Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:27:39Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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= Integration durch Substitution =

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= Einleitung =

Die '''Integration durch Substitution''' ist eine Methode der [[Integralrechnung]]. Du ersetzt einen komplizierten Term durch eine neue Variable. Dadurch wird das Integral einfacher. Die Methode ist die Umkehrung der [[Kettenregel]].

[[Datei:Integral as region under curve.svg|500px|rahmenlos|center]]

Du lernst:
# [[Substitution (Mathematik)|Substitution]]: Einen passenden inneren Term wählen.
# [[Differential (Mathematik)|Differential]]: Den Faktor für die neue Variable bestimmen.
# [[Stammfunktion]]: Das vereinfachte Integral lösen.
# [[Bestimmtes Integral]]: Neue Grenzen berechnen.

{{BR}}
== Grundidee ==

Ein typisches Muster ist:

<math>\int f(g(x))\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x</math>

Setze <math>u=g(x)</math>. Dann gilt <math>\mathrm{d}u=g'(x)\,\mathrm{d}x</math>. So entsteht:

<math>\int f(u)\,\mathrm{d}u</math>

[[Datei:Chain rule animation.gif|400px|rahmenlos|center]]

'''Merksatz:''' Suche im Integranden eine innere Funktion und möglichst auch ihre Ableitung.

{{BR}}
== Vorgehen in fünf Schritten ==

# [[Innere Funktion]]: Wähle <math>u=g(x)</math>.
# [[Ableitung]]: Berechne <math>\mathrm{d}u=g'(x)\,\mathrm{d}x</math>.
# [[Umformen]]: Ersetze alle passenden Teile des Integrals.
# [[Integration]]: Berechne die Stammfunktion in <math>u</math>.
# [[Rücksubstitution]]: Ersetze bei unbestimmten Integralen <math>u</math> wieder durch <math>g(x)</math>.

{{BR}}
== Einfaches Beispiel ==

Berechne:

<math>\int 2x\cos(x^2)\,\mathrm{d}x</math>

Setze <math>u=x^2</math>. Dann ist <math>\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x</math>. Damit:

<math>\int \cos(u)\,\mathrm{d}u=\sin(u)+C</math>

Rücksubstitution:

<math>\sin(x^2)+C</math>

{{BR}}
== Bestimmte Integrale ==

Bei einem bestimmten Integral kannst Du die Grenzen sofort umrechnen. Für <math>u=g(x)</math> werden aus <math>x=a</math> und <math>x=b</math> die neuen Grenzen <math>u=g(a)</math> und <math>u=g(b)</math>.

<math>\int_a^b f(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,\mathrm{d}u</math>

Wenn Du mit neuen Grenzen rechnest, brauchst Du am Ende keine Rücksubstitution.

[[Datei:Integral approximations.svg|420px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernvideo ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Q_xuUYnutZo |500|center}}

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===

# [[Substitution erkennen]]: Notiere, welcher Term im Video durch eine neue Variable ersetzt wird.
# [[Differential bestimmen]]: Schreibe auf, wie das Differential der neuen Variable gebildet wird.
# [[Integrationsgrenzen]]: Erkläre, warum die Grenzen nach der Substitution geändert werden.
# [[Rechenweg prüfen]]: Halte das Video vor jedem Rechenschritt an und sage den nächsten Schritt voraus.
# [[Ergebnis kontrollieren]]: Beschreibe, wie Du das Ergebnis durch Ableiten prüfen kannst.
# [[Video-Zusammenfassung]]: Fasse die Methode des Videos in höchstens fünf Sätzen zusammen.

{{BR}}
== Weitere Erklärung ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=u-0eBMWtICE |500|center}}

{{BR}}
== Typische Fehler ==

# [[Faktor]]: Die Ableitung der inneren Funktion fehlt.
# [[Rücksubstitution]]: Bei unbestimmten Integralen bleibt versehentlich <math>u</math> stehen.
# [[Integrationsgrenze]]: Bei bestimmten Integralen werden alte und neue Grenzen vermischt.
# [[Probe]]: Das Ergebnis wird nicht durch Ableiten geprüft.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist das Ziel der Substitution?'''
(Ein kompliziertes Integral zu vereinfachen)
(!Eine Funktion nur zu zeichnen)
(!Eine Gleichung ohne Rechnung zu lösen)
(!Jede Variable durch eine Zahl zu ersetzen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Regel ist eng mit der Substitutionsregel verbunden?'''
(Kettenregel)
(!Produktregel)
(!Mitternachtsformel)
(!Sinussatz)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Substitution passt zu einem Term mit x hoch zwei im Kosinus?'''
(u gleich x hoch zwei)
(!u gleich Kosinus)
(!u gleich zwei)
(!u gleich null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist die Ableitung von u gleich x hoch zwei?'''
(du gleich zwei x dx)
(!du gleich x dx)
(!du gleich zwei dx)
(!du gleich x hoch zwei dx)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss bei einem unbestimmten Integral am Ende geschehen?'''
(Die neue Variable wird zurücksubstituiert)
(!Die Grenzen werden immer verdoppelt)
(!Die Konstante wird gelöscht)
(!Das Integral wird nur geschätzt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht bei bestimmten Integralen mit den Grenzen?'''
(Sie werden an die neue Variable angepasst)
(!Sie werden immer vertauscht)
(!Sie werden gestrichen)
(!Sie bleiben stets unverändert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie kann eine Stammfunktion kontrolliert werden?'''
(Durch Ableiten)
(!Durch Quadrieren)
(!Durch Runden)
(!Durch Spiegeln)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist die Stammfunktion von Kosinus u?'''
(Sinus u)
(!Minus Sinus u)
(!Kosinus u)
(!Tangens u)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist Substitution besonders passend?'''
(Wenn eine innere Funktion und ihre Ableitung vorkommen)
(!Wenn nur eine Zahl vorkommt)
(!Wenn kein Integralzeichen vorkommt)
(!Wenn nur eine Gerade gezeichnet wird)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zu neuen Grenzen ist richtig?'''
(Sie werden mit der Substitutionsfunktion berechnet)
(!Sie werden geraten)
(!Sie sind immer null und eins)
(!Sie werden aus der Ableitung abgelesen)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Substitution || Ersetzen eines Terms
|-
| Integrand || Ausdruck im Integral
|-
| Differential || Verbindung zwischen den Variablen
|-
| Rücksubstitution || Rückkehr zur Variablen x
|-
| Kettenregel || Grundlage der Methode
|-
| Stammfunktion || Ergebnis des unbestimmten Integrals
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Rechenschritt
|-
| '''Innere Funktion'''
| passenden Term auswählen
|-
| '''Ableitung'''
| Differential bilden
|-
| '''Umformung'''
| Integral vollständig in u schreiben
|-
| '''Integration'''
| Stammfunktion bestimmen
|-
| '''Rücksubstitution'''
| u wieder durch den x-Term ersetzen

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Substitution || Wie heißt das Ersetzen eines Terms durch eine neue Variable?
|-
| Kettenregel || Welche Ableitungsregel wird bei der Substitution rückwärts genutzt?
|-
| Integrand || Wie heißt der Ausdruck innerhalb eines Integrals?
|-
| Stammfunktion || Wie heißt eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist?
|-
| Grenzen || Was muss bei bestimmten Integralen umgerechnet werden?
|-
| Differential || Welcher Begriff beschreibt zum Beispiel du gleich g Strich von x mal dx?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Integration+durch+Substitution </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei der Integration durch Substitution wird ein komplizierter { Term } ersetzt. Häufig wählst Du die { innere Funktion } als neue Variable. Aus u gleich g von x folgt das { Differential } du gleich g Strich von x mal dx. Danach wird das Integral vollständig in der neuen { Variablen } geschrieben. Bei einem unbestimmten Integral folgt am Ende die { Rücksubstitution }. Bei einem bestimmten Integral müssen die { Grenzen } angepasst werden. Die Methode hängt eng mit der { Kettenregel } zusammen. Eine Probe gelingt durch { Ableiten }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Begriffskarte]]: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Substitution, Differential und Rücksubstitution.
# [[Video-Schrittfolge]]: Schreibe die Schritte aus dem Lernvideo in eigenen Worten auf.
# [[Innere Funktion markieren]]: Markiere in fünf Integralen jeweils die vermutete innere Funktion.
# [[Ableitungsprobe]]: Leite <math>\sin(x^2)</math> ab und erkläre den Zusammenhang mit dem Beispiel.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Rechenweg]]: Berechne <math>\int 3x^2 e^{x^3}\,\mathrm{d}x</math> und begründe Deine Substitution.
# [[Bestimmtes Integral]]: Berechne <math>\int_0^1 2x(1+x^2)^3\,\mathrm{d}x</math> mit neuen Grenzen.
# [[Fehlersuche]]: Erfinde einen typischen Fehler zur Substitution und erkläre die Korrektur.
# [[Erklärbild]]: Zeichne ein eigenes Schaubild, das den Wechsel von x zu u zeigt.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Herleitung]]: Leite die Substitutionsregel aus der Kettenregel her.
# [[Methodenvergleich]]: Löse ein bestimmtes Integral einmal mit neuen Grenzen und einmal mit Rücksubstitution.
# [[Aufgabenentwicklung]]: Erstelle ein Integral, das sich gut mit <math>u=2x+1</math> lösen lässt, und gib eine Lösung an.
# [[Lernvideo erstellen]]: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Beispiel, Probe und Hinweis auf typische Fehler.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Strategie begründen]]: Entscheide für drei verschiedene Integrale, ob Substitution sinnvoll ist, und begründe jede Entscheidung.
# [[Fehleranalyse]]: Untersuche einen Rechenweg, in dem das Differential falsch gebildet wurde, und verbessere ihn.
# [[Darstellungswechsel]]: Erkläre die Substitution mit Formel, Satz und eigenem Schaubild.
# [[Transfer]]: Beschreibe, warum eine Änderung der Variablen bei einem bestimmten Integral auch neue Grenzen verlangt.
# [[Aufgabe konstruieren]]: Erfinde zwei verschiedene Integrale mit derselben Substitution und vergleiche ihre Lösungen.
# [[Methodenwahl]]: Vergleiche Substitution und [[Partielle Integration]] an passenden Beispielen.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du:
# eine passende [[Substitution (Mathematik)|Substitution]] auswählen,
# das [[Differential (Mathematik)|Differential]] korrekt bilden,
# das Integral vollständig umformen,
# eine [[Stammfunktion]] berechnen,
# bei bestimmten Integralen die Grenzen ändern,
# bei unbestimmten Integralen zurücksubstituieren,
# das Ergebnis durch Ableiten prüfen,
# Deinen Rechenweg verständlich begründen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Integration durch Substitution]]'''
# [[Integralrechnung]]
# [[Substitution (Mathematik)]]
# [[Kettenregel]]
# [[Stammfunktion]]
# [[Bestimmtes Integral]]
# [[Unbestimmtes Integral]]
# [[Differential (Mathematik)]]
# [[Partielle Integration]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Integration durch Substitution - Versionsgeschichte

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