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2026-07-14T18:51:22Z

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{{T}}
{{BR}}
= Lagebeziehungen zwischen Gerade und Parabel =

{{BR}}
= Einleitung =

Eine [[Gerade]] und eine [[Parabel]] können '''zwei''', '''einen''' oder '''keinen''' gemeinsamen Punkt haben. Du lernst, diese drei Fälle im Bild und mit einer Rechnung zu erkennen.

Der Kurs gehört zum Fach [[Mathematik]] und eignet sich für die Klassen 8 bis 13.

[[Datei:Quadratic-function.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernziele ==

Du kannst die Begriffe [[Sekante]], [[Tangente]] und [[Passante]] erklären. Du kannst die Funktionsterme gleichsetzen, die [[Diskriminante]] nutzen und mögliche [[Schnittpunkt]]e berechnen.

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= Lernvideo =

Das Video von Planet Schule und kolleg24 zeigt die drei Lagebeziehungen und den Rechenweg.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=c7XXVQtP3L0 |500|center}}

[https://www.planet-schule.de/schwerpunkt/analysis/019-lagebeziehungen-zwischen-gerade-und-parabel-analysis-kolleg24-mathematik-100.html Planet Schule: Folge 019 und Übungen]

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== Aufgaben zum Video ==

# [[Vorwissen aktivieren]]: Zeichne vor dem Video eine Parabel und drei Geraden. Eine Gerade soll die Parabel zweimal schneiden, eine soll sie berühren und eine soll vorbeigehen.
# [[Begriffe erkennen]]: Notiere beim Abschnitt von etwa 0:29 bis 1:32 die Begriffe Sekante, Tangente und Passante. Ergänze jeweils die Zahl der gemeinsamen Punkte.
# [[Gleichsetzen erklären]]: Pausiere bei etwa 1:40. Erkläre mit einem Satz, warum die Funktionsterme an einem Schnittpunkt gleich sein müssen.
# [[Rechenweg sichern]]: Schreibe beim ersten Beispiel die vier Schritte auf: gleichsetzen, umformen, Diskriminante prüfen, Koordinaten bestimmen.
# [[Video-Zusammenfassung]]: Erstelle nach dem Video eine Tabelle mit den drei Fällen und den Bedingungen D > 0, D = 0 und D < 0.
# [[Transfer zum Video]]: Erfinde zu jedem der drei Fälle ein eigenes Paar aus Parabel und Gerade. Prüfe Deine Beispiele mit einer Zeichnung oder einer Rechnung.

{{BR}}
= Die drei Lagebeziehungen =

Für eine Parabel <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\neq 0</math> und eine Gerade <math>g(x)=mx+n</math> gilt:

<math>f(x)=g(x)</math>

Nach dem Umformen entsteht eine [[Quadratische Gleichung]]. Ihre [[Diskriminante]] entscheidet über die Zahl der reellen Lösungen.

[[Datei:Quadratic eq discriminant.svg|500px|rahmenlos|center]]

{| class="wikitable" style="margin:auto"
! Lage
! Gemeinsame Punkte
! Diskriminante
|-
| [[Sekante]]
| zwei Schnittpunkte
| <math>D>0</math>
|-
| [[Tangente]]
| ein Berührpunkt
| <math>D=0</math>
|-
| [[Passante]]
| kein gemeinsamer Punkt
| <math>D<0</math>
|}

{{BR}}
== Sekante ==

Eine '''Sekante''' schneidet die Parabel in zwei Punkten. Die Gleichung <math>f(x)=g(x)</math> hat zwei verschiedene reelle Lösungen.

Beispiel: <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=x+2</math>. Aus <math>x^2=x+2</math> wird <math>x^2-x-2=0</math>. Die Lösungen sind <math>x=-1</math> und <math>x=2</math>. Daher gibt es zwei Schnittpunkte.

[[Datei:Polynomialdeg2.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Tangente ==

Eine '''Tangente''' berührt die Parabel in genau einem Punkt. Die Gleichung hat eine doppelte Lösung.

Beispiel: <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=2x-1</math>. Es gilt <math>x^2=2x-1</math> und damit <math>(x-1)^2=0</math>. Der Berührpunkt ist <math>B(1|1)</math>.

[[Datei:Graph of parabola and tangent line.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Passante ==

Eine '''Passante''' hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Parabel. Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

Beispiel: <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=-1</math>. Die Gleichung <math>x^2=-1</math> hat keine reelle Lösung.

{{BR}}
== Rechenweg ==

# [[Funktionsterme gleichsetzen]]: Schreibe <math>f(x)=g(x)</math>.
# [[Quadratische Gleichung]]: Bringe alle Terme auf eine Seite.
# [[Diskriminante]]: Berechne <math>D=b^2-4ac</math>.
# [[Lage bestimmen]]: Ordne Sekante, Tangente oder Passante zu.
# [[Schnittpunkte]]: Berechne bei <math>D\geq 0</math> zuerst die x-Werte und danach die y-Werte.

[[Datei:Tangent animation.gif|400px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie heißt eine Gerade mit zwei Schnittpunkten mit einer Parabel?'''
(Sekante)
(!Tangente)
(!Passante)
(!Symmetrieachse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie heißt eine Gerade, die eine Parabel in genau einem Punkt berührt?'''
(Tangente)
(!Sekante)
(!Passante)
(!Koordinatenachse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie heißt eine Gerade ohne gemeinsamen Punkt mit einer Parabel?'''
(Passante)
(!Tangente)
(!Sekante)
(!Mittelsenkrechte)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der erste Rechenschritt bei der Suche nach gemeinsamen Punkten?'''
(Funktionsterme gleichsetzen)
(!Nur die Gerade zeichnen)
(!Den Scheitelpunkt verdoppeln)
(!Die y-Werte addieren)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet D > 0 für die Lagebeziehung?'''
(Zwei reelle Lösungen und eine Sekante)
(!Eine doppelte Lösung und eine Tangente)
(!Keine reelle Lösung und eine Passante)
(!Unendlich viele Lösungen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet D = 0 für die Lagebeziehung?'''
(Eine doppelte Lösung und eine Tangente)
(!Zwei reelle Lösungen und eine Sekante)
(!Keine reelle Lösung und eine Passante)
(!Die Parabel ist keine Funktion)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet D < 0 für die Lagebeziehung?'''
(Keine reelle Lösung und eine Passante)
(!Zwei reelle Lösungen und eine Sekante)
(!Eine doppelte Lösung und eine Tangente)
(!Genau drei Schnittpunkte)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Lage haben f von x gleich x Quadrat und g von x gleich minus eins?'''
(Passante)
(!Tangente)
(!Sekante)
(!Identische Graphen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Lage haben f von x gleich x Quadrat und g von x gleich zwei x minus eins?'''
(Tangente)
(!Passante)
(!Sekante)
(!Parallele Geraden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was machst Du nach dem Berechnen der x-Werte eines Schnittpunkts?'''
(Einen x-Wert in eine Funktion einsetzen)
(!Die Diskriminante quadrieren)
(!Die Parabel durch eine Gerade ersetzen)
(!Alle Koeffizienten löschen)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Sekante || zwei Schnittpunkte
|-
| Tangente || ein Berührpunkt
|-
| Passante || kein gemeinsamer Punkt
|-
| Gleichsetzen || gleiche y-Werte
|-
| Diskriminante || Anzahl reeller Lösungen
|-
| Rückeinsetzen || y-Koordinate bestimmen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Lage oder Rechenschritt
|-
| '''Sekante'''
| Gerade schneidet die Parabel zweimal
|-
| '''Tangente'''
| Gerade berührt die Parabel einmal
|-
| '''Passante'''
| Gerade geht an der Parabel vorbei
|-
| '''Gleichsetzen'''
| Start der Rechnung
|-
| '''Diskriminante'''
| Entscheidung über die Anzahl reeller Lösungen

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Sekante || Wie heißt eine Gerade mit zwei gemeinsamen Punkten?
|-
| Tangente || Wie heißt eine Gerade mit genau einem Berührpunkt?
|-
| Passante || Wie heißt eine Gerade ohne gemeinsamen Punkt?
|-
| Diskriminante || Welche Größe entscheidet über die Zahl der reellen Lösungen?
|-
| Gleichsetzen || Welcher Rechenschritt steht am Anfang?
|-
| Schnittpunkt || Wie heißt ein gemeinsamer Punkt zweier Graphen?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Lagebeziehungen+zwischen+Gerade+und+Parabel </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Gerade, die eine Parabel zweimal schneidet, heißt { Sekante }. Eine Gerade mit genau einem Berührpunkt heißt { Tangente }. Eine Gerade ohne gemeinsamen Punkt heißt { Passante }. Am Anfang der Rechnung werden die Funktionsterme { gleichgesetzt }. Danach entsteht eine { quadratische } Gleichung. Bei einer positiven Diskriminante gibt es { zwei } reelle Lösungen. Bei einer Diskriminante von null gibt es eine { doppelte } Lösung. Eine negative Diskriminante führt zu keiner { reellen } Lösung.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Drei Bilder]]: Zeichne eine Parabel mit einer Sekante, einer Tangente und einer Passante. Beschrifte die gemeinsamen Punkte.
# [[Videonotizen]]: Fasse das Lernvideo in höchstens sechs einfachen Sätzen zusammen.
# [[Begriffskarten]]: Gestalte Karten für Sekante, Tangente, Passante und Diskriminante. Schreibe auf die Rückseite eine Erklärung.
# [[Graphen verändern]]: Verschiebe eine Gerade in einer Zeichnung nach oben und unten. Markiere, wann sich die Lagebeziehung ändert.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Rechnung erklären]]: Untersuche <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=x+2</math>. Erkläre jeden Rechenschritt mit eigenen Worten.
# [[Parameter untersuchen]]: Untersuche <math>f(x)=x^2</math> und <math>g_t(x)=x+t</math>. Finde heraus, für welche Werte von t eine Sekante, Tangente oder Passante entsteht.
# [[Fehler finden]]: Jemand sagt: „Bei D > 0 liegt eine Tangente vor.“ Erkläre den Fehler und verbessere die Aussage.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein Video von höchstens 90 Sekunden. Zeige darin die drei Lagebeziehungen an einer eigenen Zeichnung.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Tangentenfamilie]]: Bestimme für <math>f(x)=x^2</math> alle Geraden mit der Steigung m, die Tangenten an die Parabel sind.
# [[Modellierung]]: Erfinde eine Situation mit einer parabelförmigen Brücke und einer geraden Strecke. Deute die möglichen Schnittpunkte.
# [[Begründung]]: Begründe, warum eine Gerade und eine Parabel höchstens zwei gemeinsame Punkte haben können.
# [[Digitale Untersuchung]]: Erstelle mit einer dynamischen Geometriesoftware ein Modell mit einem Schieberegler. Dokumentiere den Übergang von Sekante zu Tangente und Passante.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Darstellung wechseln]]: Erkläre, wie die Zahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung mit der Zahl der gemeinsamen Punkte im Koordinatensystem zusammenhängt.
# [[Beispiele konstruieren]]: Gib zu <math>f(x)=x^2</math> je eine Gerade an, die Sekante, Tangente und Passante ist. Begründe Deine Wahl ohne Zeichnung.
# [[Methode wählen]]: Entscheide, wann die Diskriminante allein genügt und wann Du zusätzlich die Koordinaten der Schnittpunkte berechnen musst.
# [[Fehleranalyse]]: In einer Rechnung wird nach dem Gleichsetzen nur eine x-Lösung gefunden, obwohl D > 0 ist. Beschreibe mögliche Fehlerquellen.
# [[Parameter deuten]]: Eine Gerade wird parallel verschoben. Erkläre, warum sich dabei die Lagebeziehung zur Parabel ändern kann.
# [[Transfer]]: Vergleiche eine Tangente an eine Parabel mit einer Tangente an einen Kreis. Nenne eine Gemeinsamkeit und einen Unterschied.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis ist wichtig, dass Du:

# [[Lagebeziehung erkennen]]: Sekante, Tangente und Passante im Bild sicher unterscheidest.
# [[Gleichsetzen]]: aus zwei Funktionstermen eine quadratische Gleichung bildest.
# [[Diskriminante anwenden]]: aus dem Vorzeichen von D die Zahl der reellen Lösungen ableitest.
# [[Schnittpunkte berechnen]]: x- und y-Koordinaten vollständig bestimmst.
# [[Zusammenhänge erklären]]: Rechnung und Graph mit eigenen Worten verbindest.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

Die freie Videodatei von Planet Schule und kolleg24 kann unter Beachtung der Lizenz [[Creative Commons|CC BY-SA 4.0]] genutzt werden.

[[Datei:Lagebeziehungen zwischen Gerade und Parabel - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center]]

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Funktion </iframe>

<br>

{{BR}}
= Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Mathematik]]'''
# [[Algebra]]
# [[Funktionen]]
# [[Quadratische Funktionen]]
# [[Analytische Geometrie]]
# [[Gleichungen]]
|}

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Parabel]]'''
# [[Gerade]]
# [[Parabel]]
# [[Quadratische Funktion]]
# [[Quadratische Gleichung]]
# [[Sekante]]
# [[Tangente]]
# [[Passante]]
# [[Diskriminante]]
# [[Schnittpunkt]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Quadratische Funktionen]]
[[Kategorie:Klasse 8]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]
[[Kategorie:Sekundarstufe II]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Lagebeziehungen zwischen Gerade und Parabel - Versionsgeschichte

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