
= Dynamisches Labor 1: Winkel verändern =

Bei einem [[Winkel]] treffen sich zwei Halbgeraden in einem Scheitelpunkt. Der Winkel beschreibt die Drehung von einem Schenkel zum anderen.

<math>0^\circ < \alpha < 90^\circ</math> bedeutet: '''spitzer Winkel'''.

<math>\alpha = 90^\circ</math> bedeutet: '''rechter Winkel'''.

<math>90^\circ < \alpha < 180^\circ</math> bedeutet: '''stumpfer Winkel'''.

<math>\alpha = 180^\circ</math> bedeutet: '''gestreckter Winkel'''.

{{BR}}
== Dynamisches Winkelmodell ==

Verschiebe im Modell den Regler. Beobachte gleichzeitig die Zahl und die Öffnung des Winkels.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/gf67b7jr </iframe>

Die Winkelskala kannst Du wie eine dynamische Zahlengerade lesen:

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:100%"
|-
! Bereich
! Beispiel
! Winkelart
! Beobachtung
|-
| <math>0^\circ < \alpha < 90^\circ</math>
| <math>35^\circ</math>
| spitz
| Die Öffnung ist kleiner als beim rechten Winkel.
|-
| <math>\alpha=90^\circ</math>
| <math>90^\circ</math>
| recht
| Die Schenkel stehen senkrecht aufeinander.
|-
| <math>90^\circ < \alpha < 180^\circ</math>
| <math>125^\circ</math>
| stumpf
| Die Öffnung ist größer als beim rechten Winkel.
|-
| <math>\alpha=180^\circ</math>
| <math>180^\circ</math>
| gestreckt
| Beide Schenkel bilden eine Gerade.
|}

[[Datei:01-Rechter Winkel Animation.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=RkdoN-QAUoM |500|center}}

{{BR}}
== Experiment 1: Was bleibt beim Drehen eines Winkels gleich? ==

{| class="wikitable" style="width:100%"
|-
! Auftrag
! Beobachtung
! Vermutung
! Experimentelle Prüfung
! Mathematische Begründung
|-
| Ziehe einen Schenkel und erzeuge nacheinander <math>30^\circ</math>, <math>90^\circ</math> und <math>140^\circ</math>.
| Die Winkelgröße ändert sich.
| „Wenn nur ein Schenkel gedreht wird, bleibt der Scheitelpunkt gleich.“
| Bewege den Schenkel in mindestens fünf verschiedene Lagen.
| Der Scheitelpunkt ist der gemeinsame Anfangspunkt beider Schenkel. Er wird beim Drehen des Schenkels nicht verschoben.
|-
| Verlängere gedanklich beide Schenkel.
| Die Länge der gezeichneten Schenkel kann anders aussehen.
| „Die Länge der Schenkel verändert die Winkelgröße nicht.“
| Vergleiche zwei gleich große Winkel mit unterschiedlich langen gezeichneten Schenkeln.
| Die Winkelgröße hängt von der '''Richtung''' der beiden Schenkel ab, nicht von ihrer gezeichneten Länge.
|}

'''G-Auftrag:''' Stelle <math>45^\circ</math>, <math>90^\circ</math> und <math>120^\circ</math> ein und benenne die Winkelart.

'''M-Auftrag:''' Formuliere eine Vermutung darüber, was beim Verlängern eines Schenkels mit <math>\alpha</math> geschieht, und überprüfe sie.

'''E-Auftrag:''' Begründe, warum zwei Winkel trotz verschieden langer gezeichneter Schenkel gleich groß sein können.

{{BR}}
= Dynamisches Labor 2: Rechtecke mit verschiebbaren Eckpunkten =

Ein [[Rechteck]] ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Für ein Rechteck <math>ABCD</math> gilt:

<math>\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ</math>

<math>AB \parallel CD</math>

<math>BC \parallel AD</math>

Außerdem sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang:

<math>|AB|=|CD|</math>

<math>|BC|=|AD|</math>

{{BR}}
== Dynamisches Rechteck ==

Ziehe an den Punkten oder nutze die Regler. Versuche, ein sehr schmales, ein sehr breites und ein quadratisches Rechteck zu erzeugen.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/cecftz97 </iframe>

[[Datei:Rectangle with axes of symmetry.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Experiment 2: Invarianten eines Rechtecks ==

Trage bei mindestens fünf verschiedenen Rechtecken Deine Beobachtungen ein.

{| class="wikitable" style="width:100%; text-align:center"
|-
! Eigenschaft
! Lage 1
! Lage 2
! Lage 3
! Lage 4
! Lage 5
! Vermutung
|-
| Vier Winkel <math>90^\circ</math>
| ✓
| ✓
| ✓
| ✓
| ✓
| bleibt gleich
|-
| Gegenüberliegende Seiten parallel
| ✓
| ✓
| ✓
| ✓
| ✓
| bleibt gleich
|-
| Gegenüberliegende Seiten gleich lang
| ✓
| ✓
| ✓
| ✓
| ✓
| bleibt gleich
|-
| Seitenlänge <math>a</math>
| verändert
| verändert
| verändert
| verändert
| verändert
| nicht invariant
|-
| Seitenlänge <math>b</math>
| verändert
| verändert
| verändert
| verändert
| verändert
| nicht invariant
|}

'''Vermutung:''' Wenn die Figur durch die Konstruktion immer ein Rechteck bleibt, dann bleiben alle vier Winkel rechte Winkel, auch wenn <math>a</math> und <math>b</math> verändert werden.

'''Prüfung:''' Ziehe die verfügbaren Punkte langsam an möglichst unterschiedliche Positionen. Suche besonders nach einer Stellung, in der ein Winkel nicht mehr <math>90^\circ</math> ist.

'''Begründung:''' Ein Viereck ist gerade dann ein Rechteck, wenn die erforderlichen Rechteck-Eigenschaften durch die Konstruktion erhalten werden. Das Aussehen allein reicht nicht. Eine korrekt konstruierte dynamische Figur hält die geometrischen Bedingungen auch beim Ziehen fest.

{{BR}}
== Umfang und Flächeninhalt: gleichbleibend oder veränderlich? ==

Für ein Rechteck mit Seitenlängen <math>a</math> und <math>b</math> gilt:

<math>U=2a+2b=2(a+b)</math>

<math>A=a\cdot b</math>

Beispiel:

<math>a=6\,\mathrm{cm},\quad b=3\,\mathrm{cm}</math>

<math>U=2\cdot 6\,\mathrm{cm}+2\cdot 3\,\mathrm{cm}=18\,\mathrm{cm}</math>

<math>A=6\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}=18\,\mathrm{cm}^2</math>

Wird nun <math>a</math> verändert, können sich Umfang und Flächeninhalt ebenfalls verändern.

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:100%"
|-
! <math>a</math>
! <math>b</math>
! <math>U=2(a+b)</math>
! <math>A=a\cdot b</math>
|-
| <math>6</math>
| <math>3</math>
| <math>18</math>
| <math>18</math>
|-
| <math>8</math>
| <math>3</math>
| <math>22</math>
| <math>24</math>
|-
| <math>4</math>
| <math>3</math>
| <math>14</math>
| <math>12</math>
|}

'''G-Auftrag:''' Beschreibe, welche Rechteck-Eigenschaften in allen drei Zeilen gleich bleiben.

'''M-Auftrag:''' Begründe mit den Formeln, warum Umfang und Flächeninhalt bei einer Seitenänderung nicht automatisch gleich bleiben.

'''E-Auftrag:''' Finde zwei verschiedene Rechtecke mit gleichem Umfang, aber verschiedenem Flächeninhalt. Begründe Deine Wahl mit <math>U=2(a+b)</math> und <math>A=a\cdot b</math>.

{{BR}}
== Rechteck-Diagonalen als Erweiterung ==

[[Datei:Rectangle with diagonals el.svg|500px|rahmenlos|center]]

Für jedes Rechteck gilt zusätzlich:

<math>|AC|=|BD|</math>

Die Diagonalen halbieren einander. Diese Eigenschaft kannst Du im dynamischen Modell experimentell mit Längenmessungen untersuchen.

'''E-Vermutung:''' „Wenn ein Rechteck breiter oder schmaler wird, bleiben seine beiden Diagonalen gleich lang.“

'''E-Prüfung:''' Erzeuge mindestens sechs verschiedene Rechtecke und vergleiche jeweils <math>|AC|</math> mit <math>|BD|</math>.

'''E-Begründung:''' Beide Diagonalen verbinden gegenüberliegende Ecken eines Rechtecks. Wegen der gleichen Seitenlängen und der rechten Winkel entstehen zueinander passende Dreiecke; deshalb stimmen die Diagonallängen überein.

{{BR}}
= Dynamisches Labor 3: Symmetrische Figuren verändern =

Eine Figur ist [[Achsensymmetrie|achsensymmetrisch]], wenn sie an einer Spiegelachse gespiegelt genau auf sich selbst passt. Eine Figur besitzt [[Punktsymmetrie]], wenn eine Drehung um <math>180^\circ</math> um ein Zentrum die Figur auf sich selbst abbildet.

[[Datei:Animated symmetries of square.gif|500px|rahmenlos|center]]

Bei einem Quadrat gibt es vier Spiegelachsen und mehrere Drehungen, die das Quadrat wieder auf sich selbst abbilden.

{{BR}}
== Dynamisches Symmetriemodell: Rechteck ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/ue6whtVW </iframe>

[[Datei:Quadrilateral symmetries.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Experiment 3: Spiegeln und Drehen ==

{| class="wikitable" style="width:100%"
|-
! Veränderung
! Vermutung
! Test
! Ergebnis
! Begründung
|-
| Spiegelung an einer Achse
| Entsprechende Strecken bleiben gleich lang.
| Miss vor und nach der Spiegelung dieselbe Strecke.
| <math>|AB|=|A'B'|</math>
| Eine Spiegelung ist längentreu.
|-
| Spiegelung an einer Achse
| Entsprechende Winkel bleiben gleich groß.
| Miss <math>\alpha</math> und den Bildwinkel <math>\alpha'</math>.
| <math>\alpha=\alpha'</math>
| Eine Spiegelung ist winkeltreu.
|-
| Drehung um ein Zentrum
| Der Abstand zum Drehzentrum bleibt gleich.
| Miss <math>|ZA|</math> und <math>|ZA'|</math>.
| <math>|ZA|=|ZA'|</math>
| Beim Drehen bewegt sich der Punkt auf einem Kreis um <math>Z</math>.
|-
| Drehung eines Quadrats
| Eine Drehung um <math>90^\circ</math> bildet das Quadrat wieder auf sich selbst ab.
| Drehe um <math>90^\circ</math>, <math>180^\circ</math>, <math>270^\circ</math> und <math>360^\circ</math>.
| Die Figur deckt sich jeweils mit ihrer Ausgangsform.
| Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.
|}

Für eine Drehung um <math>90^\circ</math> durchläuft jede Ecke ein Viertel einer vollen Umdrehung:

<math>\frac{90^\circ}{360^\circ}=\frac14</math>

Bei einer Drehung um <math>180^\circ</math> ist es eine halbe Umdrehung:

<math>\frac{180^\circ}{360^\circ}=\frac12</math>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=oitcZaZ1Tws |500|center}}

'''G-Auftrag:''' Zähle die Spiegelachsen von Rechteck und Quadrat.

'''M-Auftrag:''' Formuliere eine Vermutung darüber, welche Längen sich beim Spiegeln ändern, und prüfe sie durch Messen.

'''E-Auftrag:''' Erkläre, warum ein Rechteck bei einer Drehung um <math>180^\circ</math> auf sich selbst passt, bei <math>90^\circ</math> aber im Allgemeinen nicht.

{{BR}}
= Dynamisches Labor 4: Freie Vierecke und gebundene Konstruktionen =

Ein besonders wichtiger Unterschied in dynamischer Geometrie ist der Unterschied zwischen einem '''frei gezogenen''' und einem '''geometrisch gebundenen''' Punkt.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/pgJ2gGks </iframe>

{{BR}}
== Experiment 4: Wann bleibt eine Figur wirklich ein Rechteck? ==

{| class="wikitable" style="width:100%"
|-
! Situation
! Was darf sich ändern?
! Was kann erhalten bleiben?
! Forscherfrage
|-
| Vier freie Eckpunkte
| fast alles
| nur zufällig vorhandene Eigenschaften
| Kann ich die Figur durch Ziehen aus einem Rechteck in ein anderes Viereck verwandeln?
|-
| Dynamisch konstruiertes Rechteck
| Seitenlängen und Lage
| rechte Winkel und Rechteckbeziehungen
| Bleiben die Winkel beim Ziehen wirklich immer <math>90^\circ</math>?
|-
| Dynamisch konstruiertes Quadrat
| Größe und Lage
| vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel
| Kann ich einen einzelnen Eckpunkt so ziehen, dass nur eine Seite länger wird?
|}

<iframe> https://www.geogebra.org/m/u2FSD3AF </iframe>

'''Wichtige Erkenntnis:''' In dynamischer Geometrie ist eine Figur nicht deshalb ein Rechteck, weil sie im Moment wie eines aussieht. Entscheidend ist, dass ihre '''Konstruktionsbedingungen''' dafür sorgen, dass die Rechteck-Eigenschaften bei jeder erlaubten Veränderung erhalten bleiben.

{{BR}}
== Gegenbeispiele als mathematisches Werkzeug ==

Eine Vermutung lautet:

'''„Wenn ein Viereck zwei gleich lange Seiten besitzt, ist es ein Rechteck.“'''

Diese Vermutung ist falsch. Du kannst leicht ein Viereck mit zwei gleich langen Seiten zeichnen, das keine vier rechten Winkel besitzt.

Ein einziges solches Beispiel ist ein '''Gegenbeispiel'''.

{| class="wikitable" style="width:100%"
|-
! Aussage
! Prüfidee
! Ergebnis
|-
| „Jedes Rechteck ist ein Quadrat.“
| Erzeuge ein Rechteck mit <math>a\neq b</math>.
| falsch
|-
| „Jedes Quadrat ist ein Rechteck.“
| Prüfe die vier Innenwinkel eines Quadrats.
| wahr, denn alle vier Winkel sind <math>90^\circ</math>
|-
| „Bei jeder Spiegelung bleiben Längen gleich.“
| Miss mehrere Strecken vor und nach der Spiegelung.
| bestätigt
|-
| „Beim freien Ziehen eines beliebigen Vierecks bleiben rechte Winkel erhalten.“
| Ziehe einen Eckpunkt seitlich.
| im Allgemeinen falsch
|}

'''G-Auftrag:''' Suche zu einer falschen Aussage ein Gegenbeispiel.

'''M-Auftrag:''' Erkläre den Unterschied zwischen „in meinen fünf Versuchen wahr“ und „mathematisch immer wahr“.

'''E-Auftrag:''' Formuliere selbst eine falsche geometrische Vermutung und widerlege sie mit einem dynamisch erzeugten Gegenbeispiel.

{{BR}}
= Dynamisches Labor 5: Vom Netz zum Körper =

Auch räumliche Geometrie kann dynamisch untersucht werden. Beim [[Würfel]] bleiben beim Drehen seine Kantenlängen, Flächenformen und rechten Winkel erhalten. Nur die Ansicht verändert sich.

[[Datei:Cube Animation.gif|300px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Faltbares Würfelnetz ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/wnjx9rkr </iframe>

[[Datei:Hcube fold.gif|500px|rahmenlos|center]]

Beim Falten eines Würfelnetzes ändern sich die Winkel zwischen benachbarten Flächen im Raum. Die Quadrate selbst bleiben jedoch unverändert.

Für einen Würfel mit Kantenlänge <math>a</math> gilt:

<math>O=6a^2</math>

<math>V=a^3</math>

Beim bloßen Falten eines festen Netzes bleibt <math>a</math> gleich. Deshalb bleiben auch Oberfläche <math>O</math> und Volumen <math>V</math> des entstehenden Würfels festgelegt.

{{BR}}
== Experiment 5: Welche Eigenschaften überstehen das Falten? ==

{| class="wikitable" style="width:100%"
|-
! Eigenschaft
! Vor dem Falten
! Nach dem Falten
! Bleibt gleich?
|-
| Anzahl der Quadrate
| <math>6</math>
| <math>6</math> Flächen
| ja
|-
| Seitenlänge jedes Quadrats
| <math>a</math>
| <math>a</math>
| ja
|-
| Form jeder Fläche
| Quadrat
| Quadrat
| ja
|-
| Lage im Raum
| eben
| räumlich
| nein
|-
| Winkel zwischen benachbarten Flächen
| im Netz <math>180^\circ</math> als ebene Anordnung
| am Würfel <math>90^\circ</math>
| nein
|}

'''G-Auftrag:''' Beobachte das Falten und nenne zwei Eigenschaften, die gleich bleiben.

'''M-Auftrag:''' Erkläre, warum aus sechs Quadraten nicht jede beliebige Anordnung zu einem Würfelnetz gefaltet werden kann.

'''E-Auftrag:''' Begründe, warum das Falten die Form der einzelnen Quadratflächen nicht verändert, obwohl ihre Lage im Raum verändert wird.

{{BR}}
= Beobachten, Vermuten, Prüfen, Begründen: Gesamtübersicht =

{| class="wikitable" style="width:100%"
|-
! Objekt
! Veränderung
! Mögliche Invariante
! Veränderliche Größe
! Begründungsidee
|-
| Winkel
| Schenkel drehen
| Scheitelpunkt bei festem Scheitel
| Winkelgröße <math>\alpha</math>
| Winkel hängt von den Richtungen der Schenkel ab.
|-
| Rechteck
| Seitenlängen verändern
| vier rechte Winkel
| <math>a</math>, <math>b</math>, oft auch <math>U</math> und <math>A</math>
| Rechteck-Bedingungen bleiben konstruktiv erhalten.
|-
| Spiegelbild
| Figur spiegeln
| Längen und Winkel
| Orientierung
| Spiegelungen sind längen- und winkeltreu.
|-
| Drehung
| Figur um Zentrum drehen
| Abstand zum Zentrum, Längen, Winkel
| Lage und Richtung
| Jeder Punkt bewegt sich auf einem Kreis um das Drehzentrum.
|-
| Würfelnetz
| Netz falten
| Form und Größe der Flächen
| räumliche Lage der Flächen
| Falten verändert die Lage, nicht die einzelnen Flächen.
|}

{{BR}}
= G/M/E-Forscheraufträge =

{| class="wikitable" style="width:100%"
|-
! G – Grundniveau
! M – Mittleres Niveau
! E – Erweitertes Niveau
|-
| Beobachte und miss.
| Formuliere und prüfe eine Vermutung.
| Suche Bedingungen, Gegenbeispiele und Begründungen.
|-
| Nutze vorgegebene Werte wie <math>45^\circ</math>, <math>90^\circ</math> oder <math>120^\circ</math>.
| Wähle selbst mehrere Testfälle.
| Wähle gezielt Extremfälle und Sonderfälle.
|-
| Beschreibe: „gleich“ oder „verändert“.
| Erkläre mit geometrischen Eigenschaften.
| Begründe mit Definitionen, Beziehungen und Formeln.
|-
| Beispiel: „Alle Rechteckwinkel bleiben <math>90^\circ</math>.“
| Beispiel: „Ich habe fünf sehr unterschiedliche Rechtecke getestet.“
| Beispiel: „Die Winkel bleiben nicht zufällig recht, sondern weil die Konstruktion Senkrecht- und Parallelbedingungen festhält.“
|}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist eine Invariante?'''
(Eine Eigenschaft die bei der untersuchten Veränderung gleich bleibt)
(!Eine Eigenschaft die sich immer zufällig ändert)
(!Ein Messfehler)
(!Ein besonders großer Winkel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Winkelgröße besitzt jeder Innenwinkel eines Rechtecks?'''
(90 Grad)
(!45 Grad)
(!120 Grad)
(!180 Grad)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was kann sich bei einem dynamischen Rechteck verändern obwohl es ein Rechteck bleibt?'''
(Die Seitenlängen)
(!Die Anzahl der Ecken)
(!Die Zahl der rechten Winkel)
(!Die Anzahl der Seiten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage über eine Spiegelung ist richtig?'''
(Entsprechende Strecken bleiben gleich lang)
(!Jede Strecke wird doppelt so lang)
(!Jeder Winkel wird halbiert)
(!Die Figur verliert eine Ecke)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Drehung bildet jedes Rechteck auf sich selbst ab?'''
(180 Grad)
(!45 Grad)
(!60 Grad)
(!120 Grad)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Drehung bildet ein Quadrat zusätzlich auf sich selbst ab?'''
(90 Grad)
(!30 Grad)
(!50 Grad)
(!70 Grad)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was reicht aus um eine allgemeine Vermutung zu widerlegen?'''
(Ein Gegenbeispiel)
(!Zehn passende Beispiele)
(!Eine schöne Zeichnung)
(!Eine besonders genaue Messung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wovon hängt die Größe eines Winkels nicht ab?'''
(Von der gezeichneten Länge seiner Schenkel)
(!Von der Richtung des ersten Schenkels)
(!Von der Richtung des zweiten Schenkels)
(!Von der Öffnung zwischen den Schenkeln)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bleibt beim Falten eines festen Würfelnetzes erhalten?'''
(Die Form der einzelnen Quadratflächen)
(!Die Lage aller Flächen in einer Ebene)
(!Der Winkel zwischen jeder benachbarten Fläche)
(!Die Blickrichtung auf den Körper)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gehört zu einer guten mathematischen Untersuchung?'''
(Vermutung prüfen und begründen)
(!Nur eine Figur ansehen)
(!Nur das erste Ergebnis aufschreiben)
(!Gegenbeispiele vermeiden)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Invariante || bleibt bei einer Veränderung gleich
|-
| Gegenbeispiel || widerlegt eine allgemeine Vermutung
|-
| Spiegelachse || Gerade an der eine Figur gespiegelt wird
|-
| Drehzentrum || fester Mittelpunkt einer Drehung
|-
| Rechteck || Viereck mit vier rechten Winkeln
|-
| Quadrat || Rechteck mit vier gleich langen Seiten
|-
| Winkel || Öffnung zwischen zwei Schenkeln
|-
| dynamische Geometrie || Figuren durch Ziehen experimentell untersuchen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Invariante'''
| Eigenschaft bleibt bei der untersuchten Veränderung erhalten
|-
| '''Gegenbeispiel'''
| widerlegt eine allgemeine Vermutung
|-
| '''Spiegelung'''
| erhält Längen und Winkel
|-
| '''Rechteck'''
| besitzt vier rechte Winkel
|-
| '''Drehzentrum'''
| Punkt um den eine Figur gedreht wird
|-
| '''Würfelnetz'''
| ebene Anordnung von sechs Quadratflächen für einen Würfel

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Invariante || Wie heißt eine Eigenschaft die bei einer untersuchten Veränderung gleich bleibt?
|-
| Rechteck || Welches Viereck besitzt vier rechte Winkel?
|-
| Spiegelachse || Wie heißt die Gerade an der eine achsensymmetrische Figur gespiegelt wird?
|-
| Drehzentrum || Wie heißt der feste Punkt um den eine Figur gedreht wird?
|-
| Vermutung || Wie nennt man eine noch zu prüfende mathematische Aussage?
|-
| Gegenbeispiel || Was widerlegt eine allgemeine Vermutung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M5+Geometrie+mit+dynamischen+Veränderungen+untersuchen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Eigenschaft, die bei einer erlaubten Veränderung immer gleich bleibt, heißt { Invariante }.
Ein Rechteck besitzt immer vier { rechte } Winkel.
Der Winkel eines Rechtecks hat die Größe { 90 } Grad.
Beim Spiegeln bleiben entsprechende Strecken { gleich } lang.
Bei einer Drehung bleibt der Abstand eines Punktes zum { Drehzentrum } gleich.
Eine Aussage, die noch experimentell geprüft werden muss, heißt { Vermutung }.
Ein einziges { Gegenbeispiel } kann eine allgemeine Vermutung widerlegen.
Der Umfang eines Rechtecks wird mit { 2(a+b) } berechnet.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks wird mit { a·b } berechnet.
Beim Falten eines Würfelnetzes bleibt die Form jeder einzelnen { Quadratfläche } erhalten.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Winkel-Experiment]]: Öffne das dynamische Winkelmodell, stelle fünf verschiedene Winkel ein und notiere jeweils Winkelgröße und Winkelart.
# [[Rechteck-Forschung]]: Verändere ein dynamisches Rechteck mindestens fünfmal und dokumentiere drei Eigenschaften, die immer gleich bleiben.
# [[Symmetrie-Foto]]: Fotografiere oder zeichne drei achsensymmetrische Gegenstände aus Deiner Umgebung und markiere jeweils eine mögliche Spiegelachse.
# [[Würfelnetz-Beobachtung]]: Beobachte das Falten eines Würfelnetzes und beschreibe zwei Eigenschaften, die sich verändern, und zwei, die erhalten bleiben.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Vermutungstagebuch]]: Formuliere zu Rechteck, Winkel und Spiegelung jeweils eine Vermutung, teste sie in mehreren Fällen und notiere Dein Ergebnis.
# [[Gegenbeispiel-Werkstatt]]: Erfinde drei falsche Aussagen über Vierecke und konstruiere zu jeder ein Gegenbeispiel.
# [[Messprotokoll]]: Miss bei einer dynamischen Spiegelung mindestens vier Strecken und vier Winkel vor und nach der Spiegelung und erkläre das Muster.
# [[Dynamisches Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video, in dem Du an einem GeoGebra-Modell zeigst, was sich beim Ziehen verändert und was invariant bleibt.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Rechteck-Begründung]]: Erkläre, warum eine korrekt konstruierte dynamische Rechteckfigur beim Ziehen ihre rechten Winkel behält, obwohl sich Seitenlängen ändern können.
# [[Umfang-und-Fläche-Experiment]]: Finde zwei verschiedene Rechtecke mit gleichem Umfang und verschiedenem Flächeninhalt und erkläre Deine Ergebnisse mit <math>U=2(a+b)</math> und <math>A=a\cdot b</math>.
# [[Symmetrie-Vergleich]]: Vergleiche Rechteck, Quadrat, Raute und Drachenviereck hinsichtlich Spiegelachsen und Drehsymmetrien und dokumentiere Deine Ergebnisse in einer Tabelle.
# [[Konstruktions-Challenge]]: Konstruiere mit einer dynamischen Geometriesoftware ein Viereck, das beim Ziehen immer ein Rechteck bleibt, und erkläre, welche Bedingungen Du festgelegt hast.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transfer Rechteck]]: Ein dynamisches Viereck sieht in einer bestimmten Lage wie ein Rechteck aus. Erkläre, welche Veränderungen Du durchführen und welche Messungen Du vornehmen würdest, um zu prüfen, ob es konstruktiv wirklich immer ein Rechteck bleibt.
# [[Fehleranalyse Winkel]]: Eine Person behauptet, dass ein Winkel größer wird, wenn man seine Schenkel länger zeichnet. Entwickle ein Experiment, widerlege oder bestätige die Aussage und begründe Dein Ergebnis.
# [[Symmetrie begründen]]: Ein Rechteck wird um <math>180^\circ</math> um seinen Mittelpunkt gedreht. Erkläre ohne bloßes Ablesen, warum die Figur wieder auf sich selbst passt.
# [[Gegenbeispiel entwickeln]]: Widerlege die Aussage „Jedes Viereck mit zwei gleich langen Seiten ist ein Rechteck“ durch eine geeignete Konstruktion und erkläre, welche Rechteck-Eigenschaft fehlt.
# [[Invarianten vergleichen]]: Vergleiche Spiegelung und Drehung. Nenne mindestens zwei gemeinsame Invarianten und eine Eigenschaft, in der sich beide Abbildungen unterscheiden können.
# [[Würfelnetz übertragen]]: Erkläre, warum das Falten eines Würfelnetzes die einzelnen Flächen nicht verändert, obwohl sich ihre Lage zueinander stark verändert.
# [[Experiment bewerten]]: Eine Schülerin testet eine Vermutung nur an zwei fast gleich aussehenden Rechtecken. Beurteile die Aussagekraft ihres Experiments und entwickle einen besseren Prüfplan.

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= Lernnachweis =

Für einen erfolgreichen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

# Du kannst zwischen veränderlichen und invarianten Eigenschaften unterscheiden.
# Du kannst eine geometrische Vermutung klar formulieren.
# Du kannst eine Vermutung durch mehrere bewusst ausgewählte Fälle prüfen.
# Du kannst gezielt nach einem Gegenbeispiel suchen.
# Du kannst Beobachtungen mit Fachbegriffen wie Winkel, parallel, senkrecht, Spiegelachse und Drehzentrum beschreiben.
# Du kannst bei einem Rechteck die Beziehungen <math>\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ</math>, <math>AB\parallel CD</math> und <math>BC\parallel AD</math> verwenden.
# Du kannst Umfang und Flächeninhalt mit <math>U=2(a+b)</math> und <math>A=a\cdot b</math> untersuchen.
# Du kannst erklären, warum Spiegelungen und Drehungen Längen und Winkel erhalten.
# Du kannst erläutern, warum dynamisches Ziehen eine Vermutung unterstützen, aber eine mathematische Begründung nicht vollständig ersetzen kann.
# Du kannst Deine Untersuchung nachvollziehbar mit Messwerten, Skizzen, Screenshots oder einer kurzen Präsentation dokumentieren.

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= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dynamische_Geometrie </iframe>

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= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[M5 - Geometrie mit dynamischen Veränderungen untersuchen]]'''
# [[Dynamische Geometrie]]
# [[Winkel]]
# [[Winkelarten]]
# [[Rechteck]]
# [[Quadrat]]
# [[Viereck]]
# [[Achsensymmetrie]]
# [[Punktsymmetrie]]
# [[Spiegelung]]
# [[Drehung]]
# [[Invariante]]
# [[Gegenbeispiel]]
# [[Umfang]]
# [[Flächeninhalt]]
# [[Würfel]]
# [[Würfelnetz]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Klasse 5]]
[[Kategorie:Winkel]]
[[Kategorie:Vierecke]]
[[Kategorie:Rechteck]]
[[Kategorie:Symmetrie]]
[[Kategorie:Dynamische Geometrie]]
[[Kategorie:GeoGebra]]
[[Kategorie:Experimentieren]]
[[Kategorie:Argumentieren]]
[[Kategorie:AI_MOOC]]
[[Kategorie:GPT aiMOOC]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M5 - Geometrie mit dynamischen Veränderungen untersuchen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt