Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-28T05:01:05Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}
{{BR}}
= M10 E - Verschobene Sinusfunktionen untersuchen =

'''Mini-Beschreibung:''' Untersuche auf E-Niveau Funktionen der Form <math>f(\alpha)=\sin(\alpha)+b</math> für <math>0^\circ\leq\alpha\leq360^\circ</math>. Du interpretierst <math>b</math> als vertikale Verschiebung, begründest Eigenschaften formal und prüfst periodische Modelle mit digitalen Werkzeugen.

[[Datei:Graph der Sinusfunktion.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Einleitung =

Eine Sinuskurve kann einen periodischen Vorgang beschreiben. In diesem Kurs bleibt ihre Form gleich; nur ihre Lage in y-Richtung verändert sich:

<math>f_b(\alpha)=\sin(\alpha)+b</math>

Dabei ist <math>b\in\mathbb{R}</math>. Im Mittelpunkt steht eine Periode:

<math>0^\circ\leq\alpha\leq360^\circ</math>

'''Leitfrage:''' Was bleibt gleich, was ändert sich, wenn <math>b</math> verändert wird?

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=KLCYH-TQgQQ |500|center}}

{{BR}}
== Curricularer Fokus: E-Niveau ==

Du arbeitest mit [[Sinusfunktion|Sinusfunktionen]], [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], Graphen und realen periodischen Vorgängen. Der Fokus liegt ausschließlich auf der vertikalen Verschiebung durch <math>b</math>. Die Amplitude bleibt <math>1</math>. Die periodische Fortsetzung besitzt weiterhin die Periodenlänge <math>360^\circ</math>.

'''E-Niveau bedeutet hier:''' Vermutungen formal begründen, Aussagen verallgemeinern, Gegenbeispiele prüfen, digitale Ergebnisse kontrollieren und ein periodisches Modell entwickeln.

{{BR}}
= Lernziele =

Nach dem Kurs kannst Du
# [[Vertikale Verschiebung|Vertikale Verschiebungen]] von <math>f(\alpha)=\sin(\alpha)+b</math> sicher beschreiben.
# aus dem Term <math>b</math>, Mittellinie, Maximum, Minimum und Wertebereich bestimmen.
# charakteristische Punkte für <math>0^\circ\leq\alpha\leq360^\circ</math> berechnen und einen Graphen skizzieren.
# begründen, warum die Verschiebung die Amplitude und die Periodenlänge nicht verändert.
# aus einem vertikal verschobenen Sinusgraphen den Parameter <math>b</math> bestimmen.
# ein reales periodisches Modell mit Grundniveau formulieren und kritisch prüfen.
# digitale Graphen und KI-Ausgaben mathematisch überprüfen, statt sie ungeprüft zu übernehmen.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

[[Datei:Circle cos sin.gif|500px|rahmenlos|center]]

Prüfe ohne Hilfsmittel die fünf Grundwerte der Sinusfunktion.

{| class="wikitable" style="width:100%; max-width:700px; margin:auto;"
! <math>\alpha</math>
! <math>0^\circ</math>
! <math>90^\circ</math>
! <math>180^\circ</math>
! <math>270^\circ</math>
! <math>360^\circ</math>
|-
! <math>\sin(\alpha)</math>
| <math>0</math>
| <math>1</math>
| <math>0</math>
| <math>-1</math>
| <math>0</math>
|}

'''Kurzcheck:'''
# Wo liegt das Maximum von <math>\sin(\alpha)</math>?
# Wo liegt das Minimum?
# Welche Gerade ist die Mittellinie?
# Wie groß ist die Amplitude?
# Warum stimmen die Werte bei <math>0^\circ</math> und <math>360^\circ</math> überein?

'''Selbstfeedback:''' Wenn Du <math>1</math>, <math>-1</math>, <math>y=0</math>, Amplitude <math>1</math> und die Wiederholung nach einer vollen Umdrehung begründen kannst, bist Du startklar.

{{BR}}
= Grundidee: Jeder y-Wert wird um b verschoben =

Für jeden Winkel gilt:

<math>f_b(\alpha)=\sin(\alpha)+b</math>

Das bedeutet punktweise:

<math>(\alpha,\sin(\alpha))\mapsto(\alpha,\sin(\alpha)+b)</math>

Die x-Koordinate bleibt gleich. Nur die y-Koordinate erhält den Summanden <math>b</math>.

[[Datei:Sinus mit y.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung ==

{| class="wikitable" style="width:100%; max-width:820px; margin:auto;"
! Schritt
! Mathematische Aktion
! Wirkung im Graphen
|-
| 1
| <math>y=\sin(\alpha)</math>
| Grundkurve
|-
| 2
| wähle <math>b</math>
| Verschiebungsbetrag festlegen
|-
| 3
| addiere <math>b</math> zu jedem Funktionswert
| jeder Punkt wandert gleich weit nach oben oder unten
|-
| 4
| zeichne <math>y=b</math>
| neue Mittellinie
|-
| 5
| kontrolliere Maximum und Minimum
| <math>b+1</math> und <math>b-1</math>
|}

'''Richtung:'''

<math>b>0\Rightarrow</math> Verschiebung nach oben

<math>b<0\Rightarrow</math> Verschiebung nach unten

<math>b=0\Rightarrow</math> keine Verschiebung

{{BR}}
= Schieberegler: b experimentell untersuchen =

Nutze den Schieberegler nur für die vertikale Verschiebung. Beobachte zuerst, formuliere eine Vermutung und beweise sie anschließend algebraisch.

<iframe src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/FRRX7ZXU/width/800/height/500/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/sri/true/at/auto" width="100%" height="520" style="border:0;" allowfullscreen></iframe>

'''Experiment:'''
# Stelle nacheinander <math>b=-2</math>, <math>b=-1</math>, <math>b=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b=2</math> ein.
# Notiere jeweils Mittellinie, Maximum und Minimum.
# Prüfe, ob die Stellen der Hoch- und Tiefpunkte ihre x-Koordinaten ändern.
# Formuliere eine allgemeine Aussage für beliebiges <math>b\in\mathbb{R}</math>.

'''Datenschutz:''' Gib in externe Werkzeuge keine personenbezogenen Daten ein.

{{BR}}
= Charakteristische Punkte =

Aus den fünf Grundwerten entsteht sofort eine Wertetabelle für beliebiges <math>b</math>:

{| class="wikitable" style="width:100%; max-width:760px; margin:auto;"
! <math>\alpha</math>
! <math>\sin(\alpha)</math>
! <math>f_b(\alpha)</math>
|-
| <math>0^\circ</math>
| <math>0</math>
| <math>b</math>
|-
| <math>90^\circ</math>
| <math>1</math>
| <math>b+1</math>
|-
| <math>180^\circ</math>
| <math>0</math>
| <math>b</math>
|-
| <math>270^\circ</math>
| <math>-1</math>
| <math>b-1</math>
|-
| <math>360^\circ</math>
| <math>0</math>
| <math>b</math>
|}

[[Datei:Sine one period.svg|600px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Merksatz ==

Für <math>f_b(\alpha)=\sin(\alpha)+b</math> gilt im Bereich <math>0^\circ\leq\alpha\leq360^\circ</math>:

<math>\text{Mittellinie}: y=b</math>

<math>\max f_b=b+1</math>

<math>\min f_b=b-1</math>

<math>W_{f_b}=[b-1;b+1]</math>

<math>\text{Amplitude}=1</math>

Für die periodische Fortsetzung gilt:

<math>\text{Periode}=360^\circ</math>

{{BR}}
= Formale Herleitung auf E-Niveau =

Aus

<math>-1\leq\sin(\alpha)\leq1</math>

folgt durch Addition derselben Zahl <math>b</math> auf allen drei Seiten:

<math>b-1\leq\sin(\alpha)+b\leq b+1</math>

also

<math>b-1\leq f_b(\alpha)\leq b+1</math>.

Damit ist der Wertebereich

<math>W_{f_b}=[b-1;b+1]</math>.

Da <math>\sin(90^\circ)=1</math> und <math>\sin(270^\circ)=-1</math>, werden beide Randwerte tatsächlich angenommen.

{{BR}}
== Beweis: Die Amplitude bleibt 1 ==

Die Mittellinie ist <math>y=b</math>. Der Abstand des Maximums zur Mittellinie beträgt

<math>(b+1)-b=1</math>.

Der Abstand des Minimums zur Mittellinie beträgt

<math>b-(b-1)=1</math>.

Also bleibt die Amplitude unabhängig von <math>b</math> gleich <math>1</math>.

{{BR}}
== Beweis: Die Periodenlänge bleibt 360 Grad ==

Für die formale Begründung betrachten wir die natürliche Fortsetzung

<math>F_b(\alpha)=\sin(\alpha)+b</math>

für alle reellen Winkelwerte. Wegen der Periodizität des Sinus gilt:

<math>\sin(\alpha+360^\circ)=\sin(\alpha)</math>.

Daher

<math>F_b(\alpha+360^\circ)=\sin(\alpha+360^\circ)+b=\sin(\alpha)+b=F_b(\alpha)</math>.

Die Addition von <math>b</math> verändert die Periodenlänge nicht. Im Kurs betrachten wir davon die eine Periode von <math>0^\circ</math> bis <math>360^\circ</math>.

{{BR}}
= Interaktives Beispiel 1: b = 2 =

Gegeben ist

<math>f(\alpha)=\sin(\alpha)+2</math>.

'''Schritt 1:''' <math>b=2</math>

'''Schritt 2:''' Mittellinie <math>y=2</math>

'''Schritt 3:''' Maximum <math>2+1=3</math>

'''Schritt 4:''' Minimum <math>2-1=1</math>

'''Schritt 5:''' Wertebereich <math>[1;3]</math>

{| class="wikitable" style="width:100%; max-width:700px; margin:auto;"
! <math>\alpha</math>
! <math>0^\circ</math>
! <math>90^\circ</math>
! <math>180^\circ</math>
! <math>270^\circ</math>
! <math>360^\circ</math>
|-
! <math>f(\alpha)</math>
| <math>2</math>
| <math>3</math>
| <math>2</math>
| <math>1</math>
| <math>2</math>
|}

'''Denkfrage:''' Kann dieser Graph im betrachteten Bereich die x-Achse schneiden?

'''Feedback:''' Nein. Alle Funktionswerte liegen zwischen <math>1</math> und <math>3</math>.

{{BR}}
= Interaktives Beispiel 2: b = -1,5 =

<math>g(\alpha)=\sin(\alpha)-1{,}5</math>

Bestimme zuerst selbst die drei Werte.

<math>\text{Mittellinie}=\ ?</math>

<math>\max g=\ ?</math>

<math>\min g=\ ?</math>

'''Lösung:'''

<math>\text{Mittellinie}: y=-1{,}5</math>

<math>\max g=-0{,}5</math>

<math>\min g=-2{,}5</math>

'''Folgerung:''' Der Graph liegt vollständig unterhalb der x-Achse.

{{BR}}
= Vom Graphen zum Term =

[[Datei:Sinus mit drei Linien.svg|500px|rahmenlos|center]]

Wenn Maximum und Minimum eines verschobenen Sinusgraphen bekannt sind, erhältst Du die Mittellinie durch den Mittelwert:

<math>b=\frac{y_{\max}+y_{\min}}{2}</math>

Bei einer reinen Verschiebung muss zusätzlich gelten:

<math>\frac{y_{\max}-y_{\min}}{2}=1</math>.

'''Beispiel:'''

<math>y_{\max}=4,\qquad y_{\min}=2</math>

Dann

<math>b=\frac{4+2}{2}=3</math>

und

<math>\frac{4-2}{2}=1</math>.

Also passt der Graph zur Form

<math>f(\alpha)=\sin(\alpha)+3</math>.

{{BR}}
= Gegenbeispiele prüfen =

E-Niveau verlangt mehr als Mustererkennung: Eine Behauptung ist erst dann allgemein gesichert, wenn sie begründet ist.

'''Behauptung A:''' „Bei <math>b=5</math> wird die Amplitude <math>5</math>.“

Gegenbeispiel:

<math>f(\alpha)=\sin(\alpha)+5</math>

hat Maximum <math>6</math>, Minimum <math>4</math> und damit

<math>\frac{6-4}{2}=1</math>.

Die Behauptung ist falsch.

'''Behauptung B:''' „Bei negativem <math>b</math> wird der Graph gespiegelt.“

Gegenbeispiel:

<math>f(\alpha)=\sin(\alpha)-2</math>

besitzt weiterhin bei <math>90^\circ</math> ein Maximum und bei <math>270^\circ</math> ein Minimum. Er ist nur nach unten verschoben.

{{BR}}
= Übungen mit Hilfestufen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Eigenschaften aus dem Term ==

Gegeben:

<math>f(\alpha)=\sin(\alpha)+4</math>

Bestimme Mittellinie, Maximum, Minimum und Wertebereich.

'''Hilfe 1:''' Lies <math>b</math> direkt ab.

'''Hilfe 2:''' Verwende <math>b+1</math> und <math>b-1</math>.

'''Feedback:''' <math>b=4</math>, Mittellinie <math>y=4</math>, Maximum <math>5</math>, Minimum <math>3</math>, Wertebereich <math>[3;5]</math>.

{{BR}}
== Übung 2: Parameter aus Eigenschaften ==

Ein Graph hat Maximum <math>1{,}2</math> und Minimum <math>-0{,}8</math>. Bestimme <math>b</math>.

'''Hilfe 1:''' Bilde den Mittelwert.

'''Hilfe 2:''' <math>b=\frac{1{,}2+(-0{,}8)}{2}</math>

'''Feedback:''' <math>b=0{,}2</math>. Die halbe Spannweite ist <math>1</math>, also passt das Modell zur geforderten Form.

{{BR}}
== Übung 3: Unmögliches Modell erkennen ==

Ein Graph hat Maximum <math>5</math> und Minimum <math>1</math>. Kann er durch <math>\sin(\alpha)+b</math> beschrieben werden?

'''Hilfe 1:''' Prüfe nicht nur die Mittellinie.

'''Hilfe 2:''' Berechne <math>\frac{5-1}{2}</math>.

'''Feedback:''' Nein. Die Amplitude wäre <math>2</math>, aber Funktionen der Form <math>\sin(\alpha)+b</math> haben Amplitude <math>1</math>.

{{BR}}
== Übung 4: Charakteristische Punkte ==

Für

<math>h(\alpha)=\sin(\alpha)-0{,}5</math>

bestimme die Funktionswerte bei <math>0^\circ</math>, <math>90^\circ</math>, <math>180^\circ</math>, <math>270^\circ</math> und <math>360^\circ</math>.

'''Hilfe:''' Addiere <math>-0{,}5</math> zu jedem Grundwert.

'''Feedback:'''

<math>-0{,}5;\ 0{,}5;\ -0{,}5;\ -1{,}5;\ -0{,}5</math>

{{BR}}
== Übung 5: Nullstellen argumentativ untersuchen ==

Für welche Werte von <math>b</math> kann <math>f_b(\alpha)=\sin(\alpha)+b</math> im Bereich <math>0^\circ\leq\alpha\leq360^\circ</math> mindestens eine Nullstelle besitzen?

'''Hilfe 1:''' Eine Nullstelle erfüllt <math>\sin(\alpha)=-b</math>.

'''Hilfe 2:''' Welche Werte kann der Sinus annehmen?

'''Feedback:'''

<math>-1\leq-b\leq1</math>

ist äquivalent zu

<math>-1\leq b\leq1</math>.

Genau für <math>b\in[-1;1]</math> kann eine Nullstelle auftreten.

{{BR}}
= Typische Fehler =

{| class="wikitable" style="width:100%; max-width:900px; margin:auto;"
! Fehler
! Korrektur
|-
| <math>b</math> wird als Amplitude gelesen.
| <math>b</math> legt die Mittellinie <math>y=b</math> fest; die Amplitude bleibt <math>1</math>.
|-
| Bei <math>b<0</math> wird eine Spiegelung vermutet.
| Ein addierter negativer Wert verschiebt nach unten.
|-
| Nur ein Punkt wird verschoben.
| Jeder Punkt erhält denselben y-Zuwachs <math>b</math>.
|-
| Maximum wird mit <math>b</math> verwechselt.
| Maximum ist <math>b+1</math>.
|-
| Ein digitaler Graph wird ungeprüft übernommen.
| Werte an charakteristischen Stellen nachrechnen und Achsenskalierung prüfen.
|}

{{BR}}
= Reales periodisches Modell: Gezeiten =

[[Datei:Rule of twelfths.svg|600px|rahmenlos|center]]

Eine Sinuskurve kann periodische Schwankungen um ein mittleres Niveau modellieren. Der Parameter <math>b</math> beschreibt dann das Grund- oder Mittelniveau.

Ein vereinfachtes Modell sei

<math>H(\alpha)=\sin(\alpha)+3{,}4</math>,

wobei <math>H</math> eine modellierte Wasserhöhe in Metern beschreibt und <math>\alpha</math> eine normierte Phase einer Periode.

Dann gilt:

<math>\text{Mittelniveau}=3{,}4</math>

<math>H_{\max}=4{,}4</math>

<math>H_{\min}=2{,}4</math>

'''Modellkritik:''' Reale Gezeiten sind nicht exakt sinusförmig. Wind, Küstenform, mehrere astronomische Einflüsse und lokale Bedingungen können Abweichungen verursachen. Das mathematische Modell ist eine Vereinfachung.

{{BR}}
= Reales periodisches Modell: Riesenrad =

[[Datei:Ferris wheel diagram.jpg|500px|rahmenlos|center]]

Wenn die vertikale Bewegung eines Sitzes bereits durch eine Sinusfunktion mit Amplitude <math>1</math> normiert ist, kann <math>b</math> die Höhe der Drehachse über einem Bezugsniveau darstellen.

Beispiel:

<math>h(\alpha)=\sin(\alpha)+12</math>

Dann liegt die Mittellinie bei <math>12</math>, die modellierte maximale Höhe bei <math>13</math> und die minimale Höhe bei <math>11</math>.

'''Transferfrage:''' Warum wäre ein reales großes Riesenrad meist nicht durch genau diese Funktion modelliert?

'''Antwortidee:''' Weil seine Radiuslänge im Allgemeinen nicht <math>1</math> beträgt. Dafür wäre zusätzlich ein Amplitudenfaktor nötig; dieser gehört nicht zum Schwerpunkt dieses Kurses.

{{BR}}
= Digitale Mathematikwerkzeuge kritisch nutzen =

[[Datei:Math Sine Function General Equation 2.svg|500px|rahmenlos|center]]

Prüfe digitale Ergebnisse immer mit mindestens zwei unabhängigen Merkmalen:

# Stimmt die Mittellinie mit <math>y=b</math> überein?
# Beträgt der Abstand vom Maximum zur Mittellinie <math>1</math>?
# Liegt das Minimum bei <math>b-1</math>?
# Bleiben die charakteristischen Winkel unverändert?
# Ist die Achsenskalierung passend gewählt?

'''KI-Hinweis:''' Eine KI kann Terme, Tabellen oder Begründungen fehlerhaft erzeugen. Prüfe jede Aussage rechnerisch und am Graphen. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Entscheide jeweils '''richtig''' oder '''falsch''' und begründe.

# Für <math>b=3</math> ist die Mittellinie <math>y=3</math>.
# Eine vertikale Verschiebung ändert die Periodenlänge.
# Der Wertebereich von <math>\sin(\alpha)-2</math> ist <math>[-3;-1]</math>.
# Wenn Maximum und Minimum den Abstand <math>4</math> haben, passt der Graph zur Form <math>\sin(\alpha)+b</math>.
# Für <math>b>1</math> besitzt der Graph keine Nullstelle.

'''Lösungskern:''' richtig, falsch, richtig, falsch, richtig.

{{BR}}
= Transfer =

Ein Messgerät liefert annähernd periodische Werte zwischen <math>18</math> und <math>20</math>. Die Hoch- und Tiefpunkte liegen zeitlich so, wie bei einer Sinusgrundkurve.

'''Aufgabe 1:''' Prüfe, ob ein Modell der Form <math>\sin(\alpha)+b</math> möglich ist.

<math>\frac{20-18}{2}=1</math>

Also passt die Amplitude.

'''Aufgabe 2:''' Bestimme <math>b</math>.

<math>b=\frac{20+18}{2}=19</math>

'''Modell:'''

<math>f(\alpha)=\sin(\alpha)+19</math>

'''Aufgabe 3:''' Nenne mindestens zwei Gründe, warum Messdaten trotzdem vom Modell abweichen können.

{{BR}}
= Kompetenzcheck E-Niveau =

Du beherrschst den Kurs, wenn Du ohne Musterlösung folgende Leistungen zeigen kannst:

# '''Darstellen:''' Einen Term <math>\sin(\alpha)+b</math> in Wertetabelle und Graph überführen.
# '''Analysieren:''' Mittellinie, Extremwerte und Wertebereich formal bestimmen.
# '''Begründen:''' Die Invarianz von Amplitude und Periodenlänge beweisen.
# '''Verallgemeinern:''' Aussagen für beliebiges <math>b\in\mathbb{R}</math> formulieren.
# '''Widerlegen:''' Falsche Behauptungen mit einem Gegenbeispiel prüfen.
# '''Modellieren:''' Ein periodisches Realszenario mit einem sinnvollen Grundniveau beschreiben.
# '''Validieren:''' Grenzen des Modells und Fehler digitaler Darstellungen benennen.

{{BR}}
= Reflexion =

Beantworte schriftlich in vollständigen Sätzen:

# Welche Eigenschaft des Graphen verrät <math>b</math> am schnellsten?
# Welche Eigenschaft bleibt trotz beliebigem <math>b</math> unverändert?
# Welcher Beweis in diesem Kurs ist für Dich am überzeugendsten und warum?
# Wann ist ein digital gezeichneter Graph noch kein ausreichender mathematischer Nachweis?
# Welche Information eines realen periodischen Vorgangs wird durch <math>b</math> modelliert?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächster Schritt eignet sich [[Allgemeine Sinusfunktion|die allgemeine Sinusfunktion]]. Dort können zusätzlich Amplitude, Periodenlänge und horizontale Verschiebung verändert werden. Die hier bewiesene Wirkung von <math>b</math> bleibt dabei als vertikale Verschiebung erhalten.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=uhLw88HLQHs |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Wirkung hat b in f alpha gleich sin alpha plus b?'''
(Eine vertikale Verschiebung)
(!Eine horizontale Verschiebung)
(!Eine Spiegelung an der y-Achse)
(!Eine Änderung der Periodenlänge)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Mittellinie besitzt f alpha gleich sin alpha plus 3?'''
(y gleich 3)
(!y gleich 1)
(!y gleich 4)
(!y gleich minus 3)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist das Maximum von sin alpha plus b?'''
(b plus 1)
(!b)
(!b minus 1)
(!2b)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist das Minimum von sin alpha plus b?'''
(b minus 1)
(!b plus 1)
(!minus b)
(!minus 1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Amplitude hat jede Funktion der Form sin alpha plus b?'''
(1)
(!b)
(!b plus 1)
(!360)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Periodenlänge besitzt die periodische Fortsetzung im Gradmaß?'''
(360 Grad)
(!180 Grad)
(!90 Grad)
(!b Grad)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Wertebereich hat sin alpha plus 2?'''
(1 bis 3)
(!minus 1 bis 1)
(!2 bis 3)
(!minus 3 bis minus 1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Wert von b gehört zu Maximum 4 und Minimum 2?'''
(3)
(!2)
(!4)
(!1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann kann sin alpha plus b mindestens eine Nullstelle besitzen?'''
(b liegt zwischen minus 1 und 1)
(!b ist größer als 1)
(!b ist kleiner als minus 1)
(!b ist immer positiv)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss bei einem digitalen Sinusgraphen zusätzlich geprüft werden?'''
(Achsenskalierung und charakteristische Werte)
(!Nur die Farbe des Graphen)
(!Nur die Dateigröße)
(!Nur der Name des Programms)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Vertikale Verschiebung || Parameter b
|-
| Mittellinie || Grundniveau
|-
| Maximum || Oberer Rand
|-
| Minimum || Unterer Rand
|-
| Amplitude || Ausschlag
|-
| Periode || Wiederholung
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Mittellinie'''
| Grundniveau
|-
| '''Maximum'''
| Oberer Rand
|-
| '''Minimum'''
| Unterer Rand
|-
| '''Positive Verschiebung'''
| Nach oben
|-
| '''Negative Verschiebung'''
| Nach unten

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Sinus || Welche trigonometrische Grundfunktion wird hier verschoben?
|-
| Mittellinie || Wie heißt die Gerade, um die der Graph schwingt?
|-
| Amplitude || Wie heißt der maximale Abstand zur Mittellinie?
|-
| Periode || Wie heißt die Länge eines vollständigen Wiederholungsabschnitts?
|-
| Verschiebung || Welche geometrische Wirkung hat der Parameter b?
|-
| Wertebereich || Wie heißt die Menge aller möglichen Funktionswerte?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M10+E+Verschobene+Sinusfunktionen+untersuchen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei <math>f(\alpha)=\sin(\alpha)+b</math> liegt die Mittellinie bei { y=b }. Das Maximum hat den Wert { b+1 }. Das Minimum hat den Wert { b-1 }. Die Amplitude bleibt { 1 }. Die periodische Fortsetzung besitzt im Gradmaß die Periodenlänge { 360 Grad }. Für positive Werte von <math>b</math> wird der Graph nach { oben } verschoben. Für negative Werte von <math>b</math> wird er nach { unten } verschoben. Ein Graph der geforderten Form kann nur dann die x-Achse schneiden, wenn <math>b</math> im Intervall { minus 1 bis 1 } liegt.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Sinus-Wertetabelle]]: Erstelle für <math>b=1</math> eine Wertetabelle mit den fünf charakteristischen Winkeln und zeichne den Graphen.
# [[Graphenvergleich]]: Zeichne <math>\sin(\alpha)</math> und <math>\sin(\alpha)-2</math> in dasselbe Koordinatensystem und markiere die Verschiebung.
# [[Mittellinie]]: Erfinde drei Werte für <math>b</math> und gib jeweils Mittellinie, Maximum und Minimum an.
# [[Fehleranalyse]]: Erkläre, warum die Aussage „<math>b</math> ist die Amplitude“ falsch ist.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Schieberegler-Experiment]]: Nutze ein dynamisches Mathematikwerkzeug, variiere <math>b</math> systematisch und dokumentiere eine allgemeine Regel mit mindestens drei Screenshots oder Skizzen.
# [[Umkehraufgabe]]: Erstelle selbst drei Graphen der Form <math>\sin(\alpha)+b</math>, tausche sie mit einer Lernpartnerin oder einem Lernpartner und bestimme jeweils <math>b</math>.
# [[Gezeitenmodell]]: Entwickle ein vereinfachtes Modell mit Amplitude <math>1</math> und sinnvoller Mittellinie. Erkläre, welche Realitätseinflüsse das Modell nicht erfasst.
# [[Digitaler Check]]: Lass ein digitales Werkzeug einen verschobenen Sinusgraphen erzeugen und überprüfe fünf charakteristische Punkte von Hand.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Beweisaufgabe]]: Beweise für beliebiges <math>b\in\mathbb{R}</math>, dass der Wertebereich <math>[b-1;b+1]</math> ist.
# [[Nullstellenbedingung]]: Leite formal her, für welche Werte von <math>b</math> Nullstellen existieren, und untersuche die Randfälle <math>b=-1</math> und <math>b=1</math>.
# [[Gegenbeispiel]]: Formuliere zwei plausible, aber falsche Aussagen über <math>\sin(\alpha)+b</math> und widerlege sie jeweils mit einem Gegenbeispiel.
# [[Modellprüfung]]: Entwickle ein komplexeres reales Szenario, das im ersten Schritt durch <math>\sin(\alpha)+b</math> angenähert wird. Begründe <math>b</math>, prüfe Messwerte oder selbst erzeugte Daten und diskutiere die Grenzen des Modells.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Begründung der Verschiebung]]: Zeige formal und grafisch, warum <math>b</math> jeden Punkt um denselben Betrag in y-Richtung verschiebt.
# [[Invarianz]]: Beweise, dass Amplitude und Periodenlänge bei der periodischen Fortsetzung von <math>f_b(\alpha)=\sin(\alpha)+b</math> nicht von <math>b</math> abhängen.
# [[Umkehrproblem]]: Ein periodischer Graph hat Maximum <math>7</math> und Minimum <math>5</math>. Entscheide mit Begründung, ob er zur geforderten Funktionsform passt, und bestimme gegebenenfalls <math>b</math>.
# [[Modellvergleich]]: Vergleiche zwei Modelle mit verschiedenen Werten von <math>b</math>. Erkläre, welche reale Größe sich ändert und welche Schwankungseigenschaften gleich bleiben.
# [[Digitale Validierung]]: Prüfe einen mit Software erzeugten Graphen durch unabhängige Rechnungen an mindestens drei charakteristischen Winkeln und bewerte, ob die Darstellung vertrauenswürdig ist.
# [[Transfer und Gegenbeispiel]]: Widerlege die Aussage „Jeder periodische Verlauf mit Mittellinie <math>y=3</math> ist <math>\sin(\alpha)+3</math>“ durch ein mathematisch begründetes Gegenbeispiel.

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen überzeugenden Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du
# <math>b</math> aus Term, Graph oder Extremwerten bestimmen kannst.
# charakteristische Punkte korrekt berechnest und darstellst.
# Mittellinie, Maximum, Minimum und Wertebereich begründest.
# die unveränderte Amplitude und Periodenlänge formal erklärst.
# Gegenbeispiele zur Prüfung falscher Aussagen nutzen kannst.
# ein reales periodisches Modell aufstellen, interpretieren und begrenzen kannst.
# digitale Ergebnisse durch eigene Rechnungen validierst.
# Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar dokumentierst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

'''Wikimedia Commons:''' Die in diesem aiMOOC verwendeten Grafiken stammen aus Wikimedia Commons und sind dort mit ihren jeweiligen freien Lizenzen oder Public-Domain-Angaben dokumentiert.

'''Interaktiver Schieberegler:''' [https://www.geogebra.org/m/FRRX7ZXU GeoGebra: Vertical shift of sin(x)]

'''Weiterer Schieberegler:''' [https://www.geogebra.org/m/KFta4TTE GeoGebra: Sinusfunktion verschieben und skalieren] – für diesen Kurs nur die vertikale Verschiebung betrachten.

'''Curricularer Bezug:''' [https://www.bildungsplaene-bw.de/BP2016BW_ALLG_SEK1_M_IK_10_04 Bildungsplan Baden-Württemberg, Mathematik Klasse 10, Funktionaler Zusammenhang]

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus </iframe>

<br>

{{BR}}
= Mediennachweise und Lernmedien =

# [[Datei:Graph der Sinusfunktion.svg]]: Grundgraph der Sinusfunktion, Wikimedia Commons, Lizenzangaben auf der Dateiseite.
# [[Datei:Circle cos sin.gif]]: Dynamische Beziehung zwischen Einheitskreis und Sinusgraph, Wikimedia Commons, Lizenzangaben auf der Dateiseite.
# [[Datei:Sinus mit y.svg]]: Sinusgraph mit horizontaler Referenzlinie, Wikimedia Commons, Lizenzangaben auf der Dateiseite.
# [[Datei:Sinus mit drei Linien.svg]]: Sinusgraph mit mehreren horizontalen Referenzlinien, Wikimedia Commons, Lizenzangaben auf der Dateiseite.
# [[Datei:Sine one period.svg]]: Eine vollständige Periode der Sinusfunktion, Wikimedia Commons, Public Domain.
# [[Datei:Rule of twelfths.svg]]: Zusammenhang von Gezeiten-Näherung und Sinuswelle, Wikimedia Commons, Lizenzangaben auf der Dateiseite.
# [[Datei:Ferris wheel diagram.jpg]]: Riesenrad-Diagramm, Wikimedia Commons, CC0.
# [[Datei:Math Sine Function General Equation 2.svg]]: Eigenschaften einer Sinuskurve, Wikimedia Commons, Lizenzangaben auf der Dateiseite.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Sinusfunktion]]'''
# [[Periodische Funktion]]
# [[Vertikale Verschiebung]]
# [[Funktionsgraph]]
# [[Wertetabelle]]
# [[Wertebereich]]
# [[Amplitude]]
# [[Periode]]
# [[Mathematische Modellierung]]
# [[Digitale Mathematikwerkzeuge]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:E-Niveau]]
[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Sinusfunktion]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Modellierung]]
[[Kategorie:Digitale Mathematikwerkzeuge]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M10 E - Verschobene Sinusfunktionen untersuchen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt