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2026-07-28T19:07:37Z

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{{T}}

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= Längenkontraktion - Physik =

{{BR}}
= Einleitung =

Die '''Längenkontraktion''' ist ein Effekt der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]]. Sie bedeutet: Ein Körper, der sich relativ zu Dir bewegt, wird in '''Bewegungsrichtung''' kürzer gemessen als in seinem eigenen Ruhesystem. Seine Länge im Ruhesystem heißt '''Eigenlänge''' oder '''Ruhelänge'''.

Dabei wird der Körper in seinem eigenen Bezugssystem nicht zusammengedrückt. Die verkürzte Länge entsteht durch die Art, wie Raum, Zeit und [[Gleichzeitigkeit]] in verschiedenen [[Bezugssystem|Bezugssystemen]] zusammenhängen.

[[Datei:Lorentz contraction diagram.png|500px|rahmenlos|center]]

''Die Grafik veranschaulicht die verkürzte Länge eines bewegten Stabes.''

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=GWcabboLnAw |500|center}}

{{BR}}
== Lernziele ==

# [[Eigenlänge]]: Du kannst erklären, was die Eigenlänge eines Körpers ist.
# [[Lorentz-Faktor]]: Du kannst den Lorentz-Faktor bestimmen und deuten.
# [[Längenkontraktion]]: Du kannst kontrahierte Längen berechnen.
# [[Gleichzeitigkeit]]: Du kannst begründen, warum die Endpunkte gleichzeitig gemessen werden müssen.
# [[Spezielle Relativitätstheorie]]: Du kannst die Längenkontraktion in größere Zusammenhänge einordnen.

{{BR}}
= Physikalische Grundlagen =

{{BR}}
== Bezugssysteme und Eigenlänge ==

Eine Länge ist in der Relativitätstheorie nicht unabhängig vom Beobachter. Entscheidend ist das verwendete [[Inertialsystem]].

Die '''Eigenlänge''' <math>L_0</math> wird in dem Bezugssystem gemessen, in dem der Körper ruht. Sie ist die größte Länge, die für diesen Körper in einem Inertialsystem gemessen wird.

Die Länge <math>L</math> wird von einem Beobachter bestimmt, relativ zu dem sich der Körper mit der Geschwindigkeit <math>v</math> bewegt. In Bewegungsrichtung gilt dann:

<math>L < L_0</math>

[[Datei:Length Contraction Simultaneity.svg|500px|rahmenlos|center]]

''Die Länge hängt davon ab, welche Ereignisse im jeweiligen Bezugssystem als gleichzeitig gelten.''

{{BR}}
== Warum Gleichzeitigkeit entscheidend ist ==

Um die Länge eines bewegten Zuges zu bestimmen, musst Du die Position seiner Spitze und seines Endes '''zum selben Zeitpunkt''' in Deinem Bezugssystem messen.

In einem anderen bewegten Bezugssystem können dieselben beiden Messereignisse jedoch nicht gleichzeitig sein. Diese [[Relativität der Gleichzeitigkeit]] ist der Schlüssel zum Verständnis der Längenkontraktion.

[[Datei:Animated Spacetime Diagram - Length Contraction.gif|500px|rahmenlos|center]]

''Das animierte Raumzeitdiagramm zeigt, wie unterschiedliche Gleichzeitigkeitslinien zu unterschiedlichen Längen führen.''

{{BR}}
== Die Formel der Längenkontraktion ==

Für eine Bewegung entlang der gemessenen Länge gilt:

<math>L=\frac{L_0}{\gamma}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}</math>

Der [[Lorentz-Faktor]] lautet:

<math>\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>

{| class="wikitable"
! Größe
! Bedeutung
! Einheit
|-
| <math>L</math>
| gemessene Länge des bewegten Körpers
| Meter
|-
| <math>L_0</math>
| Eigenlänge im Ruhesystem
| Meter
|-
| <math>v</math>
| Relativgeschwindigkeit
| Meter pro Sekunde
|-
| <math>c</math>
| Lichtgeschwindigkeit mit ungefähr <math>3{,}00\cdot10^8\,\mathrm{m/s}</math>
| Meter pro Sekunde
|-
| <math>\gamma</math>
| Lorentz-Faktor
| ohne Einheit
|}

Je näher <math>v</math> an die Lichtgeschwindigkeit herankommt, desto kleiner wird <math>L</math>. Für Alltagsgeschwindigkeiten ist der Effekt verschwindend gering.

[[Datei:Length Contraction.jpg|500px|rahmenlos|center]]

''Der Graph zeigt, wie die gemessene Länge bei wachsender Geschwindigkeit abnimmt.''

{{BR}}
== Rechenbeispiel ==

Ein Raumschiff besitzt die Eigenlänge

<math>L_0=100\,\mathrm{m}</math>

und bewegt sich mit

<math>v=0{,}8c</math>.

Dann gilt:

<math>L=100\,\mathrm{m}\cdot\sqrt{1-0{,}8^2}</math>

<math>L=100\,\mathrm{m}\cdot0{,}6=60\,\mathrm{m}</math>

Vom ruhenden Bezugssystem aus wird das Raumschiff in Bewegungsrichtung nur mit '''60 Metern''' Länge gemessen. Im Raumschiff selbst bleibt seine Länge 100 Meter.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=UHC1iHXp5mA |500|center}}

{{BR}}
== Kurze Herleitung mit der Lorentz-Transformation ==

Ein Stab ruht im System <math>S'</math>. Dort ist seine Länge:

<math>L_0=\Delta x'</math>

Die [[Lorentz-Transformation]] für Ortsabstände lautet:

<math>\Delta x'=\gamma\left(\Delta x-v\Delta t\right)</math>

Im System <math>S</math> müssen beide Endpunkte gleichzeitig gemessen werden. Deshalb gilt:

<math>\Delta t=0</math>

Damit folgt:

<math>L_0=\gamma L</math>

und daher:

<math>L=\frac{L_0}{\gamma}</math>

[[Datei:Minkowski diagram - length contraction.png|500px|rahmenlos|center]]

''Ein [[Minkowski-Diagramm]] stellt Raum, Zeit, Weltlinien und Gleichzeitigkeit gemeinsam dar.''

{{BR}}
== Nur in Bewegungsrichtung ==

Die Längenkontraktion wirkt ausschließlich '''parallel zur Relativbewegung'''. Die Höhe und Breite eines längs fahrenden Zuges bleiben unverändert.

Bewegt sich ein Stab in x-Richtung, wird nur seine Länge in x-Richtung kontrahiert. Abmessungen senkrecht dazu werden nicht verkürzt.

[[Datei:Spacetime Diagrams Illustrating Time Dilation and Length Contraction.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Gegenseitigkeit ohne Widerspruch ==

Beobachter A misst den bewegten Maßstab von B verkürzt. Beobachter B misst ebenso den bewegten Maßstab von A verkürzt.

Das ist kein Widerspruch. Beide verwenden unterschiedliche Gleichzeitigkeitsdefinitionen. Keine der beiden Beschreibungen ist grundsätzlich bevorzugt, solange sich beide Systeme gleichförmig bewegen.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=AJ3xoLRH7Ns |500|center}}

{{BR}}
= Anwendungen und Deutungen =

{{BR}}
== Myonen in der Atmosphäre ==

[[Myon|Myonen]] entstehen durch kosmische Strahlung in großer Höhe. Im Bezugssystem der Erde erklärt die [[Zeitdilatation]], warum viele Myonen die Erdoberfläche erreichen.

Im Ruhesystem der Myonen vergeht ihre Eigenzeit normal. Dafür erscheint ihnen die Atmosphäre in Bewegungsrichtung längenkontrahiert. Beide Sichtweisen beschreiben dasselbe physikalische Geschehen.

[[Datei:MuonMink.svg|500px|rahmenlos|center]]

''Das Raumzeitdiagramm verbindet die Sicht der Erde mit der Sicht eines schnellen Myons.''

{{BR}}
== Das Garagenparadoxon ==

Beim [[Garagenparadoxon]] fährt ein sehr schneller Stab auf eine Garage zu, die in ihrem Ruhesystem kürzer als der Stab ist. Aus Sicht der Garage ist der Stab kontrahiert und kann für einen Moment vollständig hineinpassen.

Im Ruhesystem des Stabes ist dagegen die Garage kontrahiert. Der scheinbare Widerspruch löst sich auf, weil das gleichzeitige Schließen beider Garagentore in einem System im anderen System nicht gleichzeitig erfolgt.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=CdSjy7PFnB0 |500|center}}

{{BR}}
== Messen ist nicht dasselbe wie Fotografieren ==

Die Längenkontraktion beschreibt eine Messung gleichzeitig bestimmter Endpunkte. Ein Foto sammelt dagegen Licht, das von verschiedenen Punkten zu unterschiedlichen Zeiten ausgesendet wurde.

Darum sieht ein sehr schneller Körper auf einem Foto nicht einfach nur gestaucht aus. Lichtlaufzeiten und die sogenannte [[Terrell-Rotation]] verändern den optischen Eindruck.

{{BR}}
= Historischer Hintergrund =

[[George Francis FitzGerald]] und [[Hendrik Antoon Lorentz]] entwickelten im späten 19. Jahrhundert eine Kontraktionshypothese, um das Ergebnis des [[Michelson-Morley-Experiment|Michelson-Morley-Experiments]] zu erklären.

[[Albert Einstein]] leitete die Längenkontraktion 1905 aus der speziellen Relativitätstheorie ab. Seitdem wird sie nicht mehr als Bewegung relativ zu einem Äther gedeutet, sondern als Folge der Struktur von Raum und Zeit.

[[Datei:MichelsonMorleyAnimationDE.gif|500px|rahmenlos|center]]

''Die Animation veranschaulicht die erwarteten Lichtlaufzeiten beim Michelson-Morley-Experiment.''

[[Datei:Einstein en Lorentz.jpg|500px|rahmenlos|center]]

''Albert Einstein und Hendrik Antoon Lorentz im Jahr 1921.''

{{BR}}
= Zusammenfassung =

# [[Eigenlänge]]: Die Eigenlänge <math>L_0</math> wird im Ruhesystem des Körpers gemessen.
# [[Längenkontraktion]]: Ein bewegter Körper wird parallel zur Bewegungsrichtung kürzer gemessen.
# [[Lorentz-Faktor]]: Die Stärke des Effekts hängt von <math>\gamma</math> und damit von der Relativgeschwindigkeit ab.
# [[Gleichzeitigkeit]]: Beide Endpunkte müssen im messenden Bezugssystem gleichzeitig bestimmt werden.
# [[Relativitätstheorie]]: Die Längenkontraktion ist eng mit Zeitdilatation und relativer Gleichzeitigkeit verbunden.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist die Eigenlänge eines Körpers?'''
(Die Länge im Ruhesystem des Körpers)
(!Die kleinste mögliche Länge des Körpers)
(!Die Länge senkrecht zur Bewegung)
(!Die auf einem Foto sichtbare Länge)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt die Längenkontraktion?'''
(L gleich L null durch gamma)
(!L gleich L null mal gamma)
(!L gleich Lichtgeschwindigkeit durch Zeit)
(!L gleich Masse mal Geschwindigkeit)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''In welcher Richtung tritt die Längenkontraktion auf?'''
(In Richtung der Relativbewegung)
(!Senkrecht zur Relativbewegung)
(!In allen Richtungen gleich stark)
(!Nur in vertikaler Richtung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss bei einer Längenmessung eines bewegten Körpers gleichzeitig bestimmt werden?'''
(Die Positionen beider Endpunkte)
(!Die Massen beider Endpunkte)
(!Die Temperaturen beider Endpunkte)
(!Die Beschleunigungen beider Endpunkte)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lang wird ein Körper mit 100 Metern Eigenlänge bei 0,8 Lichtgeschwindigkeit gemessen?'''
(60 Meter)
(!80 Meter)
(!100 Meter)
(!166 Meter)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist die Längenkontraktion im Alltag meist vernachlässigbar?'''
(Bei Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit)
(!Bei jeder Bewegung im Vakuum)
(!Nur bei fallenden Körpern)
(!Nur bei beschleunigten Körpern)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht mit dem Lorentz-Faktor bei wachsender Geschwindigkeit?'''
(Er wird größer)
(!Er wird immer kleiner)
(!Er bleibt stets null)
(!Er wechselt sein Vorzeichen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum können zwei Beobachter gegenseitig den Maßstab des anderen verkürzt messen?'''
(Weil Gleichzeitigkeit vom Bezugssystem abhängt)
(!Weil einer der Maßstäbe wirklich zerbricht)
(!Weil Licht unterschiedlich schnell ist)
(!Weil nur ein Beobachter Uhren besitzt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum zeigt ein Foto nicht einfach die reine Längenkontraktion?'''
(Weil Licht von verschiedenen Punkten unterschiedlich lange unterwegs ist)
(!Weil Kameras keine schnellen Körper aufnehmen können)
(!Weil bewegte Körper unsichtbar werden)
(!Weil die Lichtgeschwindigkeit null wird)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Beschreibung passt im Ruhesystem schneller Myonen?'''
(Die bewegte Atmosphäre ist längenkontrahiert)
(!Die Erde besitzt keine Atmosphäre)
(!Die Myonen bewegen sich schneller als Licht)
(!Die Lichtgeschwindigkeit wird kleiner)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Eigenlänge || Länge im Ruhesystem
|-
| Lorentz-Faktor || Maß für relativistische Effekte
|-
| Gleichzeitigkeit || abhängig vom Bezugssystem
|-
| Bewegungsrichtung || Richtung der Kontraktion
|-
| Minkowski-Diagramm || Darstellung von Raum und Zeit
|-
| Myon || kurzlebiges Elementarteilchen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Eigenlänge'''
| Ruhesystem des Körpers
|-
| '''Kontrahierte Länge'''
| bewegtes Bezugssystem
|-
| '''Lorentz-Faktor'''
| Stärke des relativistischen Effekts
|-
| '''Gleichzeitigkeit'''
| gleichzeitige Endpunktmessung
|-
| '''Bewegungsrichtung'''
| Richtung der Verkürzung

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Eigenlänge || Wie heißt die Länge eines Körpers in seinem Ruhesystem?
|-
| Lorentzfaktor || Welche Größe beschreibt die Stärke relativistischer Effekte?
|-
| Gleichzeitigkeit || Welches Konzept ist für die Messung beider Endpunkte entscheidend?
|-
| Bewegungsrichtung || In welcher Richtung tritt die Kontraktion auf?
|-
| Bezugssystem || Wovon hängt eine gemessene Länge in der Relativitätstheorie ab?
|-
| Lichtgeschwindigkeit || Welche Naturkonstante bildet die obere Geschwindigkeitsgrenze?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Längenkontraktion+Physik </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Länge eines Körpers in seinem Ruhesystem heißt { Eigenlänge }. Ein bewegter Körper wird parallel zu seiner Bewegung { kürzer } gemessen. Die Stärke des Effekts wird mit dem { Lorentz-Faktor } beschrieben. Für die Messung müssen die Positionen beider Endpunkte { gleichzeitig } bestimmt werden. Die Kontraktion wirkt nur in { Bewegungsrichtung }. Bei kleinen Geschwindigkeiten ist der Effekt meist { vernachlässigbar }. Die Längenkontraktion gehört zur speziellen { Relativitätstheorie }. Ein Raumzeitdiagramm wird auch { Minkowski-Diagramm } genannt. Im Ruhesystem schneller Myonen erscheint die Atmosphäre { kontrahiert }. Ein Foto zeigt wegen unterschiedlicher Lichtlaufzeiten nicht nur die reine { Längenkontraktion }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Begriffskarte]]: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Eigenlänge, kontrahierte Länge, Lorentz-Faktor und Bezugssystem.
# [[Skizze]]: Zeichne einen ruhenden und einen bewegten Zug und markiere die Richtung der Längenkontraktion.
# [[Rechenweg]]: Berechne die Länge eines 20 Meter langen Raumschiffs bei einer Geschwindigkeit von <math>0{,}6c</math>.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein einminütiges Video, in dem Du die Längenkontraktion ohne Formel erklärst.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Wertetabelle]]: Berechne den Quotienten <math>L/L_0</math> für mehrere Geschwindigkeiten zwischen <math>0</math> und <math>0{,}99c</math>.
# [[Diagramm]]: Zeichne den Verlauf von <math>L/L_0</math> in Abhängigkeit von <math>v/c</math>.
# [[Gedankenexperiment]]: Entwickle ein eigenes Beispiel mit einem schnellen Zug und zwei synchronisierten Uhren.
# [[Medienanalyse]]: Vergleiche eine Animation mit einem Minkowski-Diagramm und beschreibe, was jeweils gut sichtbar wird.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Lorentz-Transformation]]: Leite die Kontraktionsformel aus der Lorentz-Transformation für <math>\Delta t=0</math> her.
# [[Garagenparadoxon]]: Erkläre das Paradoxon aus beiden Bezugssystemen und berücksichtige die Relativität der Gleichzeitigkeit.
# [[Myonenexperiment]]: Vergleiche die Erklärung durch Zeitdilatation im Erdsystem mit der Erklärung durch Längenkontraktion im Myonensystem.
# [[Fotografie]]: Recherchiere die Terrell-Rotation und erkläre den Unterschied zwischen Messung und optischem Eindruck.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Bezugssystemvergleich]]: Ein Zug und ein Bahnsteig bewegen sich relativ zueinander. Erkläre, warum beide Beobachter den Maßstab des jeweils anderen verkürzt messen können.
# [[Messvorschrift]]: Entwickle ein Verfahren, mit dem die Länge eines schnellen Zuges vom Bahnsteig aus bestimmt werden kann.
# [[Fehleranalyse]]: Beurteile die Aussage „Der Zug wird durch den Fahrtwind relativistisch zusammengedrückt“ und korrigiere sie.
# [[Transferaufgabe]]: Ein 20 Meter langes Raumschiff wird bei <math>0{,}95c</math> mit ungefähr 6,25 Metern gemessen. Erläutere, warum die Besatzung trotzdem 20 Meter misst.
# [[Modellvergleich]]: Zeige am Myonenbeispiel, wie Zeitdilatation und Längenkontraktion dieselbe Situation aus verschiedenen Bezugssystemen beschreiben.
# [[Paradoxie]]: Erkläre, weshalb die Auflösung des Garagenparadoxons ohne die Relativität der Gleichzeitigkeit unvollständig bleibt.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# die Eigenlänge von einer kontrahierten Länge unterscheiden kannst,
# die Größen der Kontraktionsformel sicher zuordnest,
# einfache Berechnungen mit dem Lorentz-Faktor durchführst,
# die Bedeutung gleichzeitiger Endpunktmessungen erklärst,
# zwischen Messung und fotografischem Eindruck unterscheidest,
# ein Gedankenexperiment aus zwei Bezugssystemen analysierst,
# Längenkontraktion und Zeitdilatation miteinander verknüpfst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lorentz-Kontraktion </iframe>

<br>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Längenkontraktion]]'''
# [[Spezielle Relativitätstheorie]]
# [[Eigenlänge]]
# [[Lorentz-Faktor]]
# [[Lorentz-Transformation]]
# [[Zeitdilatation]]
# [[Relativität der Gleichzeitigkeit]]
# [[Minkowski-Diagramm]]
# [[Michelson-Morley-Experiment]]
# [[Myon]]
# [[Garagenparadoxon]]
|}

[[Kategorie:Physik]]
[[Kategorie:Spezielle Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Sekundarstufe II]]
[[Kategorie:Klasse 10-13]]
[[Kategorie:Längenkontraktion]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Längenkontraktion - Physik - Versionsgeschichte

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