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2026-09-28T05:05:40Z

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= M10 E - Grundlegende trigonometrische Beziehungen herleiten =

'''Klasse 10 · Mathematik · Baden-Württemberg · E-Niveau'''

'''Mini-Beschreibung:''' Du leitest die Beziehungen <math>\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1</math>, <math>\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)</math> und <math>\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}</math> aus Dreiecks- und Einheitskreisvorstellungen her. Ziel ist ein formal nachvollziehbarer Beweis, nicht bloßes Auswendiglernen.

[[Datei:Sinus und Kosinus am Einheitskreis 1.svg|500px|rahmenlos|center]]

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= Einleitung =

Ein rechtwinkliges Dreieck liefert die zentralen Seitenverhältnisse. Der Einheitskreis zeigt, wie sich diese Beziehungen verallgemeinern lassen.

'''Leitfrage:''' Wie entstehen trigonometrische Formeln aus Geometrie?

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=82WucXmm770 |500|center}}

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= Lernziele =

# [[Trigonometrie]]: Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse deuten.
# [[Satz des Pythagoras]]: <math>\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1</math> formal herleiten.
# [[Komplementärwinkel]]: <math>\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)</math> geometrisch begründen.
# [[Tangens]]: <math>\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}</math> ableiten.
# [[Einheitskreis]]: Beziehungen auf Koordinaten übertragen.
# [[Mathematischer Beweis]]: Voraussetzungen nennen und Gegenbeispiele prüfen.

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= Vorwissen-Check =

# <math>a^2+b^2=c^2</math>
# <math>\sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math>
# <math>\cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math>
# <math>\tan(\alpha)=\frac{a}{b}</math>

[[Datei:Academ Base of trigonometry.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Pythagoreische Identität =

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== Herleitung im rechtwinkligen Dreieck ==

<math>\sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math>

<math>\cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math>

<math>\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}</math>

<math>\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=\frac{a^2+b^2}{c^2}</math>

Mit <math>a^2+b^2=c^2</math> folgt

<math>\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=\frac{c^2}{c^2}=1</math>.

'''Ergebnis:''' <math>\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1</math>

[[Datei:Trig functions.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Einheitskreis-Begründung ==

Für einen Punkt auf dem Einheitskreis gilt

<math>P=(\cos(\alpha),\sin(\alpha))</math>

und wegen des Radius <math>1</math>

<math>x^2+y^2=1</math>.

Einsetzen liefert

<math>\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1</math>.

[[Datei:Trig functions on unit circle.svg|500px|rahmenlos|center]]

<iframe> https://www.geogebra.org/m/TfbVA5qB </iframe>

'''Arbeitsauftrag:''' Verändere den Winkel. Prüfe mehrere Werte. Notiere anschließend, warum Messwerte den Beweis nicht ersetzen.

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= Komplementärbeziehung =

In einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich die beiden spitzen Winkel zu <math>90^\circ</math>.

<math>\beta=90^\circ-\alpha</math>

[[Datei:Complementary angles.svg|420px|rahmenlos|center]]

Die Ankathete zu <math>\alpha</math> ist zugleich die Gegenkathete zu <math>\beta</math>.

<math>\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete zu }\alpha}{\text{Hypotenuse}}</math>

<math>\sin(\beta)=\frac{\text{Gegenkathete zu }\beta}{\text{Hypotenuse}}</math>

Damit gilt

<math>\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)</math>.

Analog folgt

<math>\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)</math>.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/D47o9367 </iframe>

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= Tangensbeziehung =

<math>\sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math>

<math>\cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math>

Also

<math>\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}</math>

und damit

<math>\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c}{b}=\frac{a}{b}</math>.

Da <math>\tan(\alpha)=\frac{a}{b}</math>, folgt

<math>\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}</math>.

'''Voraussetzung:''' <math>\cos(\alpha)\neq0</math>.

[[Datei:Sin Cos Tan Cot unit circle.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=1u8VpWpQesI |500|center}}

<iframe> https://www.geogebra.org/m/fAWHJVT8 </iframe>

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= Visuelle Schrittfolge =

'''Pythagoreische Identität'''

<math>\sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math>

<math>\cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math>

<math>\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=\frac{a^2+b^2}{c^2}</math>

<math>a^2+b^2=c^2</math>

<math>\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1</math>

'''Komplementärbeziehung'''

<math>\beta=90^\circ-\alpha</math>

Gegenkathete zu <math>\beta</math> = Ankathete zu <math>\alpha</math>

<math>\sin(\beta)=\cos(\alpha)</math>

'''Tangensbeziehung'''

<math>\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{a/c}{b/c}=\frac{a}{b}=\tan(\alpha)</math>

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= Interaktive Beispiele =

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== Beispiel 1 ==

Gegeben: <math>\sin(\alpha)=\frac35</math>, <math>0^\circ<\alpha<90^\circ</math>.

<math>\left(\frac35\right)^2+\cos^2(\alpha)=1</math>

<math>\cos^2(\alpha)=\frac{16}{25}</math>

<math>\cos(\alpha)=\frac45</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">'''Hilfestufe 1:''' Stelle nach <math>\cos^2(\alpha)</math> um.</div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">'''Hilfestufe 2:''' Nutze, dass der Winkel spitz ist.</div>

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== Beispiel 2 ==

<math>68^\circ=90^\circ-22^\circ</math>

Daher

<math>\sin(68^\circ)=\cos(22^\circ)</math>.

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== Beispiel 3 ==

<math>\sin(\alpha)=0{,}6</math>

<math>\cos(\alpha)=0{,}8</math>

<math>\tan(\alpha)=\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75</math>

Kontrolle:

<math>0{,}6^2+0{,}8^2=1</math>.

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= Übungen mit Hilfestufen und Feedback =

{{BR}}
== Übung A ==

Gegeben: <math>\cos(\alpha)=\frac5{13}</math>, <math>0^\circ<\alpha<90^\circ</math>. Bestimme <math>\sin(\alpha)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">'''Hilfe 1:''' Nutze <math>\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)</math>.</div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">'''Hilfe 2:''' <math>1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}</math>.</div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">'''Lösung:''' <math>\sin(\alpha)=\frac{12}{13}</math>.</div>

{{BR}}
== Übung B ==

Begründe ohne Zahlenbeispiel:

<math>\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">'''Hilfe:''' Betrachte die Seitenrollen relativ zu beiden spitzen Winkeln.</div>

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== Übung C ==

Darf für <math>\alpha=90^\circ</math> die Tangensquotientenformel benutzt werden?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">'''Hilfe:''' Bestimme <math>\cos(90^\circ)</math>.</div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">'''Lösung:''' Nein, weil der Nenner null wäre.</div>

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= Typische Fehler =

# Falsch: <math>\sin(\alpha)+\cos(\alpha)=1</math>. Richtig: <math>\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1</math>.
# Bei Komplementärwinkeln werden Sinus und Kosinus vertauscht.
# Tangens ist ein Quotient, kein Produkt.
# Eine Division durch null ist nicht erlaubt.
# Messwerte aus GeoGebra ersetzen keinen allgemeinen Beweis.
# Beim Wurzelziehen muss das Vorzeichen zum Winkelbereich passen.

{{BR}}
= Gegenbeispiele prüfen =

'''Falsche Behauptung:''' <math>\sin(\alpha)+\cos(\alpha)=1</math> für alle Winkel.

Für <math>\alpha=45^\circ</math> gilt

<math>\sin(45^\circ)+\cos(45^\circ)=\sqrt2</math>.

Also ist die Behauptung falsch.

'''Falsche Behauptung:''' <math>\tan(\alpha)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)</math>.

Für <math>\alpha=45^\circ</math> gilt

<math>\tan(45^\circ)=1</math>, aber <math>\sin(45^\circ)\cos(45^\circ)=\frac12</math>.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

# Kannst Du die pythagoreische Identität aus <math>a^2+b^2=c^2</math> herleiten?
# Kannst Du den Rollenwechsel der Katheten bei Komplementärwinkeln erklären?
# Kannst Du <math>\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}</math> zu <math>\frac{a}{b}</math> vereinfachen?
# Nennst Du die Voraussetzung <math>\cos(\alpha)\neq0</math>?
# Kannst Du ein Gegenbeispiel zu einer falschen Aussage angeben?

{{BR}}
= Transfer =

{{BR}}
== Transfer 1 ==

Gegeben: <math>\sin(\alpha)=\frac7{25}</math> und <math>0^\circ<\alpha<90^\circ</math>.

<math>\cos^2(\alpha)=1-\frac{49}{625}=\frac{576}{625}</math>

<math>\cos(\alpha)=\frac{24}{25}</math>

<math>\tan(\alpha)=\frac7{24}</math>

{{BR}}
== Transfer 2 ==

Erkläre, warum <math>\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1</math> im Einheitskreis direkt aus <math>x^2+y^2=1</math> folgt.

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== Transfer 3 ==

Ein digitales Modell zeigt bei <math>89{,}9^\circ</math> einen sehr großen Tangenswert. Erkläre, warum <math>\tan(90^\circ)</math> trotzdem nicht definiert ist.

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= Kompetenzcheck =

# Herleiten: drei Beziehungen aus Definitionen und Geometrie zeigen.
# Begründen: verwendete Sätze und Definitionen nennen.
# Verallgemeinern: Dreieck und Einheitskreis verbinden.
# Gegenbeispiele: falsche Aussagen widerlegen.
# Modellkritik: numerische Evidenz von Beweis unterscheiden.

{{BR}}
= Digitale Werkzeuge kritisch nutzen =

# Prüfe Gradmaß oder Bogenmaß.
# Prüfe Nenner auf null.
# Beachte Rundungen.
# Unterscheide Beobachtung und Beweis.
# Prüfe KI-Ausgaben mathematisch nach.

'''Datenschutz:''' Verwende keine personenbezogenen Daten.

'''KI-Hinweis:''' Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

{{BR}}
= Reflexion =

# Welche Beziehung kannst Du am besten geometrisch erklären?
# Wo beginnt der allgemeine Beweis?
# Warum ist <math>\cos(\alpha)\neq0</math> notwendig?
# Welche Beziehung lässt sich am Einheitskreis besonders klar darstellen?

{{BR}}
= Folgekurs =

# [[Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis]]
# [[Sinusfunktion]] und [[Kosinusfunktion]]
# [[Trigonometrische Gleichungen]]
# [[Sinussatz]] und [[Kosinussatz]]
# [[Bogenmaß]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}
'''Welche Beziehung folgt aus dem Satz des Pythagoras?'''
(Sinusquadrat plus Kosinusquadrat ist eins)
(!Sinus plus Kosinus ist eins)
(!Sinusquadrat minus Kosinusquadrat ist eins)
(!Sinus mal Kosinus ist eins)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Seite ist die Gegenkathete zum Ergänzungswinkel?'''
(Die Ankathete zum Ausgangswinkel)
(!Die Hypotenuse)
(!Die Gegenkathete zum Ausgangswinkel)
(!Keine Dreiecksseite)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Aussage gilt für Komplementärwinkel?'''
(Sinus des Ergänzungswinkels ist Kosinus des Ausgangswinkels)
(!Sinus des Ergänzungswinkels ist immer gleich dem Sinus des Ausgangswinkels)
(!Sinus des Ergänzungswinkels ist der negative Kosinus)
(!Sinus des Ergänzungswinkels ist immer der Tangens)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie erhält man den Tangens aus Sinus und Kosinus?'''
(Sinus durch Kosinus)
(!Kosinus durch Sinus)
(!Sinus mal Kosinus)
(!Sinus plus Kosinus)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Voraussetzung braucht der Quotient aus Sinus und Kosinus?'''
(Der Kosinus darf nicht null sein)
(!Der Sinus muss null sein)
(!Der Kosinus muss eins sein)
(!Der Tangens muss null sein)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Koordinaten besitzt der Punkt am Einheitskreis zum Winkel alpha?'''
(Kosinus als x-Koordinate und Sinus als y-Koordinate)
(!Sinus als x-Koordinate und Kosinus als y-Koordinate)
(!Tangens als x-Koordinate und eins als y-Koordinate)
(!Eins als x-Koordinate und Tangens als y-Koordinate)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Warum ergibt die Summe aus Sinusquadrat und Kosinusquadrat im Einheitskreis eins?'''
(Weil der Radius eins ist)
(!Weil jeder Winkel 45 Grad groß ist)
(!Weil Sinus und Kosinus immer gleich sind)
(!Weil der Tangens immer eins ist)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was zeigt ein einzelnes passendes Zahlenbeispiel?'''
(Es bestätigt die Aussage für dieses Beispiel)
(!Es beweist die Aussage für alle Winkel)
(!Es ersetzt die Definitionen)
(!Es macht Voraussetzungen überflüssig)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Rechenidee wird beim Doppelbruch verwendet?'''
(Division durch einen Bruch wird zur Multiplikation mit dem Kehrwert)
(!Zähler und Nenner werden addiert)
(!Beide Brüche werden subtrahiert)
(!Der Nenner wird ignoriert)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was kennzeichnet einen mathematischen Beweis?'''
(Eine allgemeine begründete Argumentationskette)
(!Eine einzelne Messung)
(!Eine gerundete Taschenrechnerausgabe)
(!Eine ungeprüfte KI-Antwort)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Pythagoreische Identität || Sinusquadrat plus Kosinusquadrat
|-
| Komplementärwinkel || Summe neunzig Grad
|-
| Tangensquotient || Sinus geteilt durch Kosinus
|-
| Einheitskreis || Radius eins
|-
| Gegenbeispiel || Widerlegt allgemeine Behauptung
|-
| Satz des Pythagoras || Kathetenquadrate ergeben Hypotenusenquadrat
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">
{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Pythagoreische Identität'''
| Sinusquadrat plus Kosinusquadrat
|-
| '''Komplementärbeziehung'''
| Sinus des Ergänzungswinkels wird Kosinus
|-
| '''Tangensquotient'''
| Sinus geteilt durch Kosinus
|-
| '''Einheitskreis'''
| Kreis mit Radius eins
|-
| '''Gegenbeispiel'''
| Widerlegt eine allgemeine Behauptung
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Pythagoras || Welcher Satz verbindet die Quadrate der Seiten im rechtwinkligen Dreieck?
|-
| Einheitskreis || Welches Kreismodell besitzt den Radius eins?
|-
| Kosinus || Welche Funktion entspricht der x-Koordinate?
|-
| Sinus || Welche Funktion entspricht der y-Koordinate?
|-
| Tangens || Welche Funktion entsteht als Quotient aus Sinus und Kosinus?
|-
| Gegenbeispiel || Was widerlegt eine allgemeine falsche Behauptung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M10+E+-+Grundlegende+trigonometrische+Beziehungen+herleiten </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Im rechtwinkligen Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras <math>a^2+b^2=</math> { <math>c^2</math> }. Der Sinus ist das Verhältnis aus { Gegenkathete } und Hypotenuse. Der Kosinus ist das Verhältnis aus { Ankathete } und Hypotenuse. Nach dem Quadrieren und Addieren erhält man als Ergebnis { eins }. Die beiden spitzen Winkel ergänzen sich zu { 90 Grad }. Der Sinus des Ergänzungswinkels entspricht dem { Kosinus }. Der Quotient aus Sinus und Kosinus ergibt den { Tangens }. Für diesen Quotienten muss der Kosinus { ungleich null } sein.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Formelkarte]]: Gestalte eine Karte mit den drei Beziehungen und Skizzen.
# [[Dreieck beschriften]]: Kennzeichne Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse.
# [[Fehler finden]]: Erfinde eine typische falsche Umformung und korrigiere sie.
# [[Einheitskreis-Skizze]]: Zeichne einen Punkt mit Kosinus- und Sinuskoordinate.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Beweisplakat]]: Stelle die pythagoreische Identität in höchstens sechs Schritten dar.
# [[Komplementärwinkel-Erklärung]]: Erstelle eine Bildfolge zum Rollenwechsel der Katheten.
# [[GeoGebra-Experiment]]: Prüfe zehn Winkel und erkläre die Grenze der Messung.
# [[Tangens-Untersuchung]]: Untersuche das Annähern an 90 Grad.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Zwei Beweise vergleichen]]: Vergleiche Dreiecks- und Einheitskreisbeweis.
# [[Gegenbeispiele konstruieren]]: Widerlege drei falsche trigonometrische Aussagen.
# [[Verallgemeinerung]]: Erkläre die Erweiterung vom Dreieck zum Einheitskreis.
# [[Digitales Modell prüfen]]: Analysiere Rundung, Definitionslücken und Beweisgrenzen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Beweiskette]]: Leite die pythagoreische Identität formal her und begründe jeden Schritt.
# [[Darstellungswechsel]]: Zeige dieselbe Beziehung am Einheitskreis.
# [[Komplementärtransfer]]: Begründe die entsprechende Kosinus-Sinus-Beziehung ohne fertige Formel.
# [[Definitionsbereich]]: Untersuche, wann die Tangensquotientenformel nicht verwendet werden darf.
# [[Fehleranalyse]]: Widerlege die Behauptung, Sinus plus Kosinus sei immer eins.
# [[Modellkritik]]: Erkläre, was GeoGebra plausibel macht und was zusätzlich bewiesen werden muss.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

# Definitionen korrekt verwenden.
# Drei Beziehungen formal herleiten.
# Voraussetzungen nennen.
# Zwischen Dreieck, Einheitskreis und Formel wechseln.
# Gegenbeispiele prüfen.
# Numerische Kontrolle und Beweis unterscheiden.
# Rechenwege nachvollziehbar dokumentieren.
# Digitale und KI-generierte Ergebnisse kritisch prüfen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion </iframe>

# [https://www.geogebra.org/m/TfbVA5qB GeoGebra: Einheitskreis]
# [https://www.geogebra.org/m/D47o9367 GeoGebra: Komplementärwinkel]
# [https://www.geogebra.org/m/fAWHJVT8 GeoGebra: Tangens]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Grundlegende trigonometrische Beziehungen]]'''
# [[Rechtwinkliges Dreieck]]
# [[Satz des Pythagoras]]
# [[Sinus]]
# [[Kosinus]]
# [[Tangens]]
# [[Komplementärwinkel]]
# [[Einheitskreis]]
# [[Trigonometrische Funktionen]]
# [[Mathematischer Beweis]]
# [[Gegenbeispiel]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:E-Niveau]]
[[Kategorie:Einheitskreis]]
[[Kategorie:Geometrie]]

= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

M10 E - Grundlegende trigonometrische Beziehungen herleiten - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt