Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:27:54Z

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{{T}}

{{BR}}
= Kombinatorik von Stichproben =

'''Fach:''' [[Mathematik]]
'''Klassenstufe:''' [[Klasse 9]] bis [[Klasse 13]]
'''Themenbereich:''' [[Kombinatorik]] und [[Stochastik]]

{{BR}}
= Einleitung =

Die [[Kombinatorik]] hilft Dir, Möglichkeiten zu zählen. Bei einer [[Stichprobe]] sind zwei Fragen wichtig:

# Ist die [[Reihenfolge]] wichtig?
# Darf ein Element mehrfach gewählt werden?

[[Datei:Bingo balls in bingo drum.jpg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernziele ==

# Du unterscheidest geordnete und ungeordnete Stichproben.
# Du unterscheidest Stichproben mit und ohne Wiederholung.
# Du wählst eine passende Formel.
# Du löst einfache Anwendungsaufgaben.

{{BR}}
== Lernvideo ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=em5Llu7D4o4 |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Videonotizen]]: Schreibe die zwei Entscheidungsfragen auf, die im Video erklärt werden.
# [[Beispiele erkennen]]: Notiere je ein Beispiel für eine geordnete und eine ungeordnete Stichprobe.
# [[Wiederholung]]: Erkläre mit eigenen Worten den Unterschied zwischen mit und ohne Wiederholung.
# [[Formelübersicht]]: Halte die vier Formeln aus dem Video in einer Tabelle fest.
# [[Videoanalyse]]: Stoppe das Video vor einem Rechenweg und versuche zuerst selbst, die passende Formel zu finden.

{{BR}}
= Grundwissen =

Dabei bedeutet <math>n</math> die Zahl der verfügbaren Elemente. <math>k</math> ist die Zahl der ausgewählten Elemente.

{| class="wikitable" style="margin:auto"
! Reihenfolge
! Wiederholung
! Anzahl der Möglichkeiten
|-
| wichtig
| möglich
| <math>n^k</math>
|-
| wichtig
| nicht möglich
| <math>\frac{n!}{(n-k)!}</math>
|-
| unwichtig
| nicht möglich
| <math>\binom{n}{k}</math>
|-
| unwichtig
| möglich
| <math>\binom{n+k-1}{k}</math>
|}

{{BR}}
== Geordnet mit Wiederholung ==

Die Reihenfolge zählt. Ein Element darf mehrfach vorkommen.

'''Beispiel:''' Ein vierstelliger Zahlencode mit zehn Ziffern hat <math>10^4=10000</math> Möglichkeiten.

[[Datei:Three padlocks.jpg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Geordnet ohne Wiederholung ==

Die Reihenfolge zählt. Jedes Element darf nur einmal vorkommen.

'''Beispiel:''' Für drei Plätze aus acht Personen gibt es <math>8\cdot7\cdot6=336</math> Möglichkeiten.

[[Datei:4-el permutation counting decisions.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Ungeordnet ohne Wiederholung ==

Die Reihenfolge ist egal. Jedes Element darf nur einmal vorkommen.

'''Beispiel:''' Ein Team aus drei von acht Personen kann auf <math>\binom{8}{3}=56</math> Arten gebildet werden.

[[Datei:Pascal's triangle pathways.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Ungeordnet mit Wiederholung ==

Die Reihenfolge ist egal. Ein Element darf mehrfach vorkommen.

'''Beispiel:''' Zwei Eiskugeln aus drei Sorten ergeben <math>\binom{4}{2}=6</math> Möglichkeiten.

[[Datei:Urn problem qtl8.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Entscheidungshilfe ==

# Frage zuerst: Ist die Reihenfolge wichtig?
# Frage danach: Ist eine Wiederholung möglich?
# Setze <math>n</math> und <math>k</math> in die passende Formel ein.
# Prüfe, ob das Ergebnis zur Aufgabe passt.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Womit beschäftigt sich die Kombinatorik?'''
(Mit dem Zählen möglicher Auswahlen und Anordnungen)
(!Mit dem Messen von Strecken)
(!Mit dem Zeichnen von Funktionen)
(!Mit dem Lösen von Gleichungen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist eine Stichprobe geordnet?'''
(Wenn die Reihenfolge wichtig ist)
(!Wenn alle Ergebnisse gleich groß sind)
(!Wenn nur eine Möglichkeit existiert)
(!Wenn keine Elemente gewählt werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet mit Wiederholung?'''
(Ein Element darf mehrfach gewählt werden)
(!Die Reihenfolge ist immer unwichtig)
(!Alle Elemente müssen gewählt werden)
(!Die Rechnung wird zweimal ausgeführt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel gilt geordnet mit Wiederholung?'''
(n hoch k)
(!n Fakultät)
(!n über k)
(!n plus k)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele vierstellige Codes gibt es mit zehn Ziffern?'''
(10000)
(!40)
(!5040)
(!210)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel gilt geordnet ohne Wiederholung?'''
(n Fakultät geteilt durch n minus k Fakultät)
(!n hoch k)
(!n plus k)
(!k geteilt durch n)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Art von Stichprobe ist die Wahl eines Teams aus acht Personen?'''
(Ungeordnet ohne Wiederholung)
(!Geordnet mit Wiederholung)
(!Geordnet ohne Wiederholung)
(!Ungeordnet mit Wiederholung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele Dreierteams können aus acht Personen gebildet werden?'''
(56)
(!24)
(!336)
(!512)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele Möglichkeiten gibt es für zwei Eiskugeln aus drei Sorten, wenn Sorten mehrfach gewählt werden dürfen und die Reihenfolge egal ist?'''
(6)
(!3)
(!8)
(!9)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was solltest Du vor dem Einsetzen in eine Formel tun?'''
(Die Art der Stichprobe bestimmen)
(!Alle Zahlen addieren)
(!Immer die Fakultät berechnen)
(!Die Reihenfolge ignorieren)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Geordnet || Reihenfolge wichtig
|-
| Ungeordnet || Reihenfolge egal
|-
| Mit Wiederholung || Auswahl darf erneut vorkommen
|-
| Ohne Wiederholung || Auswahl nur einmal
|-
| Fakultät || Produkt der natürlichen Zahlen
|-
| Binomialkoeffizient || Ungeordnete Auswahl ohne Wiederholung
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Stichprobenart
|-
| '''Zahlencode'''
| Geordnet mit Wiederholung
|-
| '''Siegerpodest'''
| Geordnet ohne Wiederholung
|-
| '''Mannschaftswahl'''
| Ungeordnet ohne Wiederholung
|-
| '''Auswahl von Eiskugeln'''
| Ungeordnet mit Wiederholung
|-
| '''Sitzordnung'''
| Permutation

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Kombinatorik || Wie heißt das mathematische Gebiet zum Zählen von Möglichkeiten?
|-
| Reihenfolge || Was ist bei einer geordneten Stichprobe wichtig?
|-
| Zurücklegen || Welches Wort beschreibt, dass ein gezogenes Element erneut verfügbar wird?
|-
| Fakultät || Wie heißt das Produkt aller natürlichen Zahlen von eins bis n?
|-
| Variation || Wie heißt eine geordnete Auswahl?
|-
| Kombination || Wie heißt eine ungeordnete Auswahl?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Kombinatorik+von+Stichproben </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einer geordneten Stichprobe ist die { Reihenfolge } wichtig. Bei einer Stichprobe mit Wiederholung darf ein Element { mehrfach } vorkommen. Bei einer Stichprobe ohne Wiederholung wird ein Element nicht wieder { zurückgelegt }. Die Formel für eine geordnete Stichprobe mit Wiederholung lautet { n^k }. Eine ungeordnete Auswahl ohne Wiederholung wird mit dem { Binomialkoeffizienten } berechnet. Das Zeichen n Fakultät wird als { n! } geschrieben.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Alltagsbeispiel]]: Finde ein Beispiel für eine Stichprobe mit Wiederholung.
# [[Sortieraufgabe]]: Ordne vier selbst gewählte Situationen den vier Stichprobenarten zu.
# [[Videokarte]]: Gestalte eine Karte mit den zwei Entscheidungsfragen aus dem Video.
# [[Urnenversuch]]: Ziehe farbige Gegenstände mit und ohne Zurücklegen und notiere die Ergebnisse.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Formelplakat]]: Gestalte ein übersichtliches Plakat zu den vier Formeln.
# [[Zahlenschloss]]: Berechne die Möglichkeiten für ein Zahlenschloss mit selbst gewählter Stellenzahl.
# [[Teamwahl]]: Erfinde eine Aufgabe zur Auswahl eines Teams und löse sie.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video, in dem Du eine Stichprobenart erklärst.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Formelherleitung]]: Begründe die Formel für eine geordnete Stichprobe ohne Wiederholung.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde einen falschen Lösungsweg und erkläre den Fehler.
# [[Simulation]]: Simuliere Stichproben mit einer Tabellenkalkulation und vergleiche die Ergebnisse.
# [[Transferaufgabe]]: Entwickle eine Aufgabe, in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit verbunden werden.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Entscheidungsweg]]: Eine Schule vergibt Gold, Silber und Bronze an drei von zwölf Personen. Bestimme die Stichprobenart, wähle die Formel und begründe Deine Entscheidung.
# [[Vergleich]]: Erkläre, warum eine Mannschaftswahl weniger Möglichkeiten besitzt als eine Vergabe fester Positionen an dieselben Personen.
# [[Modellierung]]: Formuliere zu jeder der vier Stichprobenarten ein eigenes Alltagsbeispiel.
# [[Fehlerprüfung]]: Eine Person berechnet eine Teamwahl mit <math>n^k</math>. Erkläre, warum diese Formel nicht passt.
# [[Transfer]]: Untersuche, wie sich die Zahl der Möglichkeiten verändert, wenn bei einem Code eine weitere Stelle hinzukommt.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

# die vier Stichprobenarten unterscheiden,
# eine Entscheidung begründen,
# die passende Formel auswählen,
# Rechnungen verständlich darstellen,
# ein eigenes Beispiel entwickeln.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlende_Kombinatorik </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Kombinatorik von Stichproben]]'''
# [[Kombinatorik]]
# [[Stichprobe]]
# [[Permutation]]
# [[Variation]]
# [[Kombination]]
# [[Fakultät]]
# [[Binomialkoeffizient]]
# [[Urnenmodell]]
# [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Kombinatorik]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Kombinatorik von Stichproben - Versionsgeschichte

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