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2026-07-13T21:27:36Z

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{{BR}}
= Integral und Mittelwert von Funktionen =

'''Fach:''' [[Mathematik]] · '''Niveau:''' [[Klasse 11-13]] · '''Thema:''' [[Analysis]] und [[Integralrechnung]]

{{BR}}
= Einleitung =

Mit einem [[Bestimmtes Integral|bestimmten Integral]] kannst Du viele kleine Beiträge zusammenfassen. Liegt der Graph über der x-Achse, beschreibt das Integral die Fläche unter dem Graphen. Flächen unter der x-Achse zählen negativ. Deshalb spricht man von einer '''orientierten Fläche''' oder '''Flächenbilanz'''.

[[Datei:Integral-area-under-curve.svg|500px|rahmenlos|center]]

Für eine Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> gilt:

<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x</math>

Zur Berechnung nutzt Du meist eine [[Stammfunktion]] <math>F</math>:

<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)</math>

[[Datei:Integral as region under curve.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Mittelwert einer Funktion ==

Der [[Mittelwert]] einer Funktion ist ihre '''durchschnittliche Höhe''' im Intervall. Du teilst den Integralwert durch die Intervalllänge:

<math>\overline f=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x</math>

Anschaulich ersetzt Du die Fläche durch ein gleich großes Rechteck. Seine Breite ist <math>b-a</math>. Seine Höhe ist <math>\overline f</math>.

[[Datei:Integral.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Beispiel:''' Für <math>f(x)=x^2</math> im Intervall <math>[0;3]</math> gilt:

<math>\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=9</math>

<math>\overline f=\frac{9}{3-0}=3</math>

Der Mittelwert ist also '''3'''.

[[Datei:1 over x integral.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernvideo ==

Das Video erklärt die Herleitung des Mittelwerts einer Funktion:

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=fIdVHnb0vvU |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Mittelwertformel]]: Notiere die Formel aus dem Video und erkläre jedes Zeichen.
# [[Intervalllänge]]: Erkläre, warum durch <math>b-a</math> geteilt wird.
# [[Rechteckmodell]]: Zeichne ein Mittelwertrechteck zu einem selbst gewählten Graphen.
# [[Herleitung]]: Beschreibe den Übergang von vielen einzelnen Funktionswerten zum Integral.
# [[Kontrollrechnung]]: Berechne den Mittelwert von <math>f(x)=x^2</math> im Intervall <math>[0;1]</math>.

{{BR}}
== Zweites Erklärvideo ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Y4cPEgR3LUg |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie berechnet man den Mittelwert einer Funktion im Intervall von a bis b?'''
(Integralwert geteilt durch b minus a)
(!Integralwert mal b minus a)
(!Ableitung geteilt durch a plus b)
(!Funktionswert an der Stelle b)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt ein bestimmtes Integral bei einer positiven Funktion?'''
(Die Fläche zwischen Graph und x-Achse)
(!Die Steigung am linken Rand)
(!Die Nullstelle der Funktion)
(!Die Länge des Graphen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lang ist das Intervall von a bis b?'''
(b minus a)
(!a minus b)
(!a plus b)
(!a mal b)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Höhe hat das Mittelwertrechteck?'''
(Den Mittelwert der Funktion)
(!Die obere Intervallgrenze)
(!Die größte Nullstelle)
(!Die Ableitung an der Stelle a)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Mittelwert hat die konstante Funktion f gleich 5?'''
(5)
(!0)
(!10)
(!25)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Mittelwert hat f gleich x im Intervall von 0 bis 2?'''
(1)
(!0)
(!2)
(!4)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie wirken Flächen unter der x-Achse im bestimmten Integral?'''
(Sie werden negativ gezählt)
(!Sie werden doppelt gezählt)
(!Sie werden immer positiv gezählt)
(!Sie werden nicht berücksichtigt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was braucht man meist zur Berechnung eines bestimmten Integrals?'''
(Eine Stammfunktion)
(!Eine Tangente)
(!Eine Wertetabelle mit nur einem Wert)
(!Eine Winkelhalbierende)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Einheit hat der Funktionsmittelwert?'''
(Dieselbe Einheit wie die Funktionswerte)
(!Immer Quadratmeter)
(!Keine Einheit)
(!Das Quadrat der x-Einheit)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum wird der Integralwert durch die Intervalllänge geteilt?'''
(Damit eine durchschnittliche Höhe entsteht)
(!Damit die Funktion abgeleitet wird)
(!Damit alle Werte positiv werden)
(!Damit die Intervallgrenzen verschwinden)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Bestimmtes Integral || Bilanzfläche
|-
| Stammfunktion || Ableitung ergibt Ausgangsfunktion
|-
| Intervalllänge || Abstand der Grenzen
|-
| Funktionsmittelwert || Durchschnittliche Höhe
|-
| Mittelwertrechteck || Flächengleiche Darstellung
|-
| Integrationsgrenzen || Start und Ende
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Bestimmtes Integral'''
| Flächenbilanz im Intervall
|-
| '''Intervalllänge'''
| Abstand zwischen unterer und oberer Grenze
|-
| '''Normierungsfaktor'''
| Kehrwert der Intervalllänge
|-
| '''Funktionsmittelwert'''
| Durchschnittliche Höhe des Graphen
|-
| '''Mittelwertrechteck'''
| Rechteck mit gleicher Bilanzfläche

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Integral || Wie heißt die mathematische Summe sehr vieler kleiner Beiträge?
|-
| Stammfunktion || Welche Funktion nutzt man meist zum Auswerten eines bestimmten Integrals?
|-
| Intervall || Wie heißt der Bereich zwischen zwei Grenzen?
|-
| Mittelwert || Wie heißt die durchschnittliche Höhe einer Funktion?
|-
| Rechteck || Welche Form veranschaulicht den Funktionsmittelwert?
|-
| Bilanzfläche || Wie nennt man die orientierte Fläche zwischen Graph und x-Achse?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Integral+und+Mittelwert+von+Funktionen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein bestimmtes Integral wird meist mit einer { Stammfunktion } berechnet. Die Länge des Intervalls von a bis b ist { b-a }. Der Funktionsmittelwert entsteht durch das Integral geteilt durch die { Intervalllänge }. Das bestimmte Integral beschreibt eine orientierte { Flächenbilanz }. Die Höhe des flächengleichen Rechtecks ist der { Mittelwert }. Flächen unter der x-Achse erhalten ein negatives { Vorzeichen }. Der Mittelwert besitzt dieselbe Einheit wie die { Funktionswerte }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Skizze]]: Zeichne einen positiven Funktionsgraphen und markiere die Fläche von <math>a</math> bis <math>b</math>.
# [[Formelkarte]]: Gestalte eine kleine Lernkarte zur Mittelwertformel.
# [[Konstante Funktion]]: Erkläre, warum der Mittelwert von <math>f(x)=4</math> immer 4 ist.
# [[Video-Zusammenfassung]]: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.

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=== Standard ===

# [[Berechnung]]: Bestimme den Mittelwert von <math>f(x)=x^2</math> im Intervall <math>[0;2]</math>.
# [[Intervallvergleich]]: Vergleiche den Mittelwert von <math>f(x)=x</math> auf <math>[0;2]</math> und <math>[2;4]</math>.
# [[Temperaturmodell]]: Erfinde eine einfache Temperaturfunktion und deute ihren Mittelwert.
# [[GeoGebra]]: Erstelle eine Grafik mit Funktion, Integralfläche und Mittelwertgerade.

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=== Schwer ===

# [[Riemannsumme]]: Erkläre, wie aus vielen Rechtecken ein bestimmtes Integral entsteht.
# [[Mittelwertsatz der Integralrechnung]]: Begründe, warum eine stetige Funktion ihren Mittelwert mindestens einmal annimmt.
# [[Funktionsvergleich]]: Finde zwei verschiedene Funktionen mit demselben Mittelwert im gleichen Intervall.
# [[Modellierung]]: Sammle Messwerte, finde ein passendes Funktionsmodell und berechne den Mittelwert.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

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= Lernkontrolle =

# [[Flächengleiche Funktionen]]: Zwei Funktionen haben im selben Intervall denselben Integralwert. Begründe, was für ihre Mittelwerte gilt.
# [[Vorzeichenwechsel]]: Eine Funktion liegt teils über und teils unter der x-Achse. Erkläre, warum ein Mittelwert von null möglich ist.
# [[Intervallwahl]]: Zeige an einer steigenden Funktion, wie sich der Mittelwert beim Verschieben des Intervalls verändert.
# [[Anwendung Geschwindigkeit]]: Erkläre den Unterschied zwischen momentaner und mittlerer Geschwindigkeit.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person vergisst den Faktor <math>\frac{1}{b-a}</math>. Erkläre den Fehler und seine Wirkung.
# [[Transfer]]: Entwickle eine Alltagssituation, in der ein Integral zuerst eine Gesamtmenge und danach einen Mittelwert liefert.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für den Lernnachweis solltest Du:

# die Mittelwertformel erklären,
# ein bestimmtes Integral berechnen,
# ein Mittelwertrechteck deuten,
# Einheiten richtig verwenden,
# eine Anwendung modellieren,
# einen Rechenweg verständlich begründen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Integralrechnung </iframe>

<iframe> https://de.serlo.org/mathe/309404/mittelwertberechnung-mithilfe-eines-integrals </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Integral und Mittelwert von Funktionen]]'''
# [[Analysis]]
# [[Integralrechnung]]
# [[Bestimmtes Integral]]
# [[Stammfunktion]]
# [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]
# [[Mittelwert]]
# [[Mittelwertsatz der Integralrechnung]]
# [[Riemannsumme]]
# [[Flächenberechnung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Oberstufe]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]
[[Kategorie:Schule]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Integral und Mittelwert von Funktionen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt