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2026-06-13T18:57:59Z

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{{BR}}
= Einleitung =

'''Kongruenzsätze für Dreiecke''' helfen Dir, in der [[Geometrie]] zu entscheiden, ob zwei [[Dreieck|Dreiecke]] wirklich deckungsgleich sind. Zwei Dreiecke sind '''kongruent''', wenn sie in [[Form]] und [[Größe]] übereinstimmen. Man kann das eine Dreieck durch eine [[Verschiebung]], [[Drehung]] oder [[Spiegelung]] so auf das andere legen, dass alle [[Eckpunkt|Eckpunkte]], [[Seite|Seiten]] und [[Winkel]] übereinanderliegen. In der mathematischen Schreibweise verwendet man dafür das Kongruenzzeichen:

<math>\triangle ABC \cong \triangle DEF</math>

Diese Schreibweise bedeutet nicht nur: „Die beiden Dreiecke sind kongruent.“ Sie legt auch eine Reihenfolge fest: <math>A</math> entspricht <math>D</math>, <math>B</math> entspricht <math>E</math> und <math>C</math> entspricht <math>F</math>. Deshalb gehören die Seiten <math>AB</math> und <math>DE</math>, <math>BC</math> und <math>EF</math> sowie <math>CA</math> und <math>FD</math> zusammen.

Die '''Kongruenzsätze''' sind besonders wichtig, weil Du nicht immer alle sechs Größen eines Dreiecks vergleichen musst. Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Innenwinkel. Die Kongruenzsätze sagen Dir, welche wenigen Angaben ausreichen, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen. Für die [[Klasse 7-8]] sind vor allem die Sätze '''SSS''', '''SWS''', '''WSW''', '''SWW''' und '''SSW mit Bedingung''' wichtig.

[[Datei:Congruence of triangles SSS.png|500px|rahmenlos|zentriert]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=aBldW_w-KAg |500|center}}

{{BR}}
= Grundbegriffe =

{{BR}}
== Kongruenz und Deckungsgleichheit ==

In der [[Geometrie]] bedeutet '''kongruent''': Zwei Figuren haben dieselbe Form und dieselbe Größe. Ihre Lage darf unterschiedlich sein. Ein Dreieck darf also verschoben, gedreht oder gespiegelt sein und bleibt trotzdem kongruent, wenn alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich sind.

Für zwei Dreiecke <math>\triangle ABC</math> und <math>\triangle DEF</math> gilt bei passender Zuordnung:

<math>\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow AB=DE,\ BC=EF,\ CA=FD</math>

und

<math>\angle A=\angle D,\ \angle B=\angle E,\ \angle C=\angle F</math>

Die Reihenfolge der Buchstaben ist wichtig. Wenn Du <math>\triangle ABC \cong \triangle DEF</math> schreibst, dann darfst Du nicht beliebig Seiten vergleichen. Du musst die entsprechenden Eckpunkte beachten.

{{BR}}
== Seiten und Winkel im Dreieck ==

Ein Dreieck besitzt drei [[Seite|Seiten]] und drei [[Innenwinkel]]. Häufig werden die Eckpunkte mit <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> bezeichnet. Die Seite gegenüber von <math>A</math> heißt oft <math>a</math>, die Seite gegenüber von <math>B</math> heißt <math>b</math>, die Seite gegenüber von <math>C</math> heißt <math>c</math>. Die Winkel heißen häufig <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math>.

Für jedes Dreieck gilt:

<math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>

Diese [[Innenwinkelsumme]] ist besonders wichtig für die Kongruenzsätze '''WSW''' und '''SWW'''. Wenn zwei Winkel bekannt sind, ist der dritte Winkel automatisch festgelegt.

{{BR}}
== Was bedeutet ein Kongruenzsatz? ==

Ein '''Kongruenzsatz''' ist ein Kriterium. Er sagt Dir: Wenn bestimmte Seiten und Winkel zweier Dreiecke übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent. Du musst dann nicht mehr alles nachmessen. Ein Kongruenzsatz ist also eine sichere Abkürzung beim [[Beweisen]], [[Konstruieren]] und [[Argumentieren]].

Die Buchstaben in den Abkürzungen bedeuten:

{| class="wikitable"
! Abkürzung
! Bedeutung
! Erklärung
|-
| '''S'''
| '''Seite'''
| Eine Seitenlänge ist bekannt oder stimmt mit der entsprechenden Seitenlänge überein.
|-
| '''W'''
| '''Winkel'''
| Eine Winkelgröße ist bekannt oder stimmt mit dem entsprechenden Winkel überein.
|}

{{BR}}
= Überblick über die Kongruenzsätze =

Die wichtigsten Kongruenzsätze für Dreiecke sind:

{| class="wikitable"
! Kongruenzsatz
! Gesuchte Übereinstimmung
! Merksatz
|-
| '''SSS'''
| Drei Seiten stimmen überein.
| Drei Seiten legen ein Dreieck eindeutig fest.
|-
| '''SWS'''
| Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.
| Der Winkel muss zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen.
|-
| '''WSW'''
| Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel stimmen überein.
| Eine Seite mit ihren beiden Randwinkeln legt das Dreieck fest.
|-
| '''SWW'''
| Eine Seite, ein anliegender Winkel und der gegenüberliegende Winkel stimmen überein.
| Der dritte Winkel ergibt sich durch die Innenwinkelsumme.
|-
| '''SSW'''
| Zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite stimmen überein.
| Nur mit der Zusatzbedingung zur längeren Seite ist der Satz eindeutig.
|}

{{BR}}
= Der Kongruenzsatz SSS =

{{BR}}
== Bedeutung von SSS ==

Der Kongruenzsatz '''SSS''' bedeutet: Stimmen zwei Dreiecke in allen drei Seitenlängen überein, dann sind sie kongruent.

Für zwei Dreiecke kann man schreiben:

<math>AB=DE,\ BC=EF,\ CA=FD \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF</math>

Der Grund ist anschaulich: Wenn Du eine Seite zeichnest und die beiden anderen Seitenlängen mit dem [[Zirkel]] abträgst, können die möglichen Eckpunkte nur an den Schnittpunkten zweier Kreise liegen. Die zwei entstehenden Möglichkeiten sind Spiegelbilder und daher kongruent.

{{BR}}
== Konstruktion mit SSS ==

So konstruierst Du ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten:

# [[Grundseite]]: Zeichne zuerst eine der drei Seiten als Strecke.
# [[Zirkel]]: Zeichne um den einen Endpunkt einen Kreis mit der Länge der zweiten Seite.
# [[Schnittpunkt]]: Zeichne um den anderen Endpunkt einen Kreis mit der Länge der dritten Seite.
# [[Dreieck]]: Verbinde den Schnittpunkt der Kreise mit den beiden Endpunkten der Grundseite.
# [[Kontrolle]]: Prüfe, ob die drei Seitenlängen wirklich zu den Vorgaben passen.

SSS funktioniert nur, wenn die [[Dreiecksungleichung]] erfüllt ist. Die Summe zweier Seiten muss größer als die dritte Seite sein. Zum Beispiel kann man aus den Seitenlängen <math>3\text{ cm}</math>, <math>4\text{ cm}</math> und <math>10\text{ cm}</math> kein Dreieck konstruieren, weil <math>3+4<10</math> gilt.

{{BR}}
= Der Kongruenzsatz SWS =

[[Datei:Congruence of triangles SAS.png|500px|rahmenlos|zentriert]]

{{BR}}
== Bedeutung von SWS ==

Der Kongruenzsatz '''SWS''' bedeutet: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein, dann sind sie kongruent. Der eingeschlossene Winkel ist der Winkel, der zwischen den beiden bekannten Seiten liegt.

Ein Beispiel in mathematischer Schreibweise:

<math>AB=DE,\ AC=DF,\ \angle BAC=\angle EDF \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF</math>

Hier liegen die Seiten <math>AB</math> und <math>AC</math> am Winkel <math>\angle BAC</math>. Genauso liegen die Seiten <math>DE</math> und <math>DF</math> am Winkel <math>\angle EDF</math>.

{{BR}}
== Warum der eingeschlossene Winkel wichtig ist ==

Beim Satz '''SWS''' darf der Winkel nicht irgendwo liegen. Er muss zwischen den beiden bekannten Seiten liegen. Wenn der Winkel nicht eingeschlossen ist, entsteht der problematische Fall '''SSW'''. Dieser kann ohne Zusatzbedingung mehrdeutig sein. Deshalb ist die genaue Lage des Winkels entscheidend.

{{BR}}
== Konstruktion mit SWS ==

So konstruierst Du ein Dreieck mit zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel:

# [[Strecke]]: Zeichne eine der gegebenen Seiten.
# [[Winkelmesser]]: Trage am passenden Endpunkt den gegebenen Winkel ab.
# [[Seitenlänge]]: Markiere auf dem neuen Schenkel die zweite gegebene Seitenlänge.
# [[Verbindung]]: Verbinde den neuen Punkt mit dem freien Endpunkt der ersten Seite.
# [[Prüfung]]: Vergleiche die Lage des Winkels mit der Aufgabenstellung.

{{BR}}
= Der Kongruenzsatz WSW =

[[Datei:ASA Triangle Congruence.jpg|500px|rahmenlos|zentriert]]

{{BR}}
== Bedeutung von WSW ==

Der Kongruenzsatz '''WSW''' bedeutet: Stimmen zwei Dreiecke in einer Seite und den beiden an dieser Seite anliegenden Winkeln überein, dann sind sie kongruent. Die gegebene Seite liegt also zwischen den beiden bekannten Winkeln.

Ein Beispiel:

<math>\angle ABC=\angle DEF,\ BC=EF,\ \angle BCA=\angle EFD \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF</math>

Die Seite <math>BC</math> liegt zwischen den Winkeln bei <math>B</math> und <math>C</math>. Entsprechend liegt <math>EF</math> zwischen den Winkeln bei <math>E</math> und <math>F</math>.

{{BR}}
== Konstruktion mit WSW ==

So konstruierst Du ein Dreieck mit einer Seite und zwei anliegenden Winkeln:

# [[Grundseite]]: Zeichne die gegebene Seite.
# [[Winkel]]: Trage an einem Endpunkt den ersten Winkel ab.
# [[Winkel]]: Trage am anderen Endpunkt den zweiten Winkel ab.
# [[Schnittpunkt]]: Der Schnittpunkt der beiden Winkelschenkel ist der dritte Eckpunkt.
# [[Kontrolle]]: Prüfe, ob die Seite wirklich zwischen den beiden gegebenen Winkeln liegt.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=XpWgS4YcN1w |500|center}}

{{BR}}
= Der Kongruenzsatz SWW =

[[Datei:AAS Triangle Congruence.jpg|500px|rahmenlos|zentriert]]

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== Bedeutung von SWW ==

Der Kongruenzsatz '''SWW''' bedeutet: Stimmen zwei Dreiecke in einer Seite, einem anliegenden Winkel und einem gegenüberliegenden Winkel überein, dann sind sie kongruent. Auch wenn nicht beide Winkel direkt an der gegebenen Seite liegen, ist das Dreieck eindeutig bestimmt, weil der dritte Winkel durch die Innenwinkelsumme festgelegt ist.

Wenn zum Beispiel zwei Winkel bekannt sind, gilt:

<math>\gamma=180^\circ-\alpha-\beta</math>

Damit wird aus dem Fall '''SWW''' im Grunde ein Fall '''WSW''', sobald der fehlende Winkel berechnet ist.

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== Konstruktion mit SWW ==

So konstruierst Du ein Dreieck mit einer Seite und zwei Winkeln, von denen nur einer anliegt:

# [[Seite]]: Zeichne die gegebene Seite.
# [[Winkelberechnung]]: Berechne den fehlenden Winkel mit <math>180^\circ-\alpha-\beta</math>.
# [[Winkelmesser]]: Trage den anliegenden Winkel an der gegebenen Seite ab.
# [[Winkelmesser]]: Trage den berechneten Winkel am anderen Endpunkt der Seite ab.
# [[Dreieckskonstruktion]]: Verbinde den entstehenden Schnittpunkt der Winkelschenkel mit den Endpunkten der Seite.

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= Der Kongruenzsatz SSW mit Zusatzbedingung =

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== Bedeutung von SSW ==

Der Kongruenzsatz '''SSW''' ist nur unter einer wichtigen Bedingung ein Kongruenzsatz: Zwei Seiten und ein Winkel bestimmen ein Dreieck eindeutig, wenn der gegebene Winkel der längeren der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegt.

Ein Beispiel:

<math>AB=DE,\ AC=DF,\ AC>AB,\ \angle ABC=\angle DEF \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF</math>

Der Winkel <math>\angle ABC</math> liegt der Seite <math>AC</math> gegenüber. Wenn <math>AC</math> die längere der beiden gegebenen Seiten ist, entsteht kein mehrdeutiger Fall.

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== Warum SSW gefährlich sein kann ==

Wenn der gegebene Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt, kann es zwei verschiedene Dreiecke geben. Dann sind die Angaben nicht eindeutig. Deshalb solltest Du bei SSW immer prüfen:

# [[Lage des Winkels]]: Welcher Seite liegt der gegebene Winkel gegenüber?
# [[Seitenvergleich]]: Ist diese gegenüberliegende Seite die längere der beiden gegebenen Seiten?
# [[Eindeutigkeit]]: Entsteht genau ein Dreieck oder können zwei verschiedene Dreiecke entstehen?

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= Kein Kongruenzsatz: WWW =

Stimmen zwei Dreiecke nur in ihren drei Winkeln überein, dann sind sie nicht unbedingt kongruent. Sie haben zwar dieselbe Form, können aber unterschiedlich groß sein. In diesem Fall sind sie [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]], aber nicht zwingend kongruent.

Ein kleines Dreieck mit den Winkeln <math>50^\circ</math>, <math>60^\circ</math> und <math>70^\circ</math> kann dieselben Winkel haben wie ein großes Dreieck. Trotzdem sind die Seitenlängen verschieden. Deshalb gilt: '''WWW ist kein Kongruenzsatz für Dreiecke.'''

{{BR}}
= Kongruenzsätze anwenden =

{{BR}}
== Vorgehensweise beim Prüfen ==

Wenn Du entscheiden sollst, ob zwei Dreiecke kongruent sind, hilft Dir diese Strategie:

# [[Zuordnung]]: Ordne zuerst die entsprechenden Eckpunkte einander zu.
# [[Markierung]]: Markiere gleiche Seiten mit gleichen Strichen und gleiche Winkel mit gleichen Bögen.
# [[Vergleich]]: Prüfe, welche drei Angaben sicher übereinstimmen.
# [[Kongruenzsatz]]: Wähle den passenden Kongruenzsatz aus.
# [[Begründung]]: Formuliere einen vollständigen Satz, zum Beispiel: „Die Dreiecke sind nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent.“
# [[Reihenfolge]]: Schreibe die Dreiecke in der richtigen Reihenfolge, zum Beispiel <math>\triangle ABC \cong \triangle DEF</math>.

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== Beispiel 1: SSS erkennen ==

Gegeben sind zwei Dreiecke <math>\triangle ABC</math> und <math>\triangle DEF</math>. Es gilt:

<math>AB=DE=5\text{ cm}</math>

<math>BC=EF=7\text{ cm}</math>

<math>CA=FD=6\text{ cm}</math>

Alle drei entsprechenden Seiten stimmen überein. Also gilt:

<math>\triangle ABC \cong \triangle DEF</math>

Begründung: Die Dreiecke sind nach dem Kongruenzsatz '''SSS''' kongruent.

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== Beispiel 2: SWS erkennen ==

Gegeben ist:

<math>AB=DE=4\text{ cm}</math>

<math>AC=DF=6\text{ cm}</math>

<math>\angle BAC=\angle EDF=40^\circ</math>

Der Winkel liegt jeweils zwischen den beiden bekannten Seiten. Deshalb gilt:

<math>\triangle ABC \cong \triangle DEF</math>

Begründung: Die Dreiecke sind nach dem Kongruenzsatz '''SWS''' kongruent.

{{BR}}
== Beispiel 3: WWW reicht nicht ==

Zwei Dreiecke haben jeweils die Winkel <math>30^\circ</math>, <math>60^\circ</math> und <math>90^\circ</math>. Daraus folgt nicht, dass sie kongruent sind. Ein Dreieck kann Seitenlängen <math>3\text{ cm}</math>, <math>4\text{ cm}</math> und <math>5\text{ cm}</math> haben, ein anderes Dreieck kann doppelt so groß sein. Die Winkel bleiben gleich, aber die Dreiecke sind nicht deckungsgleich. Sie sind ähnlich, aber nicht kongruent.

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= Typische Fehler =

{{BR}}
== Falsche Zuordnung der Eckpunkte ==

Ein häufiger Fehler entsteht, wenn die Reihenfolge der Buchstaben nicht beachtet wird. Aus <math>\triangle ABC \cong \triangle DEF</math> folgt nicht, dass <math>AB</math> zu <math>EF</math> gehört. Richtig ist: <math>AB</math> gehört zu <math>DE</math>.

{{BR}}
== SWS mit falschem Winkel ==

Bei '''SWS''' muss der Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten liegen. Liegt er nicht dazwischen, darfst Du nicht SWS verwenden.

{{BR}}
== WWW mit Kongruenz verwechseln ==

Drei gleiche Winkel beweisen nur [[Ähnlichkeit]], nicht [[Kongruenz]]. Für Kongruenz muss auch die Größe festgelegt sein.

{{BR}}
== SSW ohne Zusatzbedingung verwenden ==

Der Fall '''SSW''' ist nur eindeutig, wenn der gegebene Winkel der längeren der beiden bekannten Seiten gegenüberliegt. Ohne diese Bedingung ist Vorsicht nötig.

{{BR}}
= Bedeutung im Alltag und in der Mathematik =

Kongruenzsätze sind nicht nur ein Schulstoff. Sie spielen eine Rolle beim [[Technisches Zeichnen|technischen Zeichnen]], in der [[Architektur]], beim [[Konstruieren]] von Bauteilen, in der [[Kartografie]] und in der [[Vermessung]]. Wenn Dreiecke eindeutig konstruiert werden können, lassen sich Formen zuverlässig planen und überprüfen. Auch in der [[Informatik]] und in [[CAD]]-Programmen ist die eindeutige Bestimmung geometrischer Formen wichtig.

In Beweisen helfen Kongruenzsätze, aus wenigen Informationen viele weitere Aussagen abzuleiten. Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, kannst Du schließen, dass alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich sind. Dadurch lassen sich zum Beispiel Eigenschaften von [[Parallelogramm|Parallelogrammen]], [[Raute|Rauten]], [[Drachenviereck|Drachenvierecken]] oder [[gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecken]] begründen.

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= Merksätze =

# [[SSS]]: Drei gleich lange entsprechende Seiten reichen für Kongruenz.
# [[SWS]]: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel reichen für Kongruenz.
# [[WSW]]: Eine Seite und ihre beiden anliegenden Winkel reichen für Kongruenz.
# [[SWW]]: Eine Seite, ein anliegender Winkel und ein gegenüberliegender Winkel reichen, weil der dritte Winkel festliegt.
# [[SSW]]: Zwei Seiten und ein Winkel reichen nur dann, wenn der Winkel der längeren gegebenen Seite gegenüberliegt.
# [[WWW]]: Drei gleiche Winkel reichen nicht für Kongruenz, sondern nur für Ähnlichkeit.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was bedeutet es, wenn zwei Dreiecke kongruent sind?'''
(Sie sind deckungsgleich)
(!Sie haben nur gleich große Winkel)
(!Sie haben nur gleich lange Grundseiten)
(!Sie besitzen immer einen rechten Winkel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Kongruenzsatz besagt, dass drei entsprechende Seiten ausreichen?'''
(SSS)
(!SWS)
(!WSW)
(!WWW)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss beim Kongruenzsatz SWS zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen?'''
(Der eingeschlossene Winkel)
(!Die längste Seite)
(!Der gegenüberliegende Winkel)
(!Der Schwerpunkt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist WWW kein Kongruenzsatz?'''
(Die Dreiecke können unterschiedlich groß sein)
(!Drei Winkel gibt es im Dreieck nicht)
(!Die Winkelsumme ist unbekannt)
(!Winkel kann man nicht messen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt für die Innenwinkel eines Dreiecks?'''
(Sie ergeben zusammen 180 Grad)
(!Sie ergeben zusammen 90 Grad)
(!Sie ergeben zusammen 270 Grad)
(!Sie ergeben zusammen 360 Grad)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Angabe beschreibt den Kongruenzsatz WSW richtig?'''
(Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel stimmen überein)
(!Drei Winkel stimmen überein)
(!Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel stimmen immer überein)
(!Eine Seite und drei Winkel stimmen überein)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist der Kongruenzsatz SSW eindeutig anwendbar?'''
(Wenn der gegebene Winkel der längeren gegebenen Seite gegenüberliegt)
(!Wenn der gegebene Winkel der kürzeren gegebenen Seite gegenüberliegt)
(!Wenn nur zwei Winkel bekannt sind)
(!Wenn keine Seite bekannt ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet die Schreibweise Dreieck ABC kongruent Dreieck DEF für die Zuordnung?'''
(A entspricht D, B entspricht E und C entspricht F)
(!A entspricht E, B entspricht F und C entspricht D)
(!A entspricht F, B entspricht D und C entspricht E)
(!Die Reihenfolge ist beliebig)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches Werkzeug verwendest Du besonders beim Abtragen von Seitenlängen?'''
(Zirkel)
(!Geodreieck als Zirkelersatz)
(!Taschenrechner)
(!Waage)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage ist beim Konstruieren nach SSS zusätzlich wichtig?'''
(Die Dreiecksungleichung muss erfüllt sein)
(!Alle Winkel müssen gleich 60 Grad sein)
(!Die längste Seite muss zuerst gezeichnet werden)
(!Das Dreieck muss rechtwinklig sein)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| SSS || Drei Seiten
|-
| SWS || Eingeschlossener Winkel
|-
| WSW || Anliegende Winkel
|-
| SWW || Fehlender Winkel berechenbar
|-
| SSW || Längere Gegenseite
|-
| WWW || Ähnlichkeit
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''SSS'''
| Drei entsprechende Seiten stimmen überein.
|-
| '''SWS'''
| Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.
|-
| '''WSW'''
| Eine Seite und beide anliegenden Winkel stimmen überein.
|-
| '''SWW'''
| Eine Seite und zwei Winkel bestimmen das Dreieck über die Innenwinkelsumme.
|-
| '''SSW'''
| Der Winkel liegt der längeren gegebenen Seite gegenüber.

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Kongruenz || Wie heißt die Deckungsgleichheit geometrischer Figuren?
|-
| Zirkel || Welches Werkzeug nutzt Du zum Abtragen gleicher Seitenlängen?
|-
| Winkel || Welche Größe wird in Grad gemessen und liegt zwischen zwei Schenkeln?
|-
| Seite || Wie heißt eine Strecke zwischen zwei Eckpunkten im Dreieck?
|-
| Spiegelung || Welche Abbildung kann zwei SSS-Konstruktionen auf verschiedene Seiten der Grundseite bringen?
|-
| Schnittpunkt || Wie heißt der Punkt, an dem sich zwei Konstruktionslinien treffen?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Kongruenzsätze+für+Dreiecke </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in Form und Größe { deckungsgleich } sind. Beim Kongruenzsatz SSS stimmen drei entsprechende { Seiten } überein. Beim Kongruenzsatz SWS muss der bekannte Winkel zwischen den beiden gegebenen { Seiten } liegen. Beim Satz WSW ist eine Seite mit ihren beiden { anliegenden } Winkeln gegeben. Der Satz SWW funktioniert, weil die Innenwinkelsumme im Dreieck immer { 180 } Grad beträgt. Der Fall SSW ist nur eindeutig, wenn der gegebene Winkel der längeren gegebenen Seite { gegenüberliegt }. Drei gleiche Winkel reichen nicht für Kongruenz, sondern nur für { Ähnlichkeit }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Kongruenz erkennen]]: Zeichne zwei kongruente Dreiecke in unterschiedlicher Lage und markiere gleiche Seiten und gleiche Winkel mit passenden Zeichen.
# [[Begriffe erklären]]: Schreibe in eigenen Worten, was der Unterschied zwischen kongruent und ähnlich ist.
# [[SSS-Konstruktion]]: Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen <math>4\text{ cm}</math>, <math>5\text{ cm}</math> und <math>6\text{ cm}</math> und beschreibe Deine Schritte.
# [[Fehler finden]]: Erfinde eine falsche Begründung zu WWW und verbessere sie anschließend.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[SWS-Anwendung]]: Erstelle eine Konstruktionsaufgabe zum Satz SWS, löse sie und schreibe eine vollständige Konstruktionsbeschreibung.
# [[WSW-Plakat]]: Gestalte ein Lernplakat zum Kongruenzsatz WSW mit Skizze, Merksatz und Beispiel.
# [[Kongruenzbeweis]]: Suche in einem Viereck zwei Dreiecke, die kongruent sein könnten, und begründe die Kongruenz mit einem passenden Kongruenzsatz.
# [[Partnerinterview]]: Erkläre einer Mitschülerin oder einem Mitschüler SSS, SWS und WSW und notiere, welche Rückfragen gestellt wurden.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[SSW-Untersuchung]]: Zeichne einen Fall, in dem SSW eindeutig ist, und einen Fall, in dem SSW nicht eindeutig ist. Erkläre den Unterschied.
# [[Beweisstrategie]]: Entwickle einen kurzen Beweis dafür, dass die Diagonale eines Parallelogramms zwei kongruente Dreiecke erzeugt.
# [[Dreiecksdetektiv]]: Fotografiere oder zeichne eine Alltagssituation mit Dreiecken, zum Beispiel ein Dach, eine Brücke oder ein Regal, und untersuche mögliche Kongruenzen.
# [[Digitales Konstruieren]]: Konstruiere mit einer Geometriesoftware mehrere Dreiecke zu SSS, SWS, WSW und SSW und dokumentiere, wann das Ergebnis eindeutig ist.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transferaufgabe SWS]]: Ein Bauteil soll als Dreieck hergestellt werden. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind vorgegeben. Erkläre, warum alle korrekt hergestellten Bauteile deckungsgleich sind.
# [[Argumentieren mit WWW]]: Zwei Dreiecke haben dieselben Winkel. Beurteile, warum diese Information für eine exakte Kopie eines Werkstücks nicht ausreicht.
# [[Konstruktionsentscheidung]]: Du bekommst drei verschiedene Aufgaben mit je drei Angaben. Entscheide jeweils, ob SSS, SWS, WSW, SWW oder SSW passt, und begründe Deine Wahl.
# [[Fehleranalyse SSW]]: Eine Person behauptet, SSW sei immer eindeutig. Widerlege diese Aussage mit einer Skizze oder einer verständlichen Erklärung.
# [[Beweis im Viereck]]: In einem Drachenviereck sind zwei benachbarte Seitenpaare gleich lang. Zeige mithilfe eines Kongruenzsatzes, welche Dreiecke kongruent sind und welche Winkel daraus gleich groß sind.
# [[Eigene Problemaufgabe]]: Entwickle selbst eine Sachaufgabe, in der Kongruenzsätze helfen, eine Länge oder einen Winkel zu begründen. Gib auch eine Musterlösung an.

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis erstellst Du eine vollständige Kongruenz-Mappe. Sie enthält eine kurze Begriffserklärung, je eine eigene Beispielkonstruktion zu '''SSS''', '''SWS''', '''WSW''' und '''SWW''', eine Untersuchung zum Sonderfall '''SSW''', eine Erklärung, warum '''WWW''' kein Kongruenzsatz ist, und eine selbst formulierte Beweisaufgabe. Achte darauf, dass jede Skizze beschriftet ist und jede Begründung einen passenden Kongruenzsatz nennt.

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kongruenzsatz </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Kongruenzsätze für Dreiecke]]'''
# [[Kongruenzsatz]]
# [[Kongruenz (Geometrie)]]
# [[Dreieck]]
# [[Innenwinkelsumme]]
# [[Dreiecksungleichung]]
# [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal]]
# [[Ähnlichkeit (Geometrie)]]
# [[Geometrie]]
|}

{{BR}}
= Zusammenfassung =

Die '''Kongruenzsätze für Dreiecke''' sind Werkzeuge, mit denen Du eindeutig feststellen kannst, ob zwei Dreiecke deckungsgleich sind. Beim Satz '''SSS''' stimmen drei Seiten überein. Beim Satz '''SWS''' stimmen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel überein. Beim Satz '''WSW''' stimmen eine Seite und ihre beiden anliegenden Winkel überein. Beim Satz '''SWW''' hilft die Innenwinkelsumme, den fehlenden Winkel zu bestimmen. Beim Satz '''SSW''' musst Du besonders genau prüfen, ob der gegebene Winkel der längeren gegebenen Seite gegenüberliegt. '''WWW''' ist kein Kongruenzsatz, weil gleiche Winkel nur die Form, aber nicht die Größe eines Dreiecks festlegen.

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Dreieck]]
[[Kategorie:Kongruenz]]
[[Kategorie:Klasse_7-8]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Kongruenzsätze für Dreiecke - aiMOOC - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt