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2026-07-13T21:28:25Z

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{{T}}

{{BR}}
= Lineare Funktionen und Geraden aufstellen =

'''Fach:''' [[Mathematik]] · '''Klassen:''' 7–11

Eine [[Lineare Funktion|lineare Funktion]] hat als Graphen eine [[Gerade]]. Du lernst hier, wie Du aus einer Gleichung, aus einem Punkt und einer Steigung oder aus zwei Punkten eine Gerade aufstellst.

[[Datei:Graph describing a linear function.svg|500px|rahmenlos|center|Lineare Funktion in der Form y = mx + b]]

{{BR}}
= Grundlagen =

{{BR}}
== Die Form y = mx + b ==

Die Grundform lautet:

:<math>f(x)=m\cdot x+b</math>

'''m''' ist die [[Steigung]]. '''b''' ist der [[Y-Achsenabschnitt|y-Achsenabschnitt]]. Der Punkt <math>(0|b)</math> liegt immer auf der Geraden.

[[Datei:Linear function parameters.svg|420px|rahmenlos|center|Parameter einer linearen Funktion]]

Ist <math>m>0</math>, steigt die Gerade. Ist <math>m<0</math>, fällt sie. Bei <math>m=0</math> ist sie waagerecht.

{{BR}}
== Steigung mit dem Steigungsdreieck ==

Die Steigung ist die Änderung nach oben oder unten geteilt durch die Änderung nach rechts:

:<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>

[[Datei:Zlinfkt 01.gif|500px|rahmenlos|center|Gerade mit Steigungsdreieck]]

{{BR}}
== Gerade aus Steigung und Punkt ==

Gegeben sind die Steigung <math>m</math> und ein Punkt <math>P(x_0|y_0)</math>.

# Setze in <math>y=m\cdot x+b</math> ein.
# Berechne <math>b=y_0-m\cdot x_0</math>.
# Schreibe die fertige Gleichung auf.

'''Beispiel:''' <math>m=2</math> und <math>P(1|5)</math>. Dann gilt <math>b=5-2\cdot1=3</math>. Die Gerade ist <math>f(x)=2x+3</math>.

{{BR}}
== Gerade aus zwei Punkten ==

Gegeben sind <math>P(x_1|y_1)</math> und <math>Q(x_2|y_2)</math> mit <math>x_1\neq x_2</math>.

:<math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>

Danach setzt Du einen Punkt ein und berechnest <math>b</math>.

'''Beispiel:''' <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>. Es gilt <math>m=2</math> und <math>b=0</math>. Also ist <math>f(x)=2x</math>.

[[Datei:Lineare funktionen.svg|500px|rahmenlos|center|Geraden und ihre Gleichungen]]

{{BR}}
== Werte am Graphen lesen ==

Ein Punkt <math>(x|y)</math> zeigt: Zum Wert <math>x</math> gehört der Funktionswert <math>y</math>.

[[Datei:Mathematikunterricht - Lineare Funktionen - Funktionsgraphen Werte-auslesen.gif|330px|rahmenlos|center|Funktionswerte aus einem Graphen ablesen]]

{{BR}}
= Video und Aufgaben =

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe es bei Rechenschritten und rechne zuerst selbst.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=bJkloJrITZg |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Videoanalyse]]: Notiere die verschiedenen Wege, mit denen im Video eine Geradengleichung aufgestellt wird.
# [[Steigung]]: Erkläre mit eigenen Worten, wie die Steigung aus zwei Punkten berechnet wird.
# [[Y-Achsenabschnitt]]: Stoppe vor einem Ergebnis und berechne den Achsenabschnitt selbst.
# [[Fehlerkontrolle]]: Prüfe ein Beispiel aus dem Video durch Einsetzen eines Punktes.
# [[Erklärbild]]: Zeichne zu einem Beispiel ein Koordinatensystem, die Gerade und ein Steigungsdreieck.
# [[Merksatz]]: Formuliere einen Satz, der Dir beim Aufstellen einer Geraden hilft.

{{BR}}
== Freies Zusatzvideo ==

Dieses freie Video wiederholt Funktionsterm, Graph und Steigungsdreieck.

[[Datei:Lineare Funktionen - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center|Lineare Funktionen – Erklärvideo]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie sieht der Graph einer linearen Funktion aus?'''
(Als Gerade)
(!Als Kreis)
(!Als Parabel)
(!Als Spirale)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Form hat eine lineare Funktion?'''
(f von x gleich m mal x plus b)
(!f von x gleich x hoch zwei)
(!f von x gleich m geteilt durch x)
(!f von x gleich b hoch x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wofür steht m?'''
(Für die Steigung)
(!Für den Ursprung)
(!Für den Funktionswert)
(!Für die x-Achse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wofür steht b?'''
(Für den y-Achsenabschnitt)
(!Für die Steigung)
(!Für den Nullpunkt)
(!Für die Länge der Geraden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt bei einer positiven Steigung?'''
(Die Gerade steigt von links nach rechts)
(!Die Gerade fällt von links nach rechts)
(!Die Gerade ist senkrecht)
(!Die Gerade ist ein Kreis)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen y-Achsenabschnitt hat y gleich 2x minus 3?'''
(Minus 3)
(!2)
(!3)
(!Minus 2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gerade hat die Steigung minus 1 und geht durch den Punkt 0 Strich 4?'''
(y gleich minus x plus 4)
(!y gleich x plus 4)
(!y gleich minus 4x plus 1)
(!y gleich 4x minus 1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie berechnet man die Steigung aus zwei Punkten?'''
(Differenz der y-Werte geteilt durch Differenz der x-Werte)
(!Summe der y-Werte geteilt durch Summe der x-Werte)
(!Differenz der x-Werte geteilt durch Differenz der y-Werte)
(!Produkt aller Koordinaten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Steigung hat die Gerade durch 1 Strich 3 und 3 Strich 7?'''
(2)
(!1)
(!3)
(!4)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet m gleich 0?'''
(Die Gerade ist waagerecht)
(!Die Gerade ist senkrecht)
(!Die Gerade steigt)
(!Die Gerade fällt)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Steigung || m
|-
| y-Achsenabschnitt || b
|-
| Steigungsdreieck || Delta y durch Delta x
|-
| Punktprobe || Koordinaten einsetzen
|-
| Parallele Geraden || gleiche Steigung
|-
| Konstante Funktion || waagerechte Gerade
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Arbeitsschritt
|-
| '''Steigungsdreieck'''
| Steigung am Graphen bestimmen
|-
| '''Schnittpunkt mit der y-Achse'''
| y-Achsenabschnitt ablesen
|-
| '''Differenzenquotient'''
| Steigung aus zwei Punkten berechnen
|-
| '''Punkt einsetzen'''
| Achsenabschnitt berechnen
|-
| '''Punktprobe'''
| Ergebnis kontrollieren

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Gerade || Wie heißt der Graph einer linearen Funktion?
|-
| Steigung || Welche Größe beschreibt das Steigen oder Fallen?
|-
| Achsenabschnitt || Wie heißt der Wert b mit einem Wort?
|-
| Koordinaten || Welche Zahlen beschreiben die Lage eines Punktes?
|-
| Punktprobe || Wie heißt die Kontrolle durch Einsetzen?
|-
| Parallel || Wie liegen Geraden mit gleicher Steigung, wenn sie verschieden sind?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Lineare+Funktionen+und+Geraden+aufstellen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Der Graph einer linearen Funktion ist eine { Gerade }. In der Gleichung <math>f(x)=m\cdot x+b</math> beschreibt <math>m</math> die { Steigung }. Der Wert <math>b</math> heißt { y-Achsenabschnitt }. Bei einer positiven Steigung { steigt } die Gerade von links nach rechts. Aus zwei Punkten berechnet man zuerst die { Steigung }. Durch Einsetzen eines Punktes findet man danach den { y-Achsenabschnitt }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
== Leicht ==

# [[Parameter erkennen]]: Markiere in fünf Gleichungen jeweils <math>m</math> und <math>b</math>.
# [[Gerade zeichnen]]: Zeichne <math>f(x)=x+2</math> und markiere das Steigungsdreieck.
# [[Geraden im Alltag]]: Fotografiere oder skizziere drei gerade Linien und beschreibe ihre Lage.
# [[Videoprotokoll]]: Schreibe fünf kurze Merksätze zum Lernvideo.

{{BR}}
== Standard ==

# [[Zwei Punkte]]: Wähle zwei Punkte, berechne die Gleichung ihrer Geraden und prüfe beide Punkte.
# [[Fehler finden]]: Erfinde eine falsche Rechnung und erkläre den Fehler.
# [[Lernplakat]]: Gestalte ein Plakat zu <math>m</math>, <math>b</math> und Steigungsdreieck.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein einminütiges Video zum Aufstellen einer Geraden aus zwei Punkten.

{{BR}}
== Schwer ==

# [[Lineares Modell]]: Entwickle ein Kostenmodell mit Grundgebühr und Preis pro Einheit.
# [[Methodenvergleich]]: Vergleiche das Aufstellen aus einem Graphen, aus zwei Punkten und aus Punkt plus Steigung.
# [[Parallele Geraden]]: Finde drei verschiedene Geraden, die parallel zu <math>f(x)=2x-1</math> sind, und begründe Deine Wahl.
# [[Digitale Untersuchung]]: Verändere in einer dynamischen Geometriesoftware <math>m</math> und <math>b</math> und dokumentiere die Wirkung.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Handytarife vergleichen]]: Zwei Tarife bestehen aus Grundgebühr und Preis pro Gigabyte. Stelle beide Funktionen auf, bestimme ihren Schnittpunkt und deute ihn.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person berechnet aus <math>P(1|4)</math> und <math>Q(3|8)</math> die Steigung mit <math>(3-1)/(8-4)</math>. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
# [[Rückwärtsaufgabe]]: Erfinde zwei Punkte, deren Gerade die Gleichung <math>y=-2x+5</math> besitzt, und begründe Deine Wahl.
# [[Entscheidung]]: Prüfe, ob die Punkte <math>A(2|7)</math>, <math>B(4|11)</math> und <math>C(6|16)</math> auf einer Geraden liegen.
# [[Begründung]]: Erkläre, warum zwei Punkte mit verschiedenen x-Werten genau eine Gerade festlegen.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# [[Steigung]] und [[Y-Achsenabschnitt|y-Achsenabschnitt]] erklären kannst.
# eine Gerade aus <math>m</math> und <math>b</math> zeichnen kannst.
# eine Geradengleichung aus einem Punkt und einer Steigung aufstellen kannst.
# eine Geradengleichung aus zwei Punkten berechnen und prüfen kannst.
# ein einfaches Alltagsproblem mit einer linearen Funktion modellieren kannst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lineare_Funktion </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Lineare Funktionen und Geraden aufstellen]]'''
# [[Lineare Funktion]]
# [[Geradengleichung]]
# [[Steigung]]
# [[Steigungsdreieck]]
# [[Y-Achsenabschnitt]]
# [[Koordinatensystem]]
# [[Punktprobe]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Lineare Funktionen]]
[[Kategorie:Klasse 7]]
[[Kategorie:Klasse 8]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Lineare Funktionen und Geraden aufstellen - Versionsgeschichte

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