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2026-07-28T13:29:51Z

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= Einleitung =

Die '''Heisenbergsche Unschärferelation''' ist ein Grundprinzip der [[Quantenmechanik]]. Sie besagt: Bei bestimmten Paaren physikalischer Größen können die Werte nicht gleichzeitig beliebig scharf festgelegt sein. Das wichtigste Paar ist '''Ort''' und '''Impuls'''. Wird der Ort eines Teilchens sehr genau eingegrenzt, muss seine Impulsverteilung breiter werden – und umgekehrt.

Die Unschärfe ist nicht einfach ein Fehler schlechter Messgeräte. Sie gehört zur quantenmechanischen Beschreibung eines Zustands. Im Alltag fällt sie kaum auf, weil das [[Plancksches Wirkungsquantum|Plancksche Wirkungsquantum]] extrem klein ist.

[[Datei:Werner Heisenberg Portrait (3x4 cropped).jpg|350px|rahmenlos|center]]

[[Werner Heisenberg]] formulierte die nach ihm benannte Relation im Jahr 1927. Sie veränderte die Vorstellung, Teilchen müssten jederzeit zugleich einen exakt bestimmten Ort und einen exakt bestimmten Impuls besitzen.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=dYz5g_3Ikvw |500|center}}

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= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du die Orts-Impuls-Unschärfe erklären, ihre Formel anwenden, ein Beugungsexperiment mit ihr verbinden und verbreitete Fehlvorstellungen unterscheiden. Außerdem kannst Du begründen, warum Quanteneffekte bei Elektronen wichtig, bei Alltagsgegenständen aber meist nicht sichtbar sind.

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= Die mathematische Aussage =

Für die Ortskoordinate <math>x</math> und die zugehörige Impulskomponente <math>p_x</math> gilt:

<math>\Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}</math>

Dabei ist <math>\hbar</math> das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum:

<math>\hbar=\frac{h}{2\pi}\approx 1{,}055\cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\,s}</math>

Die Größen <math>\Delta x</math> und <math>\Delta p_x</math> stehen für die statistischen Streuungen von Ort und Impuls in vielen gleich präparierten Messungen. Häufig werden dafür die [[Standardabweichung|Standardabweichungen]] <math>\sigma_x</math> und <math>\sigma_p</math> verwendet:

<math>\sigma_x\sigma_p\geq\frac{\hbar}{2}</math>

[[Datei:Heisenbergs uncertainty principle.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Wichtig:''' Die Formel sagt nicht, dass beide Größen völlig unbekannt sein müssen. Sie begrenzt vielmehr, wie klein das Produkt ihrer Unschärfen werden kann.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=YMuFLqY3KRo |500|center}}

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== Bedeutung der Größen ==

Der [[Ort]] beschreibt, wo ein Teilchen nachgewiesen werden kann. Der [[Impuls]] ist in der klassischen Physik das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit:

<math>p=m\cdot v</math>

In der Quantenphysik wird ein Teilchen durch eine [[Wellenfunktion]] beschrieben. Ihr Betragsquadrat liefert eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] für mögliche Messergebnisse. Ein schmaler Ortsbereich bedeutet eine kleine Ortsunschärfe. Damit ein solches schmales Wellenpaket entstehen kann, müssen viele Wellen mit unterschiedlichen Wellenzahlen und damit unterschiedlichen Impulsen überlagert werden.

[[Datei:Wave packet.svg|500px|rahmenlos|center]]

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= Wellenpakete und Fourier-Idee =

Ein einzelner Wellenzug mit genau bestimmter Wellenlänge ist räumlich nicht begrenzt. Sein Impuls ist scharf, sein Ort jedoch sehr unscharf. Ein lokalisiertes [[Wellenpaket]] entsteht erst durch die Überlagerung vieler Wellenlängen. Dadurch wird der Ort genauer, während die Impulsverteilung breiter wird.

Diese Gegenläufigkeit lässt sich mathematisch mit der [[Fouriertransformation]] beschreiben: Eine schmale Verteilung im Ortsraum entspricht einer breiten Verteilung im Impulsraum. Für ein ideales gaußförmiges Wellenpaket kann das Mindestprodukt erreicht werden:

<math>\Delta x\cdot\Delta p_x=\frac{\hbar}{2}</math>

[[Datei:Schrödinger equation wave packet.gif|500px|rahmenlos|center]]

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= Anschauliches Experiment: Beugung am Spalt =

Ein Teilchenstrahl trifft auf einen schmalen Spalt. Durch den Spalt wird die seitliche Position der Teilchen ungefähr auf die Spaltbreite eingegrenzt. Hinter dem Spalt entsteht jedoch ein breiteres [[Beugung|Beugungsmuster]]. Die seitlichen Impulse streuen nun stärker.

[[Datei:Slit uncertainty principle.png|500px|rahmenlos|center]]

Je kleiner die Spaltbreite <math>b</math> ist, desto kleiner wird näherungsweise <math>\Delta x</math>. Gleichzeitig wächst der typische Beugungswinkel. Dadurch steigt die Unschärfe der seitlichen Impulskomponente <math>\Delta p_x</math>. Das Experiment macht den Zusammenhang sichtbar:

<math>\Delta x\downarrow \quad\Rightarrow\quad \Delta p_x\uparrow</math>

[[Datei:DiffractionSingleSlit Anim.gif|500px|rahmenlos|center]]

Das Beugungsbild ist kein bloßes technisches Problem. Es zeigt die Welleneigenschaften von Quantenobjekten und damit eine Ursache der unvermeidbaren Impulsstreuung.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=-L8vzx-A7Z0 |500|center}}

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= Heisenbergs Gedankenmikroskop =

Beim Gedankenmikroskop soll der Ort eines Elektrons mit Licht bestimmt werden. Für eine hohe Ortsauflösung ist eine kurze Wellenlänge nötig. Photonen kurzer Wellenlänge besitzen jedoch einen großen Impuls. Beim Streuprozess übertragen sie einen schwer vorhersagbaren Anteil dieses Impulses auf das Elektron.

[[Datei:Heisenberg gamma ray microscope.svg|450px|rahmenlos|center]]

Dieses Bild hilft beim Einstieg, darf aber nicht missverstanden werden: Die Unschärferelation ist tiefer als eine Störung durch das Messgerät. Auch ein ideal präparierter Quantenzustand kann Ort und Impuls nicht gleichzeitig beliebig scharf besitzen.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=pJwzFWt8BjY |500|center}}

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= Beispielrechnung =

Ein Elektron sei auf eine Ortsunschärfe von

<math>\Delta x=1{,}0\,\mathrm{nm}=1{,}0\cdot10^{-9}\,\mathrm{m}</math>

eingegrenzt. Dann gilt mindestens:

<math>\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2\Delta x}</math>

<math>\Delta p_x\geq\frac{1{,}055\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}}{2\cdot1{,}0\cdot10^{-9}\,\mathrm{m}}\approx5{,}3\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg\,m/s}</math>

Mit der Elektronenmasse <math>m_e\approx9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}</math> ergibt sich im nichtrelativistischen Modell:

<math>\Delta v_x\geq\frac{\Delta p_x}{m_e}\approx5{,}8\cdot10^4\,\mathrm{m/s}</math>

Schon eine Ortsunschärfe von einem Nanometer führt beim Elektron also zu einer großen Geschwindigkeitsstreuung.

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= Warum merken wir im Alltag nichts? =

Für einen Körper mit großer Masse entspricht dieselbe Impulsunschärfe nur einer winzigen Geschwindigkeitsunschärfe, denn <math>\Delta v=\Delta p/m</math>. Außerdem wechselwirken makroskopische Gegenstände ständig mit ihrer Umgebung. Dadurch werden quantenmechanische Überlagerungen sehr schnell praktisch unzugänglich. Dieser Vorgang heißt [[Dekohärenz]].

Die Unschärferelation gilt trotzdem auch für große Körper. Ihre Auswirkungen liegen dort meist weit unterhalb dessen, was im Alltag messbar oder sichtbar ist.

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= Folgen für Atome und Materie =

Die Unschärferelation hilft zu verstehen, warum Elektronen im Atom nicht einfach bewegungslos in den Kern stürzen. Eine extrem starke räumliche Eingrenzung würde eine sehr große Impuls- und damit Bewegungsenergie erfordern. Stabile Atomzustände ergeben sich aus dem Zusammenspiel von räumlicher Ausdehnung, kinetischer Energie und elektrischer Anziehung.

[[Datei:Hydrogen Density Plots.png|500px|rahmenlos|center]]

Die Bilder von [[Atomorbital|Orbitalen]] zeigen keine festen Elektronenbahnen. Sie stellen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten dar. Deshalb ersetzt das [[Orbitalmodell]] das einfache Bild eines Elektrons auf einer genau festgelegten Kreisbahn.

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= Weitere Unschärferelationen =

Allgemein können zwei Observablen <math>A</math> und <math>B</math> eine Unschärferelation besitzen, wenn ihre Operatoren nicht vertauschbar sind. Mit dem [[Kommutator]] gilt:

<math>\Delta A\cdot\Delta B\geq\frac{1}{2}\left|\langle[\hat A,\hat B]\rangle\right|</math>

Für Ort und Impuls ist

<math>[\hat x,\hat p_x]=i\hbar</math>,

woraus die Orts-Impuls-Unschärfe folgt.

Oft wird auch eine Energie-Zeit-Beziehung geschrieben:

<math>\Delta E\cdot\Delta t\gtrsim\frac{\hbar}{2}</math>

Sie muss vorsichtig gedeutet werden, weil die Zeit in der üblichen Quantenmechanik nicht dieselbe Rolle wie ein Orts- oder Impulsoperator spielt. Je nach Situation beschreibt <math>\Delta t</math> etwa eine Lebensdauer oder eine charakteristische Entwicklungszeit.

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= Häufige Fehlvorstellungen =

'''Fehlvorstellung 1:''' Die Unschärfe entsteht nur durch ungenaue Geräte.
'''Korrektur:''' Sie ist eine Eigenschaft des Quantenzustands und der mathematischen Struktur der Quantenmechanik.

'''Fehlvorstellung 2:''' Ein Teilchen hat heimlich immer exakte Werte, die wir nur nicht kennen.
'''Korrektur:''' Die Standardform der Quantenmechanik ordnet einem Zustand im Allgemeinen keine gleichzeitig beliebig scharfen Werte nichtkommutierender Größen zu.

'''Fehlvorstellung 3:''' Beobachten mit Licht erklärt die gesamte Relation.
'''Korrektur:''' Das Gedankenmikroskop ist anschaulich, aber die allgemeine Relation folgt aus Wellenfunktion und Operatoren.

'''Fehlvorstellung 4:''' Alles ist völlig unbestimmt.
'''Korrektur:''' Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Erwartungswerte lassen sich sehr genau berechnen und experimentell prüfen.

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= Zusammenfassung =

Die Heisenbergsche Unschärferelation verbindet die Streuungen komplementärer Größen. Für Ort und Impuls gilt <math>\Delta x\Delta p_x\geq\hbar/2</math>. Ein stärker lokalisiertes Teilchen benötigt ein breiteres Spektrum von Impulsen. Beugung am Spalt, Wellenpakete und Atomorbitale machen diese Aussage anschaulich. Die Relation ist keine Schwäche der Messtechnik, sondern ein Grundzug der Quantenphysik.

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= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Beziehung beschreibt die Orts-Impuls-Unschärfe?'''
(Δx · Δp ≥ ħ/2)
(!Δx + Δp = 0)
(!Δx · Δp = 0)
(!Δx = Δp)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet Δx in der Unschärferelation?'''
(Die statistische Streuung der Ortsmesswerte)
(!Die Entfernung zum Messgerät)
(!Die Größe des Teilchens)
(!Die Dauer der Messung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht mit der Impulsunschärfe, wenn die Ortsunschärfe kleiner wird?'''
(Sie muss im Allgemeinen größer werden)
(!Sie wird immer null)
(!Sie bleibt zwingend unverändert)
(!Sie wird negativ)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wofür steht ħ?'''
(Für das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum)
(!Für die Elektronenmasse)
(!Für die Lichtgeschwindigkeit)
(!Für die elektrische Feldstärke)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zur Ursache der Unschärfe ist richtig?'''
(Sie ist eine grundlegende Eigenschaft von Quantenzuständen)
(!Sie entsteht nur durch defekte Messgeräte)
(!Sie verschwindet bei genügend hellem Licht)
(!Sie betrifft nur klassische Wellen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beobachtet man typischerweise hinter einem immer schmaleren Spalt?'''
(Ein breiteres Beugungsmuster)
(!Einen punktförmigen Strahl ohne Streuung)
(!Eine vollständig dunkle Wand)
(!Eine kleinere Lichtgeschwindigkeit)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist die Unschärfe bei Alltagsgegenständen meist nicht auffällig?'''
(Weil ħ sehr klein und die Masse meist groß ist)
(!Weil für große Körper keine Physik gilt)
(!Weil Impuls nur Elektronen betrifft)
(!Weil Messgeräte alle Quanteneffekte entfernen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie entsteht ein räumlich begrenztes Wellenpaket?'''
(Durch Überlagerung verschiedener Wellenzahlen)
(!Durch genau eine unendlich lange Sinuswelle)
(!Durch das Ausschalten aller Impulse)
(!Durch eine konstante Wahrscheinlichkeit überall)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Zustand kann das Mindestprodukt ħ/2 erreichen?'''
(Ein geeignetes gaußförmiges Wellenpaket)
(!Jeder beliebige klassische Körper)
(!Eine Ortsverteilung mit exakt null Breite)
(!Ein Teilchen mit gleichzeitig exakt bekanntem Ort und Impuls)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zur Energie-Zeit-Unschärfe ist richtig?'''
(Sie muss anders als die Orts-Impuls-Relation gedeutet werden)
(!Zeit ist stets derselbe Operator wie der Ort)
(!Energie und Zeit können nie gemessen werden)
(!Sie beweist eine Verletzung der Energieerhaltung)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Ortsunschärfe || räumliche Breite der Verteilung
|-
| Impulsunschärfe || Streuung der Bewegungsgröße
|-
| reduziertes Planckquantum || Naturkonstante ħ
|-
| Wellenpaket || lokalisierte Überlagerung von Wellen
|-
| Beugung || Aufweitung hinter einem Spalt
|-
| Kommutator || Maß für die Unvertauschbarkeit von Operatoren
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Folge oder Bedeutung
|-
| '''engeres Wellenpaket'''
| größere Impulsstreuung
|-
| '''breiteres Wellenpaket'''
| kleinere mögliche Impulsstreuung
|-
| '''schmalerer Spalt'''
| breiteres Beugungsbild
|-
| '''größere Teilchenmasse'''
| kleinere Geschwindigkeitsunschärfe bei gleichem Δp
|-
| '''gaußförmiger Minimalzustand'''
| kleinstes zulässiges Unschärfeprodukt

|}
{{E}}

<br>
...
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Heisenberg || Welcher Physiker gab der Unschärferelation seinen Namen?
|-
| Wellenpaket || Wie heißt eine räumlich begrenzte Überlagerung von Wellen?
|-
| Impuls || Welche Bewegungsgröße ist mit dem Ort gekoppelt?
|-
| Beugung || Welches Wellenphänomen tritt an einem schmalen Spalt auf?
|-
| Planckquantum || Welche Naturkonstante bestimmt die Größenordnung der Quantenwirkung?
|-
| Ortsunschärfe || Wie heißt die Streuung möglicher Ortsmesswerte?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Heisenbergsche+Unschärferelation+Physik </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Heisenbergsche Unschärferelation gehört zur { Quantenmechanik }. Für Ort und Impuls gilt als Untergrenze das halbe reduzierte { Planckquantum }. Eine kleinere Ortsunschärfe verlangt im Allgemeinen eine größere { Impulsunschärfe }. Ein lokalisiertes Teilchen wird durch ein { Wellenpaket } beschrieben. Am schmalen Spalt entsteht durch { Beugung } eine breitere Winkelverteilung. Die Unschärfe ist kein bloßer Fehler des { Messgeräts }. Bei großen Massen wird die zugehörige Geschwindigkeitsstreuung meist sehr { klein }. Atomorbitale stellen räumliche { Wahrscheinlichkeitsverteilungen } dar.
</quiz>

<br>

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= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Begriffsplakat]]: Gestalte ein Plakat mit den Begriffen Ort, Impuls, Unschärfe, Wellenpaket und Beugung. Erkläre jeden Begriff in einem Satz.
# [[Alltagsvergleich]]: Erfinde einen Vergleich, der die Gegenläufigkeit von Orts- und Impulsunschärfe anschaulich macht. Markiere auch, wo der Vergleich physikalisch ungenau wird.
# [[Medienanalyse]]: Wähle eine Abbildung aus dem aiMOOC und beschreibe, welche Aussage sie zur Unschärferelation unterstützt.
# [[Formelkarte]]: Erstelle eine Lernkarte zur Formel der Orts-Impuls-Unschärfe mit Bedeutung, Einheiten und einem Merksatz.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Spaltexperiment]]: Plane ein sicheres Schulexperiment mit Laser, verstellbarem Spalt und Schirm. Formuliere Hypothese, Aufbau, Beobachtung und Auswertung. Beachte den Laserschutz.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein zweiminütiges Erklärvideo, das den Unterschied zwischen Messfehler und quantenmechanischer Unschärfe zeigt.
# [[Rechenaufgabe]]: Entwickle eine eigene Beispielrechnung für ein Elektron mit vorgegebener Ortsunschärfe und löse sie vollständig.
# [[Modellkritik]]: Vergleiche das Gedankenmikroskop mit der Erklärung durch Wellenpakete. Nenne Stärken und Grenzen beider Zugänge.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Fourierprojekt]]: Untersuche mit einer Tabellenkalkulation oder Simulation, wie sich die Breite eines gaußförmigen Wellenpakets auf sein Wellenzahlspektrum auswirkt.
# [[Operatorenvergleich]]: Recherchiere die Bedeutung des Kommutators und erkläre, wie aus ihm die allgemeine Unschärferelation folgt.
# [[Atomstabilität]]: Entwickle eine qualitative Energieargumentation dafür, warum ein Elektron nicht beliebig stark im Atomkern lokalisiert sein kann.
# [[Wissenschaftsinterview]]: Führe ein Interview mit einer Physiklehrkraft oder einer Person aus Forschung oder Studium über Bedeutung und Fehlinterpretationen der Unschärferelation.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

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= Lernkontrolle =

# [[Experiment und Theorie]]: Erkläre, wie ein schmalerer Spalt gleichzeitig zu genauerer Ortsinformation und größerer seitlicher Impulsstreuung führt.
# [[Transfer auf Massen]]: Vergleiche ein Elektron und ein Staubkorn bei gleicher Ortsunschärfe. Begründe qualitativ, bei welchem Objekt die Geschwindigkeitsunschärfe stärker auffällt.
# [[Fehleranalyse]]: Bewerte die Aussage „Mit einem perfekten Mikroskop könnte man Ort und Impuls zugleich exakt messen“.
# [[Modellvergleich]]: Stelle die Erklärung durch Messstörung der Erklärung durch Wellenpakete gegenüber und entscheide, welche grundlegender ist.
# [[Anwendung Atom]]: Nutze die Unschärferelation, um qualitativ zu erklären, warum ein Elektron im Atom nicht auf einen beliebig kleinen Bereich zusammengedrückt werden kann.
# [[Energie-Zeit-Deutung]]: Erkläre, warum die Energie-Zeit-Beziehung nicht ohne Weiteres genauso wie die Orts-Impuls-Relation interpretiert werden darf.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du die Formel <math>\Delta x\Delta p_x\geq\hbar/2</math> sicher deuten und in einfachen Rechnungen anwenden können. Du solltest außerdem den Zusammenhang zwischen Wellenpaket, Beugung und Impulsstreuung erklären, Messfehler von fundamentaler Unschärfe unterscheiden, die geringe Alltagswirkung begründen und mindestens eine Anwendung auf Atome oder andere Quantensysteme übertragen können.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Heisenbergsche_Unschärferelation </iframe>

<br>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Heisenbergsche Unschärferelation]]'''
# [[Quantenmechanik]]
# [[Wellenfunktion]]
# [[Wellenpaket]]
# [[Impuls]]
# [[Beugung]]
# [[Fouriertransformation]]
# [[Atomorbital]]
# [[Werner Heisenberg]]
|}

[[Kategorie:Physik]]
[[Kategorie:Quantenphysik]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Schule]]
[[Kategorie:Sekundarstufe II]]
[[Kategorie:Klasse 10-13]]
[[Kategorie:Oberstufe]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Heisenbergsche Unschärferelation - Physik - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt