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2026-09-28T02:55:12Z

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{{T}}

{{BR}}
= M10 M - Potenzgesetze sicher anwenden =

'''Mini-Beschreibung:''' Begründe und nutze Rechengesetze für Multiplikation, Division und Potenzieren von Potenzen. Du arbeitest mit positiven und negativen ganzen Exponenten und kontrollierst Regeln an Zahlenbeispielen.

'''Zielgruppe:''' Klasse 10, Mathematik, Baden-Württemberg, M-Niveau.

[[Datei:Base and exponent.jpg|500px|rahmenlos|center|Basis und Exponent einer Potenz]]

{{BR}}
= Einleitung =

Potenzen verkürzen wiederholte Multiplikation:

<math>2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16</math>

Für diesen Kurs gilt bei negativen Exponenten grundsätzlich: Die Basis darf nicht <math>0</math> sein.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Ho97x99zN4A |500|center}}

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach dem Kurs kannst Du
# [[Potenzgesetz|Potenzgesetze]] für Produkt, Quotient und Potenz-von-Potenz begründet auswählen.
# Ausdrücke mit positiven und negativen ganzen Exponenten sicher umformen.
# Rechenregeln durch Zahlenbeispiele kontrollieren und Fehler erklären.
# Darstellungen als Potenz, Bruch und Produkt miteinander verknüpfen.
# digitale Ergebnisse prüfen und begründen, statt sie ungeprüft zu übernehmen.

{{BR}}
== Vorwissen-Check ==

Prüfe ohne Taschenrechner:

<math>3^3=27</math>

<math>5^0=1</math> für <math>5\neq0</math>

<math>2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac14</math>

<quiz display=simple>
{'''Vorwissen 1:''' Ergänze den Wert von <math>10^3</math>.<br>
|type="{}"}
{ 1000 }
</quiz>

<quiz display=simple>
{'''Vorwissen 2:''' Ergänze den Wert von <math>4^0</math>.<br>
|type="{}"}
{ 1 }
</quiz>

<quiz display=simple>
{'''Vorwissen 3:''' Ergänze den Nenner: <math>3^{-2}=\frac{1}{\,?\,}</math>.<br>
|type="{}"}
{ 9 }
</quiz>

{{BR}}
= Die Potenzgesetze =

[[Datei:Potenzgesetze - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center|Freies Erklärvideo zu Potenzgesetzen]]

{{BR}}
== Gleiche Basis: Multiplikation ==

<math>a^m\cdot a^n=a^{m+n}</math>

'''Begründung am Muster:'''

<math>2^3\cdot2^2=(2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2)=2^5</math>

'''Zahlenkontrolle:'''

<math>8\cdot4=32</math> und <math>2^5=32</math>.

'''Auch mit negativem Exponenten:'''

<math>3^4\cdot3^{-2}=3^{4+(-2)}=3^2=9</math>

Kontrolle:

<math>81\cdot\frac19=9</math>

{{BR}}
== Gleiche Basis: Division ==

<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}</math> mit <math>a\neq0</math>.

[[Datei:Quotient of powers example.jpg|500px|rahmenlos|center|Quotient von Potenzen]]

'''Schritt für Schritt:'''

<math>\frac{5^3}{5^5}</math>

<math>=5^{3-5}</math>

<math>=5^{-2}</math>

<math>=\frac{1}{5^2}</math>

<math>=\frac1{25}</math>

'''Kontrolle:'''

<math>\frac{125}{3125}=\frac1{25}</math>

{{BR}}
== Eine Potenz potenzieren ==

<math>(a^m)^n=a^{m\cdot n}</math>

[[Datei:Power of power.jpg|500px|rahmenlos|center|Potenz einer Potenz]]

'''Muster:'''

<math>(2^3)^2=2^3\cdot2^3=2^{3+3}=2^6=64</math>

'''Mit negativem Exponenten:'''

<math>(4^{-2})^3=4^{-6}=\frac{1}{4^6}</math>

Merke: Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten '''multipliziert''', nicht addiert.

{{BR}}
== Gleicher Exponent: Produkt und Quotient ==

<math>a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n</math>

Beispiel:

<math>2^3\cdot5^3=(2\cdot5)^3=10^3=1000</math>

Für Quotienten:

<math>\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n</math> mit <math>b\neq0</math>.

Beispiel:

<math>\frac{6^2}{3^2}=\left(\frac63\right)^2=2^2=4</math>

{{BR}}
== Negative ganze Exponenten ==

Für <math>a\neq0</math> und positive ganze Zahlen <math>n</math> gilt:

<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math>

[[Datei:Powers of 2.png|450px|rahmenlos|center|Zweierpotenzen mit positiven und negativen Exponenten]]

'''Potenzmuster:'''

<math>2^3=8</math>

<math>2^2=4</math>

<math>2^1=2</math>

<math>2^0=1</math>

<math>2^{-1}=\frac12</math>

<math>2^{-2}=\frac14</math>

Jeder Schritt nach unten teilt durch <math>2</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=IyzWfwgGhe8 |500|center}}

{{BR}}
== Regelkarte ==

{| class="wikitable"
! Situation
! Regel
|-
| gleiche Basis, Produkt
| <math>a^m\cdot a^n=a^{m+n}</math>
|-
| gleiche Basis, Quotient
| <math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}</math>
|-
| Potenz von Potenz
| <math>(a^m)^n=a^{mn}</math>
|-
| gleicher Exponent, Produkt
| <math>a^n b^n=(ab)^n</math>
|-
| gleicher Exponent, Quotient
| <math>\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n</math>
|-
| negativer Exponent
| <math>a^{-n}=\frac1{a^n}</math>
|}

Bei Regeln mit negativen Exponenten dürfen benötigte Nenner und Basen nicht <math>0</math> sein.

{{BR}}
= Interaktive Beispiele =

{{BR}}
== Beispiel 1: Gesetz erkennen ==

<quiz display=simple>
{'''Setze den fehlenden Exponenten ein:''' <math>7^4\cdot7^{-6}=7^{\,?}</math><br>
|type="{}"}
{ -2 }
</quiz>

'''Hilfestufe 1:''' Die Basis ist gleich.

'''Hilfestufe 2:''' Addiere <math>4+(-6)</math>.

'''Feedback:''' <math>7^{-2}=\frac1{49}</math>.

{{BR}}
== Beispiel 2: Rechenweg verbinden ==

<math>\left(3^{-2}\right)^{-2}</math>

'''Schritt 1:''' Exponenten multiplizieren.

<math>(3^{-2})^{-2}=3^{(-2)\cdot(-2)}</math>

'''Schritt 2:''' Vorzeichen prüfen.

<math>3^4=81</math>

<quiz display=simple>
{'''Welcher Endwert gehört zum Rechenweg?'''<br>
|type="{}"}
{ 81 }
</quiz>

{{BR}}
== Beispiel 3: Zwei Darstellungen prüfen ==

Behauptung:

<math>\frac{2^3}{2^6}=2^{-3}</math>

Kontrolle links:

<math>\frac8{64}=\frac18</math>

Kontrolle rechts:

<math>2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18</math>

Die beiden Darstellungen stimmen überein.

{{BR}}
= Übungen mit Hilfestufen und Feedback =

{{BR}}
== Übung A: Sicher anwenden ==

# '''Aufgabe:''' Vereinfache <math>5^7\cdot5^{-3}</math>. '''Hilfestufe 1:''' Gleiche Basis. '''Hilfestufe 2:''' Exponenten addieren. '''Feedback:''' <math>5^4=625</math>.
# '''Aufgabe:''' Vereinfache <math>\frac{3^{-2}}{3^4}</math>. '''Hilfestufe 1:''' Exponenten subtrahieren. '''Hilfestufe 2:''' <math>-2-4=-6</math>. '''Feedback:''' <math>3^{-6}=\frac1{729}</math>.
# '''Aufgabe:''' Vereinfache <math>(2^4)^{-2}</math>. '''Hilfestufe 1:''' Exponenten multiplizieren. '''Hilfestufe 2:''' <math>4\cdot(-2)=-8</math>. '''Feedback:''' <math>2^{-8}=\frac1{256}</math>.
# '''Aufgabe:''' Vereinfache <math>4^{-3}\cdot5^{-3}</math>. '''Hilfestufe 1:''' Gleicher Exponent. '''Hilfestufe 2:''' Basen multiplizieren. '''Feedback:''' <math>20^{-3}=\frac1{8000}</math>.

{{BR}}
== Übung B: Begründen statt raten ==

Entscheide jeweils zuerst, '''welches''' Gesetz passt.

# <math>6^5\cdot6^{-1}</math>: Begründe die Wahl des Gesetzes und rechne.
# <math>\frac{10^2}{10^{-3}}</math>: Erkläre das Minuszeichen beim Subtrahieren des Exponenten.
# <math>(x^{-2})^4</math>: Forme um und nenne die Bedingung an <math>x</math>.
# <math>2^4\cdot3^4</math>: Verbinde die Potenzen zuerst und kontrolliere dann numerisch.

'''Kurzfeedback:''' Erwartet werden <math>6^4</math>, <math>10^5</math>, <math>x^{-8}</math> mit <math>x\neq0</math> und <math>6^4</math>.

{{BR}}
= Typische Fehler =

{| class="wikitable"
! Fehler
! Korrektur
|-
| <math>a^3+a^2=a^5</math>
| falsch: Das Produktgesetz gilt nicht für Summen.
|-
| <math>(a^3)^2=a^5</math>
| richtig ist <math>a^6</math>.
|-
| <math>a^{-3}=-a^3</math>
| richtig ist <math>a^{-3}=\frac1{a^3}</math>.
|-
| <math>-2^4=(-2)^4</math>
| falsch: <math>-2^4=-16</math>, aber <math>(-2)^4=16</math>.
|-
| <math>\frac{0^{-2}}{0^3}</math>
| nicht definiert, weil negative Exponenten bei Basis <math>0</math> nicht zulässig sind.
|}

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Rechne erst selbst und prüfe dann mit einem zweiten Weg.

# <math>2^{-3}\cdot2^5</math> → <math>2^2=4</math>
# <math>\frac{7^2}{7^5}</math> → <math>7^{-3}=\frac1{343}</math>
# <math>(5^{-1})^{-3}</math> → <math>5^3=125</math>
# <math>2^{-2}\cdot3^{-2}</math> → <math>6^{-2}=\frac1{36}</math>
# <math>\frac{8^{-2}}{4^{-2}}</math> → <math>\left(\frac84\right)^{-2}=2^{-2}=\frac14</math>

'''Selbstcheck:''' Wenn Dein Ergebnis anders ist, prüfe zuerst Basis, Rechenart, Vorzeichen und Klammern.

{{BR}}
= Transfer =

{{BR}}
== Modellieren mit Verdopplung und Rückschritten ==

Eine Größe wird pro Schritt mit <math>2</math> multipliziert. Nach <math>n</math> Schritten ist der Faktor <math>2^n</math>.

Drei Schritte zurück entsprechen:

<math>2^{-3}=\frac18</math>

Fünf Schritte vor und zwei zurück:

<math>2^5\cdot2^{-2}=2^3=8</math>

'''Transferfrage:''' Warum beschreibt <math>2^{-n}</math> einen Umkehrfaktor zu <math>2^n</math>?

{{BR}}
== Digitale Ergebnisse kritisch prüfen ==

Ein Taschenrechner oder eine KI kann Ergebnisse liefern, aber die Eingabe und die Begründung bleiben Deine Aufgabe.

# Prüfe Klammern: <math>(-2)^4</math> und <math>-2^4</math> sind verschieden.
# Prüfe mindestens ein Ergebnis durch Einsetzen oder einen zweiten Rechenweg.
# Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.
# Verwende bei digitalen Aufgaben keine personenbezogenen Daten.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

Markiere für Dich, was Du sicher kannst:

# Ich erkenne, ob gleiche Basen oder gleiche Exponenten vorliegen.
# Ich forme Produkte und Quotienten von Potenzen selbstständig um.
# Ich rechne mit negativen ganzen Exponenten und beachte <math>a\neq0</math>.
# Ich begründe die Regelwahl an einem Zahlenbeispiel.
# Ich verknüpfe Potenz-, Bruch- und Produktdarstellung.
# Ich prüfe digitale Ergebnisse fachlich.
# Ich kann einen einfachen Sachzusammenhang mit Potenzen modellieren.

{{BR}}
= Reflexion =

# Welche Regel kannst Du ohne Merksatz begründen?
# Bei welchem Fehlertyp musst Du besonders aufpassen?
# Wann ist ein Zahlenbeispiel eine gute Kontrolle, und wann ist zusätzlich eine allgemeine Begründung nötig?
# Welche Darstellung hilft Dir mehr: Potenz, Produkt oder Bruch? Begründe.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}
'''Wie wird <math>a^4\cdot a^3</math> vereinfacht?'''
(<math>a^7</math>)
(!<math>a^{12}</math>)
(!<math>2a^7</math>)
(!<math>a</math>)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie wird <math>\frac{a^7}{a^2}</math> für <math>a\neq0</math> vereinfacht?'''
(<math>a^5</math>)
(!<math>a^9</math>)
(!<math>a^{14}</math>)
(!<math>a^{-5}</math>)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie wird <math>(a^3)^4</math> vereinfacht?'''
(<math>a^{12}</math>)
(!<math>a^7</math>)
(!<math>a</math>)
(!<math>4a^3</math>)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was bedeutet <math>a^{-3}</math> für <math>a\neq0</math>?'''
(<math>\frac1{a^3}</math>)
(!<math>-a^3</math>)
(!<math>\frac{-1}{a}</math>)
(!<math>a^3</math>)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welchen Wert hat <math>2^{-4}</math>?'''
(<math>\frac1{16}</math>)
(!<math>-16</math>)
(!<math>16</math>)
(!<math>\frac18</math>)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie wird <math>3^2\cdot5^2</math> zusammengefasst?'''
(<math>15^2</math>)
(!<math>8^2</math>)
(!<math>15^4</math>)
(!<math>3^{10}</math>)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welches Ergebnis hat <math>\frac{10^2}{10^{-3}}</math>?'''
(<math>10^5</math>)
(!<math>10^{-1}</math>)
(!<math>10^{-5}</math>)
(!<math>10^6</math>)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welches Ergebnis hat <math>(2^{-2})^3</math>?'''
(<math>2^{-6}</math>)
(!<math>2^1</math>)
(!<math>2^{-5}</math>)
(!<math>2^6</math>)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welchen Wert hat zwei hoch drei?'''
(8)
(!5)
(!6)
(!9)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wann ist <math>a^{-n}</math> bei positivem ganzem <math>n</math> definiert?'''
(<math>a\neq0</math>)
(!nur für <math>a=0</math>)
(!nur für <math>a=1</math>)
(!nur für negative <math>a</math>)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| gleiche Basis im Produkt || Exponenten addieren
|-
| gleiche Basis im Quotienten || Exponenten subtrahieren
|-
| Potenz einer Potenz || Exponenten multiplizieren
|-
| negativer Exponent || Kehrwert bilden
|-
| gleicher Exponent im Produkt || Basen multiplizieren
|-
| Exponent null || Potenzwert eins
|-
| Zahlenkontrolle || zweiten Rechenweg nutzen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Exponenten addieren'''
| Produkt mit gleicher Basis
|-
| '''Exponenten subtrahieren'''
| Quotient mit gleicher Basis
|-
| '''Exponenten multiplizieren'''
| Potenz einer Potenz
|-
| '''Kehrwert bilden'''
| negativer Exponent
|-
| '''Basen multiplizieren'''
| Produkt mit gleichem Exponenten
|-
| '''Klammern prüfen'''
| negatives Vorzeichen bei Potenzen
|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Exponent || Wie heißt die Hochzahl einer Potenz?
|-
| Basis || Wie heißt die Zahl, die potenziert wird?
|-
| Kehrwert || Was entsteht beim Wechsel zu einem negativen Exponenten?
|-
| Quotient || Wie heißt das Ergebnis einer Division?
|-
| Produkt || Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
|-
| Potenz || Wie heißt ein Ausdruck wie zwei hoch fünf?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M10+M+Potenzgesetze+sicher+anwenden </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einem Produkt von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten { addiert }. Bei einem Quotienten mit gleicher Basis werden die Exponenten { subtrahiert }. Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten { multipliziert }. Ein negativer Exponent führt bei einer von null verschiedenen Basis zum { Kehrwert }. Es gilt <math>a^0=1</math> für { a ungleich 0 }. Bei <math>2^{-3}</math> ist der Wert { ein Achtel }. Die Ausdrücke <math>(a^m)^n</math> und <math>a^{mn}</math> sind bei zulässiger Basis { gleichwertig }. Ein Zahlenbeispiel kann eine allgemeine Regel { kontrollieren }, ersetzt aber keine allgemeine Begründung.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Potenzmuster]]: Erstelle eine Folge von <math>3^3</math> bis <math>3^{-3}</math> und beschreibe den Übergang von Zeile zu Zeile.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde zwei falsche Rechnungen zu Potenzgesetzen und korrigiere sie mit Begründung.
# [[Erklärkarte]]: Gestalte eine kompakte Regelkarte mit drei Potenzgesetzen und je einem Zahlenbeispiel.
# [[Rechenvideo]]: Produziere ein kurzes Bildschirmvideo zu <math>\frac{2^4}{2^{-2}}</math>, ohne persönliche Daten einzublenden.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Darstellungen verknüpfen]]: Zeige denselben Ausdruck als Potenz, Produkt und Bruch, zum Beispiel <math>5^{-3}</math>.
# [[Regel begründen]]: Begründe <math>a^m\cdot a^n=a^{m+n}</math> zunächst für positive ganze Exponenten durch Faktorenketten.
# [[Vergleich]]: Untersuche <math>-3^2</math> und <math>(-3)^2</math> und erkläre die Rolle der Klammern.
# [[Digitaler Check]]: Lass ein digitales Werkzeug fünf Potenzaufgaben prüfen und dokumentiere mindestens eine unabhängige Gegenkontrolle pro Ergebnis.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Gemischter Term]]: Vereinfache <math>\frac{(2^3)^4\cdot2^{-5}}{2^2}</math> und begründe jeden Schritt.
# [[Gegenbeispiel]]: Zeige mit Zahlen, warum aus <math>a^m+b^m</math> im Allgemeinen nicht <math>(a+b)^m</math> wird.
# [[Modellieren]]: Entwickle eine kurze Sachsituation, in der ein positiver und ein negativer Exponent sinnvoll vorkommen, und löse sie.
# [[KI-Prüfung]]: Bitte eine KI um eine Begründung eines Potenzgesetzes, prüfe jeden Schritt und markiere, welche Aussagen tatsächlich einen mathematischen Beweis tragen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Begründung Produktgesetz]]: Erkläre an einer Faktorenkette, warum sich bei gleicher Basis die Exponenten addieren.
# [[Begründung Quotientgesetz]]: Leite an einem Beispiel mit Kürzen her, warum bei gleicher Basis die Exponenten subtrahiert werden.
# [[Negative Exponenten]]: Erkläre, warum <math>a^{-n}</math> den Kehrwert von <math>a^n</math> beschreibt und warum <math>a=0</math> ausgeschlossen ist.
# [[Fehlerdiagnose]]: Analysiere die Rechnung <math>(x^3)^4=x^7</math>, korrigiere sie und begründe die Korrektur.
# [[Darstellungswechsel]]: Wandle <math>3^{-4}</math> in eine Bruchdarstellung um und zeige durch Multiplikation mit <math>3^4</math>, dass beide Darstellungen zusammenpassen.
# [[Transfer Potenzgesetze]]: Vereinfache einen gemischten Term mit mindestens zwei verschiedenen Potenzgesetzen und begründe die Reihenfolge Deiner Schritte.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

# sichere Anwendung der Potenzgesetze bei positiven und negativen ganzen Exponenten
# nachvollziehbare Rechenwege mit korrekten Zwischenschritten
# begründete Auswahl eines passenden Potenzgesetzes
# Kontrolle durch Zahlenbeispiel oder zweiten Rechenweg
# sichere Verwendung von Klammern und Bedingungen wie <math>a\neq0</math>
# Transfer zwischen Potenz-, Produkt- und Bruchdarstellung
# kritische Prüfung digital erzeugter Ergebnisse

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik) </iframe>

[[Datei:Exponentiation.png|500px|rahmenlos|center|Potenzieren als mathematische Operation]]

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächster Lernschritt eignet sich [[M10 M - Potenzfunktionen untersuchen]]. Dort nutzt Du Potenzen nicht nur zum Umformen von Termen, sondern untersuchst ihren Einfluss auf Funktionswerte und Graphen.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Potenzen]]'''
# [[Potenzgesetze]]
# [[Negative Exponenten]]
# [[Terme]]
# [[Potenzfunktion]]
# [[Exponentialfunktion]]
# [[Wissenschaftliche Notation]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:M-Niveau]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Potenzen]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Mittlerer Schulabschluss]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M10 M - Potenzgesetze sicher anwenden - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt