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2026-07-13T21:27:36Z

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{{T}}
{{BR}}
= Integralrechnung - Grundlagen =

{{BR}}
= Einleitung =

Die [[Integralrechnung]] hilft Dir, Flächen und angesammelte Größen zu berechnen. Du brauchst dafür vor allem [[Funktion]], [[Stammfunktion]] und [[Bestimmtes Integral|bestimmtes Integral]].

[[Datei:Integral-area-under-curve.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Du lernst:'''
# [[Flächenberechnung]] unter einem Graphen
# [[Stammfunktion|Stammfunktionen]] bilden
# bestimmte [[Integral|Integrale]] berechnen
# Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten

{{BR}}
== Fläche unter einem Graphen ==

Das bestimmte Integral

<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x</math>

beschreibt den '''orientierten Flächeninhalt''' zwischen dem Graphen von <math>f</math> und der x-Achse. Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv. Flächen unterhalb zählen negativ.

[[Datei:Integral as region under curve.svg|500px|rahmenlos|center]]

Für den echten geometrischen Flächeninhalt musst Du an [[Nullstelle|Nullstellen]] teilen und negative Teilflächen positiv nehmen.

{{BR}}
== Stammfunktion ==

Eine Funktion <math>F</math> ist eine [[Stammfunktion]] von <math>f</math>, wenn gilt:

<math>F'(x)=f(x)</math>

Die [[Potenzregel]] lautet für <math>n\neq -1</math>:

<math>\int x^n\,\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>

Das <math>C</math> heißt [[Integrationskonstante]].

[[Datei:Fundamental theorem of calculus (animation).gif|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Bestimmtes Integral berechnen ==

# '''Stammfunktion bilden''': Finde <math>F</math> mit <math>F'=f</math>.
# '''Grenzen einsetzen''': Berechne <math>F(b)</math> und <math>F(a)</math>.
# '''Subtrahieren''': <math>\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)</math>.

'''Beispiel:'''

<math>\int_0^2 x\,\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^2=2</math>

{{BR}}
== Rechtecksumme ==

Eine Fläche lässt sich durch schmale Rechtecke annähern. Je schmaler die Rechtecke sind, desto genauer wird die Näherung.

[[Datei:Riemann Integral mit Obersumme und Untersumme.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Riemann sum convergence.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernvideo: Grundlagen des bestimmten Integrals ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Q6SyfR76k2s |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Videonotiz]]: Schreibe fünf wichtige Begriffe aus dem Video auf.
# [[Rechenweg]]: Notiere die Schritte zur Berechnung eines bestimmten Integrals in der richtigen Reihenfolge.
# [[Integrationsgrenze]]: Erkläre mit eigenen Worten, wofür <math>a</math> und <math>b</math> stehen.
# [[Stammfunktion]]: Stoppe das Video vor einer Rechnung und bilde die Stammfunktion selbst.
# [[Fehleranalyse]]: Erkläre, warum beim bestimmten Integral die Konstante <math>C</math> wegfällt.
# [[Transfer]]: Erfinde eine einfache Funktion und passende Grenzen. Berechne das Integral.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was beschreibt ein bestimmtes Integral geometrisch?'''
(Einen orientierten Flächeninhalt)
(!Eine einzelne Steigung)
(!Einen Schnittpunkt)
(!Einen Funktionsnamen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist F eine Stammfunktion von f?'''
(Wenn die Ableitung von F gleich f ist)
(!Wenn F und f denselben Graphen haben)
(!Wenn F immer positiv ist)
(!Wenn F keine Variable enthält)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Stammfunktion gehört zu f gleich x Quadrat?'''
(Ein Drittel x hoch drei plus C)
(!Zwei x plus C)
(!x hoch zwei plus C)
(!Drei x Quadrat plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der erste Schritt beim Berechnen eines bestimmten Integrals?'''
(Eine Stammfunktion bilden)
(!Die Grenzen addieren)
(!Den Graphen spiegeln)
(!Die Variable löschen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie wird ein bestimmtes Integral mit einer Stammfunktion berechnet?'''
(F von b minus F von a)
(!F von a minus F von b)
(!F von a plus F von b)
(!F von a mal F von b)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wofür steht C beim unbestimmten Integral?'''
(Für eine beliebige Konstante)
(!Für die obere Grenze)
(!Für die Kurvenlänge)
(!Für die x-Achse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie zählt eine Fläche unterhalb der x-Achse im bestimmten Integral?'''
(Negativ)
(!Positiv)
(!Doppelt)
(!Gar nicht)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Wert hat ein Integral von a bis a?'''
(Null)
(!Eins)
(!a)
(!Unendlich)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Einheit hat ein Flächeninhalt?'''
(Quadrateinheiten)
(!Längeneinheiten)
(!Zeitpunkte)
(!Grad)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht bei einer Rechtecksumme mit immer schmaleren Rechtecken?'''
(Die Näherung wird genauer)
(!Die Fläche wird immer null)
(!Die Funktion wird linear)
(!Die Grenzen verschwinden)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Stammfunktion || Ableitung ergibt den Integranden
|-
| Integrand || Funktion im Integral
|-
| Integrationsgrenzen || Anfang und Ende des Bereichs
|-
| Bestimmtes Integral || Orientierter Flächeninhalt
|-
| Integrationskonstante || Beliebige Konstante C
|-
| Riemannsumme || Summe kleiner Rechtecksflächen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Berechnung
|-
| '''Stammfunktion bilden'''
| Erster Rechenschritt
|-
| '''Obere Grenze einsetzen'''
| F von b
|-
| '''Untere Grenze einsetzen'''
| F von a
|-
| '''Werte subtrahieren'''
| F von b minus F von a
|-
| '''Vorzeichen prüfen'''
| Geometrischen Flächeninhalt bestimmen
|}
{{E}}

<br>
...
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Integral || Wie heißt das Rechenzeichen mit dem lang gezogenen S?
|-
| Stammfunktion || Welche Funktion wird beim Integrieren gesucht?
|-
| Integrand || Wie heißt die Funktion innerhalb des Integralzeichens?
|-
| Grenzen || Was legen a und b beim bestimmten Integral fest?
|-
| Flaeche || Welche geometrische Größe wird mit Integralen berechnet?
|-
| Rechtecksumme || Welche Summe nähert die Fläche unter einem Graphen an?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Integralrechnung+Grundlagen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Integralrechnung berechnet angesammelte { Größen }.
Die Funktion im Integral heißt { Integrand }.
Eine Funktion F mit F gleich f abgeleitet heißt { Stammfunktion }.
Der Wert a ist die { untere } Integrationsgrenze.
Beim bestimmten Integral wird F von a von F von b { subtrahiert }.
Beim unbestimmten Integral ergänzt man die Konstante { C }.
Eine Fläche unterhalb der x-Achse zählt im bestimmten Integral { negativ }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Fläche markieren]]: Zeichne einen Graphen und schraffiere die Fläche zwischen Graph und x-Achse.
# [[Symbol erklären]]: Beschrifte an einem Integralzeichen Integrand, Variable und Grenzen.
# [[Video-Wortschatz]]: Gestalte eine kleine Wortwolke mit Begriffen aus dem Lernvideo.
# [[Rechenfehler finden]]: Prüfe eine Beispielrechnung und markiere einen eingebauten Fehler.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Integral berechnen]]: Berechne <math>\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x</math> und kontrolliere durch Ableiten.
# [[Graphen vergleichen]]: Zeichne <math>f(x)=2x</math> und eine Stammfunktion. Beschreibe den Zusammenhang.
# [[Geschwindigkeit und Weg]]: Erkläre, wie aus einer Geschwindigkeitsfunktion ein zurückgelegter Weg entsteht.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein einminütiges Video zu den drei Rechenschritten.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Vorzeichenwechsel]]: Berechne bei einer Funktion mit Nullstelle Integralwert und geometrischen Flächeninhalt getrennt.
# [[Rechtecksumme untersuchen]]: Vergleiche Näherungen mit vier, acht und sechzehn Rechtecken.
# [[Sachmodell entwickeln]]: Erfinde eine Zuflussrate für einen Tank und deute das Integral.
# [[Hauptsatz erklären]]: Zeige an einem eigenen Beispiel, wie Ableiten und Integrieren zusammenhängen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Methodenwahl]]: Entscheide bei drei Darstellungen, ob Du eine Stammfunktion, eine Rechtecksumme oder eine Flächenzerlegung verwenden würdest. Begründe.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Rechnung verwendet <math>F(a)-F(b)</math>. Erkläre den Fehler und verbessere den Rechenweg.
# [[Vorzeichen deuten]]: Ein Integralwert ist negativ. Nenne zwei mögliche Bedeutungen im Graphen und im Sachzusammenhang.
# [[Modellieren]]: Eine Zuflussrate ist gegeben. Beschreibe, was das Integral über zwei Stunden aussagt und welche Einheit das Ergebnis hat.
# [[Darstellungen verbinden]]: Erkläre, wie Graph, Rechtecksumme und Stammfunktion dieselbe Flächenidee zeigen.
# [[Transfer]]: Entwickle eine Aufgabe aus Alltag oder Naturwissenschaft, die mit einem bestimmten Integral gelöst werden kann.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig:
# Du erklärst [[Integrand]], [[Stammfunktion]] und [[Integrationsgrenze]] sicher.
# Du bildest einfache Stammfunktionen mit der [[Potenzregel]].
# Du berechnest bestimmte Integrale mit <math>F(b)-F(a)</math>.
# Du unterscheidest Integralwert und geometrischen Flächeninhalt.
# Du deutest ein Integral in einem Sachzusammenhang mit passender Einheit.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Integralrechnung - Grundlagen]]'''
# [[Integralrechnung]]
# [[Stammfunktion]]
# [[Bestimmtes Integral]]
# [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]
# [[Flächenberechnung]]
# [[Riemannsumme]]
# [[Differentialrechnung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Klasse 10-13]]
[[Kategorie:Oberstufe]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Integralrechnung - Grundlagen - Versionsgeschichte

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