Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:27:45Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}
{{BR}}
= Integrationsregeln =

'''Fach:''' [[Mathematik]]
'''Klassenstufe:''' 10–13
'''Thema:''' [[Integralrechnung]], [[Stammfunktion]] und wichtige Regeln zum Integrieren

[[Datei:Integration area under curve.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Einleitung =

Beim [[Integrieren]] suchst Du eine [[Stammfunktion]]. Eine Funktion <math>F</math> ist eine Stammfunktion von <math>f</math>, wenn <math>F'(x)=f(x)</math> gilt.

<math>\int f(x)\,dx=F(x)+C</math>

Das <math>C</math> heißt [[Integrationskonstante]]. Du kannst Dein Ergebnis prüfen, indem Du es wieder [[Ableitung|ableitest]].

{{BR}}
== Lernvideo: Integrationsregeln ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=_7_aX2rvB-I |500|center}}

'''Aufgaben zum Video:'''
# [[Videonotizen]]: Notiere die Namen der Integrationsregeln, die im Video erklärt werden.
# [[Pause-Aufgabe]]: Stoppe vor jeder Beispielrechnung. Rechne zuerst selbst und vergleiche dann.
# [[Regelkarte]]: Schreibe zu jeder Regel eine kurze Erklärung und ein eigenes Beispiel.
# [[Integrationskonstante]]: Achte darauf, wann <math>+C</math> vorkommt. Erkläre seine Bedeutung.
# [[Videocheck]]: Berechne nach dem Video <math>\int (3x^2+4x-5)\,dx</math> und prüfe durch Ableiten.

[[Datei:Mathematrix Integrieren Theorie.webm|500px|center]]

{{BR}}
== Die wichtigsten Regeln ==

{| class="wikitable"
! Regel
! Formel
! Beispiel
|-
| [[Potenzregel]]
| <math>\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math> für <math>n\neq -1</math>
| <math>\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C</math>
|-
| [[Faktorregel]]
| <math>\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx</math>
| <math>\int 5x^2\,dx=\frac{5}{3}x^3+C</math>
|-
| [[Summenregel]]
| <math>\int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx</math>
| <math>\int (x^2+2x)\,dx=\frac{x^3}{3}+x^2+C</math>
|-
| [[Differenzregel]]
| <math>\int (f(x)-g(x))\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx</math>
| <math>\int (x^2-1)\,dx=\frac{x^3}{3}-x+C</math>
|-
| [[Konstante Funktion]]
| <math>\int a\,dx=ax+C</math>
| <math>\int 7\,dx=7x+C</math>
|}

[[Datei:Integral.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Sonderfall und Kontrolle ==

Für <math>n=-1</math> gilt die Potenzregel nicht. Der wichtige Sonderfall lautet:

<math>\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C</math>

'''Kontrolle:''' Leite Deine Stammfunktion ab. Du musst wieder den [[Integrand|Integranden]] erhalten.

[[Datei:Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Vom Integral zur Fläche ==

Ein [[Bestimmtes Integral|bestimmtes Integral]] kann einen orientierten Flächeninhalt beschreiben. Mit einer Stammfunktion <math>F</math> gilt:

<math>\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>

[[Datei:Riemann integral regular.gif|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Mathematrix Integrieren Aufgaben.webm|500px|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist F, wenn F'(x)=f(x) gilt?'''
(Eine Stammfunktion von f)
(!Eine Nullstelle von f)
(!Eine Gerade durch den Ursprung)
(!Eine Konstante ohne Bezug zu f)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gehört beim unbestimmten Integral zum Ergebnis?'''
(Die Integrationskonstante C)
(!Nur eine natürliche Zahl)
(!Immer die Grenze null)
(!Immer ein negatives Vorzeichen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist eine Stammfunktion von x hoch 3?'''
(x hoch 4 durch 4 plus C)
(!3x hoch 2 plus C)
(!x hoch 2 durch 2 plus C)
(!4x hoch 3 plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist eine Stammfunktion von 5x hoch 2?'''
(5x hoch 3 durch 3 plus C)
(!10x plus C)
(!5x hoch 2 plus C)
(!x hoch 3 durch 15 plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was sagt die Faktorregel?'''
(Ein konstanter Faktor kann vor dem Integral stehen bleiben)
(!Jeder Faktor wird zu null)
(!Der Faktor wird immer quadriert)
(!Der Faktor wird durch x ersetzt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was erlaubt die Summenregel?'''
(Summanden einzeln zu integrieren)
(!Nur den ersten Summanden zu integrieren)
(!Alle Pluszeichen durch Malzeichen zu ersetzen)
(!Die Funktion ohne Rechnung abzuleiten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist eine Stammfunktion der konstanten Funktion 7?'''
(7x plus C)
(!7 plus C)
(!x hoch 7 plus C)
(!7 durch x plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Für welchen Exponenten gilt die übliche Potenzregel nicht?'''
(Minus eins)
(!Null)
(!Eins)
(!Zwei)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie prüfst Du eine gefundene Stammfunktion?'''
(Du leitest sie ab)
(!Du rundest sie)
(!Du setzt immer x gleich null)
(!Du vertauschst alle Vorzeichen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Funktion ist eine Stammfunktion von 2x?'''
(x hoch 2 plus C)
(!2 plus C)
(!2x hoch 2 plus C)
(!x plus C)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Stammfunktion || Ableitung ergibt den Integranden
|-
| Potenzregel || Exponent um eins erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen
|-
| Faktorregel || Konstanter Faktor bleibt erhalten
|-
| Summenregel || Summanden getrennt integrieren
|-
| Integrationskonstante || Beliebige additive Konstante
|-
| Integralzeichen || Langes S als Rechenzeichen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Beschreibung
|-
| '''Potenzregel'''
| Exponent erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen
|-
| '''Faktorregel'''
| Konstante Faktoren können vor dem Integral bleiben
|-
| '''Summenregel'''
| Summanden dürfen einzeln integriert werden
|-
| '''Stammfunktion'''
| Ihre Ableitung ist der Integrand
|-
| '''Integrationskonstante'''
| Sie wird als C geschrieben

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Stammfunktion || Wie heißt eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist?
|-
| Potenzregel || Welche Regel erhöht beim Integrieren den Exponenten?
|-
| Faktorregel || Welche Regel behandelt konstante Faktoren?
|-
| Summenregel || Welche Regel erlaubt getrenntes Integrieren von Summanden?
|-
| Konstante || Welcher Funktionstyp hat überall denselben Wert?
|-
| Integralzeichen || Wie heißt das lange S vor dem Integranden?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Integrationsregeln </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Beim Integrieren suchst Du eine { Stammfunktion }. Ihre Ableitung ergibt den { Integranden }. Bei der Potenzregel wird der Exponent um { eins } erhöht. Ein konstanter Faktor kann mit der { Faktorregel } vor dem Integral bleiben. Summanden dürfen mit der { Summenregel } einzeln integriert werden. Beim unbestimmten Integral ergänzt Du die { Integrationskonstante }. Zur Kontrolle musst Du das Ergebnis wieder { ableiten }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Regelplakat]]: Gestalte ein kleines Plakat mit Potenzregel, Faktorregel und Summenregel.
# [[Videokarte]]: Schreibe drei Merksätze zum Lernvideo auf Karteikarten.
# [[Ableitungscheck]]: Finde eine Stammfunktion zu <math>f(x)=4x^3</math> und prüfe sie.
# [[Fehlersuche]]: Erkläre, warum <math>\int x^2\,dx=2x+C</math> falsch ist.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Eigene Beispiele]]: Erfinde zu jeder Grundregel eine Aufgabe mit Lösung.
# [[Video-Tutorial]]: Erstelle ein einminütiges Erklärvideo zur Potenzregel.
# [[Partnervergleich]]: Löse <math>\int (6x^2-4x+3)\,dx</math> und vergleiche Deinen Rechenweg.
# [[Graphische Deutung]]: Zeichne eine Funktion und markiere eine Fläche, die durch ein bestimmtes Integral beschrieben wird.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Regeln begründen]]: Erkläre die Potenzregel mithilfe der Ableitungsregel für Potenzen.
# [[Sonderfall]]: Untersuche, warum die Potenzregel bei <math>n=-1</math> nicht funktioniert.
# [[Anwendungsmodell]]: Eine Änderungsrate ist durch <math>v(t)=3t^2-2t</math> gegeben. Bestimme eine passende Bestandsfunktion und deute sie.
# [[Aufgabenanalyse]]: Prüfe eine selbst gewählte Musterlösung aus dem Video oder Unterricht und verbessere unklare Schritte.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Regelwahl]]: Begründe, welche Integrationsregeln Du bei <math>\int (4x^3-2x+5)\,dx</math> nutzt.
# [[Fehlerdiagnose]]: Eine Person schreibt <math>\int 3x^2\,dx=3x^3+C</math>. Erkläre den Fehler und korrigiere ihn.
# [[Rückwärtsdenken]]: Finde zwei verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion und erkläre ihren Zusammenhang.
# [[Transfer]]: Eine Geschwindigkeit wird durch <math>v(t)=2t+1</math> beschrieben. Bestimme eine Wegfunktion und erkläre die Rolle des Anfangswerts.
# [[Darstellungswechsel]]: Erkläre mit Worten, Formel und Skizze, wie Ableiten und Integrieren zusammenhängen.
# [[Video-Reflexion]]: Wähle eine Regel aus dem Video und erkläre, wann sie allein nicht ausreicht.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:
# die Begriffe [[Stammfunktion]], [[Integrand]] und [[Integrationskonstante]] sicher erklären,
# Potenzregel, Faktorregel, Summenregel und Differenzregel anwenden,
# Ergebnisse durch Ableiten prüfen,
# einfache bestimmte und unbestimmte Integrale unterscheiden,
# einen Rechenweg verständlich begründen,
# eine Aufgabe aus dem Lernvideo selbstständig lösen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Integrationsregeln]]'''
# [[Integralrechnung]]
# [[Stammfunktion]]
# [[Potenzregel]]
# [[Faktorregel]]
# [[Summenregel]]
# [[Differenzregel]]
# [[Integrationskonstante]]
# [[Bestimmtes Integral]]
# [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Integrationsregeln - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt