Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-27T20:54:36Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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{{T}}

{{BR}}
= M10 E - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen untersuchen =

{{BR}}
= Einleitung =
'''Mini-Beschreibung:''' Beschreibe Ereignisse mithilfe diskreter Zufallsgrößen und gib ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung tabellarisch und graphisch an. Nutze Verteilungsdiagramme und Simulationen.

Ein Zufallsexperiment liefert Ergebnisse. Eine '''diskrete Zufallsgröße''' ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu. Die '''Wahrscheinlichkeitsverteilung''' zeigt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die möglichen Werte auftreten.

'''Mini-Beispiel:''' Zwei faire Münzen werden geworfen. <math>X</math> zählt die Anzahl „Kopf“.
<math>X\in\{0,1,2\}</math>

[[Datei:Random Variable as a Function-en.svg|500px|rahmenlos|center]]

Die Leitfrage lautet: '''Wie wird aus einem Zufallsexperiment eine überprüfbare Verteilung in Tabelle und Diagramm?'''

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=unwJSkloq8M |500|center}}

{{BR}}
== Lernziele ==
Du kannst am Ende dieses aiMOOCs
# [[Zufallsgröße]]: eine diskrete Zufallsgröße passend zu einem Zufallsexperiment definieren.
# [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]: mögliche Werte und zugehörige Wahrscheinlichkeiten tabellarisch angeben.
# [[Verteilungsdiagramm]]: eine Verteilung als Balken- oder Stabdiagramm darstellen und deuten.
# [[Ereignis]]: Ereignisse mit Bedingungen an <math>X</math> formulieren und ihre Wahrscheinlichkeit berechnen.
# [[Simulation]]: theoretische Wahrscheinlichkeiten mit relativen Häufigkeiten aus Simulationen vergleichen.
# [[Begründung]]: formal prüfen, ob eine Tabelle überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein kann.
# [[Verallgemeinerung]]: Eigenschaften diskreter Verteilungen herleiten und Gegenbeispiele untersuchen.
# [[Digitale Mathematik]]: Simulationen und KI-Ausgaben kritisch kontrollieren; sie ersetzen keinen mathematischen Beweis.

{{BR}}
== Bildungsplanbezug Baden-Württemberg ==
Im E-Niveau der Sekundarstufe I werden Ereignisse mithilfe von Zufallsgrößen beschrieben und Wahrscheinlichkeitsverteilungen angegeben sowie im Sachzusammenhang interpretiert. Dieser aiMOOC konzentriert sich genau auf diesen Schwerpunkt der Leitidee [[Daten und Zufall]].

{{BR}}
= Vorwissen-Check =
Prüfe kurz, ob Du diese Grundlagen sicher beherrschst.

<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
| '''Ergebnisraum'''
| Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt <math>\Omega</math>.
|-
| '''Ereignis'''
| Ein Ereignis ist eine Teilmenge von <math>\Omega</math>.
|-
| '''Laplace-Idee'''
| Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt <math>P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}</math>.
|-
| '''Relative Häufigkeit'''
| Bei vielen Wiederholungen kann sie sich einer theoretischen Wahrscheinlichkeit annähern.
|}
{{E}}

Wenn Dir zwei oder mehr Zeilen unsicher sind, wiederhole zuerst [[Wahrscheinlichkeit]], [[Ergebnisraum]] und [[Laplace-Experiment]].

{{BR}}
= Kernidee: Von Ergebnissen zu Zahlen =

{{BR}}
== Schritt 1: Zufallsexperiment festlegen ==
Wir werfen zwei faire Münzen.

<math>\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}</math>

Dabei steht <math>K</math> für Kopf und <math>Z</math> für Zahl.

{{BR}}
== Schritt 2: Zufallsgröße definieren ==
Die Zufallsgröße <math>X</math> zählt die Anzahl der Köpfe.

<math>X(KK)=2</math>

<math>X(KZ)=1</math>

<math>X(ZK)=1</math>

<math>X(ZZ)=0</math>

'''Wichtig:''' Nicht die einzelnen Ergebnisse sind die Werte der Zufallsgröße. Mehrere Ergebnisse können denselben Wert von <math>X</math> besitzen.

{{BR}}
== Schritt 3: Wahrscheinlichkeiten bündeln ==
Alle vier Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.

<math>P(X=0)=P(\{ZZ\})=\frac14</math>

<math>P(X=1)=P(\{KZ,ZK\})=\frac24=\frac12</math>

<math>P(X=2)=P(\{KK\})=\frac14</math>

{{BR}}
== Schritt 4: Verteilung tabellarisch darstellen ==
{| class="wikitable"
! Wert <math>x</math>
! <math>P(X=x)</math>
|-
| <math>0</math>
| <math>\frac14</math>
|-
| <math>1</math>
| <math>\frac12</math>
|-
| <math>2</math>
| <math>\frac14</math>
|}

Kontrolle:

<math>\frac14+\frac12+\frac14=1</math>

{{BR}}
== Schritt 5: Verteilung graphisch darstellen ==
Im Verteilungsdiagramm steht über jedem möglichen Wert <math>x</math> ein Balken oder Stab mit der Höhe <math>P(X=x)</math>.

Zum Vergleich zeigt die folgende Grafik die gleichmäßige Verteilung eines fairen Würfels.

[[Datei:Probability Distribution.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Lies ein Diagramm immer in zwei Richtungen:''' Welcher Wert gehört zur Balkenposition? Welche Wahrscheinlichkeit gehört zur Balkenhöhe?

{{BR}}
= Formale Beschreibung auf E-Niveau =
Eine diskrete Zufallsgröße ist eine Abbildung, die Ergebnissen Zahlen zuordnet:

<math>X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}</math>

Für einen möglichen Wert <math>x</math> gilt

<math>P(X=x)=P(\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)=x\})</math>

Für eine endliche Wertemenge <math>\{x_1,\ldots,x_n\}</math> muss gelten:

<math>P(X=x_i)\ge 0</math>

und

<math>\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)=1</math>

Damit kannst Du auch behauptete Verteilungen widerlegen. Schon eine negative Wahrscheinlichkeit oder eine Summe ungleich <math>1</math> genügt als Gegenbeispiel.

[[Datei:Discrete probability distrib.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Interaktives Beispiel: Summe zweier Würfel =
Zwei faire sechsseitige Würfel werden geworfen. Die Zufallsgröße <math>S</math> ist die Augensumme.

<math>S\in\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}</math>

Für <math>S=7</math> gibt es sechs günstige geordnete Paare:

<math>(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)</math>

Deshalb:

<math>P(S=7)=\frac{6}{36}=\frac16</math>

[[Datei:Dice Distribution (bar).svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Beobachtung:''' Die Summen sind nicht gleich wahrscheinlich. Die <math>7</math> liegt im Zentrum und kann auf mehr Arten entstehen als <math>2</math> oder <math>12</math>.

{{BR}}
== Denkfrage mit Feedback ==
'''Behauptung:''' „Es gibt elf mögliche Summen, also hat jede Summe die Wahrscheinlichkeit <math>\frac1{11}</math>.“

'''Prüfung:''' Die Aussage ist falsch, weil die elf Summen unterschiedlich viele Würfelpaare besitzen. Gleich wahrscheinliche Ergebnisse sind die <math>36</math> geordneten Würfelpaare, nicht die elf Summen.

[[Datei:Fair dice probability distribution.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=QXE6XvxO85o |500|center}}

{{BR}}
= Ereignisse mithilfe einer Zufallsgröße beschreiben =
Ist <math>X</math> die Anzahl der Köpfe bei zwei Münzwürfen, dann kann ein Ereignis kurz beschrieben werden.

'''Mindestens ein Kopf:'''

<math>A=\{X\ge 1\}</math>

<math>P(A)=P(X=1)+P(X=2)=\frac12+\frac14=\frac34</math>

'''Kein Kopf:'''

<math>B=\{X=0\}</math>

<math>P(B)=\frac14</math>

'''Genau ein Kopf:'''

<math>C=\{X=1\}</math>

<math>P(C)=\frac12</math>

Auf E-Niveau solltest Du die Übersetzung zwischen Sachtext, Ereignisbedingung und Rechnung sicher beherrschen.

{{BR}}
= Simulation: Theorie gegen Daten =
Eine Simulation erzeugt viele Wiederholungen eines modellierten Zufallsexperiments. Sie liefert '''relative Häufigkeiten''', keine mathematischen Beweise.

[[Datei:LLN Die Rolls.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Simulationsauftrag ==
Simuliere das Experiment „zwei faire Münzen“ digital oder mit echten Münzen.

# Führe zunächst <math>n=20</math> Wiederholungen durch.
# Bestimme für jede Wiederholung <math>X\in\{0,1,2\}</math>.
# Berechne die relativen Häufigkeiten der drei Werte.
# Wiederhole mit <math>n=100</math> und <math>n=1000</math>.
# Vergleiche mit <math>\frac14,\frac12,\frac14</math>.
# Begründe, warum kleine Abweichungen kein Widerspruch zur Theorie sind.

[[Datei:Histogramofdice.png|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Lawoflargenumbersanimation.gif|300px|rahmenlos|center]]

'''Kritischer Digital-Check:''' Prüfe, ob das digitale Werkzeug wirklich zwei unabhängige faire 0/1-Zufallswerte erzeugt. Prüfe außerdem Achsen, Rundungen und Stichprobengröße. Teile keine personenbezogenen Daten. Eine KI-Ausgabe oder Simulation kann eine Vermutung unterstützen, ersetzt aber keinen mathematischen Beweis.

{{BR}}
= Übung 1: Verteilung aus einem Zufallsexperiment =

In einer Urne liegen drei gleichartige Kugeln mit den Zahlen <math>1,1,2</math>. Eine Kugel wird zufällig gezogen. <math>X</math> ist die gezogene Zahl.

'''Aufgabe:''' Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math>X</math> auf.

{{BR}}
== Hilfestufe 1 ==
Bestimme zuerst die möglichen Werte von <math>X</math>.

{{BR}}
== Hilfestufe 2 ==
Unterscheide zwischen Kugeln und Zahlenwerten. Zwei verschiedene Kugeln tragen den Wert <math>1</math>.

{{BR}}
== Feedback ==
<math>X\in\{1,2\}</math>

<math>P(X=1)=\frac23</math>

<math>P(X=2)=\frac13</math>

Kontrolle:

<math>\frac23+\frac13=1</math>

{{BR}}
= Übung 2: Verteilung prüfen =
Gegeben ist folgende Behauptung:

{| class="wikitable"
! Wert <math>x</math>
! <math>P(X=x)</math>
|-
| <math>0</math>
| <math>0{,}20</math>
|-
| <math>1</math>
| <math>0{,}45</math>
|-
| <math>2</math>
| <math>0{,}40</math>
|}

'''Aufgabe:''' Entscheide formal, ob dies eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein kann.

{{BR}}
== Hilfestufe 1 ==
Prüfe Nichtnegativität und Gesamtsumme.

{{BR}}
== Feedback ==
Alle Einzelwerte sind nichtnegativ, aber

<math>0{,}20+0{,}45+0{,}40=1{,}05</math>

Die Tabelle ist daher '''keine''' Wahrscheinlichkeitsverteilung.

{{BR}}
= Übung 3: Ereignis aus einer Verteilung =
Für eine Zufallsgröße <math>Y</math> gilt:

{| class="wikitable"
! Wert <math>y</math>
! <math>P(Y=y)</math>
|-
| <math>0</math>
| <math>0{,}10</math>
|-
| <math>1</math>
| <math>0{,}25</math>
|-
| <math>2</math>
| <math>0{,}40</math>
|-
| <math>3</math>
| <math>0{,}25</math>
|}

'''Aufgabe:''' Berechne <math>P(Y\ge 2)</math> und begründe den Rechenweg.

{{BR}}
== Hilfestufe 1 ==
Das Ereignis <math>Y\ge 2</math> umfasst genau die Werte <math>2</math> und <math>3</math>.

{{BR}}
== Feedback ==
<math>P(Y\ge 2)=P(Y=2)+P(Y=3)=0{,}40+0{,}25=0{,}65</math>

{{BR}}
= Typische Fehler =
# [[Ergebnis und Wert verwechseln]]: Ein Ergebnis <math>\omega</math> ist nicht automatisch ein Wert der Zufallsgröße. Prüfe die Zuordnung <math>X(\omega)</math>.
# [[Gleichverteilung vorschnell annehmen]]: Gleich viele mögliche Werte bedeuten nicht gleich große Wahrscheinlichkeiten.
# [[Wahrscheinlichkeiten nicht prüfen]]: Bei einer vollständigen diskreten Verteilung muss die Summe <math>1</math> ergeben.
# [[Balkendiagramm falsch lesen]]: Die Höhe beschreibt die Wahrscheinlichkeit, nicht die bloße Nummer des Wertes.
# [[Simulation mit Beweis verwechseln]]: Relative Häufigkeiten schwanken; theoretische Wahrscheinlichkeiten werden mathematisch begründet.
# [[Rundungsfehler]]: Gerundete Tabellen können knapp von <math>1</math> abweichen. Prüfe die ungerundeten Werte, bevor Du urteilst.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =
Beantworte ohne Hilfsmittel:

# Kannst Du erklären, warum <math>X</math> eine Funktion auf dem Ergebnisraum ist?
# Kannst Du aus Ergebnissen gleiche <math>X</math>-Werte bündeln?
# Kannst Du eine zweispaltige Verteilungstabelle erstellen?
# Kannst Du aus <math>X\ge a</math> die passenden Einzelwahrscheinlichkeiten auswählen?
# Kannst Du mit <math>\sum P(X=x)=1</math> eine Verteilung prüfen?
# Kannst Du erklären, warum eine Simulation Theorie nicht beweist?

Wenn Du mindestens fünf Punkte sicher begründen kannst, bist Du bereit für den Kompetenzcheck.

{{BR}}
= Transfer =
Ein Online-Spiel verspricht bei einem zufälligen Ergebnis einen Punktestand <math>X</math>. Die Plattform zeigt nur ein Balkendiagramm.

'''Transferauftrag:'''
# Lies aus dem Diagramm die möglichen Werte und Wahrscheinlichkeiten ab.
# Prüfe, ob die Balkenhöhen insgesamt eine gültige Verteilung ergeben.
# Formuliere zwei Ereignisse in der Form <math>X\le a</math> oder <math>X\ge b</math>.
# Berechne deren Wahrscheinlichkeiten.
# Entwickle ein Gegenbeispiel für ein Diagramm, das ähnlich aussieht, aber mathematisch ungültig ist.
# Begründe, welche Informationen Du zusätzlich brauchst, um die Fairness des zugrunde liegenden Spiels zu beurteilen.

{{BR}}
= Kompetenzcheck E-Niveau =
Du arbeitest formal sicher, wenn Du die folgenden Aussagen begründen kannst.

# Für jede diskrete Verteilung gilt <math>P(X=x)\ge 0</math>.
# Bei endlich vielen möglichen Werten gilt <math>\sum_i P(X=x_i)=1</math>.
# Eine Zufallsgröße kann mehrere Ergebnisse auf denselben Zahlenwert abbilden.
# Ereignisse wie <math>X\ge a</math> werden durch Summieren der passenden Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet.
# Ein Diagramm ist nur dann korrekt, wenn Positionen, Balkenhöhen und Skala zur Tabelle passen.
# Simulationsergebnisse nähern theoretische Wahrscheinlichkeiten an, beweisen sie aber nicht.
# Eine ungültige Verteilung kann durch ein einziges Gegenbeispiel zu den notwendigen Bedingungen widerlegt werden.

{{BR}}
= Reflexion =
Beantworte drei Sätze in Deinem Lernjournal:

# Was ist für Dich der wichtigste Unterschied zwischen Ergebnis und Wert einer Zufallsgröße?
# Welche Darstellung hilft Dir mehr: Tabelle oder Diagramm? Begründe mathematisch.
# Wann würdest Du einer Simulation misstrauen?
# Welche Prüfung führst Du bei einer KI-generierten Wahrscheinlichkeitsverteilung zuerst durch?

{{BR}}
= Folgekurs =
Als nächster Schritt bietet sich [[M10 E - Erwartungswert von Zufallsgrößen untersuchen]] an. Dort wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine weitere Kennzahl beschrieben. Danach kann die [[Binomialverteilung]] als wichtige spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung vertieft werden. So bereitest Du den Übergang in weiterführende Bildungsgänge vor.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was beschreibt eine diskrete Zufallsgröße?'''
(Sie ordnet Ergebnissen eines Zufallsexperiments Zahlen zu.)
(!Sie ordnet jeder Wahrscheinlichkeit ein Zufallsexperiment zu.)
(!Sie zählt immer nur die Anzahl aller Ergebnisse.)
(!Sie muss jeden reellen Zahlenwert annehmen.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Bedingung muss für eine vollständige endliche Wahrscheinlichkeitsverteilung gelten?'''
(Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten ist 1.)
(!Die Summe aller Werte der Zufallsgröße ist 1.)
(!Jede Einzelwahrscheinlichkeit ist gleich groß.)
(!Mindestens eine Einzelwahrscheinlichkeit ist größer als 1.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Bei zwei fairen Münzwürfen zählt X die Anzahl Kopf. Wie groß ist P X gleich 1?'''
(Ein Halb)
(!Ein Viertel)
(!Drei Viertel)
(!Eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet das Ereignis X größer oder gleich 2?'''
(Alle Ergebnisse mit einem X Wert von mindestens 2.)
(!Nur das Ergebnis X gleich 2.)
(!Alle Ergebnisse mit Wahrscheinlichkeit mindestens 2.)
(!Genau zwei mögliche Ergebnisse.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum sind die Augensummen zweier Würfel nicht gleich verteilt?'''
(Die Summen können durch unterschiedlich viele Würfelpaare entstehen.)
(!Die Würfel haben unterschiedlich viele Seiten.)
(!Die Summe 7 ist kein mögliches Ergebnis.)
(!Jede Summe entsteht durch genau ein Würfelpaar.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zu einer Simulation ist richtig?'''
(Relative Häufigkeiten können theoretische Wahrscheinlichkeiten annähern.)
(!Eine Simulation beweist eine Wahrscheinlichkeit exakt.)
(!Eine Simulation liefert bei jeder Durchführung dieselben Häufigkeiten.)
(!Eine kleine Stichprobe ist immer genauer als eine große.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Tabelle kann keine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein?'''
(Eine Tabelle mit einer negativen Einzelwahrscheinlichkeit.)
(!Eine Tabelle mit unterschiedlich großen Wahrscheinlichkeiten.)
(!Eine Tabelle mit dem Wert 0 der Zufallsgröße.)
(!Eine Tabelle mit drei möglichen Werten.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was zeigt die Höhe eines Balkens im Verteilungsdiagramm?'''
(Die Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Wertes.)
(!Die Anzahl aller möglichen Zufallsexperimente.)
(!Den Namen des Ereignisses.)
(!Immer den Wert der Zufallsgröße selbst.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie berechnet man P X größer oder gleich 2 aus einer vollständigen Verteilungstabelle?'''
(Man addiert die Wahrscheinlichkeiten aller Werte ab 2.)
(!Man addiert alle Werte der Zufallsgröße.)
(!Man multipliziert die kleinste und größte Wahrscheinlichkeit.)
(!Man teilt jede Wahrscheinlichkeit durch 2.)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Prüfung ist bei einer KI erzeugten Verteilung besonders wichtig?'''
(Nichtnegativität und Summe der Wahrscheinlichkeiten kontrollieren.)
(!Die Antwort ungeprüft übernehmen.)
(!Nur die Zahl der Tabellenzeilen zählen.)
(!Das Diagramm ohne Achsen verwenden.)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==
<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Zufallsgröße || Zahlenzuordnung zu Ergebnissen
|-
| Wahrscheinlichkeitsverteilung || Zuordnung von Werten zu Wahrscheinlichkeiten
|-
| Ergebnisraum || Menge aller möglichen Ergebnisse
|-
| Verteilungsdiagramm || Graphische Darstellung der Einzelwahrscheinlichkeiten
|-
| Simulation || Wiederholtes digitales oder reales Zufallsexperiment
|-
| Normierungsbedingung || Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich eins
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==
<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Ergebnisse festlegen'''
| Zufallsexperiment
|-
| '''Zahlen zuordnen'''
| Zufallsgröße
|-
| '''Wahrscheinlichkeiten bündeln'''
| Verteilung
|-
| '''Balkenhöhen eintragen'''
| Diagramm
|-
| '''Gesamtsumme prüfen'''
| Kontrolle

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==
<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Zufallsgröße || Wie heißt eine zahlenwertige Zuordnung zu Ergebnissen eines Zufallsexperiments?
|-
| Verteilung || Wie heißt die Zuordnung von möglichen Werten zu ihren Wahrscheinlichkeiten?
|-
| Simulation || Wie heißt die wiederholte digitale oder reale Nachbildung eines Zufallsexperiments?
|-
| Ereignis || Wie heißt eine Menge von Ergebnissen, deren Wahrscheinlichkeit betrachtet wird?
|-
| Diagramm || Wie heißt eine graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeiten?
|-
| Ergebnisraum || Wie heißt die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==
<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Zufallsgrößen+und+Wahrscheinlichkeitsverteilungen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==
<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine diskrete { Zufallsgröße } ordnet Ergebnissen Zahlen zu. Die möglichen Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten bilden eine { Wahrscheinlichkeitsverteilung }. Jede Einzelwahrscheinlichkeit ist mindestens { null }. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer vollständigen Verteilung ist { eins }. In einem Verteilungsdiagramm entspricht die Balkenhöhe der jeweiligen { Wahrscheinlichkeit }. Eine Simulation liefert relative { Häufigkeiten }, die bei vielen Wiederholungen die theoretischen Wahrscheinlichkeiten annähern können.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Münzexperiment]]: Wirf zwei Münzen 20-mal, notiere die Anzahl Kopf und erstelle eine zweispaltige Verteilung der relativen Häufigkeiten.
# [[Diagramm lesen]]: Beschreibe bei der Würfelgrafik, welche Summe am wahrscheinlichsten und welche am seltensten ist. Begründe über mögliche Würfelpaare.
# [[Verteilung prüfen]]: Erfinde drei gültige Einzelwahrscheinlichkeiten für die Werte <math>0,1,2</math> und kontrolliere ihre Summe.
# [[Fehlerdetektiv]]: Erstelle absichtlich eine ungültige Verteilung und erkläre genau, welche notwendige Bedingung verletzt ist.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Simulation vergleichen]]: Simuliere zwei Münzwürfe 100-mal und 1000-mal. Vergleiche die beiden empirischen Verteilungen mit der theoretischen.
# [[Urnenmodell]]: Entwirf eine Urne mit höchstens sechs Kugeln, deren gezogene Zahl eine nicht gleichmäßige Zufallsgröße ergibt. Stelle Tabelle und Diagramm auf.
# [[Ereignisse formulieren]]: Erfinde zu einer eigenen Zufallsgröße drei Sachereignisse und schreibe sie als Bedingungen an <math>X</math>.
# [[Darstellungswechsel]]: Überführe eine Verteilung von Tabelle zu Diagramm und zurück. Prüfe anschließend, ob beide Darstellungen exakt dieselbe Information enthalten.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Verallgemeinerung]]: Beweise für eine endliche diskrete Zufallsgröße, warum die Summe der Wahrscheinlichkeiten ihrer verschiedenen Werte <math>1</math> sein muss.
# [[Gegenbeispiel]]: Widerlege die Aussage „Wenn eine Zufallsgröße fünf Werte annehmen kann, hat jeder Wert Wahrscheinlichkeit <math>\frac15</math>“ durch ein selbst konstruiertes Zufallsexperiment.
# [[Modellentwicklung]]: Entwickle ein komplexeres Zufallsexperiment mit mindestens acht gleich wahrscheinlichen Ergebnissen, definiere eine Zufallsgröße mit weniger Werten und leite ihre Verteilung vollständig her.
# [[Digitale Prüfung]]: Lass ein digitales Werkzeug oder eine KI eine Verteilung zu Deinem Modell erzeugen. Prüfe jeden Wert, die Gesamtsumme, das Diagramm und die Begründung. Dokumentiere mindestens einen möglichen Fehler oder eine unabhängige Kontrollrechnung.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =
# [[Modellieren]]: Ein Brettspiel vergibt abhängig von zwei Würfeln Punkte. Definiere selbst eine geeignete Zufallsgröße, die den Punktgewinn beschreibt, und begründe Deine Wahl.
# [[Darstellung bewerten]]: Vergleiche eine Tabelle und ein Balkendiagramm derselben Verteilung. Erkläre, welche Informationen jeweils schneller sichtbar werden und welche Kontrollmöglichkeiten bestehen.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person behauptet, jede Augensumme zweier Würfel sei gleich wahrscheinlich. Widerlege die Aussage mit mindestens zwei verschiedenen Argumenten.
# [[Simulation beurteilen]]: Eine Simulation mit 20 Wiederholungen weicht deutlich von der Theorie ab. Erkläre, warum das möglich ist und welche Untersuchung Du zur besseren Beurteilung anschließen würdest.
# [[Verteilung rekonstruieren]]: Gegeben sind einige Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Zufallsgröße. Entwickle eine mögliche vollständige Verteilung und zeige, dass alle Bedingungen erfüllt sind.
# [[Beweisidee]]: Begründe allgemein, warum das Zusammenfassen aller Ergebnisse mit gleichem Zufallsgrößenwert die Gesamtwahrscheinlichkeit <math>1</math> erhält.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =
Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen können:
# Du definierst eine diskrete Zufallsgröße aus einem Sachkontext.
# Du leitest ihre möglichen Werte systematisch her.
# Du berechnest die Einzelwahrscheinlichkeiten nachvollziehbar.
# Du stellst die Verteilung in einer übersichtlichen Tabelle dar.
# Du überträgst die Verteilung korrekt in ein Diagramm.
# Du berechnest Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen wie <math>X\ge a</math> oder <math>X\le b</math>.
# Du prüfst Nichtnegativität und Gesamtsumme formal.
# Du vergleichst Simulation und Theorie kritisch.
# Du begründest Gegenbeispiele und erkennst falsche Modellannahmen.
# Du dokumentierst Rechenweg, Darstellung und Begründung so, dass sie überprüfbar sind.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung </iframe>

{{BR}}
== Freie Medien zum Weiterlernen ==
# [[commons:File:Probability Distribution.svg|Wahrscheinlichkeitsverteilung eines symmetrischen Würfels auf Wikimedia Commons]]
# [[commons:File:Dice Distribution (bar).svg|Verteilung der Summe zweier Würfel auf Wikimedia Commons]]
# [[commons:File:LLN Die Rolls.gif|Animation zum Gesetz der großen Zahlen auf Wikimedia Commons]]
# [[commons:File:Lawoflargenumbersanimation.gif|Münzwurf-Simulation auf Wikimedia Commons]]
# [[commons:File:Random Variable as a Function-en.svg|Visualisierung einer Zufallsgröße als Funktion auf Wikimedia Commons]]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =
{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]'''
# [[Zufallsexperiment]]
# [[Ergebnisraum]]
# [[Ereignis]]
# [[Zufallsgröße]]
# [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
# [[Verteilungsdiagramm]]
# [[Relative Häufigkeit]]
# [[Simulation]]
# [[Erwartungswert]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeit]]
[[Kategorie:Zufallsgröße]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:E-Niveau]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M10 E - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen untersuchen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt