Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:27:33Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}
{{BR}}
= Horner-Schema - Nullstellen berechnen =

{{BR}}
= Einleitung =

Mit dem '''[[Horner-Schema]]''' kannst Du eine vermutete [[Nullstelle]] schnell prüfen. Gleichzeitig teilst Du ein [[Polynom]] durch einen [[Linearfaktor]]. Das Verfahren ist eine kurze Form der [[Polynomdivision]].

[[Datei:Polynomialdeg3.svg|500px|rahmenlos|center]]

Der Graph zeigt ein Polynom dritten Grades mit drei Nullstellen. An einer Nullstelle gilt <math>p(x)=0</math>.

{{BR}}
== Lernziele ==

Du kannst nach diesem aiMOOC:
# [[Koeffizient|Koeffizienten]] richtig in das Horner-Schema eintragen.
# eine mögliche Nullstelle prüfen.
# aus dem Restwert erkennen, ob die Zahl eine Nullstelle ist.
# das kleinere Restpolynom weiter lösen.

{{BR}}
= Video: Horner-Schema erklärt =

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=8LfYZzR_K_k |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Beobachtungsauftrag]]: Schreibe beim Ansehen die Rechenschritte in der richtigen Reihenfolge auf.
# [[Pause-Aufgabe]]: Stoppe das Video vor einem Rechenschritt und berechne ihn selbst.
# [[Merksatz]]: Formuliere in einem Satz, was der letzte Wert im Schema bedeutet.
# [[Fehlende Potenz]]: Notiere, was Du tun musst, wenn im Polynom zum Beispiel kein <math>x^2</math>-Term vorkommt.
# [[Vergleich]]: Vergleiche Deinen Rechenweg mit dem Lösungsweg im Video und verbessere mögliche Fehler.

{{BR}}
= So funktioniert das Horner-Schema =

Gegeben ist:

<math>p(x)=x^3-6x^2+11x-6</math>

Da der höchste Koeffizient <math>1</math> ist, sind die ganzzahligen Teiler von <math>-6</math> mögliche Nullstellen. Wir testen <math>x=1</math>.

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center"
! Schritt
! 1
! -6
! 11
! -6
|-
| Testwert 1
| ↓
| 1
| -5
| 6
|-
! Ergebnis
! 1
! -5
! 6
! 0
|}

'''Rechenregel:''' Erste Zahl herunterziehen. Dann immer '''multiplizieren und addieren'''.

Der letzte Wert ist <math>0</math>. Also ist <math>x=1</math> eine Nullstelle. Die anderen Ergebnisse bilden das Restpolynom:

<math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math>

Damit sind die Nullstellen:

<math>x_1=1,\quad x_2=2,\quad x_3=3</math>

[[Datei:Quadratic function graph key values.svg|500px|rahmenlos|center]]

Das Restpolynom ist quadratisch. Du kannst es durch [[Faktorisierung]], die [[pq-Formel]] oder die [[Mitternachtsformel]] lösen.

{{BR}}
== Wichtige Regeln ==

# [[Lücke im Polynom]]: Fehlt eine Potenz, trägst Du den Koeffizienten <math>0</math> ein.
# [[Restwert]]: Ist der letzte Wert <math>0</math>, wurde eine Nullstelle gefunden.
# [[Linearfaktor]]: Zur Nullstelle <math>a</math> gehört der Faktor <math>x-a</math>.
# [[Grad]]: Nach dem Abspalten eines Linearfaktors sinkt der Grad um eins.

[[Datei:Polynomial roots multiplicity.svg|500px|rahmenlos|center]]

Das Bild zeigt eine einfache und eine mehrfache Nullstelle. Beide haben den Funktionswert null.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist eine Nullstelle eines Polynoms?'''
(Ein x-Wert mit Funktionswert null)
(!Ein x-Wert mit Funktionswert eins)
(!Der höchste Koeffizient)
(!Der y-Achsenabschnitt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahlen werden zuerst in das Horner-Schema eingetragen?'''
(Die Koeffizienten des Polynoms)
(!Die Exponenten des Polynoms)
(!Nur die Nullstellen)
(!Die Punkte des Graphen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was trägst Du bei einer fehlenden Potenz ein?'''
(Null)
(!Eins)
(!Den Testwert)
(!Ein Fragezeichen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahlen sind Kandidaten für ganzzahlige Nullstellen eines normierten Polynoms?'''
(Teiler des konstanten Glieds)
(!Nur positive Zahlen)
(!Nur gerade Zahlen)
(!Die Exponenten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet ein Restwert von null?'''
(Die getestete Zahl ist eine Nullstelle)
(!Das Polynom hat keine Nullstelle)
(!Der Testwert war zu groß)
(!Alle Koeffizienten sind null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie verändert sich der Grad nach dem Abspalten eines Linearfaktors?'''
(Er wird um eins kleiner)
(!Er wird um eins größer)
(!Er bleibt immer gleich)
(!Er wird automatisch null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Linearfaktor gehört zur Nullstelle a?'''
(x minus a)
(!x plus a)
(!a minus x hoch zwei)
(!x mal a)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist eine Nullstelle von x hoch drei minus sechs x hoch zwei plus elf x minus sechs?'''
(Eins)
(!Null)
(!Vier)
(!Fünf)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches Restpolynom entsteht beim Testwert eins im Beispiel?'''
(x hoch zwei minus fünf x plus sechs)
(!x hoch zwei plus fünf x plus sechs)
(!x hoch drei minus fünf x plus sechs)
(!x minus sechs)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Nullstellen hat das Beispielpolynom?'''
(Eins zwei und drei)
(!Null eins und zwei)
(!Minus eins zwei und sechs)
(!Eins drei und sechs)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Nullstelle || Funktionswert null
|-
| Koeffizienten || Zahlen vor den Potenzen
|-
| Horner-Schema || kurze Polynomdivision
|-
| Restwert || letzter Wert der Ergebniszeile
|-
| Linearfaktor || x minus eingesetzter Wert
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Koeffizienten notieren'''
| erster Schritt
|-
| '''Erste Zahl herunterziehen'''
| Start der Rechnung
|-
| '''Multiplizieren'''
| Testwert mal letztes Ergebnis
|-
| '''Addieren'''
| Spaltenwert plus Produkt
|-
| '''Rest prüfen'''
| Entscheidung über die Nullstelle

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Horner || Nach wem ist das Schema benannt?
|-
| Nullstelle || Wie heißt ein x-Wert mit Funktionswert null?
|-
| Koeffizient || Wie heißt eine Zahl vor einer Potenz?
|-
| Restwert || Wie heißt der letzte Wert im Schema?
|-
| Linearfaktor || Welcher Faktor wird bei einer gefundenen Nullstelle abgespalten?
|-
| Polynomdivision || Welches längere Verfahren wird durch das Schema verkürzt?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Horner-Schema+-+Nullstellen+berechnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein Polynom wird im Horner-Schema durch seine { Koeffizienten } dargestellt. Bei einer fehlenden Potenz trägst Du den Koeffizienten { null } ein. Eine vermutete Nullstelle wird als { Testwert } verwendet. Ist der letzte Wert null, ist die getestete Zahl eine { Nullstelle }. Die übrigen Werte bilden die Koeffizienten des { Restpolynoms }. Zur Nullstelle a gehört der Linearfaktor { x-a }. Das Restpolynom hat einen um eins kleineren { Grad }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Video-Notizen]]: Schreibe fünf kurze Schritte aus dem Video auf.
# [[Rechenkarte]]: Erstelle eine Karte mit der Regel „herunterziehen, multiplizieren, addieren“.
# [[Beispielrechnung]]: Prüfe mit dem Horner-Schema, ob <math>x=2</math> eine Nullstelle von <math>x^3-6x^2+11x-6</math> ist.
# [[Bildanalyse]]: Markiere im Bild „Polynomialdeg3.svg“ die sichtbaren Nullstellen und beschreibe sie.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Video-Stopp-Protokoll]]: Stoppe das Video an drei Stellen, rechne weiter und vergleiche danach.
# [[Eigene Aufgabe]]: Erfinde ein Polynom dritten Grades mit den Nullstellen <math>1</math>, <math>2</math> und <math>4</math>.
# [[Methodenvergleich]]: Löse eine Aufgabe einmal mit dem Horner-Schema und einmal mit der Polynomdivision.
# [[Partnererklärung]]: Erkläre einer Person, warum eine fehlende Potenz als Koeffizient null eingetragen wird.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Fehlerdiagnose]]: Erstelle ein absichtlich falsches Horner-Schema und lasse den Fehler finden.
# [[Transferaufgabe]]: Untersuche <math>p(x)=2x^3-3x^2-8x+12</math> auf ganzzahlige Nullstellen.
# [[Digitales Modell]]: Zeichne ein Polynom und seine Nullstellen mit einer [[Dynamische Geometriesoftware|dynamischen Geometriesoftware]].
# [[Algorithmus]]: Formuliere das Horner-Schema als klare Schrittfolge oder als Pseudocode.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Methodenwahl]]: Entscheide bei drei Polynomen, ob Horner-Schema, Faktorisierung oder eine quadratische Lösungsformel am günstigsten ist. Begründe.
# [[Fehler erklären]]: In einem Schema wurde eine fehlende Potenz ausgelassen. Erkläre die Folge für alle weiteren Rechenschritte.
# [[Zusammenhang darstellen]]: Zeige an einem Beispiel, wie Nullstelle, Linearfaktor und Restwert zusammenhängen.
# [[Modellieren]]: Konstruiere ein Polynom dritten Grades aus drei vorgegebenen Nullstellen und prüfe eine davon mit dem Horner-Schema.
# [[Grenzen beurteilen]]: Erkläre, warum das Horner-Schema allein nicht immer sofort alle Nullstellen liefert.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig:
# Du trägst alle Koeffizienten vollständig und in richtiger Reihenfolge ein.
# Du führst Multiplikation und Addition fehlerfrei aus.
# Du deutest den Restwert richtig.
# Du schreibst das Restpolynom korrekt auf.
# Du erklärst Deinen Rechenweg mit eigenen Worten.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Horner-Schema </iframe>

[[Datei:Cubic graph special points.svg|500px|rahmenlos|center]]

Die Grafik verbindet Nullstellen mit weiteren wichtigen Punkten einer kubischen Funktion.

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Horner-Schema - Nullstellen berechnen]]'''
# [[Horner-Schema]]
# [[Nullstelle]]
# [[Polynom]]
# [[Polynomdivision]]
# [[Linearfaktor]]
# [[Faktorisierung]]
# [[Ganzrationale Funktion]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Nullstellen]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Horner-Schema - Nullstellen berechnen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt