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2026-09-28T05:04:18Z

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= Einleitung =

'''M10 E - Modellierungen kritisch verbessern''' richtet sich an Klasse 10 auf E-Niveau in Baden-Württemberg. Du untersuchst mathematische Modelle nicht nur rechnerisch, sondern prüfst ihre Annahmen, Parameter, Grenzen und Ergebnisse. Danach veränderst Du das Modell so, dass es die betrachtete Realsituation besser beschreibt.

'''Modellierungskreislauf:''' Realsituation → Annahmen → mathematisches Modell → Rechnung oder Simulation → Interpretation → Validierung → Verbesserung.

Der Schwerpunkt liegt auf [[Exponentielles Wachstum|Wachstumsmodellen]], [[Ähnlichkeit (Geometrie)|geometrischen Modellen]] und [[Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeitsmodellen]]. Auf E-Niveau begründest Du Modellentscheidungen formal, prüfst Gegenbeispiele und entwickelst komplexere Modelle.

[[Datei:Exponential growth.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Lernziele ==

Nach dem Kurs kannst Du
# [[Mathematische Modellierung|Modellannahmen]] explizit benennen und auf Plausibilität prüfen.
# Parameter in Modellen verändern und die Folgen rechnerisch, grafisch und simulativ untersuchen.
# Ergebnisse mit Daten, Randbedingungen und Einheiten validieren.
# ein ungeeignetes Modell durch ein begründet verbessertes Modell ersetzen.
# Behauptungen mit Rechnungen, Gegenbeispielen oder Beweisen absichern.
# digitale Graphen, Simulationen und KI-Ausgaben kritisch prüfen.

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== Bezug zum Bildungsplan Baden-Württemberg ==

Der Kurs greift für Mathematik in der Sekundarstufe I insbesondere das mathematische Modellieren auf: Realsituationen analysieren, vereinfachen, mathematisieren, im Modell arbeiten, Ergebnisse interpretieren, validieren und die Modellierung verbessern. Verknüpft werden außerdem funktionale Zusammenhänge, Raum und Form sowie Daten und Zufall.

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== Vorwissen-Check ==

{| class="wikitable"
! Kurzfrage
! Dein Check
|-
| Aus <math>q=1{,}08</math> folgt welche prozentuale Änderung?
| <math>8\,%</math> Wachstum
|-
| Wann sind zwei Dreiecke ähnlich?
| Wenn entsprechende Winkel übereinstimmen und Seitenverhältnisse konstant sind.
|-
| Was gilt bei unabhängigen Ereignissen?
| <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math>
|-
| Woran erkennst Du eine Modellgrenze?
| Das Ergebnis widerspricht Daten, Randbedingungen oder sinnvollen Annahmen.
|}

Fehlt Dir ein Punkt, wiederhole kurz [[Exponentialfunktion]], [[Ähnlichkeit (Geometrie)]] und [[Baumdiagramm]].

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= Werkzeugkasten: Modelle kritisch prüfen =

Nutze bei jedem Modell fünf Leitfragen:
# '''Ziel:''' Welche reale Frage soll beantwortet werden?
# '''Annahmen:''' Was wird vereinfacht oder als konstant angenommen?
# '''Parameter:''' Welche Werte steuern das Modell?
# '''Gültigkeitsbereich:''' Für welche Werte darf das Modell verwendet werden?
# '''Validierung:''' Passen Vorhersage und reale Beobachtung ausreichend gut zusammen?

'''Merksatz:''' Ein mathematisch korrekt gerechnetes Ergebnis kann trotzdem als Modellantwort ungeeignet sein.

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== Schritt-für-Schritt-Prüfung ==

{| class="wikitable"
! Schritt
! Prüffrage
|-
| 1
| Sind Größen, Einheiten und Daten klar?
|-
| 2
| Sind Annahmen sichtbar formuliert?
|-
| 3
| Passt der gewählte Modelltyp?
|-
| 4
| Ist die Rechnung formal korrekt?
|-
| 5
| Ist das Ergebnis realistisch?
|-
| 6
| Welche Annahme sollte verändert werden?
|}

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= Modell 1: Wachstum verbessern =

Ein Bestand startet bei <math>N_0=500</math> und wächst pro Zeitschritt um <math>20\,%</math>. Ein einfaches Modell lautet

<math>N(t)=500\cdot 1{,}2^t</math>.

Es setzt voraus, dass der Wachstumsfaktor dauerhaft gleich bleibt und keine Kapazitätsgrenze wirkt.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=D6GPk5VQ9Uc |500|center}}

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== Schwäche erkennen ==

Für große <math>t</math> wächst <math>N(t)</math> unbegrenzt. In vielen realen Situationen sind jedoch Raum, Nahrung, Material oder Nachfrage begrenzt. Dann ist das Exponentialmodell nur in einem begrenzten Zeitraum sinnvoll.

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== Parameter verändern ==

Vergleiche

<math>N_1(t)=500\cdot 1{,}15^t</math>

<math>N_2(t)=500\cdot 1{,}20^t</math>

<math>N_3(t)=500\cdot 1{,}25^t</math>.

Schon kleine Änderungen des Faktors führen langfristig zu großen Unterschieden.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/EZtvscbj </iframe>

'''Arbeitsauftrag:''' Verändere den Wachstumsfaktor. Notiere für drei Werte den Bestand nach sechs Zeitschritten und erkläre, warum Parameterunsicherheit bei Prognosen wichtig ist.

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== Verbessertes Modell mit Begrenzung ==

Eine mögliche Erweiterung ist ein diskretes begrenztes Wachstumsmodell:

<math>N_{n+1}=N_n+rN_n\left(1-\frac{N_n}{K}\right)</math>.

Dabei ist <math>r</math> eine Wachstumsrate und <math>K</math> eine Kapazitätsgrenze. Für <math>N_n\ll K</math> ist der Korrekturfaktor näherungsweise <math>1</math>. In der Nähe von <math>K</math> wird das Wachstum gebremst.

[[Datei:Mplwp logistic function.svg|500px|rahmenlos|center]]

<iframe> https://www.geogebra.org/m/eBHzJyKt </iframe>

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== Formale Modellkritik auf E-Niveau ==

Das exponentielle Modell erfüllt

<math>\frac{N(t+1)}{N(t)}=q</math>

für alle betrachteten Zeitschritte. Ein einziges Gegenbeispiel mit deutlich verändertem Quotienten kann daher zeigen, dass ein konstanter Faktor für den gesamten Datensatz ungeeignet ist.

'''Gegenbeispiel-Prüfung:''' Wenn Messwerte <math>500,600,720,790</math> lauten, sind die ersten Quotienten <math>1{,}2</math> und <math>1{,}2</math>, danach aber nur ungefähr <math>1{,}097</math>. Ein dauerhaft konstantes Wachstum mit <math>q=1{,}2</math> wird dadurch für spätere Zeitpunkte fragwürdig.

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== Übung Wachstum mit Hilfestufen ==

'''Aufgabe:''' Ein Modell <math>B(t)=800\cdot1{,}3^t</math> beschreibt zunächst eine Population. Tatsächlich kann die Umgebung höchstens etwa <math>6000</math> Individuen tragen. Erkläre die Modellschwäche und entwickle eine bessere Modellidee.

'''Hilfestufe 1:''' Prüfe, was für <math>t\to\infty</math> mit <math>B(t)</math> geschieht.

'''Hilfestufe 2:''' Führe eine Kapazitätsgröße <math>K=6000</math> ein.

'''Feedback:''' Eine gute Verbesserung bremst das Wachstum in der Nähe von <math>K</math> und nennt den neuen Gültigkeitsbereich. Nur <math>B(t)</math> anders auszurechnen reicht nicht.

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= Modell 2: Geometrie verbessern =

Ein Baum soll über Schattenlängen geschätzt werden. Ein Referenzstab mit Höhe <math>1{,}8\,\mathrm{m}</math> wirft einen Schatten von <math>1{,}2\,\mathrm{m}</math>. Der Baumschatten ist <math>8\,\mathrm{m}</math> lang.

Bei parallelen Sonnenstrahlen und ebenem Boden entstehen ähnliche Dreiecke:

<math>\frac{h_{\mathrm{Baum}}}{8}=\frac{1{,}8}{1{,}2}</math>

und damit

<math>h_{\mathrm{Baum}}=12\,\mathrm{m}</math>.

[[Datei:Similar Triangles.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=-jlfa9cwoz8 |500|center}}

<iframe> https://www.geogebra.org/m/ESuuSvQW </iframe>

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== Schwächen des Geometriemodells ==

Das Modell kann ungenau werden, wenn der Boden geneigt ist, Schattenenden schlecht erkennbar sind oder Referenzstab und Baum nicht gleichzeitig gemessen werden.

Eine Verbesserung besteht darin, Messungen zu wiederholen, Unsicherheiten anzugeben und die Annahme der Ähnlichkeit ausdrücklich zu prüfen.

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== Messunsicherheit sichtbar machen ==

Aus

<math>h_{\mathrm{Baum}}=\frac{1{,}8}{1{,}2}\cdot s=1{,}5s</math>

folgt bei einer Unsicherheit des Baumschattens von <math>\pm0{,}1\,\mathrm{m}</math> eine dadurch verursachte Höhenunsicherheit von

<math>\pm1{,}5\cdot0{,}1\,\mathrm{m}=\pm0{,}15\,\mathrm{m}</math>.

Das Ergebnis sollte daher nicht als scheinbar exakte Zahl ohne Unsicherheitsangabe ausgegeben werden.

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== Verallgemeinerung und Beweisidee ==

Werden alle Längen einer ähnlichen Figur mit <math>k</math> skaliert, dann skaliert eine Dreiecksfläche mit

<math>A'=\frac12\cdot ka\cdot kh=k^2A</math>.

Für einen Quader folgt entsprechend

<math>V'=(ka)(kb)(kc)=k^3V</math>.

Damit ist gezeigt: Längen skalieren mit <math>k</math>, Flächen mit <math>k^2</math> und Volumina mit <math>k^3</math>.

{{BR}}
== Übung Geometrie mit Hilfestufen ==

'''Aufgabe:''' Ein 2-m-Stab hat einen 1,5-m-Schatten. Ein Turmschatten wird mit <math>18{,}0\pm0{,}2\,\mathrm{m}</math> gemessen. Bestimme die Turmhöhe und diskutiere die Messunsicherheit.

'''Hilfestufe 1:''' Nutze <math>\frac{h}{18}=\frac{2}{1{,}5}</math>.

'''Hilfestufe 2:''' Der Skalierungsfaktor vom Schatten zur Höhe ist <math>\frac{4}{3}</math>.

'''Feedback:''' Neben dem Rechenwert gehört eine Unsicherheitsabschätzung zur Modellantwort. Prüfe außerdem, ob die Ähnlichkeitsannahmen realistisch sind.

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= Modell 3: Wahrscheinlichkeit verbessern =

Ein Sensorsystem erkennt ein Ereignis in einem Versuch mit Wahrscheinlichkeit <math>0{,}9</math>. Unter der Annahme unabhängiger Versuche ist die Wahrscheinlichkeit, es in drei Versuchen mindestens einmal zu erkennen,

<math>P(\text{mindestens einmal})=1-0{,}1^3=0{,}999</math>.

[[Datei:Probability tree.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=LonDC-l4IVs |500|center}}

{{BR}}
== Schwäche der Unabhängigkeitsannahme ==

Wenn alle drei Versuche durch dieselbe Störung beeinflusst werden, können die Ereignisse abhängig sein. Dann gilt im Allgemeinen nicht

<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math>.

Stattdessen muss mit bedingten Wahrscheinlichkeiten gearbeitet werden:

<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)</math>.

Ein Modell mit festen unabhängigen Wahrscheinlichkeiten kann deshalb eine unrealistisch hohe Zuverlässigkeit vortäuschen.

{{BR}}
== Simulation statt Scheingenauigkeit ==

Bei einer Monte-Carlo-Simulation werden viele Zufallsversuche erzeugt. Relative Häufigkeiten liefern Näherungen für Wahrscheinlichkeiten.

Für die Kreiszahl kann mit zufälligen Punkten in einem Quadrat geschätzt werden:

<math>\pi\approx4\cdot\frac{k}{n}</math>,

wobei <math>n</math> die Zahl aller Punkte und <math>k</math> die Zahl der Punkte im Viertelkreis ist.

[[Datei:Pi monte carlo all.svg|500px|rahmenlos|center]]

<iframe> https://www.geogebra.org/m/HC3rhzB6 </iframe>

'''Experiment:''' Starte die Simulation mehrfach mit kleinen und großen Stichproben. Begründe, warum unterschiedliche Läufe verschiedene Werte liefern und warum ein einzelner Simulationswert kein Beweis ist.

{{BR}}
== Übung Wahrscheinlichkeit mit Hilfestufen ==

'''Aufgabe:''' Eine Maschine produziert laut Modell mit Wahrscheinlichkeit <math>0{,}02</math> Ausschuss. Zwei Teile werden als unabhängig betrachtet. In Messdaten treten Fehler jedoch gehäuft direkt hintereinander auf. Welche Annahme ist fragwürdig und wie kann das Modell verbessert werden?

'''Hilfestufe 1:''' Vergleiche Unabhängigkeit mit bedingter Wahrscheinlichkeit.

'''Hilfestufe 2:''' Untersuche <math>P(F_2\mid F_1)</math> statt automatisch <math>P(F_2)=0{,}02</math> zu setzen.

'''Feedback:''' Ein verbessertes Modell darf die Fehlerwahrscheinlichkeit nach einem bereits fehlerhaften Teil verändern. Begründe die neue Struktur mit Daten.

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= Digitale Werkzeuge kritisch nutzen =

Digitale Werkzeuge sind hilfreich, aber ihre Ausgabe ist nicht automatisch mathematisch richtig.

# Prüfe Eingabewerte, Einheiten und Definitionsbereiche.
# Vergleiche Graph, Tabelle und Rechnung.
# Wiederhole Simulationen und variiere Parameter.
# Prüfe, ob Rundungen die Aussage verändern.
# Gib keine personenbezogenen Daten in externe Dienste ein.
# Prüfe KI-Ausgaben durch eigene Rechnung, Gegenbeispiele oder einen mathematischen Beweis.

'''Wichtig:''' Eine KI kann eine Beweisidee liefern, ersetzt aber keinen nachvollziehbaren mathematischen Beweis.

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= Typische Fehler =

{| class="wikitable"
! Fehler
! Bessere Prüfung
|-
| Gute Anpassung wird mit Wahrheit verwechselt.
| Annahmen und Gültigkeitsbereich prüfen.
|-
| Parameter werden aus zu wenigen Daten bestimmt.
| Weitere Daten oder Unsicherheiten einbeziehen.
|-
| Exponentielles Wachstum wird unbegrenzt fortgeschrieben.
| Kapazitätsgrenzen und Zeitbereich prüfen.
|-
| Ähnlichkeit wird nur nach Augenmaß angenommen.
| Winkel oder Seitenverhältnisse begründen.
|-
| Unabhängigkeit wird ohne Prüfung benutzt.
| Bedingte Wahrscheinlichkeiten vergleichen.
|-
| Simulation wird als Beweis angesehen.
| Simulation und analytische Begründung trennen.
|}

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= Selbstkontrolle =

Prüfe für ein selbst gewähltes Modell:
# Ich kann mindestens zwei Annahmen nennen.
# Ich kann die Bedeutung jedes Parameters erklären.
# Ich kann einen sinnvollen Gültigkeitsbereich angeben.
# Ich kann mindestens einen Test zur Validierung durchführen.
# Ich kann ein Gegenbeispiel formulieren, das eine Annahme infrage stellt.
# Ich kann eine konkrete Verbesserung mathematisch darstellen.

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= Transfer =

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== Transfer 1: Wachstum ==

Eine App prognostiziert Nutzerzahlen mit <math>U(t)=1200\cdot1{,}12^t</math>. Entwickle eine Version mit einer maximal erreichbaren Nutzerzahl und erkläre, welche zusätzliche Information für die Parameterwahl nötig ist.

{{BR}}
== Transfer 2: Geometrie ==

Ein Foto wird zur Höhenmessung eines Gebäudes verwendet. Erkläre, warum Perspektive die direkte Längenproportionalität stören kann. Entwickle Bedingungen, unter denen ein geometrisches Modell dennoch sinnvoll ist.

{{BR}}
== Transfer 3: Wahrscheinlichkeit ==

Ein digitaler Zufallsgenerator liefert in 100 Versuchen 62-mal „Treffer“, obwohl <math>p=0{,}5</math> erwartet wird. Erkläre, warum diese Beobachtung allein weder einen Beweis für Fairness noch für Manipulation darstellt. Plane eine bessere Prüfung.

{{BR}}
= Kompetenzcheck E-Niveau =

{| class="wikitable"
! Kompetenz
! Nachweis
|-
| Formal herleiten
| Du leitest eine Modellgleichung aus Annahmen ab.
|-
| Verallgemeinern
| Du formulierst einen Zusammenhang mit Variablen statt nur mit Zahlen.
|-
| Beweisen
| Du begründest eine allgemeine Aussage logisch und rechnerisch.
|-
| Gegenbeispiel prüfen
| Du widerlegst eine zu starke Aussage mit einem passenden Fall.
|-
| Komplexes Modell entwickeln
| Du ergänzt Parameter, Abhängigkeiten oder Begrenzungen begründet.
|-
| Digital prüfen
| Du vergleichst Werkzeugausgabe mit Mathematik und Realsituation.
|}

{{BR}}
= Reflexion =

# Welche Annahme hat in Deinen Beispielen den größten Einfluss auf das Ergebnis?
# Wann ist ein einfaches Modell trotz erkennbarer Schwächen sinnvoll?
# Wann macht ein zusätzlicher Parameter ein Modell besser und wann nur komplizierter?
# Welche Aussage würdest Du niemals allein aufgrund einer Simulation akzeptieren?
# Wie würdest Du einer anderen Person erklären, warum Modellkritik ein Teil der Mathematik ist?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als Anschluss eignen sich [[Mathematische Modellierung]], [[Regression]], [[Simulation]], [[Funktionen]] und weiterführende Aufgaben zu [[Daten und Zufall]]. Der Übergang in weiterführende Bildungsgänge gelingt besonders gut, wenn Du Modellannahmen formal notierst, Parameter systematisch untersuchst und Aussagen beweist oder durch Gegenbeispiele widerlegst.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist der wichtigste Zweck der Validierung eines mathematischen Modells?'''
(Prüfen ob Modellergebnisse zur Realsituation passen)
(!Die Rechnung möglichst lang machen)
(!Jeden Parameter auf null setzen)
(!Den Graphen besonders glatt zeichnen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Annahme steckt im Modell N von t gleich N null mal q hoch t?'''
(Der Wachstumsfaktor q bleibt im betrachteten Zeitraum konstant)
(!Der Bestand bleibt immer konstant)
(!Jeder Messwert ist exakt)
(!Es gibt grundsätzlich eine feste Obergrenze)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Änderung verbessert ein unbegrenzt exponentielles Wachstumsmodell bei begrenzten Ressourcen?'''
(Eine Kapazitätsgrenze einführen)
(!Den Startwert löschen)
(!Alle Einheiten weglassen)
(!Jeden Messwert aufrunden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was folgt bei ähnlichen Figuren aus einem Längenfaktor k für Flächen?'''
(Die Flächen skalieren mit k hoch zwei)
(!Die Flächen skalieren immer mit k)
(!Die Flächen bleiben unverändert)
(!Die Flächen skalieren mit eins durch k)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zur Messunsicherheit ist richtig?'''
(Sie sollte in der Modellantwort berücksichtigt werden)
(!Sie darf grundsätzlich ignoriert werden)
(!Sie verschwindet durch einen Taschenrechner)
(!Sie ist nur bei falschen Rechnungen vorhanden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann darf P von A und B als Produkt von P von A und P von B berechnet werden?'''
(Wenn A und B unabhängig sind)
(!Wenn A und B gleich heißen)
(!Wenn beide Wahrscheinlichkeiten größer als eins sind)
(!Wenn keine Daten vorliegen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist ein geeignetes Gegenbeispiel?'''
(Ein Fall der eine allgemeine Behauptung widerlegt)
(!Ein zweiter identischer Rechenweg)
(!Ein besonders großer Messwert ohne Bezug)
(!Eine zufällige Behauptung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was zeigt eine Monte Carlo Simulation?'''
(Eine numerische Näherung aus vielen Zufallsversuchen)
(!Einen vollständigen mathematischen Beweis)
(!Immer exakt denselben Wert)
(!Dass Zufall keine Rolle spielt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Reaktion ist bei einer unplausiblen Modellprognose mathematisch sinnvoll?'''
(Annahmen Parameter und Gültigkeitsbereich prüfen)
(!Nur mehr Nachkommastellen anzeigen)
(!Das Ergebnis ohne Prüfung übernehmen)
(!Die ursprünglichen Daten löschen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie sollte eine KI Ausgabe zu einem mathematischen Beweis behandelt werden?'''
(Durch eigene mathematische Argumente geprüft werden)
(!Als Beweis ohne Prüfung übernommen werden)
(!Nur nach Textlänge bewertet werden)
(!Grundsätzlich ohne Lesen verworfen werden)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Modellannahme || vereinfachende Voraussetzung
|-
| Validierung || Vergleich mit Realsituation
|-
| Parameter || steuernde Modellgröße
|-
| Gegenbeispiel || Widerlegung einer allgemeinen Behauptung
|-
| Simulation || wiederholtes rechnerisches Experiment
|-
| Gültigkeitsbereich || Bereich sinnvoller Modellanwendung
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Realsituation analysieren'''
| relevante Größen auswählen
|-
| '''Annahmen formulieren'''
| Vereinfachungen offenlegen
|-
| '''Mathematisieren'''
| Gleichung Figur oder Zufallsmodell erstellen
|-
| '''Validieren'''
| Ergebnis mit Realität vergleichen
|-
| '''Verbessern'''
| Annahmen oder Parameter begründet verändern

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Modellkritik || Wie heißt das systematische Prüfen von Schwächen eines Modells?
|-
| Validierung || Wie heißt der Vergleich eines Modellergebnisses mit der Realsituation?
|-
| Annahme || Wie heißt eine vereinfachende Voraussetzung eines Modells?
|-
| Parameter || Wie heißt eine veränderbare steuernde Größe im Modell?
|-
| Simulation || Wie heißt ein rechnerisches Experiment mit vielen Durchläufen?
|-
| Ähnlichkeit || Welches geometrische Konzept erlaubt konstante Seitenverhältnisse?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M10+E+Modellierungen+kritisch+verbessern </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein mathematisches Modell ist eine vereinfachte Beschreibung einer { Realsituation }. Vor dem Rechnen müssen die verwendeten { Annahmen } sichtbar gemacht werden. Eine steuernde Größe eines Modells heißt { Parameter }. Beim exponentiellen Wachstum bleibt im einfachen Modell der { Wachstumsfaktor } konstant. Geometrische Höhenmodelle mit Schatten nutzen die { Ähnlichkeit } von Dreiecken. Bei stochastischen Modellen muss die Annahme der { Unabhängigkeit } geprüft werden. Der Vergleich eines Ergebnisses mit realen Daten heißt { Validierung }. Werden Schwächen erkannt, sollte die Modellierung gezielt { verbessert } werden. Eine Simulation liefert eine { Näherung } und keinen mathematischen Beweis. KI-Ausgaben müssen durch mathematische Argumente { geprüft } werden.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Modellannahme|Annahmen finden]]: Wähle eine Alltagssituation und formuliere drei Annahmen für ein einfaches mathematisches Modell.
# [[Exponentielles Wachstum|Wachstumsgraph]]: Zeichne für <math>q=1{,}1</math> und <math>q=1{,}2</math> zwei Graphen und markiere den Bereich, in dem Du die Modelle vergleichen möchtest.
# [[Ähnlichkeit (Geometrie)|Schattenmodell]]: Skizziere Referenzstab, Objekt und Schatten als geometrisches Modell und beschrifte alle Größen.
# [[Wahrscheinlichkeit|Zufallsmodell]]: Formuliere ein zweistufiges Zufallsexperiment und zeichne ein Baumdiagramm.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Parameter|Parameterstudie]]: Verändere in einem Wachstumsmodell systematisch einen Parameter und dokumentiere die Wirkung in Tabelle und Graph.
# [[Messunsicherheit|Messfehler]]: Plane eine Höhenmessung mit ähnlichen Dreiecken und gib an, wie Messfehler das Ergebnis beeinflussen.
# [[Simulation|Monte-Carlo-Projekt]]: Führe mehrere Simulationen zur Näherung von <math>\pi</math> durch und vergleiche kleine mit großen Stichproben.
# [[Modellvalidierung|Validierung]]: Erfinde einen kleinen Datensatz, passe ein Modell an und formuliere mindestens zwei Kriterien, mit denen Du seine Qualität prüfst.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Begrenztes Wachstum|Wachstumsmodell verbessern]]: Vergleiche ein exponentielles Modell mit einem begrenzten rekursiven Modell und begründe, welches für welchen Zeitraum geeigneter ist.
# [[Gegenbeispiel|Gegenbeispiel entwickeln]]: Formuliere eine zu starke mathematische Modellbehauptung und widerlege sie mit einem passenden Gegenbeispiel.
# [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|Abhängigkeit modellieren]]: Erstelle ein Wahrscheinlichkeitsmodell, in dem der zweite Versuch vom ersten abhängt, und vergleiche es mit einem Unabhängigkeitsmodell.
# [[Mathematischer Beweis|KI-Prüfung]]: Lass Dir zu einer allgemeinen Modellbehauptung eine Beweisidee erzeugen, prüfe jeden Schritt selbst und dokumentiere Fehler oder fehlende Begründungen ohne personenbezogene Daten zu verwenden.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellvergleich|Wachstum vergleichen]]: Zwei Modelle passen in den ersten drei Zeitschritten ähnlich gut zu Daten, unterscheiden sich später aber stark. Erkläre, welche zusätzlichen Informationen Du brauchst, um zwischen ihnen zu entscheiden.
# [[Modellgrenze|Gültigkeitsbereich begründen]]: Ein exponentielles Modell liefert nach langer Zeit einen unmöglichen Wert. Entwickle eine begründete Grenze für seinen sinnvollen Einsatz.
# [[Geometriemodell|Messmodell übertragen]]: Übertrage das Schattenmodell auf eine andere Messsituation und begründe, welche geometrischen Voraussetzungen erhalten bleiben müssen.
# [[Stochastisches Modell|Unabhängigkeit prüfen]]: Beschreibe einen Datentest, mit dem Du eine angenommene Unabhängigkeit kritisch untersuchen kannst.
# [[Parameteranalyse|Sensitivität]]: Erkläre anhand eigener Zahlen, warum ein kleiner Parameterfehler langfristig große Prognoseunterschiede erzeugen kann.
# [[Mathematische Argumentation|Beweis und Simulation]]: Erläutere an einem Beispiel, welche Aussage durch Simulation plausibel werden kann und welche zusätzliche Begründung für einen Beweis nötig ist.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du
# eine Realsituation strukturiert in mathematische Größen übersetzen kannst.
# Annahmen und Parameter vollständig und nachvollziehbar notierst.
# mindestens zwei Modellvarianten rechnerisch oder grafisch vergleichst.
# einen Gültigkeitsbereich begründest.
# Ergebnisse durch Daten, Einheiten, Randbedingungen oder Gegenbeispiele prüfst.
# eine konkrete Modellverbesserung mathematisch formulierst.
# Rechenweg, Darstellung und Begründung so dokumentierst, dass sie überprüfbar sind.
# digitale Ergebnisse und KI-Ausgaben kritisch prüfst.
# zwischen numerischer Evidenz, Simulation und mathematischem Beweis unterscheidest.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell </iframe>

Weitere passende freie Lernmedien:
# [[Mathematisches Modell]]
# [[Exponentielles Wachstum]]
# [[Ähnlichkeit (Geometrie)]]
# [[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]
# [[Monte-Carlo-Simulation]]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Mathematische Modellierung]]'''
# [[Exponentielles Wachstum]]
# [[Begrenztes Wachstum]]
# [[Ähnlichkeit (Geometrie)]]
# [[Messunsicherheit]]
# [[Wahrscheinlichkeit]]
# [[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]
# [[Simulation]]
# [[Modellvalidierung]]
# [[Mathematischer Beweis]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:E-Niveau]]
[[Kategorie:Mathematische Modellierung]]
[[Kategorie:Exponentielles Wachstum]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeit]]
[[Kategorie:Simulation]]
[[Kategorie:Medienbildung]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M10 E - Modellierungen kritisch verbessern - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt