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2026-07-13T21:28:18Z

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{{T}}

{{BR}}
= Lineare Funktionen - Einfach erklärt =

{{BR}}
= Einleitung =

Eine [[Lineare Funktion|lineare Funktion]] beschreibt einen Zusammenhang mit einer geraden Linie. Ihre wichtigste Form ist:

<math>y = m \cdot x + b</math>

Dabei ist '''m''' die [[Steigung]] und '''b''' der [[Y-Achsenabschnitt|y-Achsenabschnitt]]. In diesem kurzen aiMOOC lernst Du, wie Du lineare Funktionen erkennst, zeichnest und im Alltag nutzt.

[[Datei:Linear function parameters.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernvideo ==

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe bei Beispielen und rechne kurz selbst mit.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=v7uzHbISINM |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Grundform]]: Notiere die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion.
# [[Steigung]]: Erkläre mit einem Satz, was die Zahl m am Graphen verändert.
# [[Y-Achsenabschnitt]]: Erkläre, wo Du die Zahl b im Koordinatensystem findest.
# [[Sonderfälle]]: Beschreibe, wie der Graph bei positiver, negativer und fehlender Steigung aussieht.
# [[Videobeispiel]]: Wähle eine Rechnung aus dem Video, stoppe vor dem Ergebnis und rechne selbst weiter.

{{BR}}
= Das Wichtigste =

{{BR}}
== Funktionsgleichung ==

Die Gleichung lautet <math>f(x)=m\cdot x+b</math>.

# [[Steigung|m]]: Zeigt, wie stark die Gerade steigt oder fällt.
# [[Y-Achsenabschnitt|b]]: Zeigt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.
# [[Graph einer Funktion|Graph]]: Ist bei einer linearen Funktion eine Gerade.

[[Datei:Graph einer lineare Funktion in der Ebene.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Steigung ==

Die Steigung kann mit einem [[Steigungsdreieck]] bestimmt werden:

<math>m=\frac{\text{Änderung von }y}{\text{Änderung von }x}</math>

Ist <math>m>0</math>, steigt die Gerade. Ist <math>m<0</math>, fällt sie. Bei <math>m=0</math> ist sie waagerecht.

[[Datei:Gradient of y=(3 divide 2)x.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Y-Achsenabschnitt ==

Der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei <math>x=0</math>. Bei <math>y=2x+3</math> gilt deshalb <math>b=3</math>. Die Gerade geht durch den Punkt <math>(0|3)</math>.

[[Datei:Intercept b of linear function ax+b.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Eine Gerade zeichnen ==

Beispiel: <math>y=2x+1</math>

# Starte bei <math>(0|1)</math>.
# Gehe wegen <math>m=2</math> ein Kästchen nach rechts und zwei nach oben.
# Markiere den zweiten Punkt.
# Ziehe eine Gerade durch beide Punkte.

[[Datei:Graph describing a linear function.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Wertetabelle ==

Du kannst Werte einsetzen:

{| class="wikitable" align="center"
! x
! −1
! 0
! 1
! 2
|-
! y = 2x + 1
| −1
| 1
| 3
| 5
|}

Die Punkte <math>(-1|-1)</math>, <math>(0|1)</math>, <math>(1|3)</math> und <math>(2|5)</math> liegen auf derselben Geraden.

{{BR}}
== Nullstelle ==

Die [[Nullstelle]] liegt dort, wo die Gerade die x-Achse schneidet. Setze dafür <math>y=0</math>.

Beispiel: <math>0=2x+4</math>. Daraus folgt <math>x=-2</math>.

[[Datei:Linear Function Graph.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lineare Funktionen im Alltag ==

Lineare Funktionen können Kosten beschreiben. Eine Grundgebühr ist der y-Achsenabschnitt. Ein Preis pro Einheit ist die Steigung.

Beispiel: <math>K(x)=2x+5</math> bedeutet 5 Euro Grundgebühr und 2 Euro pro Einheit.

[[Datei:KostenLinear.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Freies Erklärvideo zur Vertiefung ==

[[Datei:Lineare Funktionen - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie lautet die Grundform einer linearen Funktion?'''
(y = m mal x plus b)
(!y = x hoch zwei plus b)
(!y = m geteilt durch x)
(!y = b hoch x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt m in einer linearen Funktion?'''
(Die Steigung)
(!Die Nullstelle)
(!Die x-Achse)
(!Die Wertetabelle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt b in der Gleichung y = m mal x plus b?'''
(Den y-Achsenabschnitt)
(!Die Länge der x-Achse)
(!Die Anzahl der Punkte)
(!Die Breite des Koordinatensystems)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie sieht der Graph einer linearen Funktion aus?'''
(Als Gerade)
(!Als Kreis)
(!Als Parabel)
(!Als Dreieck)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt bei einer positiven Steigung?'''
(Die Gerade steigt von links nach rechts)
(!Die Gerade fällt von links nach rechts)
(!Die Gerade ist senkrecht)
(!Die Gerade ist ein Kreis)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt bei m gleich null?'''
(Die Gerade ist waagerecht)
(!Die Gerade ist senkrecht)
(!Die Gerade ist eine Parabel)
(!Die Gerade hat keinen Graphen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo schneidet die Funktion y gleich 3x plus 2 die y-Achse?'''
(Bei 2)
(!Bei 3)
(!Bei minus 2)
(!Bei 6)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Punkt liegt auf y gleich 2x plus 1?'''
(Der Punkt 1 und 3)
(!Der Punkt 1 und 1)
(!Der Punkt 0 und 0)
(!Der Punkt 2 und 2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie findest Du eine Nullstelle?'''
(Du setzt y gleich null)
(!Du setzt m gleich null)
(!Du setzt b gleich eins)
(!Du löschst die x-Achse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet die Funktion K gleich 4x plus 10 bei Kosten?'''
(10 Grundgebühr und 4 pro Einheit)
(!4 Grundgebühr und 10 pro Einheit)
(!Keine Grundgebühr und 14 pro Einheit)
(!10 Grundgebühr und keine weiteren Kosten)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Steigung || m
|-
| Y-Achsenabschnitt || b
|-
| Funktionsgleichung || y = mx + b
|-
| Graph || Gerade
|-
| Nullstelle || Schnitt mit der x-Achse
|-
| Wertetabelle || geordnete Wertepaare
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Steigende Gerade'''
| positive Steigung
|-
| '''Fallende Gerade'''
| negative Steigung
|-
| '''Waagerechte Gerade'''
| Steigung null
|-
| '''Schnitt mit der y-Achse'''
| Achsenabschnitt
|-
| '''Schnitt mit der x-Achse'''
| Nullstelle

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Gerade || Wie heißt der Graph einer linearen Funktion?
|-
| Steigung || Welche Größe wird meist mit m bezeichnet?
|-
| Achsenabschnitt || Wie heißt die Zahl b?
|-
| Wertetabelle || Welche Tabelle zeigt zusammengehörige x- und y-Werte?
|-
| Koordinatensystem || Wo wird der Graph gezeichnet?
|-
| Nullstelle || Wie heißt der Schnittpunkt mit der x-Achse?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Lineare+Funktionen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Der Graph einer linearen Funktion ist eine { Gerade }. Die allgemeine Gleichung lautet y gleich m mal x plus { b }. Die Zahl m heißt { Steigung }. Die Zahl b heißt y-{ Achsenabschnitt }. Bei positiver Steigung verläuft die Gerade nach rechts { oben }. Bei negativer Steigung verläuft sie nach rechts { unten }. Für eine Nullstelle setzt Du y gleich { null }. Zwei Punkte reichen aus, um eine { Gerade } zu zeichnen.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Videonotizen]]: Schreibe fünf wichtige Begriffe aus dem Lernvideo auf.
# [[Wertetabelle]]: Erstelle für <math>y=x+2</math> eine Tabelle mit vier x-Werten.
# [[Gerade zeichnen]]: Zeichne den Graphen von <math>y=2x-1</math>.
# [[Alltagsbeispiel]]: Erfinde eine Situation mit Grundgebühr und Preis pro Einheit.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Video erklären]]: Wähle eine Stelle aus dem Video und erkläre sie mit eigenen Worten.
# [[Zwei Punkte]]: Bestimme die Steigung der Geraden durch <math>A(1|3)</math> und <math>B(4|9)</math>.
# [[Tarifvergleich]]: Vergleiche <math>A(x)=2x+8</math> und <math>B(x)=3x+2</math> in einer Tabelle.
# [[Fehler finden]]: Jemand zeichnet <math>y=-2x+3</math> als steigende Gerade. Erkläre den Fehler.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Modell entwickeln]]: Miss die Füllhöhe eines Gefäßes in gleichen Zeitabständen und prüfe, ob ein linearer Zusammenhang passt.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein eigenes kurzes Video über Steigung und y-Achsenabschnitt.
# [[Parameter untersuchen]]: Verändere m und b mit einer dynamischen Geometriesoftware und dokumentiere Deine Beobachtungen.
# [[Schnittpunkt]]: Bestimme rechnerisch und zeichnerisch den Schnittpunkt von <math>y=2x+1</math> und <math>y=-x+7</math>.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Handytarife]]: Tarif A kostet 10 Euro Grundgebühr und 2 Euro je Einheit. Tarif B kostet 4 Euro Grundgebühr und 3 Euro je Einheit. Stelle beide Funktionen auf und entscheide, wann welcher Tarif günstiger ist.
# [[Wassertank]]: Ein Tank enthält zuerst 120 Liter. Pro Minute fließen 8 Liter ab. Stelle eine Funktion auf und erkläre die Bedeutung von Steigung und Achsenabschnitt.
# [[Graph deuten]]: Eine Gerade steigt stark und schneidet die y-Achse unterhalb von null. Beschreibe mögliche Vorzeichen von m und b.
# [[Fehleranalyse]]: Prüfe die Aussage: „Je größer b ist, desto steiler ist die Gerade.“ Begründe Deine Entscheidung.
# [[Daten prüfen]]: Die Punkte <math>(0|2)</math>, <math>(1|5)</math>, <math>(2|8)</math> und <math>(3|12)</math> sind gegeben. Prüfe, ob alle Punkte zu einer linearen Funktion gehören.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du:

# die Form <math>y=m\cdot x+b</math> erklären,
# Steigung und y-Achsenabschnitt bestimmen,
# Wertetabellen erstellen,
# Geraden zeichnen und lesen,
# Nullstellen berechnen,
# einfache Alltagssituationen als lineare Funktionen darstellen,
# Deine Rechenwege verständlich begründen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lineare_Funktion </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Lineare Funktionen - Einfach erklärt]]'''
# [[Lineare Funktion]]
# [[Funktion]]
# [[Funktionsgleichung]]
# [[Steigung]]
# [[Steigungsdreieck]]
# [[Y-Achsenabschnitt]]
# [[Wertetabelle]]
# [[Koordinatensystem]]
# [[Graph einer Funktion]]
# [[Nullstelle]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Klasse 7-8]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Klasse 7-10]]
[[Kategorie:Lernvideo]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Lineare Funktionen - Einfach erklärt - Versionsgeschichte

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