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2026-07-13T21:27:25Z

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{{BR}}
= Grundlagen der Wurzelrechnung =

{{BR}}
= Einleitung =

Die [[Wurzelrechnung]] ist die Umkehrung des [[Potenzieren|Quadrierens]]. Du lernst, einfache [[Quadratwurzel|Quadratwurzeln]] zu berechnen, zu schätzen und in Aufgaben anzuwenden.

[[Datei:Square root symbol.svg|260px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Was bedeutet eine Quadratwurzel? ==

<math>\sqrt{a}=b</math> bedeutet: <math>b\cdot b=a</math>.

Beispiel: <math>\sqrt{49}=7</math>, denn <math>7\cdot 7=49</math>.

Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt [[Radikand]]. Das Ergebnis der Quadratwurzel ist nicht negativ. Deshalb gilt <math>\sqrt{49}=7</math> und nicht <math>-7</math>.

[[Datei:Structure of a root.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Wichtige Quadratzahlen ==

{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center"
! Zahl
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10
|-
! Quadrat
| 0 || 1 || 4 || 9 || 16 || 25 || 36 || 49 || 64 || 81 || 100
|}

Quadratzahlen helfen Dir beim Wurzelziehen: <math>\sqrt{64}=8</math>.

{{BR}}
== Wurzeln schätzen ==

Liegt der Radikand zwischen zwei Quadratzahlen, liegt auch seine Wurzel zwischen den passenden ganzen Zahlen.

Beispiel: <math>16<20<25</math>. Deshalb gilt <math>4<\sqrt{20}<5</math>.

[[Datei:Construction of square root of 2 on the line number.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Einfache Rechenregeln ==

Für nichtnegative Zahlen gelten:

# [[Produktregel]]: <math>\sqrt{a\cdot b}=\sqrt a\cdot\sqrt b</math>
# [[Quotientenregel]]: <math>\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}</math> für <math>b>0</math>
# [[Teilweises Wurzelziehen]]: <math>\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2</math>

Achtung: Meist gilt <math>\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b</math>. Zum Beispiel ist <math>\sqrt{9+16}=5</math>, aber <math>\sqrt9+\sqrt{16}=7</math>.

{{BR}}
== Anwendungen ==

Hat ein [[Quadrat]] die Fläche <math>81\,\text{cm}^2</math>, dann ist seine Seitenlänge <math>\sqrt{81}=9\,\text{cm}</math>.

Beim [[Satz des Pythagoras]] wird oft am Ende eine Wurzel gezogen.

[[Datei:Pythagorean.svg|420px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernvideo: Grundlagen ==

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe bei Beispielen und rechne zuerst selbst.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=5lGpyhWD8sw |500|center}}

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===

# [[Wurzelzeichen]]: Erkläre mit einem Satz, was das Wurzelzeichen bedeutet.
# [[Quadratzahlen]]: Notiere alle Quadratzahlen von 1 bis 100.
# [[Video-Beispiel]]: Schreibe drei Rechnungen aus dem Video auf und ergänze jeweils die Probe.
# [[Fehler finden]]: Erkläre, warum <math>\sqrt{36}</math> nicht <math>18</math> ist.
# [[Eigene Aufgabe]]: Erfinde eine Wurzelaufgabe, löse sie und prüfe das Ergebnis durch Quadrieren.

{{BR}}
== Ergänzendes Erklärvideo ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=q18AFONEdD8 |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Zahl ist die Quadratwurzel aus 25?'''
(5)
(!10)
(!15)
(!625)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist die Quadratwurzel aus 64 gleich 8?'''
(Weil 8 mal 8 gleich 64 ist)
(!Weil 8 plus 8 gleich 64 ist)
(!Weil 64 geteilt durch 2 gleich 8 ist)
(!Weil 64 minus 8 gleich 8 ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist eine Quadratzahl?'''
(49)
(!18)
(!27)
(!45)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die Quadratwurzel aus 30?'''
(Zwischen 5 und 6)
(!Zwischen 3 und 4)
(!Zwischen 6 und 7)
(!Zwischen 14 und 16)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Quadratwurzel aus 1?'''
(1)
(!0)
(!2)
(!Minus 1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Rechnung ist richtig?'''
(Quadratwurzel aus 36 ist 6)
(!Quadratwurzel aus 36 ist 18)
(!Quadratwurzel aus 36 ist 12)
(!Quadratwurzel aus 36 ist 3)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist die passende Probe für die Quadratwurzel aus 81 gleich 9?'''
(9 mal 9 ist 81)
(!9 plus 9 ist 81)
(!81 geteilt durch 9 ist 1)
(!81 minus 9 ist 9)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Vereinfachung ist richtig?'''
(Quadratwurzel aus 72 ist 6 mal Quadratwurzel aus 2)
(!Quadratwurzel aus 72 ist 36)
(!Quadratwurzel aus 72 ist 8)
(!Quadratwurzel aus 72 ist 12 mal Quadratwurzel aus 2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage über die Quadratwurzel aus 20 stimmt?'''
(Sie liegt zwischen 4 und 5)
(!Sie liegt zwischen 2 und 3)
(!Sie ist genau 10)
(!Sie ist größer als 20)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage ist im Bereich der reellen Zahlen richtig?'''
(Die Quadratwurzel aus einer nichtnegativen Zahl ist nicht negativ)
(!Die Quadratwurzel aus jeder Zahl ist negativ)
(!Die Quadratwurzel aus 9 ist 81)
(!Die Quadratwurzel aus 0 gibt es nicht)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Quadratwurzel || Umkehrung des Quadrierens
|-
| Radikand || Zahl unter dem Wurzelzeichen
|-
| 36 || Quadrat von 6
|-
| Schätzen || Benachbarte Quadratzahlen nutzen
|-
| Probe || Ergebnis quadrieren
|-
| Produktregel || Wurzel eines Produkts zerlegen
|}
{{E}}
</div>
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Quadratwurzel aus 9'''
| 3
|-
| '''Quadratwurzel aus 16'''
| 4
|-
| '''Quadratwurzel aus 25'''
| 5
|-
| '''Quadratwurzel aus 49'''
| 7
|-
| '''Quadratwurzel aus 100'''
| 10

|}
{{E}}
</div>

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Radikand || Wie heißt die Zahl unter dem Wurzelzeichen?
|-
| Quadrat || Wie heißt das Ergebnis beim Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst?
|-
| Wurzel || Welches Rechenverfahren ist die Umkehrung des Quadrierens?
|-
| Schaetzen || Was tust Du mit einer Wurzel, wenn sie nicht genau aufgeht?
|-
| Produkt || Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
|-
| Pythagoras || Welcher Satz verbindet die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks?
|}
{{E}}
</div>
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Grundlagen+der+Wurzelrechnung </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Quadratwurzel ist die Umkehrung des { Quadrierens }. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt { Radikand }. Es gilt <math>\sqrt{49}=</math> { 7 }. Die Wurzel aus 20 liegt zwischen { 4 } und 5. Zur Probe wird das Ergebnis { quadriert }. Bei einer negativen Zahl unter der Quadratwurzel gibt es im Bereich der reellen Zahlen { kein } Ergebnis.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Quadratzahlen-Plakat]]: Gestalte ein kleines Plakat mit den Quadratzahlen von 1 bis 100.
# [[Wurzelkarten]]: Erstelle zehn Karten. Auf einer Seite steht eine Wurzelaufgabe, auf der anderen die Lösung.
# [[Erklärsatz]]: Erkläre die Rechnung <math>\sqrt{64}=8</math> in eigenen Worten.
# [[Fehlersuche]]: Verbessere die falsche Aussage <math>\sqrt{25}=12{,}5</math> und begründe Deine Lösung.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Schätzaufgaben]]: Schätze <math>\sqrt{10}</math>, <math>\sqrt{40}</math> und <math>\sqrt{70}</math> mithilfe benachbarter Quadratzahlen.
# [[Lernvideo-Protokoll]]: Fasse die drei wichtigsten Aussagen des Lernvideos in einem kurzen Text zusammen.
# [[Flächenaufgabe]]: Zeichne drei Quadrate mit verschiedenen Flächen und berechne ihre Seitenlängen.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein einminütiges Video zur Frage: Wie prüft man eine gezogene Wurzel?

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Wurzelregel prüfen]]: Untersuche mit Beispielen die Produktregel und formuliere eine Erklärung.
# [[Gegenbeispiel]]: Zeige mit Zahlen, warum <math>\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b</math> meist falsch ist.
# [[Pythagoras-Anwendung]]: Erfinde eine Sachaufgabe zu einem rechtwinkligen Dreieck, löse sie und erkläre den Wurzelschritt.
# [[Digitale Lernstation]]: Erstelle eine digitale Übung mit mindestens fünf Aufgaben, Lösungen und Rückmeldungen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Strategiewahl]]: Erkläre, wie Du entscheidest, ob eine Wurzel genau berechnet oder nur geschätzt werden kann.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person rechnet <math>\sqrt{9+16}=3+4=7</math>. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
# [[Fläche und Länge]]: Ein quadratischer Garten hat eine Fläche von <math>196\,\text{m}^2</math>. Bestimme die Seitenlänge und begründe Deinen Rechenweg.
# [[Vergleich]]: Ordne <math>\sqrt{15}</math>, <math>4</math> und <math>\sqrt{20}</math> der Größe nach. Begründe ohne Taschenrechner.
# [[Transfer]]: Beschreibe eine Alltagssituation oder geometrische Aufgabe, in der eine Quadratwurzel benötigt wird, und löse ein passendes Beispiel.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# [[Begriff]]: die Bedeutung einer Quadratwurzel erklären kannst.
# [[Grundwissen]]: wichtige Quadratzahlen sicher kennst.
# [[Berechnung]]: einfache Wurzeln berechnen und durch Quadrieren prüfen kannst.
# [[Schätzung]]: nicht genaue Wurzeln zwischen zwei ganzen Zahlen einordnen kannst.
# [[Anwendung]]: Wurzeln in Flächen- und Geometrieaufgaben sinnvoll nutzt.
# [[Reflexion]]: typische Fehler erkennst und erklärst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Grundlagen der Wurzelrechnung]]'''
# [[Quadratwurzel]]
# [[Quadratzahl]]
# [[Radikand]]
# [[Wurzelgesetz]]
# [[Teilweises Wurzelziehen]]
# [[Satz des Pythagoras]]
# [[Reelle Zahl]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Wurzelrechnung]]
[[Kategorie:Klasse 7-10]]
[[Kategorie:Klasse 7-8]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Grundlagen der Wurzelrechnung - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt