Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:27:57Z

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{{T}}

{{BR}}
= Kosinussatz - Dreiecke berechnen =

{{BR}}
= Einleitung =

Mit dem '''[[Kosinussatz]]''' kannst Du unbekannte Seiten und Winkel in einem [[Dreieck]] berechnen. Er gilt für '''jedes Dreieck'''. Du brauchst ihn besonders bei den Fällen [[Kongruenzsatz|SWS]] und [[Kongruenzsatz|SSS]].

[[Datei:Triangle-with-an-unknown-angle-or-side.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Bezeichnungen im Dreieck ==

Die Seite <math>a</math> liegt dem Winkel <math>\alpha</math> gegenüber. Entsprechend liegt <math>b</math> gegenüber von <math>\beta</math> und <math>c</math> gegenüber von <math>\gamma</math>.

[[Datei:Diagram for (cos A) cosine rule.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Die drei Formeln ==

<math>a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha)</math>

<math>b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)</math>

<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)</math>

'''Merke:''' In jeder Formel gehören der Winkel und die allein stehende Seite zusammen.

{{BR}}
== Wann brauchst Du den Kosinussatz? ==

# '''[[Kongruenzsatz|SWS]]''': Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind bekannt. Du berechnest die dritte Seite.
# '''[[Kongruenzsatz|SSS]]''': Alle drei Seiten sind bekannt. Du berechnest einen Winkel.

{{BR}}
== Beispiel: Eine Seite berechnen ==

Gegeben sind <math>a=7\,\text{cm}</math>, <math>b=5\,\text{cm}</math> und <math>\gamma=60^\circ</math>.

<math>c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)}</math>

<math>c=\sqrt{7^2+5^2-2\cdot7\cdot5\cdot\cos(60^\circ)}</math>

<math>c=\sqrt{39}\approx6{,}2\,\text{cm}</math>

[[Datei:Triangle with trigonometric proof of the law of cosines.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Beispiel: Einen Winkel berechnen ==

Gegeben sind <math>a=5\,\text{cm}</math>, <math>b=6\,\text{cm}</math> und <math>c=7\,\text{cm}</math>.

<math>\cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>

<math>\gamma=\arccos\left(\frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot5\cdot6}\right)\approx78{,}5^\circ</math>

Stelle Deinen Taschenrechner auf '''Grad''' oder '''DEG'''.

{{BR}}
== Verbindung zum Satz des Pythagoras ==

Ist <math>\gamma=90^\circ</math>, dann gilt <math>\cos(90^\circ)=0</math>. Aus dem Kosinussatz wird:

<math>c^2=a^2+b^2</math>

Der [[Satz des Pythagoras]] ist also ein Sonderfall des Kosinussatzes.

[[Datei:Cosinussatz.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Video =

Das Video erklärt, wann Du den Kosinussatz brauchst und wie Du Seiten und Winkel berechnest.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=0iQdBGaKOM4 |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Videoanalyse]]: Notiere die drei Formen des Kosinussatzes aus dem Video.
# [[SWS-Fall]]: Erkläre in einem Satz, woran Du den SWS-Fall erkennst.
# [[SSS-Fall]]: Beschreibe, wie aus einem Kosinuswert ein Winkel wird.
# [[Rechenweg]]: Pausiere bei einem Beispiel und rechne jeden Schritt selbst nach.
# [[Fehlerkontrolle]]: Prüfe, ob der berechnete Winkel kleiner als <math>180^\circ</math> und die Seitenlänge positiv ist.
# [[Zusammenfassung]]: Erkläre den Kosinussatz nach dem Video in höchstens drei Sätzen.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Formel berechnet die Seite c?'''
(c² = a² + b² − 2ab cos γ)
(!c² = a² + b² + 2ab cos γ)
(!c² = a² − b² − 2ab cos γ)
(!c² = a + b − 2ab cos γ)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Für welche Dreiecke gilt der Kosinussatz?'''
(Für alle Dreiecke)
(!Nur für rechtwinklige Dreiecke)
(!Nur für gleichseitige Dreiecke)
(!Nur für spitzwinklige Dreiecke)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was kannst Du im SWS-Fall direkt berechnen?'''
(Die dritte Seite)
(!Nur den Flächeninhalt)
(!Nur die Höhe)
(!Nur den Umfang)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was kannst Du im SSS-Fall direkt berechnen?'''
(Einen Winkel)
(!Eine unbekannte Seite)
(!Nur die Höhe)
(!Nur den Schwerpunkt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Taschenrechnerfunktion liefert aus einem Kosinuswert den Winkel?'''
(Arkuskosinus)
(!Quadratwurzel)
(!Logarithmus)
(!Tangens)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Einstellung braucht der Taschenrechner bei Winkelangaben in Grad?'''
(Gradmodus)
(!Bogenmaßmodus)
(!Statistikmodus)
(!Bruchmodus)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Seite gehört zum Winkel gamma?'''
(Die Seite c)
(!Die Seite a)
(!Die Seite b)
(!Die längste Seite in jedem Dreieck)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was entsteht bei gamma gleich 90 Grad aus dem Kosinussatz?'''
(Der Satz des Pythagoras)
(!Der Sinussatz)
(!Die Winkelsumme)
(!Die binomische Formel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lang ist c bei a gleich 3, b gleich 4 und gamma gleich 90 Grad?'''
(5)
(!6)
(!7)
(!12)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht beim Berechnen einer Seite zuletzt?'''
(Die Quadratwurzel wird gezogen)
(!Der Winkel wird verdoppelt)
(!Die Seiten werden addiert)
(!Der Kosinus wird weggelassen)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Kosinussatz || Beziehung zwischen Seiten und Winkeln
|-
| SWS-Fall || dritte Seite bestimmen
|-
| SSS-Fall || unbekannten Winkel bestimmen
|-
| Arkuskosinus || Kosinuswert zurück in einen Winkel
|-
| Gradmodus || Einstellung für Winkel in Grad
|-
| Pythagoras || Sonderfall bei einem rechten Winkel
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''SWS-Fall'''
| dritte Seite suchen
|-
| '''SSS-Fall'''
| Winkel suchen
|-
| '''Eingeschlossener Winkel'''
| liegt zwischen den gegebenen Seiten
|-
| '''Arkuskosinus'''
| Kosinuswert in einen Winkel umwandeln
|-
| '''Gradmodus'''
| Winkel in Grad berechnen

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Kosinus || Welche Winkelfunktion steht im Kosinussatz?
|-
| Dreieck || Für welche geometrische Figur wird der Satz verwendet?
|-
| Arkuskosinus || Welche Umkehrfunktion berechnet einen Winkel?
|-
| Seitenlaenge || Welche Größe kann im SWS-Fall berechnet werden?
|-
| Winkelsumme || Welche Größe beträgt im ebenen Dreieck insgesamt 180 Grad?
|-
| Pythagoras || Welcher Satz ist ein Sonderfall des Kosinussatzes?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Kosinussatz+Dreiecke+berechnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Der Kosinussatz gilt in jedem { Dreieck }. Die Seite c liegt dem Winkel { gamma } gegenüber. Beim SWS-Fall wird eine unbekannte { Seite } berechnet. Beim SSS-Fall wird ein unbekannter { Winkel } berechnet. Zum Berechnen eines Winkels brauchst Du den { Arkuskosinus }. Der Taschenrechner muss bei Gradangaben im { Gradmodus } stehen. Bei einem rechten Winkel wird der Kosinussatz zum Satz des { Pythagoras }. Nach dem Berechnen einer quadrierten Seitenlänge ziehst Du die { Quadratwurzel }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Formelkarte]]: Gestalte eine Karte mit den drei Formen des Kosinussatzes.
# [[Dreieck beschriften]]: Zeichne ein Dreieck und beschrifte Seiten und Winkel richtig.
# [[Video-Notizen]]: Schreibe fünf wichtige Begriffe aus dem Video auf.
# [[Pythagoras-Vergleich]]: Markiere, welcher Teil des Kosinussatzes bei einem rechten Winkel verschwindet.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Rechenbeispiel]]: Berechne eine fehlende Seite bei zwei selbst gewählten Seiten und einem eingeschlossenen Winkel.
# [[Winkelberechnung]]: Wähle drei passende Seitenlängen und berechne einen Winkel.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde einen typischen Fehler beim Einsetzen und verbessere ihn.
# [[Erklärplakat]]: Gestalte ein Plakat zum Unterschied zwischen SWS und SSS.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Sachaufgabe]]: Erfinde eine Aufgabe aus Vermessung, Navigation oder Technik und löse sie.
# [[Begründung]]: Erkläre rechnerisch, warum der Satz des Pythagoras ein Sonderfall ist.
# [[Dreiecksprüfung]]: Untersuche, wie sich die Seite c verändert, wenn der Winkel gamma größer wird.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video mit einer vollständigen Winkelberechnung.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Methodenwahl]]: Entscheide bei drei verschiedenen Dreiecken, ob Du den Kosinussatz, den Sinussatz oder den Satz des Pythagoras verwendest. Begründe jede Wahl.
# [[Fehlerdiagnose]]: Eine Person ordnet dem Winkel gamma die Seite b zu. Erkläre die Folgen für die Rechnung und korrigiere den Ansatz.
# [[Parameteränderung]]: Zwei Seiten bleiben gleich. Beschreibe, wie sich die dritte Seite verändert, wenn der eingeschlossene Winkel wächst.
# [[Modellierung]]: Plane eine indirekte Entfernungsmessung auf dem Schulhof. Lege fest, welche Längen und Winkel gemessen werden müssen.
# [[Plausibilitätsprüfung]]: Entwickle mindestens drei Regeln, mit denen Du ein Ergebnis zu einer Dreiecksberechnung prüfen kannst.
# [[Transfer]]: Erkläre, warum der Kosinussatz auch bei stumpfwinkligen Dreiecken funktioniert, der Satz des Pythagoras allein aber nicht genügt.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

# die Seiten und Winkel eines Dreiecks richtig zuordnen,
# den SWS-Fall und den SSS-Fall unterscheiden,
# eine fehlende Seite vollständig berechnen,
# einen fehlenden Winkel mit dem Arkuskosinus bestimmen,
# den Taschenrechner richtig einstellen,
# Ergebnisse auf Plausibilität prüfen,
# den Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras erklären.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz </iframe>

{{BR}}
= Mediennachweise =

# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangle-with-an-unknown-angle-or-side.svg Dreieck mit unbekannter Seite oder unbekanntem Winkel]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diagram_for_(cos_A)_cosine_rule.svg Diagramm zum Kosinussatz]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangle_with_trigonometric_proof_of_the_law_of_cosines.svg Trigonometrische Darstellung]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cosinussatz.svg Grafik zum Beweis]
# [https://www.youtube.com/watch?v=0iQdBGaKOM4 Lernvideo zum Kosinussatz]

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Kosinussatz - Dreiecke berechnen]]'''
# [[Kosinussatz]]
# [[Dreieck]]
# [[Trigonometrie]]
# [[Kongruenzsatz]]
# [[Arkuskosinus]]
# [[Sinussatz]]
# [[Satz des Pythagoras]]
# [[Winkelsumme]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 9-12]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Kosinussatz - Dreiecke berechnen - Versionsgeschichte

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