Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-14T18:51:53Z

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{{T}}

{{BR}}
= Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) =

{{BR}}
= Einleitung =

Mit der '''[[Mitternachtsformel]]''' löst Du [[quadratische Gleichung|quadratische Gleichungen]] der Form

<math>ax^2+bx+c=0</math> mit <math>a\neq 0</math>.

Die Zahlen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> heißen [[Koeffizient|Koeffizienten]].

[[Datei:Quadratic formula.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Die Formel ==

Zuerst berechnest Du die [[Diskriminante]]:

<math>D=b^2-4ac</math>

Dann setzt Du die Werte in die Lösungsformel ein:

<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}</math>

Das Zeichen <math>\pm</math> bedeutet: Rechne einmal mit '''Plus''' und einmal mit '''Minus'''.

[[Datei:Quadratic function graph key values.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Vorgehen ==

# [[Normalform]] herstellen: Auf einer Seite muss null stehen.
# [[Koeffizient|Koeffizienten]] <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> ablesen.
# [[Diskriminante]] <math>D</math> berechnen.
# Werte in die [[Mitternachtsformel]] einsetzen.
# [[Lösungsmenge]] angeben.

{{BR}}
== Bedeutung der Diskriminante ==

# <math>D>0</math>: Es gibt zwei verschiedene [[Reelle Zahl|reelle]] Lösungen.
# <math>D=0</math>: Es gibt eine doppelte reelle Lösung.
# <math>D<0</math>: Es gibt keine reelle Lösung.

[[Datei:Quadratic eq discriminant.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Beispiel ==

Gegeben ist:

<math>x^2-5x+6=0</math>

Es gilt <math>a=1</math>, <math>b=-5</math> und <math>c=6</math>.

<math>D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=1</math>

<math>x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}</math>

Damit sind die Lösungen <math>x_1=3</math> und <math>x_2=2</math>.

Die [[Lösungsmenge]] lautet <math>L=\{2;3\}</math>.

[[Datei:Polynomialdeg2.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Verbindung zur quadratischen Ergänzung ==

Die Mitternachtsformel kann durch [[quadratische Ergänzung]] hergeleitet werden. Für das Anwenden der Formel reicht es zunächst, die fünf Schritte sicher zu beherrschen.

[[Datei:Quadratic root.svg|700px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Video =

Das folgende Video von '''Planet Schule / kolleg24''' erklärt die Lösungsformel in kurzer Form.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=aLQHGMhsD-k |500|center}}

[https://www.youtube.com/@planetschule/search?query=017%20L%C3%B6sungsformel%20f%C3%BCr%20quadratische%20Gleichungen%20%28Mitternachtsformel%29 Video bei Planet Schule suchen]

[https://www.planet-schule.de/schwerpunkt/analysis/017-loesungsformel-quadratische-gleichung-analysis-kolleg24-mathematik-100.html Begleitseite von Planet Schule]

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Vorwissen]]: Schreibe bei <math>2x^2-3x-2=0</math> die Werte für <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> auf.
# [[Beobachtungsauftrag]]: Notiere beim Ansehen die Arbeitsschritte in der richtigen Reihenfolge.
# [[Diskriminante]]: Erkläre nach dem Video mit einem Satz, was <math>D</math> über die Zahl der Lösungen aussagt.
# [[Formelsprache]]: Sprich die Mitternachtsformel laut und erkläre das Plusminuszeichen.
# [[Anwendung]]: Löse nach dem Video <math>x^2-7x+12=0</math>.
# [[Vergleich]]: Prüfe Deine Lösung durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.
# [[Fehleranalyse]]: Nenne zwei typische Fehler, die beim Einsetzen negativer Zahlen entstehen können.
# [[Zusammenfassung]]: Erstelle eine Karte mit der Formel, den fünf Schritten und den drei Fällen der Diskriminante.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}
'''Welche Form muss eine allgemeine quadratische Gleichung haben?'''
(ax² plus bx plus c gleich null)
(!ax plus b gleich null)
(!ax³ plus bx gleich null)
(!a geteilt durch x gleich null)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Bedingung gilt für den Koeffizienten a?'''
(a darf nicht null sein)
(!a muss immer eins sein)
(!a muss negativ sein)
(!a muss gleich c sein)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie wird die Diskriminante berechnet?'''
(D gleich b² minus 4ac)
(!D gleich b² plus 4ac)
(!D gleich 2a plus b)
(!D gleich a² minus c)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was bedeutet eine positive Diskriminante?'''
(Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen)
(!Es gibt keine reelle Lösung)
(!Es gibt genau drei Lösungen)
(!Die Gleichung ist linear)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was bedeutet D gleich null?'''
(Es gibt eine doppelte reelle Lösung)
(!Es gibt zwei verschiedene Lösungen)
(!Es gibt keine Lösung)
(!Der Koeffizient a ist null)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was bedeutet eine negative Diskriminante im Bereich der reellen Zahlen?'''
(Es gibt keine reelle Lösung)
(!Es gibt zwei positive Lösungen)
(!Es gibt genau eine positive Lösung)
(!Die Gleichung hat keinen x² Term)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Koeffizienten hat x² minus 5x plus 6 gleich null?'''
(a gleich 1 b gleich minus 5 c gleich 6)
(!a gleich 1 b gleich 5 c gleich 6)
(!a gleich minus 1 b gleich 5 c gleich 6)
(!a gleich 5 b gleich 6 c gleich 1)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Lösungen hat x² minus 5x plus 6 gleich null?'''
(2 und 3)
(!1 und 6)
(!minus 2 und minus 3)
(!0 und 5)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was musst Du vor dem Einsetzen in die Formel prüfen?'''
(Eine Seite der Gleichung muss null sein)
(!Der Koeffizient c muss null sein)
(!Die Gleichung muss eine Bruchgleichung sein)
(!Alle Koeffizienten müssen positiv sein)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was steht im Nenner der Mitternachtsformel?'''
(2a)
(!2b)
(!4a)
(!a plus c)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==
<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Quadratische Gleichung || Gleichung mit x² als höchster Potenz
|-
| Koeffizient a || Faktor vor x²
|-
| Koeffizient b || Faktor vor x
|-
| Konstante c || Term ohne x
|-
| Diskriminante || Ausdruck b² minus 4ac
|-
| Nullstelle || Lösung der Gleichung f von x gleich null
|-
| Parabel || Graph einer quadratischen Funktion
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==
<div class="lueckentext-quiz">
{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Normalform'''
| ax² plus bx plus c gleich null
|-
| '''Positive Diskriminante'''
| zwei verschiedene reelle Lösungen
|-
| '''Diskriminante null'''
| eine doppelte reelle Lösung
|-
| '''Negative Diskriminante'''
| keine reelle Lösung
|-
| '''Plusminuszeichen'''
| zwei getrennte Rechenwege
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==
<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Parabel || Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
|-
| Koeffizient || Wie heißt eine Zahl vor einer Variablen?
|-
| Diskriminante || Welcher Ausdruck entscheidet über die Zahl der Lösungen?
|-
| Nullstelle || Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
|-
| Normalform || Wie heißt die Form ax² plus bx plus c gleich null?
|-
| Wurzel || Welche Rechenart kommt in der Lösungsformel vor?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==
<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=L%C3%B6sungsformel+f%C3%BCr+quadratische+Gleichungen+Mitternachtsformel </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==
<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine quadratische Gleichung hat als höchsten Exponenten die Zahl { zwei }. In der Normalform steht auf einer Seite { null }. Der Ausdruck b² minus 4ac heißt { Diskriminante }. Bei einer positiven Diskriminante gibt es { zwei } verschiedene reelle Lösungen. Das Plusminuszeichen führt zu zwei getrennten { Rechenwegen }. Am Ende gibst Du die Lösungen als { Lösungsmenge } an.
</quiz>
<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Formelkarte]]: Gestalte eine kleine Lernkarte mit der Mitternachtsformel.
# [[Koeffizient|Koeffizienten]]: Markiere in fünf Gleichungen die Werte <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>.
# [[Fehlerdetektiv]]: Erfinde einen typischen Vorzeichenfehler und verbessere ihn.
# [[Erklärtext]]: Erkläre die Diskriminante in höchstens vier einfachen Sätzen.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Quadratische Gleichung]]: Löse drei Gleichungen mit positiver, nuller und negativer Diskriminante.
# [[Parabel]]: Zeichne zu einer gelösten Gleichung den Graphen und markiere die Nullstellen.
# [[Videoanalyse]]: Erstelle ein Ablaufdiagramm zum Planet-Schule-Video.
# [[Sachaufgabe]]: Erfinde eine kurze Aufgabe, in der eine Flugbahn oder ein Brückenbogen durch eine Parabel beschrieben wird.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Quadratische Ergänzung]]: Leite die Mitternachtsformel aus der Normalform her.
# [[Parameter]]: Untersuche, für welche Werte von <math>p</math> die Gleichung <math>x^2+px+1=0</math> zwei, eine oder keine reelle Lösung besitzt.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Lernvideo mit Beispiel, Probe und Fehlerhinweisen.
# [[Lösungsverfahren]]: Vergleiche Mitternachtsformel, [[pq-Formel]], Faktorisieren und quadratische Ergänzung.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =
# [[Zusammenhang]]: Begründe, warum vor dem Ablesen der Koeffizienten eine Seite der Gleichung null sein muss.
# [[Graphische Deutung]]: Erkläre den Zusammenhang zwischen Diskriminante und Schnittpunkten einer Parabel mit der x-Achse.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person liest bei <math>2x^2+3x-2=0</math> den Wert <math>c=2</math> ab. Erkläre den Fehler und seine Folgen.
# [[Transfer]]: Eine Parabel beschreibt die Höhe eines Balls. Erkläre, welche Bedeutung ihre positiven Nullstellen in diesem Modell haben können.
# [[Methodenwahl]]: Entscheide bei <math>x^2-9=0</math>, ob die Mitternachtsformel oder Wurzelziehen günstiger ist, und begründe Deine Wahl.
# [[Parameteraufgabe]]: Verändere den Wert <math>c</math> in <math>x^2-4x+c=0</math> und untersuche, wann die Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =
Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du
# eine [[quadratische Gleichung]] in die [[Normalform]] bringen kannst,
# die [[Koeffizient|Koeffizienten]] richtig abliest,
# die [[Diskriminante]] fehlerfrei berechnest,
# die [[Mitternachtsformel]] sicher anwendest,
# die Zahl der Lösungen begründest,
# eine [[Probe]] durch Einsetzen durchführen kannst,
# den Zusammenhang zwischen Lösungen und [[Nullstelle|Nullstellen]] erklärst.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernbereiche =
# [[Mathematik]]: [[Algebra]], [[Gleichungen]] und [[quadratische Funktionen]].
# [[Sekundarstufe I]]: Sicheres Anwenden der Lösungsformel und Deuten der Diskriminante.
# [[Sekundarstufe II]]: Herleitung, Parameteraufgaben und Vergleich verschiedener Lösungsverfahren.
# [[Digitale Bildung]]: Lernvideo auswerten und eigene Erklärmedien erstellen.

{{BR}}
= OERs zum Thema =
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung </iframe>
# [https://www.planet-schule.de/schwerpunkt/analysis/017-loesungsformel-quadratische-gleichung-analysis-kolleg24-mathematik-100.html Planet Schule: Lösungsformel für quadratische Gleichungen]
# [https://www.planet-schule.de/schwerpunkt/analysis/017-uebung-loesungsformel-quadratische-gleichung-analysis-aufgaben-kolleg24-mathematik-100.html Planet Schule: Übungen zur Lösungsformel]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Quadratic_formula.svg Wikimedia Commons: Quadratic formula]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Quadratic_eq_discriminant.svg Wikimedia Commons: Diskriminante und Parabeln]

<br>

{{BR}}
= Links =
{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel)]]'''
# [[Quadratische Gleichung]]
# [[Mitternachtsformel]]
# [[Diskriminante]]
# [[Koeffizient]]
# [[Nullstelle]]
# [[Parabel]]
# [[Quadratische Ergänzung]]
# [[pq-Formel]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Gleichungen]]
[[Kategorie:Quadratische Funktionen]]
[[Kategorie:Klasse 8]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]
[[Kategorie:Klasse 8-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) - Versionsgeschichte

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