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2026-07-13T21:27:50Z

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{{T}}

{{BR}}
= Kombinatorik - Rechenbeispiele =

{{BR}}
= Einleitung =

Die [[Kombinatorik]] zählt Möglichkeiten. Sie hilft zum Beispiel bei PIN-Codes, Sitzordnungen, Teams und Gewinnspielen.

'''Merksatz:''' Prüfe zuerst zwei Fragen:

# Ist die [[Reihenfolge]] wichtig?
# Darf eine Möglichkeit mehrfach vorkommen?

[[Datei:Combination Lock.svg|420px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Grundideen =

{{BR}}
== Produktregel ==

Gibt es für einen Schritt <math>a</math> Möglichkeiten und für einen zweiten Schritt <math>b</math> Möglichkeiten, dann gibt es insgesamt:

<math>a \cdot b</math> Möglichkeiten.

'''Beispiel:''' 3 T-Shirts und 2 Hosen ergeben <math>3 \cdot 2 = 6</math> Outfits.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=t7eeuBkDoJQ |500|center}}

{{BR}}
== Schnell entscheiden ==

{| class="wikitable"
! Reihenfolge
! Wiederholung
! Fall
! Formel
|-
| wichtig
| möglich
| [[Variation mit Wiederholung]]
| <math>n^k</math>
|-
| wichtig
| nicht möglich
| [[Variation ohne Wiederholung]]
| <math>\frac{n!}{(n-k)!}</math>
|-
| unwichtig
| nicht möglich
| [[Kombination ohne Wiederholung]]
| <math>\binom{n}{k}</math>
|-
| unwichtig
| möglich
| [[Kombination mit Wiederholung]]
| <math>\binom{n+k-1}{k}</math>
|}

Die [[Fakultät]] bedeutet:

<math>n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1</math>

[[Datei:Permutation count calculation.svg|420px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Rechenbeispiele =

{{BR}}
== Beispiel 1: Bücher anordnen ==

5 verschiedene Bücher kommen in eine Reihe. Alle Bücher werden benutzt und die Reihenfolge ist wichtig.

<math>5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120</math>

Es gibt '''120 Anordnungen'''.

{{BR}}
== Beispiel 2: PIN-Code ==

Ein Code hat 4 Stellen. Jede Stelle kann eine der 10 Ziffern enthalten. Wiederholungen sind erlaubt.

<math>10^4 = 10\,000</math>

Es gibt '''10.000 Codes'''.

[[Datei:Electronic lock with number pad.jpg|360px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Beispiel 3: Siegerpodest ==

Von 8 Personen erhalten 3 die Plätze Gold, Silber und Bronze. Die Reihenfolge ist wichtig. Niemand kann zwei Plätze erhalten.

<math>8 \cdot 7 \cdot 6 = 336</math>

Es gibt '''336 Siegerpodeste'''.

{{BR}}
== Beispiel 4: Team auswählen ==

Aus 10 Personen wird ein Team mit 3 Personen gewählt. Die Reihenfolge ist unwichtig.

<math>\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=120</math>

Es gibt '''120 Teams'''.

[[Datei:Pascal triangle.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Beispiel 5: Das Wort MAMA ==

Das Wort hat 4 Buchstaben. M kommt zweimal vor und A kommt zweimal vor.

<math>\frac{4!}{2!\cdot 2!}=6</math>

Es gibt '''6 verschiedene Anordnungen'''.

{{BR}}
== Beispiel 6: Eiskugeln ==

Du wählst 4 Kugeln aus 3 Sorten. Eine Sorte darf mehrfach vorkommen. Die Reihenfolge der Kugeln ist unwichtig.

<math>\binom{3+4-1}{4}=\binom{6}{4}=15</math>

Es gibt '''15 Zusammenstellungen'''.

{{BR}}
= Video: Kombinatorik - Rechenbeispiele =

Sieh das Video an. Stoppe bei jedem Beispiel und rechne selbst weiter.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=dwrMMWeXQsU |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Videonotizen]]: Notiere zu jedem Rechenbeispiel die gegebenen Zahlen und das Ergebnis.
# [[Entscheidung]]: Prüfe bei jedem Beispiel, ob die Reihenfolge wichtig ist.
# [[Wiederholung]]: Prüfe bei jedem Beispiel, ob Wiederholungen möglich sind.
# [[Rechenweg]]: Wähle ein Beispiel aus und erkläre jeden Faktor der Rechnung.
# [[Kontrolle]]: Rechne ein Beispiel ohne Video erneut und vergleiche Dein Ergebnis.
# [[Eigene Aufgabe]]: Verändere die Zahlen eines Beispiels und löse die neue Aufgabe.
# [[Fehlerprüfung]]: Beschreibe einen typischen Fehler, der bei einem Beispiel entstehen kann.

[[Datei:01 Baumdiagramm-2 Münzenwürfe.svg|420px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was untersucht die Kombinatorik?'''
(Die Anzahl möglicher Anordnungen und Auswahlen)
(!Die Länge geometrischer Figuren)
(!Die Ableitung von Funktionen)
(!Die Lösung linearer Gleichungen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele Outfits entstehen aus 4 T-Shirts und 3 Hosen?'''
(12)
(!7)
(!16)
(!24)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Wert hat 5 Fakultät?'''
(120)
(!25)
(!60)
(!240)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele vierstellige Codes gibt es mit 10 Ziffern, wenn Wiederholungen erlaubt sind?'''
(10000)
(!40)
(!5040)
(!210)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele Siegerpodeste mit drei Plätzen gibt es bei sechs Personen?'''
(120)
(!20)
(!18)
(!216)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele Dreierteams können aus acht Personen gewählt werden?'''
(56)
(!24)
(!336)
(!512)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist eine Variation passend?'''
(Wenn eine Auswahl getroffen wird und die Reihenfolge wichtig ist)
(!Wenn nur Längen gemessen werden)
(!Wenn die Reihenfolge immer unwichtig ist)
(!Wenn alle Ergebnisse gleich groß sind)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel gehört zur Kombination ohne Wiederholung?'''
(n über k)
(!n hoch k)
(!n mal k)
(!n plus k)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele verschiedene Anordnungen besitzt das Wort MAMA?'''
(6)
(!4)
(!12)
(!24)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele ungeordnete Zusammenstellungen aus drei Kugeln und zwei Sorten gibt es, wenn Wiederholungen erlaubt sind?'''
(4)
(!5)
(!6)
(!8)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Fakultät || Produkt der natürlichen Zahlen bis eins
|-
| Permutation || Anordnung aller Objekte
|-
| Variation || Geordnete Auswahl
|-
| Kombination || Ungeordnete Auswahl
|-
| Zurücklegen || Wiederholung ist möglich
|-
| Binomialkoeffizient || Anzahl ungeordneter Auswahlen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Beschreibung
|-
| '''Permutation ohne Wiederholung'''
| Alle Objekte werden geordnet und sind verschieden
|-
| '''Variation mit Wiederholung'''
| Auswahl mit wichtiger Reihenfolge und möglicher Wiederholung
|-
| '''Variation ohne Wiederholung'''
| Auswahl mit wichtiger Reihenfolge und ohne Wiederholung
|-
| '''Kombination ohne Wiederholung'''
| Auswahl ohne wichtige Reihenfolge und ohne Wiederholung
|-
| '''Kombination mit Wiederholung'''
| Auswahl ohne wichtige Reihenfolge und mit möglicher Wiederholung
|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Fakultät || Wie heißt das Produkt aller natürlichen Zahlen von einer Zahl bis eins?
|-
| Permutation || Wie heißt die Anordnung aller vorhandenen Objekte?
|-
| Variation || Wie heißt eine Auswahl, bei der die Reihenfolge wichtig ist?
|-
| Kombination || Wie heißt eine Auswahl, bei der die Reihenfolge unwichtig ist?
|-
| Produktregel || Welche Regel verbindet die Möglichkeiten mehrerer Schritte durch Multiplikation?
|-
| Binomialkoeffizient || Welcher Begriff bezeichnet den Ausdruck n über k?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Kombinatorik+-+Rechenbeispiele </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Kombinatorik zählt { Möglichkeiten }. Bei einer Permutation werden alle Objekte { angeordnet }. Ist die Reihenfolge wichtig, liegt häufig eine { Variation } vor. Ist die Reihenfolge unwichtig, spricht man von einer { Kombination }. Die Schreibweise n Fakultät wird mit einem { Ausrufezeichen } dargestellt. Ein vierstelliger Code mit zehn Ziffern und erlaubter Wiederholung besitzt { zehntausend } Möglichkeiten.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Alltagsbeispiel]]: Finde ein Beispiel für Kombinatorik in Deinem Alltag und beschreibe es.
# [[Karten ordnen]]: Schreibe A, B und C auf Karten und lege alle möglichen Reihenfolgen.
# [[Video-Stichwörter]]: Sammle fünf wichtige Begriffe aus dem Video.
# [[Formelplakat]]: Gestalte ein kleines Plakat mit den vier Auswahlfällen.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[PIN-Aufgabe]]: Erfinde eine Code-Aufgabe und löse sie.
# [[Speisekarte]]: Berechne Möglichkeiten für ein Menü aus Vorspeise, Hauptgericht und Getränk.
# [[Baumdiagramm]]: Zeichne ein Baumdiagramm für drei Münzwürfe.
# [[Videovergleich]]: Vergleiche ein Beispiel aus dem Video mit einem Beispiel dieses Kurses.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Begründung der Produktregel]]: Erkläre mit einem selbst gewählten Beispiel, warum Möglichkeiten multipliziert werden.
# [[Simulation]]: Simuliere eine kombinatorische Aufgabe mit einer Tabellenkalkulation oder einem Programm.
# [[Pascalsches Dreieck]]: Zeige, wie sich Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck finden lassen.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde einen falschen Rechenweg und erkläre genau, warum er falsch ist.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellwahl]]: Eine Schulklasse wählt drei Personen für ein Team. Erkläre, warum die Reihenfolge keine Rolle spielt, und wähle die passende Formel.
# [[Modellwechsel]]: Verändere die Teamaufgabe so, dass die Reihenfolge wichtig wird. Beschreibe, wie sich die Rechnung ändert.
# [[Vergleich]]: Erkläre den Unterschied zwischen einem vierstelligen PIN-Code und einer Auswahl von vier Personen.
# [[Transfer]]: Entwickle eine Aufgabe, die mit der Produktregel und anschließend mit einem Binomialkoeffizienten gelöst wird.
# [[Plausibilität]]: Begründe ohne vollständige Rechnung, warum ein Code mit Wiederholungen mehr Möglichkeiten besitzt als ein Code ohne Wiederholungen.
# [[Darstellung]]: Löse eine kleine Aufgabe durch Auflisten und durch eine Formel. Vergleiche beide Wege.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du:

# die Bedeutung von [[Fakultät]], [[Permutation]], [[Variation]] und [[Kombination]] erklären,
# Reihenfolge und Wiederholung sicher prüfen,
# eine passende Formel auswählen,
# Rechnungen verständlich aufschreiben,
# Ergebnisse auf Plausibilität kontrollieren,
# ein neues Alltagsproblem selbstständig lösen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Kombinatorik - Rechenbeispiele]]'''
# [[Kombinatorik]]
# [[Fakultät]]
# [[Permutation]]
# [[Variation]]
# [[Kombination]]
# [[Binomialkoeffizient]]
# [[Pascalsches Dreieck]]
# [[Baumdiagramm]]
# [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Kombinatorik]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Kombinatorik - Rechenbeispiele - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt