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2026-07-28T05:58:44Z

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= Isotherme Zustandsänderung - Physik =

{{BR}}
= Einleitung =

Bei einer '''isothermen Zustandsänderung''' bleibt die [[Temperatur]] eines Systems konstant. Das Wort stammt aus dem Griechischen: „iso“ bedeutet gleich und „therm“ bezieht sich auf Wärme beziehungsweise Temperatur. Besonders wichtig ist der isotherme Prozess für [[Ideales Gas|ideale Gase]], weil sich dabei [[Druck]] und [[Volumen]] ändern, während die Temperatur gleich bleibt.

Du lernst in diesem aiMOOC, wie Du eine Isotherme im p‑V‑Diagramm erkennst, das [[Boyle-Mariotte-Gesetz]] anwendest und Wärme sowie Arbeit energetisch deutest. Die Formeln werden mit der Extension Math dargestellt.

[[Datei:Isothermal process.svg|500px|rahmenlos|center]]

''Die Kurve im Druck-Volumen-Diagramm zeigt eine isotherme Expansion. Die Fläche unter der Kurve steht für die verrichtete Volumenarbeit.''

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=PZyJIB_QVfs |500|center}}

{{BR}}
= Grundidee des isothermen Prozesses =

Die entscheidende Bedingung lautet:

<math>T=\mathrm{konstant}</math>

oder gleichbedeutend:

<math>\Delta T=0</math>

Ein Gas kann sich trotzdem ausdehnen oder zusammengedrückt werden. Damit sich seine Temperatur dabei nicht ändert, muss es Wärme mit der Umgebung austauschen können. In einem Modellversuch steht der Gaszylinder deshalb in Kontakt mit einem großen '''Wärmebad'''. Die Zustandsänderung muss außerdem langsam genug ablaufen, damit sich Gas und Wärmebad immer wieder nahezu auf dieselbe Temperatur einstellen.

[[Datei:Quasi-static-process-example.svg|420px|rahmenlos|center]]

''Bei einer langsamen Kompression wird der Kolben schrittweise belastet. Über den wärmeleitenden Boden kann das Gas Wärme an das Wärmebad abgeben.''

{{BR}}
== Voraussetzungen des Schulmodells ==

# [[Ideales Gas]]: Die Teilchen werden als punktförmig betrachtet und wechselwirken nur bei Stößen.
# [[Geschlossenes System]]: Die Stoffmenge des Gases bleibt unverändert.
# [[Wärmeaustausch]]: Das System steht in thermischem Kontakt mit seiner Umgebung.
# [[Quasistatischer Prozess]]: Die Änderung läuft so langsam ab, dass Zwischenzustände näherungsweise Gleichgewichtszustände sind.

{{BR}}
= Boyle-Mariotte-Gesetz =

Für eine feste Stoffmenge eines idealen Gases gilt die allgemeine Gasgleichung:

<math>pV=nRT</math>

Bei konstanter Temperatur sind auch <math>n</math> und <math>R</math> konstant. Deshalb folgt:

<math>pV=\mathrm{konstant}</math>

Für zwei Zustände gilt:

<math>p_1V_1=p_2V_2</math>

und damit:

<math>p_2=\frac{p_1V_1}{V_2}</math>

Wenn sich das Volumen halbiert, verdoppelt sich der Druck. Wenn sich das Volumen verdoppelt, halbiert sich der Druck. Druck und Volumen sind also '''umgekehrt proportional'''.

[[Datei:Boyles Law animated.gif|500px|rahmenlos|center]]

''Die Animation veranschaulicht das Boyle-Mariotte-Gesetz: Mehr Belastung verkleinert das Gasvolumen und erhöht den Druck, während die Temperatur konstant gehalten wird.''

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=eMmnP69bk5Q |500|center}}

{{BR}}
== Beispielrechnung zu Druck und Volumen ==

Ein Gas hat anfangs den Druck <math>p_1=100\,\mathrm{kPa}</math> und das Volumen <math>V_1=2{,}0\,\mathrm{L}</math>. Es wird isotherm auf <math>V_2=1{,}0\,\mathrm{L}</math> komprimiert.

<math>p_2=\frac{p_1V_1}{V_2}=\frac{100\,\mathrm{kPa}\cdot 2{,}0\,\mathrm{L}}{1{,}0\,\mathrm{L}}=200\,\mathrm{kPa}</math>

Der Druck verdoppelt sich, weil das Volumen halbiert wurde.

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= Darstellung im p‑V‑Diagramm =

Im [[Druck-Volumen-Diagramm]] liegt der Druck auf der senkrechten Achse und das Volumen auf der waagerechten Achse. Aus

<math>p=\frac{nRT}{V}</math>

folgt eine fallende [[Hyperbel]]. Diese Kurve heißt '''Isotherme'''. Bei größerer Temperatur liegt die Isotherme weiter oben, weil bei gleichem Volumen ein größerer Druck herrscht.

[[Datei:Ideal gas isotherms.png|500px|rahmenlos|center]]

''Mehrere Isothermen eines idealen Gases: Jede Kurve gehört zu einer konstanten Temperatur.''

[[Datei:Isothermal GIF.gif|500px|rahmenlos|center]]

''Die Animation zeigt den Weg von Zustand 1 zu Zustand 2 und die dabei wachsende Fläche unter der Kurve.''

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=fU6osslvhPw |500|center}}

{{BR}}
== Expansion und Kompression ==

Bei einer '''isothermen Expansion''' nimmt das Volumen zu und der Druck ab. Das Gas drückt den Kolben nach außen und verrichtet Arbeit an der Umgebung. Damit die Temperatur gleich bleibt, muss dem Gas Wärme zugeführt werden.

Bei einer '''isothermen Kompression''' nimmt das Volumen ab und der Druck zu. Die Umgebung verrichtet Arbeit am Gas. Damit die Temperatur gleich bleibt, muss Wärme aus dem Gas abgeführt werden.

[[Datei:Isothermal expansion of an ideal gas.png|500px|rahmenlos|center]]

''Die Kolbenbewegung macht die isotherme Expansion anschaulich: Das Gas vergrößert sein Volumen schrittweise.''

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= Wärme, Arbeit und innere Energie =

Für diesen aiMOOC gilt die in der Schulphysik häufig genutzte Vorzeichenkonvention:

<math>\Delta U=Q-W_\mathrm{Gas}</math>

Dabei ist <math>Q</math> die dem Gas zugeführte Wärme und <math>W_\mathrm{Gas}</math> die vom Gas an der Umgebung verrichtete Arbeit.

Bei einem idealen Gas hängt die [[Innere Energie]] nur von der Temperatur ab. Weil die Temperatur beim isothermen Prozess konstant bleibt, gilt:

<math>\Delta U=0</math>

Damit folgt:

<math>Q=W_\mathrm{Gas}</math>

Bei der Expansion wird zugeführte Wärme vollständig als Arbeit an die Umgebung weitergegeben. Bei der Kompression ist <math>W_\mathrm{Gas}</math> negativ; die am Gas verrichtete Arbeit wird als Wärme an die Umgebung abgeführt.

{{BR}}
== Volumenarbeit ==

Die vom Gas verrichtete Arbeit entspricht der Fläche unter der Prozesskurve:

<math>W_\mathrm{Gas}=\int_{V_1}^{V_2}p\,\mathrm{d}V</math>

Mit <math>p=\frac{nRT}{V}</math> erhält man:

<math>W_\mathrm{Gas}=nRT\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)</math>

Da außerdem <math>nRT=p_1V_1=p_2V_2</math> gilt, kann auch geschrieben werden:

<math>W_\mathrm{Gas}=p_1V_1\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)</math>

Für eine Expansion ist <math>V_2>V_1</math> und damit <math>W_\mathrm{Gas}>0</math>. Für eine Kompression ist <math>V_2<V_1</math> und damit <math>W_\mathrm{Gas}<0</math>.

[[Datei:Isotherm work.svg|500px|rahmenlos|center]]

''Die markierte Fläche unter der Isotherme entspricht dem Betrag der Volumenarbeit.''

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=InbE_XJsvm4 |500|center}}

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== Beispielrechnung zur Arbeit ==

Das Gas aus dem vorherigen Beispiel wird von <math>2{,}0\,\mathrm{L}</math> auf <math>1{,}0\,\mathrm{L}</math> komprimiert. Es gilt:

<math>p_1V_1=100\,\mathrm{kPa}\cdot 2{,}0\,\mathrm{L}=200\,\mathrm{J}</math>

Dabei wurde verwendet:

<math>1\,\mathrm{kPa}\cdot 1\,\mathrm{L}=1\,\mathrm{J}</math>

Die vom Gas verrichtete Arbeit ist:

<math>W_\mathrm{Gas}=200\,\mathrm{J}\cdot\ln\left(\frac{1{,}0}{2{,}0}\right)\approx -139\,\mathrm{J}</math>

Die Umgebung verrichtet also etwa <math>139\,\mathrm{J}</math> Arbeit am Gas. Damit die Temperatur konstant bleibt, muss das Gas etwa <math>139\,\mathrm{J}</math> Wärme an die Umgebung abgeben.

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= Teilchenmodell =

Beim Komprimieren bewegt sich der Kolben nach innen. Die Gasteilchen stoßen häufiger gegen den Kolben und die Gefäßwände, wodurch der Druck steigt. Die Arbeit am Gas würde normalerweise die mittlere Bewegungsenergie der Teilchen und damit die Temperatur erhöhen. Beim isothermen Prozess wird diese zusätzliche Energie jedoch als Wärme abgeführt.

Bei der Expansion stoßen die Teilchen gegen den sich nach außen bewegenden Kolben und übertragen Energie auf ihn. Ohne Wärmezufuhr würde ihre mittlere Bewegungsenergie sinken. Das Wärmebad ersetzt diese abgegebene Energie, sodass die Temperatur gleich bleibt.

{{BR}}
= Vergleich mit anderen Zustandsänderungen =

[[Datei:P-v diagrams elementary evolutions of perfect gas.svg|700px|rahmenlos|center]]

''Vier grundlegende Zustandsänderungen im p‑V‑Diagramm: isobar, isotherm, isentrop beziehungsweise näherungsweise adiabatisch und isochor.''

{| class="wikitable"
! Zustandsänderung
! Konstante Größe
! Kennzeichen
|-
| [[Isotherme Zustandsänderung]]
| Temperatur
| <math>pV=\mathrm{konstant}</math>
|-
| [[Isochore Zustandsänderung]]
| Volumen
| Keine Volumenarbeit
|-
| [[Isobare Zustandsänderung]]
| Druck
| Gerade waagerechte Prozesslinie
|-
| [[Adiabatische Zustandsänderung]]
| Kein Wärmeaustausch
| <math>Q=0</math>
|}

Eine Isotherme ist nicht dasselbe wie eine Adiabate. Bei der Isotherme darf Wärme fließen, damit die Temperatur konstant bleibt. Bei der Adiabate fließt keine Wärme; deshalb ändert sich die Temperatur bei Kompression oder Expansion meist deutlich.

{{BR}}
= Bedeutung und Anwendungen =

Isotherme Prozesse sind idealisierte Modellprozesse. Sie helfen, reale Vorgänge zu verstehen und Wärmekraftmaschinen zu beschreiben. Im [[Carnot-Prozess]] treten zwei isotherme und zwei adiabatische Teilprozesse auf. Auch der [[Stirlingmotor]] enthält näherungsweise isotherme Expansions- und Kompressionsphasen.

[[Datei:P-v diagrams of Carnot cycle with perfect gas.svg|700px|rahmenlos|center]]

''Im Carnot-Kreisprozess verbinden isotherme und adiabatische Teilprozesse zwei Temperaturniveaus.''

Reale Prozesse sind nur näherungsweise isotherm. Sie müssen langsam ablaufen und einen guten Wärmeaustausch ermöglichen. Bei schnellen Vorgängen bleibt oft zu wenig Zeit für den Wärmestrom; dann ähnelt der Prozess eher einer adiabatischen Zustandsänderung.

{{BR}}
= Merksätze =

# [[Temperatur]]: Beim isothermen Prozess bleibt <math>T</math> konstant.
# [[Boyle-Mariotte-Gesetz]]: Für eine feste Menge idealen Gases gilt <math>pV=\mathrm{konstant}</math>.
# [[Isotherme]]: Im p‑V‑Diagramm ist sie eine fallende Hyperbel.
# [[Innere Energie]]: Beim idealen Gas gilt wegen <math>\Delta T=0</math> auch <math>\Delta U=0</math>.
# [[Energieübertragung]]: Bei isothermer Expansion wird Wärme zugeführt, bei isothermer Kompression Wärme abgeführt.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Größe bleibt bei einer isothermen Zustandsänderung konstant?'''
(Temperatur)
(!Druck)
(!Volumen)
(!Stoffmenge pro Volumen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Beziehung gilt für eine feste Menge idealen Gases bei konstanter Temperatur?'''
(p mal V ist konstant)
(!p durch V ist konstant)
(!p plus V ist konstant)
(!p minus V ist konstant)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht mit dem Druck bei isothermer Halbierung des Volumens?'''
(Der Druck verdoppelt sich)
(!Der Druck halbiert sich)
(!Der Druck bleibt gleich)
(!Der Druck wird null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Form hat eine Isotherme im p‑V‑Diagramm?'''
(Eine fallende Hyperbel)
(!Eine steigende Gerade)
(!Eine waagerechte Gerade)
(!Eine senkrechte Gerade)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie ändert sich die innere Energie eines idealen Gases bei einem isothermen Prozess?'''
(Sie bleibt konstant)
(!Sie steigt immer)
(!Sie sinkt immer)
(!Sie wird unendlich groß)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss bei einer isothermen Expansion eines idealen Gases geschehen?'''
(Dem Gas wird Wärme zugeführt)
(!Das Gas wird vollständig isoliert)
(!Dem Gas wird Stoff entzogen)
(!Der Druck bleibt konstant)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht bei einer isothermen Kompression?'''
(Wärme wird an die Umgebung abgegeben)
(!Die Temperatur steigt dauerhaft)
(!Das Volumen nimmt zu)
(!Der Druck nimmt ab)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was stellt die Fläche unter der Isotherme im p‑V‑Diagramm dar?'''
(Die Volumenarbeit)
(!Die Stoffmenge)
(!Die Temperatur)
(!Die Dichte des Kolbens)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum sollte eine idealisierte isotherme Zustandsänderung langsam ablaufen?'''
(Damit ausreichend Wärme ausgetauscht werden kann)
(!Damit kein Druck entsteht)
(!Damit das Gas seine Stoffmenge ändert)
(!Damit das Volumen konstant bleibt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Worin unterscheidet sich der adiabatische vom isothermen Prozess?'''
(Beim adiabatischen Prozess wird keine Wärme ausgetauscht)
(!Beim adiabatischen Prozess bleibt immer der Druck konstant)
(!Beim adiabatischen Prozess bleibt immer das Volumen konstant)
(!Beim adiabatischen Prozess gibt es keine Arbeit)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Isotherme || Kurve gleicher Temperatur
|-
| Boyle-Mariotte || Produkt aus Druck und Volumen konstant
|-
| Expansion || Vergrößerung des Gasraums
|-
| Kompression || Verkleinerung des Gasraums
|-
| Wärmebad || Ermöglicht thermischen Energieaustausch
|-
| Hyperbel || Form der Prozesskurve
|-
| Volumenarbeit || Fläche unter der p‑V‑Kurve
|-
| Idealgasmodell || Innere Energie hängt nur von Temperatur ab
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Isotherme Expansion
|-
| '''Temperatur'''
| bleibt konstant
|-
| '''Volumen'''
| nimmt zu
|-
| '''Druck'''
| nimmt ab
|-
| '''Wärmezufuhr'''
| gleicht die abgegebene Arbeit aus
|-
| '''Gasarbeit'''
| ist positiv

|}
{{E}}

<br>
...
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Isotherme || Wie heißt eine Kurve konstanter Temperatur im Druck-Volumen-Diagramm?
|-
| Hyperbel || Welche mathematische Kurvenform besitzt die Prozesslinie?
|-
| Kolben || Welches bewegliche Bauteil verändert häufig das Gasvolumen?
|-
| Wärmebad || Welche Umgebung hält im Modell die Temperatur konstant?
|-
| Expansion || Wie heißt die Vergrößerung des Gasvolumens?
|-
| Kompression || Wie heißt die Verkleinerung des Gasvolumens?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Isotherme+Zustandsänderung+Physik </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einer isothermen Zustandsänderung bleibt die { Temperatur } konstant.
Für eine feste Menge idealen Gases bleibt das Produkt aus Druck und Volumen { konstant }.
Die Isotherme erscheint im p‑V‑Diagramm als fallende { Hyperbel }.
Bei einer Expansion nimmt das Volumen { zu }.
Gleichzeitig nimmt bei der Expansion der Druck { ab }.
Damit die Temperatur während der Expansion gleich bleibt, wird dem Gas { Wärme } zugeführt.
Bei der Kompression muss thermische Energie an die Umgebung { abgegeben } werden.
Die innere Energie eines idealen Gases ändert sich bei konstanter Temperatur { nicht }.
Die Fläche unter der Prozesskurve beschreibt die verrichtete { Volumenarbeit }.
Ein guter thermischer Kontakt wird im Modell durch ein { Wärmebad } dargestellt.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Begriffsnetz]]: Erstelle ein Begriffsnetz mit Temperatur, Druck, Volumen, Wärme, Arbeit und innerer Energie.
# [[Diagramm zeichnen]]: Zeichne eine Isotherme in ein p‑V‑Diagramm und markiere Expansion sowie Kompression mit Pfeilen.
# [[Alltagsbeobachtung]]: Suche ein Beispiel, bei dem ein Gas langsam zusammengedrückt oder ausgedehnt wird, und erkläre, warum der Vorgang nur näherungsweise isotherm ist.
# [[Formelkarten]]: Gestalte Lernkarten zum Boyle-Mariotte-Gesetz und zu den wichtigsten Größen mit Einheit.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Spritzenexperiment]]: Untersuche mit einer verschlossenen Kunststoffspritze qualitativ den Zusammenhang zwischen Druck und Volumen und dokumentiere Sicherheitsregeln sowie Beobachtungen.
# [[Messwerttabelle]]: Erfinde plausible Wertepaare für Druck und Volumen mit konstantem Produkt und stelle sie grafisch dar.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein einminütiges Video, in dem Du Expansion, Kompression und Wärmeaustausch mit einem Kolbenmodell erklärst.
# [[Fehleranalyse]]: Prüfe eine Musterlösung, in der behauptet wird, bei einer Isotherme seien Druck und Volumen konstant, und verbessere die Begründung.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Versuchsplanung]]: Plane einen Versuch zur näherungsweisen Überprüfung des Boyle-Mariotte-Gesetzes mit Drucksensor, Volumenskala und Wasserbad.
# [[Arbeitsvergleich]]: Vergleiche die Arbeit einer isothermen Expansion mit der Arbeit eines Prozesses bei konstantem Außendruck und begründe Unterschiede anhand der Diagrammflächen.
# [[Modellkritik]]: Diskutiere, wann Luft nicht mehr ausreichend als ideales Gas beschrieben werden kann und welche Folgen das für die Rechnung hat.
# [[Carnot-Projekt]]: Erstelle ein Poster zum Carnot-Prozess und kennzeichne die beiden isothermen sowie die beiden adiabatischen Teilprozesse.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modell und Realität]]: Erkläre, warum eine schnelle Kompression in einer gut isolierenden Fahrradpumpe nicht isotherm verläuft, und leite daraus eine sinnvolle Änderung des Versuchsaufbaus ab.
# [[Diagrammdeutung]]: Zwei Isothermen liegen im p‑V‑Diagramm übereinander. Begründe, welche Kurve zur höheren Temperatur gehört.
# [[Energiebilanz]]: Ein ideales Gas expandiert isotherm und verrichtet Arbeit. Erkläre mit dem ersten Hauptsatz, woher die dafür benötigte Energie stammt.
# [[Transferrechnung]]: Ein Gas wird isotherm auf ein Drittel seines Volumens komprimiert. Leite ohne konkrete Zahlen her, um welchen Faktor sich der Druck ändert.
# [[Vorzeichenkonvention]]: Beschreibe den Unterschied zwischen der vom Gas verrichteten Arbeit und der am Gas verrichteten Arbeit bei einer Kompression.
# [[Prozessvergleich]]: Vergleiche eine isotherme mit einer adiabatischen Expansion hinsichtlich Wärmeaustausch, Temperaturänderung und Verlauf im p‑V‑Diagramm.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# die Bedingung <math>T=\mathrm{konstant}</math> fachlich erklären kannst,
# das Boyle-Mariotte-Gesetz auf unbekannte Anfangs- und Endzustände anwendest,
# Isothermen in einem p‑V‑Diagramm zeichnest und deutest,
# Expansion und Kompression über Wärme, Arbeit und innere Energie unterscheidest,
# die Arbeitsformel <math>W_\mathrm{Gas}=nRT\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)</math> passend einsetzt,
# Annahmen des idealen Gasmodells nennst und Grenzen des Modells beurteilst,
# isotherme und adiabatische Prozesse begründet vergleichst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Isotherme_Zustands%C3%A4nderung </iframe>

<br>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Isotherme Zustandsänderung - Physik]]'''
# [[Thermodynamik]]
# [[Ideales Gas]]
# [[Boyle-Mariotte-Gesetz]]
# [[Druck]]
# [[Volumen]]
# [[Temperatur]]
# [[Innere Energie]]
# [[Volumenarbeit]]
# [[Erster Hauptsatz der Thermodynamik]]
# [[Adiabatische Zustandsänderung]]
# [[Carnot-Prozess]]
|}

[[Kategorie:Physik]]
[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:Wärmelehre]]
[[Kategorie:Gasgesetze]]
[[Kategorie:Schule]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Sekundarstufe II]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Isotherme Zustandsänderung - Physik - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt